2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——空間幾何在機(jī)器人學(xué)中的作用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述向量在機(jī)器人學(xué)中用于表示位置、方向、速度和力的基本原理和意義。二、解釋齊次變換矩陣的構(gòu)成，并說(shuō)明其在機(jī)器人學(xué)中統(tǒng)一表示平移和旋轉(zhuǎn)變換的作用。三、已知一個(gè)二維機(jī)械臂，其第一個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角為θ1，第二個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角為θ2，臂長(zhǎng)分別為l1和l2。請(qǐng)推導(dǎo)其正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，用θ1和θ2表示末端執(zhí)行器的x和y坐標(biāo)。四、什么是機(jī)器人的工作空間？結(jié)合空間幾何的概念，簡(jiǎn)述確定一個(gè)具有兩個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和一段固定臂長(zhǎng)的平面機(jī)械臂可達(dá)工作空間的基本思路。五、描述歐拉角和四元數(shù)在表示三維物體姿態(tài)方面的優(yōu)缺點(diǎn)。在什么情況下使用四元數(shù)可能更優(yōu)越？六、定義雅可比矩陣，并解釋其在機(jī)器人學(xué)中計(jì)算末端執(zhí)行器速度與關(guān)節(jié)速度之間關(guān)系的作用。簡(jiǎn)述雅可比矩陣的逆在關(guān)節(jié)空間速度控制中的應(yīng)用。七、一個(gè)三自由度機(jī)器人手臂的基坐標(biāo)系到第一個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的變換矩陣為T(mén)01，第一個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系到第二個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的變換矩陣為T(mén)12，第二個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系到末端執(zhí)行器坐標(biāo)系的變換矩陣為T(mén)23。請(qǐng)寫(xiě)出從基坐標(biāo)系到末端執(zhí)行器坐標(biāo)系的齊次變換矩陣T03的表達(dá)式，并說(shuō)明各變換矩陣中旋轉(zhuǎn)和平移部分通常如何定義。八、簡(jiǎn)述逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的求解方法，并說(shuō)明當(dāng)存在多個(gè)解或無(wú)解時(shí)可能遇到的情況。對(duì)于無(wú)解的情況，可以簡(jiǎn)述一種處理策略。九、在機(jī)器人操作過(guò)程中，為何需要考慮幾何約束？舉例說(shuō)明一個(gè)存在幾何約束的機(jī)器人操作場(chǎng)景，并簡(jiǎn)述該約束對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的影響。十、設(shè)想一個(gè)簡(jiǎn)單的移動(dòng)機(jī)器人（如差分驅(qū)動(dòng)小車(chē)），其位置由(x,y)坐標(biāo)表示，朝向由θ角表示。如果已知其線速度v和角速度ω，請(qǐng)推導(dǎo)其位置和朝向隨時(shí)間變化的微分方程，并說(shuō)明該方程中涉及的空間幾何關(guān)系。試卷答案一、向量是具有大小和方向的量，在機(jī)器人學(xué)中用于精確表示機(jī)器人的位置（從基座到某點(diǎn)的位移）、方向（關(guān)節(jié)或執(zhí)行器的指向）、速度（末端執(zhí)行器或關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)快慢和方向）和力（作用在物體上的推拉）。向量運(yùn)算（如點(diǎn)積用于計(jì)算角度和距離，叉積用于確定旋轉(zhuǎn)軸，向量加法用于合成位移）是進(jìn)行坐標(biāo)變換、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)工具。二、齊次變換矩陣是一個(gè)4x4的矩陣，通常表示為[R|t;0|1]，其中R是3x3的旋轉(zhuǎn)矩陣，表示旋轉(zhuǎn)部分；t是3x1的平移向量，表示平移部分；0是3x1的零向量；1是右下角的標(biāo)定項(xiàng)。它通過(guò)將旋轉(zhuǎn)和平移合并到一個(gè)矩陣中，并引入齊次坐標(biāo)（為平移向量添加一個(gè)1），從而能夠統(tǒng)一、簡(jiǎn)潔地表示三維空間中的任意剛性變換（包括旋轉(zhuǎn)和平移），這對(duì)于建立和計(jì)算機(jī)器人手臂各關(guān)節(jié)之間的坐標(biāo)關(guān)系至關(guān)重要。三、正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程將關(guān)節(jié)角度映射到末端執(zhí)行器的位姿（位置和姿態(tài)）。設(shè)基坐標(biāo)系原點(diǎn)為O，第一個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)軸通過(guò)點(diǎn)O并沿Z1軸，第二個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)軸通過(guò)第一個(gè)關(guān)節(jié)末端點(diǎn)A并沿Z2軸，且垂直于Z1。