第二章二次函數(shù)3確定二次函數(shù)的表達(dá)式第2課時(shí)由三點(diǎn)確定二次函數(shù)表達(dá)式

1.

由三點(diǎn)確定二次函數(shù)表達(dá)式時(shí)，因一般式y(tǒng)＝ax2＋bx

＋c（a≠0）中含有三個(gè)待定系數(shù)，所以用待定系數(shù)法求

二次函數(shù)表達(dá)式時(shí)，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入表達(dá)式，組成

三元

一次方程組

，求出待定系數(shù)的值.三元

一次方程組2.

若已知函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)函數(shù)表達(dá)式為頂點(diǎn)

式

y＝a（x－h(huán)）2＋k（a≠0）

；若已知的三點(diǎn)中有

兩點(diǎn)是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)函數(shù)表達(dá)式為兩

點(diǎn)式

y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）

，再列方程

或方程組求解.y＝a（x－h(huán)）2＋k（a≠0）y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）

根據(jù)三個(gè)點(diǎn)求函數(shù)表達(dá)式【例1】如圖是一條拋物線的圖象，則其表達(dá)式為

（B）BA.

y＝x2－2x＋3B.

y＝x2－2x－3C.

y＝x2＋2x＋3D.

y＝x2＋2x－3

先從圖象上獲得拋物線所經(jīng)過(guò)的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再

利用待定系數(shù)法求解，這是數(shù)形結(jié)合的最好體現(xiàn).

綜合運(yùn)用【例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O（0，

0），A（5，0），B（4，4）.（1）求過(guò)O，A，B三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；

解：（2）連接OM，MB，BA，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥x軸交直

線OB于點(diǎn)G，如圖所示.設(shè)OB的表達(dá)式為y＝kx，代入B（4，4），得4k＝4，解得k＝1，∴OB的表達(dá)式為y＝x.（2）在第一象限的拋物線上存在點(diǎn)M，使O，A，B，

M為頂點(diǎn)的四邊形的面積最大，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

二次函數(shù)的綜合運(yùn)用有兩種形式：一是二次函數(shù)的

圖象及其性質(zhì)的綜合運(yùn)用，大多數(shù)問(wèn)題為解決求極值問(wèn)

題；二是二次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合，利用函數(shù)圖象性質(zhì)

和幾何圖形性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，多數(shù)會(huì)涉及分類(lèi)討論.

1.

已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（－1，1），（－2，－

3），（1，－3）三點(diǎn)，則這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為

（B）A.

y＝2x2＋2x－1B.

y＝－2x2－2x＋1C.

y＝2x2－2x＋1D.

y＝－2x2－2x－1B2.

若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）和B（－1，0），且與y軸

交于點(diǎn)C，若OC＝2，則這條拋物線的表達(dá)式是

（D）A.

y＝x2－x－2B.

y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2C.

y＝－x2＋x＋2D.

y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2D3.

如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂高離水面2

m時(shí)，水面寬

4

m，若水面下降2.5

m，則水面寬度增加（B

）第3題圖BA.1

mB.2

mC.3

mD.6

m4.

若某二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線y＝3x2相同，且頂

點(diǎn)坐標(biāo)為（0，－2），則它的表達(dá)式為

y＝3x2－2或y

＝－3x2－2

.y＝3x2－2或y

＝－3x2－25.

（濮陽(yáng)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知一個(gè)二

次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值滿足

下表：x…－2－1012…y…50－3－4－3…（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；y＝x2－2x－3.（2）點(diǎn)A（4，y1）和B（x2，y2）在這個(gè)二次函數(shù)的圖

象上，且y1＞y2，則x2的取值范圍是

－2＜x2＜4

；（3）若直線y＝－x＋b與x軸，y軸分別交于點(diǎn)M和點(diǎn)

N，線段MN與二次函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，直接寫(xiě)出

b的取值范圍.－3≤b≤－1或b≥3.－2＜x2＜4x…－2－1012…y…50－3－4－3…6.

已知過(guò)點(diǎn)A（3，0）的直線l1：y＝x＋b與直線l2：y

＝－2x交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)為B.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）如果拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，求拋物線的

表達(dá)式；

（3）直線x＝－1分別與直線l1，l2交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)

拋物線y＝ax2＋bx＋c與線段CD有交點(diǎn)時(shí)，求a的取值

范圍.解：（3）∵直線x＝－1分別與直線l1，l2交于C，D兩點(diǎn)，∴C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（－1，－4），（－1，2），當(dāng)拋物線y＝ax2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)C時(shí)，a（－1－1）2－2＝－4，

7.

在“探索函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的系數(shù)a，b，c與圖象

的關(guān)系”活動(dòng)中，老師給出了直角坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)：A

（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）.同學(xué)

們探索了經(jīng)過(guò)這四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)的二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式各不相同，其中a的值最大為（

A）第7題圖A8.

如果二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的自變量x與函

數(shù)值y之間滿足下列數(shù)量關(guān)系：x－134y1010202那么（4a－2b＋c）（a－b＋c）＋6的值為

2026

.20269.

如圖，一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1），它的頂

點(diǎn)為B（1，3）.第9題圖（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；解：（1）∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為B（1，3），∴設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a（x－1）2＋3.∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1），

∴a（0－1）2＋3＝1，

解得a＝－2.∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－2（x－1）2＋3，即y＝－2x2＋4x＋1.

10.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知二

次函數(shù)y＝x2，四邊形OACB為矩形，點(diǎn)A，B在拋物線

上，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也在另一個(gè)二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，設(shè)C（x，y），則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為

y＝x2＋2

.y＝x2＋2

第10題圖11.

如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3），將線段OA繞點(diǎn)O

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到OB.

第11題圖（1）求經(jīng)過(guò)A，O，B三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)M是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x

軸交拋物線于點(diǎn)N，當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度取最大值時(shí)，求點(diǎn)

M的坐標(biāo).

12.

（駐馬店模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y

＝－x＋3與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，拋物線y＝

ax2＋bx＋c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B與點(diǎn)C（－1，0）.第12題圖（1）求拋物線的表達(dá)式；解：（1）∵直線y＝－x＋3與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，∴A（3，0），B（0，3），把A（3，0），B（0，3），C（－1，0）代入y＝ax2＋bx＋c

（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，

B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，交線段AB于

點(diǎn)E.

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.求△PAB的面積y關(guān)于m的函

數(shù)表達(dá)式.