2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)生態(tài)環(huán)境管理考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、已知某物種的增長符合Logistic模型，其方程為$\frac{dN}{dt}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)$，其中$N(t)$是時間$t$時的種群數(shù)量，$r$是內(nèi)稟增長率，$K$是環(huán)境容納量。若初始時刻$t=0$時種群數(shù)量為$N_0$，試推導(dǎo)出種群數(shù)量$N(t)$隨時間$t$變化的表達(dá)式。二、設(shè)某區(qū)域水體中污染物A的濃度$C$沿水平軸$x$分布滿足一維穩(wěn)定態(tài)擴(kuò)散方程$\frac{d^2C}{dx^2}=0$。已知$x=0$處濃度$C=C_0$，$x=L$處濃度$C=C_L$。求污染物A在$x$方向上的濃度分布表達(dá)式$C(x)$。三、在一個生態(tài)系統(tǒng)中，食草動物種群數(shù)量$x(t)$和捕食者種群數(shù)量$y(t)$滿足如下的Lotka-Volterra模型：$$\begin{cases}\frac{dx}{dt}=ax-bxy\\\frac{dy}{dt}=-cy+dxy\end{cases}$$其中$a,b,c,d$均為正參數(shù)。試分析該模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性（無需具體計算，說明判斷依據(jù)即可）。四、為了評估某森林生態(tài)系統(tǒng)的生物多樣性，研究人員測量了物種豐富度$S$和香農(nóng)-威納指數(shù)$H'$.假設(shè)已知該森林中有$S=15$種鳥類，某個樣地中隨機(jī)觀測到100次，其中各物種的出現(xiàn)次數(shù)如下：物種A20次，物種B15次，物種C10次，物種D8次，物種E5次，物種F4次，物種G3次，物種H2次，物種I1次，物種J0次（共10個常見物種，5個未觀測到）。請計算該樣地的香農(nóng)-威納指數(shù)$H'$。五、某研究團(tuán)隊想探究某污染物在土壤中的垂直遷移規(guī)律。他們建立了一個簡化的柱狀土壤模型，假設(shè)污染物在土壤中的遷移主要受對流和擴(kuò)散控制，其遷移方程為：$$\frac{\partialC}{\partialt}=D\frac{\partial^2C}{\partialz^2}-u\frac{\partialC}{\partialz}$$其中$C(z,t)$是深度$z$處時間$t$的污染物濃度，$D$是擴(kuò)散系數(shù)，$u$是土壤孔隙水的滲流速度。請說明該方程中各項的物理意義，并指出這是一個偏微分方程。六、為了預(yù)測某河流未來5年的水質(zhì)變化趨勢，研究人員收集了連續(xù)10年的月均水質(zhì)指標(biāo)（如COD濃度）數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)呈現(xiàn)一定的波動性，但整體趨勢可能符合某種時間序列模型。請簡述選擇ARIMA模型進(jìn)行擬合的原因，并說明ARIMA模型需要確定的主要參數(shù)及其含義。七、設(shè)某生態(tài)系統(tǒng)服務(wù)功能的價值評估模型為$V=\sum_{i=1}^nw_i\cdotf_i(X_i)$，其中$V$是總價值，$n$是影響因子個數(shù)，$X_i$是第$i$個影響因子（如面積、降雨量等）的量化值，$f_i(X_i)$是第$i$個因子的價值量函數(shù)，$w_i$是第$i$個因子的權(quán)重。請解釋權(quán)重$w_i$的意義，并說明在確定權(quán)重時可能采用的一種方法（如層次分析法、專家打分法等）。八、試簡述數(shù)學(xué)建模在解決實際生態(tài)環(huán)境管理問題（如資源可持續(xù)利用、環(huán)境風(fēng)險評價等）中的主要步驟。試卷答案一、$N(t)=\frac{KN_0e^{rt}}{K+N_0(e^{rt}-1)}$解析思路：對Logistic模型方程$\frac{dN}{dt}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)$進(jìn)行變量分離：$\frac{dN}{N\left(1-\frac{N}{K}\right)}=r\,dt$。將分式$\frac{1}{N\left(1-\frac{N}{K}\right)}$分解為$\frac{A}{N}+\frac{B}{1-\frac{N}{K}}$，解得$A=1,B=1$。積分得到$\int\left(\frac{1}{N}+\frac{1}{K-N}\right)dN=\intr\,dt$，即$\lnN-\ln(K-N)=rt+C$。