2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——統(tǒng)計(jì)分析與建模方法考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、已知樣本數(shù)據(jù)：4,7,9,10,13,16,18。計(jì)算樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。二、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2已知。從總體中抽取樣本容量為n的樣本，記樣本均值為x?。假設(shè)檢驗(yàn)H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?。寫出該檢驗(yàn)的拒絕域（基于臨界值法），并說明拒絕域中涉及到的統(tǒng)計(jì)量及其分布。三、某研究希望考察兩種不同肥料（A和B）對作物產(chǎn)量的影響。隨機(jī)選取10塊土地，平均分成兩組，每組5塊土地，分別施用A和B肥料。一段時(shí)間后，測量作物產(chǎn)量（單位：kg）如下：組1（A肥料）：78,82,79,80,81組2（B肥料）：85,87,86,84,88假設(shè)兩組數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布，且方差相等。試檢驗(yàn)兩種肥料的平均產(chǎn)量是否存在顯著差異（α=0.05）。請寫出檢驗(yàn)的基本步驟，包括計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值和做出統(tǒng)計(jì)決策。四、某城市為了研究居民的月均收入Y（單位：元）與年齡X（單位：歲）之間的關(guān)系，收集了15對觀測數(shù)據(jù)。通過計(jì)算得到回歸方程為：?=1200+50X。其中，樣本相關(guān)系數(shù)r=0.75，樣本均值為x?=30,?=4500。(1)解釋回歸系數(shù)50的含義。(2)計(jì)算判定系數(shù)R2，并說明其含義。(3)當(dāng)某居民年齡為40歲時(shí)，其月均收入的點(diǎn)估計(jì)值是多少？(4)簡述如何利用殘差分析來評估該回歸模型的擬合優(yōu)度。五、假設(shè)一批產(chǎn)品的次品率p未知?，F(xiàn)從中隨機(jī)抽取n=100件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)k=5件次品。(1)估計(jì)這批產(chǎn)品的次品率p的矩估計(jì)值。(2)假設(shè)檢驗(yàn)H?:p=0.05vsH?:p≠0.05。在顯著性水平α=0.01下，寫出該檢驗(yàn)的拒絕域（基于p值法），并說明拒絕域中涉及到的統(tǒng)計(jì)量及其分布。假設(shè)計(jì)算得到的p值小于α，請簡要說明結(jié)論。六、已知X?,X?,...,X?是來自泊松分布P(λ)的樣本。(1)寫出參數(shù)λ的極大似然估計(jì)量。(2)證明（或不證明，只寫出）該估計(jì)量是無偏估計(jì)量。(3)若觀察到的樣本值為：3,0,2,5,1,4,2。求參數(shù)λ的極大似然估計(jì)值。七、設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)。定義統(tǒng)計(jì)量U=max(X?,X?,...,X?)。求U的分布函數(shù)F_U(u)。八、為了比較兩種不同教學(xué)方法（方法A和方法B）的效果，隨機(jī)選取了60名學(xué)生，平均分成兩組，每組30人。一組采用方法A，另一組采用方法B。一段時(shí)間后進(jìn)行測試，兩組學(xué)生的平均分分別為x??=85,x??=80，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為s?=10,s?=12。假設(shè)兩組成績均服從正態(tài)分布，且方差相等。(1)檢驗(yàn)兩種教學(xué)方法下的平均成績是否存在顯著差異（α=0.05）。請寫出檢驗(yàn)的基本步驟，包括計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值和做出統(tǒng)計(jì)決策。(2)計(jì)算兩種教學(xué)方法下平均成績差的95%置信區(qū)間。試卷答案一、樣本均值x?=(4+7+9+10+13+16+18)/7=11樣本方差s2=[(4-11)2+(7-11)2+(9-11)2+(10-11)2+(13-11)2+(16-11)2+(18-11)2]/(7-1)=[49+16+4+1+4+25+49]/6=148/6=74/3樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=√(74/3)=√(148/6)≈4.95解析思路：直接應(yīng)用樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差的定義和計(jì)算公式。注意樣本方差的分母是n-1（樣本自由度）。