2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)中的非線性動力學(xué)考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項的字母填在括號內(nèi)）1.在非線性動力學(xué)中，描述系統(tǒng)長期行為對初始條件敏感的現(xiàn)象稱為？(A)對稱性破缺(B)分岔(C)遍歷性(D)確定性混沌2.對于一維非線性自治常微分方程dx/dt=f(x)，若x?是f(x)的一個簡單零點（即f'(x?)≠0），則x?作為平衡點的穩(wěn)定性由什么決定？(A)x?的大小(B)f(x)在x?附近的Lipschitz指數(shù)(C)f'(x?)的符號(D)x?是否為極值點3.以下哪個系統(tǒng)是一階常微分方程組，常用于研究二維相空間中的動力學(xué)行為？(A)邏輯斯蒂映射(B)羅杰斯泰因系統(tǒng)(C)Duffing方程(D)范德波爾方程4.在分岔理論中，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)越過某個臨界值時，原有的平衡點或周期解消失，同時出現(xiàn)新的平衡點或周期解的現(xiàn)象，通常稱為？(A)鞍結(jié)分岔(B)Hopf分岔(C)跨臨界分岔(D)突遷分岔5.李雅普諾夫指數(shù)是描述系統(tǒng)在相空間中流擴(kuò)張或收縮快慢的量。對于一個混沌系統(tǒng)，其李雅普諾夫指數(shù)譜中必定包含？(A)一個正的李雅普諾夫指數(shù)(B)一個負(fù)的李雅普諾夫指數(shù)(C)無窮多個李雅普諾夫指數(shù)(D)零李雅普諾夫指數(shù)二、計算題（每小題10分，共30分）1.考慮二維自治系統(tǒng)：(dx/dt,dy/dt)=(x-y,x+ay-x2-y2)。求該系統(tǒng)在原點(0,0)處的雅可比矩陣，并判斷原點作為平衡點的穩(wěn)定性（穩(wěn)定、不穩(wěn)定、鞍點）。2.考慮一階離散映射x_{n+1}=r*x_n*(1-x_n)，其中r為參數(shù)。分析該映射在r=3.5附近的行為，描述其與r=3時的主要區(qū)別。3.對于范德波爾方程dx/dt=μx-x3，其中μ>0。定性分析參數(shù)μ變化時，系統(tǒng)平衡點數(shù)量和類型的變化情況（提示：分析x2=μ為判別式）。三、證明題（每小題15分，共30分）1.證明：對于一階自治常微分方程dx/dt=f(x)，如果存在一個函數(shù)V(x)滿足沿系統(tǒng)流V(x)是非增的（dV/dt≤0），且僅在平衡點處V(x)取常數(shù)，則該平衡點是穩(wěn)定的。2.證明：邏輯斯蒂映射x_{n+1}=r*x_n*(1-x_n)在r∈(3,1+√6)范圍內(nèi)存在混沌現(xiàn)象（提示：說明在該范圍內(nèi)存在周期點，并證明存在正的李雅普諾夫指數(shù)）。四、綜合應(yīng)用題（20分）考慮描述捕食者-食餌系統(tǒng)的羅杰斯泰因方程組：dx/dt=x(α-βy-γx2)dy/dt=-y(δ-x)其中α,β,γ,δ為正常數(shù)。分析該系統(tǒng)可能存在的平衡點，并討論當(dāng)參數(shù)變化時，系統(tǒng)可能出現(xiàn)哪些類型的動力學(xué)行為（如穩(wěn)定平衡點、周期解、混沌等，需說明變化趨勢）。試卷答案一、選擇題1.D2.C3.B4.A5.A二、計算題1.解：在原點(0,0)處，系統(tǒng)的雅可比矩陣為：J(0,0)=|?(dx/dt)/?x?(dx/dt)/?y|=|1-0-1-0|=|1-1||?(dy/dt)/?x?(dy/dt)/?y||μ-2x-1-2y||μ0|=|1-1||μ0|計算特征值：det(J-λI)=(1-λ)(0-λ)-(-1)(μ)=λ(λ-1)+μ=λ2-λ+μ=0特征方程為λ2-λ+μ=0。其判別式Δ=(-1)2-4*1*μ=1-4μ。-當(dāng)μ>1/4時，Δ<0，特征值為一對具有正實部的共軛復(fù)數(shù)，原點不穩(wěn)定（鞍點或焦點型不穩(wěn)定）。-當(dāng)μ=1/4時，Δ=0，特征值為正的重根，原點不穩(wěn)定（節(jié)點型不穩(wěn)定）。-當(dāng)μ<1/4時，Δ>0，特征值為一正一負(fù)，原點為鞍點。結(jié)論：需要根據(jù)具體的μ值判斷。若μ>1/4，原點不穩(wěn)定；若μ=1/4，原點不穩(wěn)定；若μ<1/4，原點為鞍點。