利用初始條件$N(0)=N_0$求出常數(shù)$C=\ln\frac{N_0}{K-N_0}$?；喼笖?shù)表達(dá)式，最終得到$N(t)$的通解。二、$C(x)=C_0+\frac{C_L-C_0}{L}x$解析思路：一維穩(wěn)定態(tài)擴(kuò)散方程$\frac{d^2C}{dx^2}=0$的通解是線性函數(shù)。根據(jù)邊界條件$C(0)=C_0$和$C(L)=C_L$，確定常數(shù)，得到線性濃度分布公式。三、平衡點(diǎn)為$(0,0)$和$\left(\frac{c},\frac{a}v5pl1d1\right)$。平衡點(diǎn)$(0,0)$穩(wěn)定，$\left(\frac{c},\frac{a}h3jbpt9\right)$不穩(wěn)定（或為鞍點(diǎn)，需根據(jù)雅可比矩陣特征值進(jìn)一步判斷）。解析思路：令$\frac{dx}{dt}=0$和$\frac{dy}{dt}=0$，求解得到兩個平衡點(diǎn)。分析Lotka-Volterra模型的結(jié)構(gòu)（正負(fù)號），可知$(0,0)$通常是穩(wěn)定焦點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)。對于$\left(\frac{c},\frac{a}rxxrhj5\right)$，由于該點(diǎn)是相平面上的中心或鞍點(diǎn)，其穩(wěn)定性通常與參數(shù)具體值有關(guān)，但一般模型中，若捕食者存在，此平衡點(diǎn)傾向于不穩(wěn)定（鞍點(diǎn)）。詳細(xì)穩(wěn)定性需計算雅可比矩陣特征值。四、$H'=-\sum_{i=1}^{10}p_i\lnp_i\approx2.564$解析思路：首先計算各物種的相對頻率$p_i=\frac{n_i}{N}$，其中$n_i$為物種$i$的出現(xiàn)次數(shù)，$N$為總觀測次數(shù)。對于未觀測到的物種（如J），其相對頻率$p_{10}=\frac{0}{100}=0$，計算$\lnp_{10}$時視為$0\times\ln0=0$。將所有計算出的相對頻率代入香農(nóng)-威納指數(shù)公式$H'=-\sum_{i=1}^{15}p_i\lnp_i$（包括未觀測物種），進(jìn)行求和計算。（注：實際計算中可能需要使用自然對數(shù)）五、$\frac{\partialC}{\partialt}$：污染物濃度隨時間的變化率。$D\frac{\partial^2C}{\partialz^2}$：污染物在垂直方向（$z$）上的擴(kuò)散通量，表示污染物從高濃度區(qū)域向低濃度區(qū)域擴(kuò)散的趨勢。$-u\frac{\partialC}{\partialz}$：污染物隨土壤水滲流而產(chǎn)生的對流輸送項，表示污染物隨水流移動導(dǎo)致的濃度變化率。該方程是描述污染物在時間和空間維度上變化的偏微分方程，包含擴(kuò)散項和對流項。六、ARIMA模型適用于具有顯著自相關(guān)性且可能包含趨勢或季節(jié)性的時間序列數(shù)據(jù)。選擇ARIMA的原因是它能夠通過差分處理非平穩(wěn)性，并通過自回歸（AR）和移動平均（MA）項捕捉數(shù)據(jù)中的自相關(guān)性。模型需要確定的參數(shù)主要是：差分次數(shù)$d$、自回歸項階數(shù)$p$、移動平均項階數(shù)$q$。$p$和$q$的確定通?；谧韵嚓P(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）圖分析或信息準(zhǔn)則（如AIC、BIC）。七、權(quán)重$w_i$表示第$i$個影響因子$X_i$在生態(tài)系統(tǒng)服務(wù)功能總價值$V$中的相對重要性或貢獻(xiàn)度。確定權(quán)重的方法之一是層次分析法（AHP），該方法通過構(gòu)建判斷矩陣，讓專家對同一層次各因素進(jìn)行兩兩比較，確定相對重要性，然后進(jìn)行一致性檢驗，最終計算出各因素的權(quán)重向量。八、數(shù)學(xué)建模在解決實際生態(tài)環(huán)境管理問題的主要步驟包括：1.問題分析與定義：明確管理目標(biāo)、研究范圍、關(guān)鍵因素和需要解決的具體問題。2.模型假設(shè)：根據(jù)實際情況，簡化問題，提出合理的簡化假設(shè)，確定模型邊界。3.模型建立：選擇合適的數(shù)學(xué)工具（如微分方程、概率統(tǒng)計、優(yōu)化理論等），將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（包括變量定義、函數(shù)關(guān)系、方程式等）。4.模型求解：運(yùn)用解析方法、數(shù)值計算或計算機(jī)模擬