第二章二次函數(shù)3確定二次函數(shù)的表達(dá)式第1課時(shí)由兩點(diǎn)確定二次函數(shù)表達(dá)式

1.

在二次函數(shù)的一般形式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，

若已知a，b，c中的一個(gè)系數(shù)，則可根據(jù)圖象上

兩

個(gè)

點(diǎn)的坐標(biāo)求出函數(shù)表達(dá)式.2.

在二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x－h(huán)）2＋k中，根

據(jù)

頂點(diǎn)坐標(biāo)

和圖象上

另一

個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可求出

函數(shù)表達(dá)式.兩頂點(diǎn)坐標(biāo)另一

已知兩點(diǎn)求二次函數(shù)表達(dá)式【例1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝

x2＋px＋q的圖象過(guò)點(diǎn)（－1，0），（2，0）.（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求當(dāng)－2≤x≤1時(shí)，y的最大值與最小值的差；

（3）若一次函數(shù)y＝（2－m）x＋2－m的圖象與二次函

數(shù)y＝x2＋px＋q的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是a和b，且a

＜3＜b，求m的取值范圍.解：（3）由題意知y＝（2－m）x＋2－m與二次函數(shù)y

＝x2－x－2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a和b，∴x2－x－2＝（2－m）x＋2－m，解得x1＝－1，x2＝4－m.∵a＜3＜b，∴a＝－1，b＝4－m＞3，解得m＜1，即m的取值范圍是m＜1.

本例根據(jù)已知兩點(diǎn)列出二元一次方程組，求出二次

函數(shù)的表達(dá)式，再利用函數(shù)圖象上的點(diǎn)求出最大值和最

小值的差，然后利用交點(diǎn)坐標(biāo)求出m的取值范圍，主要

考查利用函數(shù)圖象的基本性質(zhì)解決問(wèn)題.

已知頂點(diǎn)和其中一點(diǎn)求二次函數(shù)表達(dá)式

（1）求二次函數(shù)y2的表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

在求二次函數(shù)y2圖象的表達(dá)式時(shí)，因?yàn)橛袃蓚€(gè)待定

系數(shù)，所以需要兩個(gè)條件，這兩個(gè)條件是點(diǎn)A的坐標(biāo)和

點(diǎn)A是二次函數(shù)y2的圖象的最高點(diǎn).在求CD的最大值

時(shí)，首先用函數(shù)關(guān)系式表示，再進(jìn)行配方，最后根據(jù)二

次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.本例中的解題方法值得借鑒.

1.

設(shè)函數(shù)y＝a（x－h(huán)）2＋k（a，h，k是實(shí)數(shù)，

a≠0），當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝8時(shí)，y＝8.下列說(shuō)法

正確的是（C）A.

若h＝4，則a＜0B.

若h＝5，則a＞0C.

若h＝6，則a＜0D.

若h＝7，則a＞0C2.

若拋物線的頂點(diǎn)為（1，－4），與y軸交于點(diǎn)（0，－

3），則該拋物線的表達(dá)式為（A）A.

y＝x2－2x－3B.

y＝x2＋2x－3C.

y＝x2－2x＋3D.

y＝x2－3x－3A3.

某景點(diǎn)的“噴水巨龍”口中C處的水流呈拋物線形，

該水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系

如圖所示，D為該水流的最高點(diǎn)，DA⊥OB，垂足為A.

已知OC＝OB＝8

m，OA＝2

m，則該水流距水平面的最

大高度AD的長(zhǎng)度為（A）A.9

mB.10

mC.11

mD.12

m第3題圖A4.

若二次函數(shù)y＝ax2＋4ax＋c的最大值為4，且圖象過(guò)點(diǎn)

（－3，0），則二次函數(shù)表達(dá)式為

y＝－4（x＋2）2＋.y＝－4（x＋2）2＋4

第5題圖6.

已知點(diǎn)（0，3）在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象上，

且當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y有最小值2.（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；y＝x2－2x＋3.（2）如果兩個(gè)不同的點(diǎn)C（m，6），D（n，6）也在這

個(gè)函數(shù)的圖象上，求m＋n的值.2.7.

已知二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A（－

1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D.

第7題圖（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；y＝－x2＋2x＋3.（2）連接BC，CD，BD，P為BD的中點(diǎn)，連接CP，則線段CP的長(zhǎng)是

.

8.

已知二次函數(shù)y＝x2－bx＋c（b，c為常數(shù)）圖象的頂

點(diǎn)坐標(biāo)為（2，－1）.（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；解：（1）根據(jù)題意，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，－1），∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝（x－2）2－1，即y＝x2－4x＋3.（2）點(diǎn)M（t－1，y1），N（t，y2）在該二次函數(shù)的圖

象上，當(dāng)t＜1時(shí)，比較y1與y2的大?。唤猓海?）由題意知圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2，而t＜1，∴點(diǎn)M（t－1，y1），N（t，y2）在對(duì)稱軸左側(cè)的圖象上.∵t－1＜t，∴y1＞y2.（3）若點(diǎn)P（m，n）在該二次函數(shù)的圖象上，求m－n

的最大值.

9.

如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)D的坐標(biāo)是

（0，8），以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)x

軸上的點(diǎn)A，B，則此拋物線的表達(dá)式為

y＝－2x2＋16x－24

.y＝－2x2＋16x－24

第9題圖10.

（河南模擬）如圖，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象

與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且關(guān)于直線x＝1

對(duì)稱，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－1，0）.第10題圖（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）連接BC，若點(diǎn)P在y軸上時(shí)，BP和BC的夾角為

15°，求線段CP的長(zhǎng)度.解：（2）如圖所示.由拋物線表達(dá)式知C（0，－3），則OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°.若點(diǎn)P在點(diǎn)C上方，則∠OBP＝30°，

若點(diǎn)P在點(diǎn)C下方，則∠OBP'＝60°，

y＝x2－

12.

如圖，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸相交于

A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝2，頂

點(diǎn)為D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）.第12題圖（1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（1，0）

，點(diǎn)D的坐標(biāo)為

（2，－1）

，該二次函數(shù)的表達(dá)式為

y＝x2－4x＋3

.（1，0）（2，－1）y＝x2－4x＋3

第12題圖

第12題圖（3）P是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使

△PAC是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)

P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.第12題圖

（黑龍江中考）如圖，拋物線y＝x2＋bx