2025年大學《數(shù)理基礎科學》專業(yè)題庫——矩陣分析及特征值問題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每空4分，共20分）1.若矩陣A=[[1,2],[3,4]]，則矩陣A的轉置A?=_______；行列式det(A)=_______。2.矩陣B=[[0,1],[-1,0]]的特征值為_______和_______。3.矩陣C=[[2,1],[0,2]]的秩rank(C)=_______。4.若n階矩陣A的特征值為λ?,λ?,...,λ?，則det(A)=_______，tr(A)=_______。5.一個n階矩陣A可對角化的充要條件之一是A有n個線性無關的特征向量。二、選擇題（每題3分，共15分，請將正確選項的字母填在括號內）1.下列哪個矩陣一定是可逆矩陣？()A.[[1,0],[0,0]]B.[[2,3],[4,6]]C.[[-1,1],[1,-1]]D.[[1,2],[3,4]]2.設矩陣A=[[a,b],[c,d]]，且det(A)≠0，則A?1=_______。()A.[[d,-b],[-c,a]]B.[[-d,b],[c,-a]]C.(1/det(A))*[[d,-b],[-c,a]]D.(1/det(A))*[[-b,a],[c,-d]]3.下列哪個命題是正確的？()A.如果λ是矩陣A的特征值，那么det(A-λI)=0。B.如果矩陣A可對角化，那么矩陣A的特征值必都是實數(shù)。C.如果矩陣A的秩為n，那么A的n個特征值都非零。D.相似矩陣一定有相同的特征向量。4.矩陣A=[[1,1],[0,1]]和B=[[1,0],[1,1]]的關系是？()A.A與B相似B.A與B不相似C.A與B等價D.A與B互為轉置5.二次型f(x?,x?)=x?2+4x?x?+3x?2的矩陣表示為A=_______。()A.[[1,2],[0,3]]B.[[1,4],[4,3]]C.[[1,0],[2,3]]D.[[1,2/3],[2/3,3]]三、計算題（每題10分，共40分）1.計算矩陣A=[[2,1],[1,2]]的特征值和特征向量。2.判斷矩陣B=[[1,-1,2],[0,1,1],[0,0,1]]是否可對角化。若可對角化，求出可逆矩陣P和對角矩陣D，使得B=PDP?1。3.利用配方法將二次型g(x?,x?)=x?2+6x?x?+x?2化為標準形，并寫出所用的可逆線性變換。4.求解矩陣方程AXB=C，其中A=[[1,0],[1,1]]，B=[[1,1],[0,1]]，C=[[2,3],[3,5]]。四、證明題（共25分）1.證明：若矩陣A可逆，則A的特征值都非零。2.證明：實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)，并且其不同特征值對應的特征向量相互正交。試卷答案一、填空題1.[[2,3],[1,4]];-2解析：矩陣轉置即為行列互換，det(A)=(1*4)-(2*3)=4-6=-2。2.i;-i解析：|B-λI|=|[0-λ,1],[-1,0-λ]|=λ2+1=0，解得λ=±i。3.1解析：矩陣C的行簡化階梯形為[[1,1],[0,0]]，非零行數(shù)為1。4.λ?λ?...λ?;λ?+λ?+...+λ?解析：根據(jù)行列式和跡的性質。5.是(或填：成立)解析：這是矩陣可對角化的一個標準充要條件。二、選擇題1.D解析：矩陣可逆的充要條件是行列式不為零。det(A)=(1*4)-(2*3)=4-6=-2≠0，故A可逆。選項D的行列式為(1*4)-(2*3)=-2≠0，且形式為[[d,-b],[-c,a]]/det(A)。選項Adet(A)=0;Bdet(A)=0;C形式錯誤；D正確。2.C解析：伴隨矩陣法求逆矩陣，A?1=(1/det(A))*adj(A)。adj(A)=[[d,-b],[-c,a]]。所以A?1=(1/det(A))*[[d,-b],[-c,a]]。3.C解析：A的秩為n，說明A的行（或列）向量組線性無關，故其列空間維數(shù)為n。任何非零向量都在列空間內，故A的特征值對應的特征向量（屬于非零特征值）必然存在，且非零特征值對應的幾何重數(shù)至少為1。由于幾何重數(shù)≤代數(shù)重數(shù)，且秩為n，若存在非零特征值，其代數(shù)重數(shù)必≥1。若所有特征值都為零，則A=0，秩為0，與題設矛盾。故A的n個（包括重根）特征值都非零。4.B解析：判斷相似，需特征值相同且特征值的幾何重數(shù)（即特征向量的個數(shù)）也相同。det(A-λI)=(1-λ)2=0，特征值為λ=1，重數(shù)為2。|B-λI|=|[1-λ,0],[1,1-λ]|=(1-λ)2=0，特征值也為λ=1，重數(shù)為2。但A的特征向量滿足(A-I)x=0，即[[0,1],[1,0]]x=0，解得x=c[1,-1]?(c≠0)。只有1個線性無關的特征向量。B的特征向量滿足(B-I)x=0，即[[0,0],[1,0]]x=0，解得x=c[1,0]?(c≠0)。也只有1個線性無關的特征向量。由于特征值λ=1的幾何重數(shù)不同（A為2，B為1），故A與B不相似。5.B解析：二次型f(x?,x?)=x?2+4x?x?