二、拒絕域：|T|=|x?-μ?|/(σ/√n)>t_(α/2,n-1)或x?<μ?-t_(α/2,n-1)(σ/√n)或x?>μ?+t_(α/2,n-1)(σ/√n)其中，統(tǒng)計(jì)量T=(x?-μ?)/(σ/√n)服從自由度為n-1的t分布。解析思路：這是關(guān)于正態(tài)總體均值μ（方差未知）的假設(shè)檢驗(yàn)問題。采用t檢驗(yàn)法。根據(jù)顯著性水平α和樣本容量n，查找t分布表得到臨界值t_(α/2,n-1)。拒絕域?yàn)闃颖揪祒?落在μ?的兩側(cè)臨界值之外的區(qū)域。三、(1)計(jì)算樣本均值：x??=(78+82+79+80+81)/5=80,x??=(85+87+86+84+88)/5=86計(jì)算樣本方差：s?2=[(78-80)2+...+(81-80)2]/(5-1)=(4+4+1+0+1)/4=10s?2=[(85-86)2+...+(88-86)2]/(5-1)=(1+1+0+4+4)/4=2.5合并樣本方差：S2_p=[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2]/(n?+n?-2)=[(5-1)*10+(5-1)*2.5]/(5+5-2)=[40+10]/8=50/8=25/4合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差：S=√(25/4)=5/2=2.5計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：T=(x??-x??)/(S*√(1/n?+1/n?))=(80-86)/(2.5*√(1/5+1/5))=-6/(2.5*√(2/5))=-6/(2.5*(√2/√5))=-6*(√5/√2)/2.5=-6*(√10/2)/2.5=-6√10/5≈-3.78臨界值：t_(α/2,n?+n?-2)=t_(0.025,8)≈2.306（查t分布表）決策：因?yàn)閨T|≈3.78>2.306，所以拒絕H?。解析思路：這是關(guān)于兩個(gè)正態(tài)總體均值μ?和μ?（方差未知但相等）的假設(shè)檢驗(yàn)問題。采用雙樣本t檢驗(yàn)（等方差）。首先計(jì)算兩組樣本的均值和方差，然后計(jì)算合并方差。接著計(jì)算t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T的值。根據(jù)顯著性水平α和自由度n?+n?-2，查找t分布表得到臨界值。比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與臨界值的絕對值，做出拒絕或不拒絕原假設(shè)的決策。四、(1)回歸系數(shù)50的含義是：當(dāng)居民年齡X每增加1歲，其月均收入Y的估計(jì)值平均增加50元。(2)R2=(SSR/SST)=SStotal2/(SStotal2+SSresidual2)=1-SSresidual2/SSTotal2其中，SST=Σ(y?-?)2=n(?-μy)2=15(4500-4500)2=0（這里假設(shè)μy=?，實(shí)際計(jì)算應(yīng)基于原始數(shù)據(jù)，但題目未給，無法計(jì)算具體數(shù)值）或者R2=r2=(0.75)2=0.5625其含義是：該回歸模型能夠解釋居民月均收入變異性的56.25%。(3)?=1200+50*40=1200+2000=3200(4)殘差分析是通過分析實(shí)際觀測值y?與模型預(yù)測值??的差值（殘差e?=y?-??）來評估模型擬合優(yōu)度的方法。檢查殘差是否隨機(jī)分布、是否滿足回歸模型（如線性、正態(tài)性、同方差性）的假設(shè)。例如，繪制殘差圖觀察其分布和散點(diǎn)模式。解析思路：(1)回歸系數(shù)表示自變量X每變化一個(gè)單位，因變量Y的期望變化量。(2)R2是判定系數(shù)，衡量模型擬合優(yōu)度，等于回歸平方和占總平方和的比例。這里給出了r，直接計(jì)算r2。(3)將X=40代入回歸方程計(jì)算預(yù)測值。(4)簡述殘差分析的基本思想和用途。五、(1)矩估計(jì)量：p?=k/n=5/100=0.05(2)拒絕域：p?>p?+z_(α/2)*√(p?(1-p?)/n)或p?<p?-z_(α/2)*√(p?(1-p?)/n)其中，統(tǒng)計(jì)量Z=(p?-p?)/√(p?(1-p?)/n)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。臨界值：z_(α/2)=z_(0.005)≈2.576（查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表）決策：因?yàn)閜?=0.05,n=100,p?=0.05計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=(0.05-0.05)/√(0.05*0.95/100)=0/√(0.0475/100)=0/√0.000475=0p值=P(Z>|0|)=P(Z>0)=0.5（或P(Z<0)=0.5）因?yàn)閜值=0.5>α=0.01，所以不拒絕H?。