（注：題目要求判斷穩(wěn)定性，對于不穩(wěn)定情況，通常指鞍點或至少是焦點/節(jié)點型不穩(wěn)定。若需唯一答案，需明確μ的范圍或假設(shè)μ>0但小于1/4，此時為鞍點。按常規(guī)選擇題設(shè)，可能預(yù)設(shè)μ>0。此處提供通用解法。）2.解：f(x)=r*x*(1-x)。f'(x)=r(1-2x)。-當(dāng)r∈[0,1]時，x=1是唯一平衡點，f'(1)=r(1-2)=-r<0，故x=1穩(wěn)定。-當(dāng)r∈[3,4]時，f(x)=0有三個解：x=0,x=1-r,x=1。其中x=1-r在(0,1)內(nèi)。f'(0)=r>0,穩(wěn)定；f'(1-r)=r(1-2(1-r))=r(2r-1)。若3<r<1+√6，則2r-1>0，f'(1-r)>0，故x=1-r不穩(wěn)定。f'(1)=-r<0,不穩(wěn)定。此時系統(tǒng)有兩個平衡點：x=0穩(wěn)定，x=1-r不穩(wěn)定。在r>1時系統(tǒng)有至少一個不穩(wěn)定平衡點。-當(dāng)r>1+√6時，f(x)=0有三個解：x=0,x=1-r(不穩(wěn)定),x=1(不穩(wěn)定)。此時系統(tǒng)存在兩個不穩(wěn)定平衡點。-當(dāng)r=1+√6時，f'(1-r)=0，平衡點x=1-r處于鞍結(jié)分岔點。-當(dāng)r=3.5時，屬于r∈(3,1+√6)范圍。此時系統(tǒng)有兩個平衡點：x=0穩(wěn)定，x=1-r不穩(wěn)定。與r=3時（只有一個穩(wěn)定平衡點x=1）相比，多了x=1-r這個不穩(wěn)定平衡點。3.解：令x=0，得dy/dt=0，故y=0是一條積分曲線，x=0是所有積分曲線的交點，即系統(tǒng)存在一個平衡點x=0。令dx/dt=0，得μx-x3=0，即x(μ-x2)=0。解得x=0或x=±√μ。-當(dāng)μ>0時，存在三個平衡點：x=0,x=√μ,x=-√μ。-當(dāng)μ=0時，只有x=0一個平衡點。-當(dāng)μ<0時，無實數(shù)解，無平衡點。穩(wěn)定性分析（線性化）：-對于x=0：J=μ。當(dāng)μ>0時，J>0，不穩(wěn)定。-對于x=±√μ(μ>0)：J=-2x2=-2μ。當(dāng)μ>0時，J<0，穩(wěn)定。結(jié)論：當(dāng)μ>0時，系統(tǒng)有一個不穩(wěn)定平衡點x=0和兩個穩(wěn)定平衡點x=±√μ。隨著μ從正值減小到零，x=√μ的穩(wěn)定性由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定（經(jīng)歷霍普夫分岔），而x=-√μ的穩(wěn)定性保持穩(wěn)定，最終在μ=0時消失。三、證明題1.證明：設(shè)x?是平衡點，即f(x?)=0。考察函數(shù)V(x)=V?+∫??f(s)ds。沿系統(tǒng)流，dV/dt=f(x)。根據(jù)題意，dV/dt≤0，且僅在x=x?處V(x)取常數(shù)（即dV/dt=0當(dāng)且僅當(dāng)x=x?）。-對于任意軌跡x(t)≠x?，有dV/dt<0。這意味著V(x(t))是一個嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)。-由于V(x)在整個相空間有定義，且軌跡不會飛到無窮遠(yuǎn)（假設(shè)系統(tǒng)是有限的），V(x(t))必然趨向于某個極限V(∞)（可能是有限值或負(fù)無窮）。-另一方面，如果軌跡最終趨于某個點x*，則由連續(xù)性，x*也必須是V(x)的臨界點，即dV/dt|_(x=x*)=0。結(jié)合題意，這意味著x*=x?。-因此，對于所有偏離x?的軌跡，V(x(t))嚴(yán)格減小并最終趨于一個小于V(x?)的值（因為dV/dt≤0且在x?處取等號），即x(t)→x?當(dāng)t→∞。結(jié)論：平衡點x?是穩(wěn)定的。2.證明：首先證明存在周期點。-對于r=4，映射為x_{n+1}=4x_n(1-x_n)。令x=1/2，則x_{n+1}=4*(1/2)*(1-1/2)=1。x=1是一個2周期點（因為x_0=1/2->x_1=1->x_2=1/2）。-對于r>4，考慮區(qū)間[0,1/2]。映射f(x)=r*x*(1-x)在此區(qū)間內(nèi)遞增。若f(0)=0<1/2且f(1/2)=r/2(1-r/2)=r/2-r2/4。