+3x?2對應的矩陣A必須滿足A?=A（實對稱矩陣）。設A=[[a,b],[b,c]]。由f(x?,x?)=x?2+4x?x?+3x?2，得a=1,b=4/2=2,c=3。故A=[[1,2],[2,3]]。選項B的轉置為[[1,4],[4,3]]，與A相同。三、計算題1.特征值：λ?=3,λ?=1特征向量：對應λ?=3的特征向量為k?[1,1]?(k?≠0)；對應λ?=1的特征向量為k?[-1,1]?(k?≠0)。解析：計算特征多項式|A-λI|=|[2-λ,1],[1,2-λ]|=(2-λ)2-1=λ2-4λ+3=(λ-3)(λ-1)。解得特征值λ?=3,λ?=1。將λ?=3代入(A-3I)x=0，即[[-1,1],[1,-1]]x=0，解得基礎解系x=k?[1,1]?。將λ?=1代入(A-I)x=0，即[[1,1],[1,1]]x=0，解得基礎解系x=k?[-1,1]?。特征向量可以取基礎解系的非零倍數(shù)。2.可對角化；P=[[1,0,0],[0,1,1],[0,0,1]]；D=[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,2]]解析：計算特征多項式|B-λI|=|[1-λ,-1,2],[0,1-λ,1],[0,0,1-λ]|=(1-λ)2(1-λ)=(1-λ)3。解得唯一的特征值λ=1（代數(shù)重數(shù)n=3）。計算幾何重數(shù)，解(B-I)x=0，即[[0,-1,2],[0,0,1],[0,0,0]]x=0。同解方程組-x?+2x?=0,x?=0，得x?=0,x?=0,x?=0（即x=0）?；A解系只有0向量，即線性無關特征向量的個數(shù)（幾何重數(shù)）為0。由于幾何重數(shù)<代數(shù)重數(shù)（0<3），矩陣B不可對角化。*（注：根據(jù)計算，該矩陣B不可對角化。若題目要求假設B可對角化進行計算，則需修正題目或提供錯誤信息。以下按原題意，說明不可對角化的原因）*解析說明：對于λ=1，其幾何重數(shù)為0，小于代數(shù)重數(shù)3。因此，不存在3個線性無關的特征向量，矩陣B不能相似對角化。3.標準形：g(y?,y?)=y?2+y?2變換：x?=y?-y?,x?=y?+y?解析：配方法。g(x?,x?)=x?2+6x?x?+x?2=x?2+6x?x?+9/4+x?2-9/4=(x?+3x?/2)2+x?2-9/4=(x?+3x?/2)2+(x?+0x?)2-9/4。令y?=x?+3x?/2,y?=x?+0x?。則g(y?,y?)=y?2+y?2-9/4=y?2+y?2?；卮髕?,x?：y?=x?+3x?/2=>x?=y?-3x?/2。y?=x?=>x?=y?。代入x?=y?-3y?/2。所以變換矩陣為[[1,-3/2],[0,1]]，即x=Py，其中P=[[1,-3/2],[0,1]]。標準形為y?2+y?2。4.X=[[1,1],[1,2]]解析：利用初等行變換法。構造增廣矩陣[[A,C],[I,B?1]]=[[1,0,2,3],[1,1,3,5],[1,0,1,1],[0,1,0,1]]。對左半部分做行變換化為E，同時對右半部分同步做行變換。R?-R?->R?:[[1,0,2,3],[0,1,1,2],[1,0,1,1],[0,1,0,1]]R?-R?->R?:[[1,0,2,3],[0,1,1,2],[0,0,-1,-2],[0,1,0,1]]R?-R?->R?:[[1,0,2,3],[0,1,1,2],[0,0,-1,-2],[0,0,-1,-1]]R?*(-1)->R?:[[1,0,2,3],[0,1,1,2],[0,0,1,2],[0,0,-1,-1]]R?+R?->R?:[[1,0,2,3],[0,1,1,2],[0,0,1,2],[0,0,0,1]]R?-2R?->R?:[[1,0,0,-1],[0,1,1,2],[0,0,1,2],[0,0,0,1]]R?-R?->R?:[[1,0,0,-1],[0,1,0,0],[0,0,1,2],[0,0,0,1]]R?+R?->R?:[[1,1,0,-1],[0,1,0,0],[0,0,1,2],[0,0,0,1]]R?-R?->R?:[[1,0,0,-1],[0,1,0,0],[0,0,1,2],[0,0,0,1]]最終右半部分為[[1,1,-1],[1,0,0],[0,0,2],[0,0,1]]，即為B?1A。所以X=B?1A=[[1,1,-1],[1,0,0],[0,0,2],[0,0,1]]。*（注：此計算結果與題設矩陣B的維度不匹配，提示題目可能存在錯誤。按計算過程，X=[[1,1,-1],[1,0,0],[0,0,2],[0,0,1]]。若題目要求X為2x2矩陣，則原方程或矩陣可能錯誤。）*解析說明：采用構造增廣矩陣并同步進行初等行變換的方法求解AXB=C。將A,C放在一起，I,B?1放在一起，對左半部分進行行變換化為單位矩陣，右半部分同步進行相同的行變換，得到的右半部分即為所求的X。四、證明題1.證明：設λ是可逆矩陣A的特征值，則存在非零向量x使得Ax=λx。因為A可逆，所以A?1存在。用A?1左乘等式兩邊，得A?1(Ax)=A?1(λx)。即x=λ(A?1x)。整理得A?1x=(1/λ)x。