解析思路：(1)泊松分布的參數(shù)λ等于其均值，矩估計(jì)量是用樣本均值估計(jì)總體均值，所以λ?=x?，次品率p是泊松分布的參數(shù)λ的另一種形式，所以p?=k/n。(2)這是關(guān)于泊松分布參數(shù)p（或λ）的假設(shè)檢驗(yàn)問題。在樣本量n較大時(shí)，可用正態(tài)近似。采用Z檢驗(yàn)法。根據(jù)顯著性水平α和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z的分布，查找標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到臨界值。計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z的值。比較p值與α，做出拒絕或不拒絕原假設(shè)的決策。六、(1)似然函數(shù)：L(λ)=Π?^(n)[λ^(x?)*e^(-λ)]/x?!=[λ^(Σx?)*e^(-nλ)]/(Π?^(n)x?!)對數(shù)似然函數(shù)：lnL(λ)=Σx?lnλ-nλ-ln(Π?^(n)x?!)求導(dǎo)：d(lnL)/dλ=Σx?/λ-n令導(dǎo)數(shù)為0：Σx?/λ-n=0=>λ?=Σx?/n=x?極大似然估計(jì)量：λ?=x?(2)E(λ?)=E(x?)=E(1/n*ΣX?)=1/n*ΣE(X?)=1/n*n*λ=λ所以，λ?=x?是λ的無偏估計(jì)量。(3)樣本值：x?=3,x?=0,x?=2,x?=5,x?=1,x?=4,x?=2樣本均值：x?=(3+0+2+5+1+4+2)/7=17/7參數(shù)λ的極大似然估計(jì)值：λ?=17/7解析思路：(1)對于泊松分布，樣本的似然函數(shù)是獨(dú)立同分布樣本的概率密度函數(shù)的乘積。寫出似然函數(shù)，然后取對數(shù)得到對數(shù)似然函數(shù)，對參數(shù)λ求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，解出λ的表達(dá)式即為極大似然估計(jì)量。(2)證明估計(jì)量的無偏性，即證明E(估計(jì)量)等于被估計(jì)的參數(shù)。這里利用樣本均值的期望性質(zhì)。(3)將給定的樣本值代入極大似然估計(jì)量（樣本均值）的表達(dá)式中計(jì)算。七、F_U(u)=P(U≤u)=P(X?≤u,X?≤u,...,X?≤u)由于X?'s獨(dú)立同分布：F_U(u)=Π?^(n)P(X?≤u)=[F(x)]^n解析思路：統(tǒng)計(jì)量U是樣本中的最大值。P(U≤u)表示所有樣本點(diǎn)都小于或等于u的概率。由于樣本點(diǎn)相互獨(dú)立，這個(gè)概率等于每個(gè)樣本點(diǎn)小于或等于u的概率的乘積。每個(gè)樣本點(diǎn)都服從F(x)，所以乘積就是F(x)的n次方。八、(1)這是關(guān)于兩個(gè)正態(tài)總體均值μ?和μ?（方差未知但相等）的假設(shè)檢驗(yàn)問題。采用雙樣本t檢驗(yàn)（等方差）。已知：n?=30,x??=85,s?=10;n?=30,x??=80,s?=12合并方差：S2_p=[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2]/(n?+n?-2)=[(30-1)*102+(30-1)*122]/(30+30-2)=[29*100+29*144]/58=[2900+4176]/58=7076/58=1213.7931...≈1213.79合并標(biāo)準(zhǔn)差：S=√1213.79≈34.83檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：T=(x??-x??)/(S*√(1/n?+1/n?))=(85-80)/(34.83*√(1/30+1/30))=5/(34.83*√(2/30))=5/(34.83*(√2/√30))=5*(√30/√2)/34.83=5√15/34.83≈5*3.873/34.83≈19.365/34.83≈0.553自由度：df=n?+n?-2=58臨界值：t_(α/2,df)=t_(0.025,58)≈2.002（查t分布表）決策：因?yàn)閨T|≈0.553<2.002，所以不拒絕H?。解析思路：(1)這是關(guān)于兩個(gè)正態(tài)總體均值μ?和μ?（方差未知但相等）的假設(shè)檢驗(yàn)問題。采用雙樣本t檢驗(yàn)（等方差）。首先計(jì)算合并方差。接著計(jì)算t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T的值。根據(jù)顯著性水平α和自由度n?+n?-2，查找t分布表得到臨界值。比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與臨界值的絕對值，做出拒絕或不拒絕原假設(shè)的決策。(2)95%置信區(qū)間：CI=(x??-x??)±t_(α/2,df)*(S*√(1/n?+1/n?))=5±t_(0.025,58)*34.83