令f(1/2)=1/2，解得r=2±√2。取r>4，則r/2-r2/4<1/2，且f(1/2)<1/2。根據(jù)中值定理和單調(diào)性，存在唯一的x*∈(0,1/2)使得f(x*)=x*。這個x*是一個不動點。對f'(x)=r(1-2x)在x*處求值，f'(x*)=r(1-2x*)。當(dāng)r>4時，x*∈(0,1/2)，1-2x*<0，故|f'(x*)|<1。因此x*是一個吸引的不動點，且r>4時系統(tǒng)存在至少一個吸引的不動點。-更進(jìn)一步，可以證明在r>1+√6≈3.4495時，系統(tǒng)會失去所有吸引的不動點，進(jìn)入混沌狀態(tài)。例如，在r=4附近，通過倍周期分岔序列，周期解的周期和復(fù)雜度不斷增加。在r=r_∞≈4.6692時，系統(tǒng)經(jīng)歷托姆分岔，出現(xiàn)第一個混沌區(qū)間(r_∞,r_∞+δ)。-因此，在r∈(3,1+√6)內(nèi)（例如r=3.5），系統(tǒng)既有周期解（如r=4的x=1的2周期），也滿足混沌的某些特征（如對初始條件的敏感性，存在復(fù)雜的動力學(xué)行為）。-證明存在正的李雅普諾夫指數(shù)：混沌系統(tǒng)至少存在一個正的李雅普諾夫指數(shù)。在r>r_∞時，系統(tǒng)在Poincaré截面上表現(xiàn)出混沌，相空間軌跡會指數(shù)發(fā)散，對應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)譜中至少有一個λ>0。由于r=3.5<r_∞，雖然嚴(yán)格在倍周期分岔階段，但該區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)動力學(xué)已極其復(fù)雜，具有混沌的雛形，可以認(rèn)為存在正的李雅普諾夫指數(shù)（或至少在極限r(nóng)_∞時出現(xiàn)）。更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明需要構(gòu)造具體的Ljapunov函數(shù)或數(shù)值計算，但基于理論可知混沌系統(tǒng)必含正Lj指數(shù)。四、綜合應(yīng)用題解：令dx/dt=0,dy/dt=0。x(α-βy-γx2)=0=>x=0或α-βy-γx2=0-若x=0，則-y(δ-0)=0=>y=0。得平衡點(0,0)。-若α-βy-γx2=0，代入y=0得α=0，這與α>0矛盾。若y≠0，則βy=α-γx2。代入-y(δ-x)=0得δ-x=0=>x=δ。此時β(α-γδ2)=α-γδ2=0，這與α>0,γ>0,δ>0矛盾。因此，唯一平衡點是(0,0)。穩(wěn)定性分析（線性化）：在(0,0)處，雅可比矩陣為J=|?(dx/dt)/?x?(dx/dt)/?y|=|-β-0|=|-β0||?(dy/dt)/?x?(dy/dt)/?y||0-δ|特征方程為det(J-λI)=(-β-λ)(-δ-λ)=0=>λ?=-β,λ?=-δ。由于α,β,γ,δ>0，故λ?<0,λ?<0。結(jié)論：平衡點(0,0)是穩(wěn)定的節(jié)點。分析動力學(xué)行為隨參數(shù)變化：-對于平衡點(0,0)，其穩(wěn)定性由λ?,λ?的負(fù)值保證。若α,β,γ,δ均為固定正常數(shù)，則(0,0)始終是穩(wěn)定節(jié)點。-該系統(tǒng)是自治的，不顯含時間。其動力學(xué)行為由相空間軌跡決定。雖然只有一個平衡點，但相軌跡的分布和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可能隨參數(shù)變化。-若考慮非線性項γx2的影響，平衡點(0,0)的穩(wěn)定性區(qū)域可能存在限制。當(dāng)γx2項顯著時，可能需要更復(fù)雜的分析（如考慮非線性穩(wěn)定性或分岔）。-該系統(tǒng)是二維的，可能存在極限環(huán)。例如，通過添加恢復(fù)力項（如非線性阻尼項）或引入外部驅(qū)動，可以形成穩(wěn)定的或不穩(wěn)定的極限環(huán)，表現(xiàn)為周期振蕩行為。-若系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌行為，通常需要三維或更高維的系統(tǒng)。二維自治系統(tǒng)最多有雙曲平衡點（鞍點或焦點），其全局動力學(xué)由龐加萊-伯克霍夫-維