末端執(zhí)行器末端點(diǎn)P的坐標(biāo)可以通過(guò)以下步驟計(jì)算：1.在Z1軸上取一點(diǎn)P1，使得OP1=l1。P1(x1,y1,z1)=(l1*sinθ1,l1*cosθ1,0)。2.在Z1軸和Z2軸構(gòu)成的平面內(nèi)，第二個(gè)臂段繞P1點(diǎn)旋轉(zhuǎn)θ2角，得到點(diǎn)P2。P2相對(duì)于P1的坐標(biāo)變化由旋轉(zhuǎn)矩陣Rz(θ2)引起。P2=P1+Rz(θ2)*[0;0;l2]=[l1*sinθ1;l1*cosθ1;0]+[0;0;l2]=(l1*sinθ1,l1*cosθ1,l2)。因此，末端執(zhí)行器的x=l1*sinθ1,y=l1*cosθ1,z=l2。注意，此解未考慮第一個(gè)關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)對(duì)x,y的影響，完整模型需考慮所有旋轉(zhuǎn)對(duì)位置的影響，通常使用Denavit-Hartenberg(D-H)參數(shù)法或齊次變換鏈進(jìn)行推導(dǎo)。四、機(jī)器人的工作空間是指機(jī)器人末端執(zhí)行器能夠到達(dá)的所有點(diǎn)的集合（可達(dá)workspace）或所有姿態(tài)的集合（可達(dá)orientationworkspace）。對(duì)于具有兩個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和一段固定臂長(zhǎng)的平面機(jī)械臂，其工作空間是平面上的一個(gè)區(qū)域。確定方法的基本思路是：1)建立坐標(biāo)系，定義基點(diǎn)和關(guān)節(jié)位置；2)根據(jù)臂長(zhǎng)和關(guān)節(jié)角度范圍，幾何地或代數(shù)地推導(dǎo)出末端執(zhí)行器能夠覆蓋的所有區(qū)域。例如，可以通過(guò)繪制不同關(guān)節(jié)角度下末端執(zhí)行器末點(diǎn)的軌跡來(lái)拼接出工作空間形狀。五、歐拉角使用三個(gè)角度表示物體的旋轉(zhuǎn)，直觀易懂，但存在萬(wàn)向鎖（GimbalLock）問(wèn)題，當(dāng)兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸重合時(shí)，失去一個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度，導(dǎo)致部分旋轉(zhuǎn)無(wú)法表示。四元數(shù)是表示三維旋轉(zhuǎn)的無(wú)窮小參數(shù)，沒(méi)有萬(wàn)向鎖問(wèn)題，能平滑地表示連續(xù)旋轉(zhuǎn)，且計(jì)算效率相對(duì)較高，在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和機(jī)器人學(xué)中常用于避免萬(wàn)向鎖、進(jìn)行姿態(tài)插值和計(jì)算。在需要表示快速連續(xù)旋轉(zhuǎn)或避免奇異性的場(chǎng)景中，四元數(shù)更優(yōu)越。六、雅可比矩陣(J)是一個(gè)nxm的矩陣，其中n是末端執(zhí)行器自由度數(shù)（通常為6，包括3個(gè)平移和3個(gè)旋轉(zhuǎn)），m是關(guān)節(jié)自由度數(shù)。它描述了在關(guān)節(jié)空間中的微小變化（dθ）如何引起末端執(zhí)行器在任務(wù)空間中的對(duì)應(yīng)變化（dX）。即dX=J*dθ。其逆雅可比矩陣J?1用于關(guān)節(jié)空間速度控制：關(guān)節(jié)速度ω=J?1*V，其中V是期望的末端執(zhí)行器速度。J?1的存在使得可以在關(guān)節(jié)空間中直接控制末端執(zhí)行器的軌跡，特別是在遠(yuǎn)離奇異點(diǎn)時(shí)。七、從基坐標(biāo)系T00=[I|0;0|1]開(kāi)始，到末端執(zhí)行器T03的齊次變換鏈為：T03=T01*T12*T23。其中T01表示基坐標(biāo)系到第一個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的變換，T12表示第一個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系到第二個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的變換，T23表示第二個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系到末端執(zhí)行器坐標(biāo)系的變換。每個(gè)變換矩陣Tij=[Rij|tij;0|1]，Rij是旋轉(zhuǎn)矩陣（描述旋轉(zhuǎn)），tij是平移向量（描述平移）。旋轉(zhuǎn)部分通過(guò)旋轉(zhuǎn)矩陣乘法累積，平移部分通過(guò)將前一個(gè)坐標(biāo)系下的平移向量乘以當(dāng)前旋轉(zhuǎn)矩陣，然后加上前一個(gè)坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)向量來(lái)累積。八、逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的求解方法包括：解析法（通過(guò)幾何推導(dǎo)或代數(shù)方程求解得到關(guān)節(jié)角度的精確公式，適用于簡(jiǎn)單機(jī)器人）、數(shù)值法（如牛頓法、雅可比反演法等迭代求解，適用于復(fù)雜或無(wú)解析解