2/2專題全等三角形模型之截長補短模型與手拉手模型目錄A題型建模?專項突破TOC\o"1-2"\h\u題型一、全等三角形模型之截長補短模型 1題型二、全等三角形模型之手拉手模型 6B綜合攻堅?能力躍升題型一、全等三角形模型之截長補短模型【常見模型及證法】（1）截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。例：如圖，求證BE+DC=AD。方法：=1\*GB3①在AD上取一點F，使得AF=BE，證DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一點F，使DF=DC，證AF=BE。補短：將短線段延長，證與長線段相等。例1．現(xiàn)閱讀下面的材料，然后解答問題：截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種常見輔助線的做法．在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應(yīng)用．截長法：在較長的線段上截一條線段等于較短線段，而后再證明剩余的線段與另一段線段相等．補短法：就是延長較短線段與較長線段相等，而后證延長的部分等于另一條線段．請用截長法解決問題（1）（1）已知：如圖1等腰直角三角形中，，是角平分線，交邊于點．求證：．請用補短法解決問題（2）（2）如圖2，已知，如圖2，在中，，是的角平分線．求證：．例2．【閱讀】在證明線段和差問題時，經(jīng)常采用截長補短法，再利用全等圖形求線段的數(shù)量關(guān)系．截長法：將較長的線段截取為兩段，證明截取的兩段分別與給出的兩段相等．補短法：延長較短兩條線段中的一條，使得與較長線段相等，證明延長的那一段與另一條較短線段相等．【應(yīng)用】把兩個全等的直角三角形的斜邊重合，，組成一個四邊形，以D為頂點作，交邊于M、N．(1)若，，證明：；經(jīng)過思考，小紅得到了這樣的解題思路：利用補短法，延長到點E，使，連接，先證明，再證明，即可求得結(jié)論．按照小紅的思路，請寫出完整的證明過程；(2)當(dāng)時，三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？（直接寫出你的結(jié)論，不用證明）(3)如圖③，在（2）的條件下，若將M、N改在的延長線上，完成圖③，其余條件不變，則之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論．題型二、全等三角形模型之手拉手模型【常見模型及證法】1）雙等邊三角形型條件：△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。證明：∵△ABC和△DCE均為等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，過點C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分∠BFD。2）雙等腰直角三角形型條件：△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點N。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。證明：∵△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，過點C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分∠BND。3）雙等腰三角形型條件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C為公共點；連接BE，AD交于點F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。證明：∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，過點C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分∠BFD。例3．?dāng)?shù)學(xué)基本思想歸結(jié)為三個核心要素：抽象、推理、模型．圖形與幾何學(xué)習(xí)尤其需要我們從復(fù)雜的問題中進行抽象，形成一些基本幾何模型，用類比等方法，進行再探究、推理，以達到解決問題的目的(1)【模型探究】如圖1，和中，，且，連接．這一圖形稱為“手拉手模型”．求證，請你完善下列過程．證明：∵，∴（）①．即．…（）②(2)【類比推理】如圖2，中，，以B為端點引一條與腰相交的射線，在射線上取點D，使，求的度數(shù)．（提示：可構(gòu)建手拉手模型，在上找一點E，使）例4．在學(xué)習(xí)全等三角形知識時、數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．通過資料查詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”，興趣小組進行了如下操作：(1)如圖1、兩個等腰三角形和中，連接、、如果把小等腰三角形的腰長看作小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大手拉著小手，這個就是手拉手模型，在這個模型中，和全等的三角形是，此時和的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2、兩個等腰直角三角形和中，連接，，兩線交于點，請判斷線段和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，已知，以、為邊分別向外作等邊和等邊，連接，，兩線交于點，請直接寫出線段和的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)．一、填空題1．在四邊形中，，與互補，點E、F分別在射線、上，且，當(dāng)，，時，的周長等于．2．如圖所示，已知和都是等腰三角形，，連接，交于點，連接．下列結(jié)論：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正確結(jié)論的序號是．3．如圖，在中，和的平分線，相交于點，交于，交于，過點作于，下列四個結(jié)論：①；②當(dāng)時，；③若，，則．其中正確的是．（填寫正確的序號）4．如圖，點，，在同一直線上，在這條直線同側(cè)作等邊和等邊，連接和，交點為，交于點，交于點，連接、，有個結(jié)論：①，②，③，④，請將所有正確結(jié)論的序號填在橫線上．二、解答題5．如圖，交于，交于平分平分，直線經(jīng)過點并與分別交于點．

(1)如圖①，求證：；(2)如圖②，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明：若不成立，直接寫出三條線段的數(shù)量關(guān)系．6．兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，和是頂角相等的等腰三角形，、分別是底邊．求證：；(2)解決問題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點B、D、E在同一條直線上，為中邊上的高，連接，請判斷線段，，之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．(3)嘗試探究：如圖3，在（2）問的條件下，延長交于點P，與交于點N，連接，，，，求的長度．7．【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)課上，張老師給出如下問題：如圖1，平分，求證：．如圖2，小穎同學(xué)嘗試構(gòu)造“手拉手”模型，給出一種解題思路：過作，交于點，以此來證明陰影部分的三角形全等，得到．請你參考小穎的解題思路寫出證明過程．【類比分析】（2）張老師將圖1進行變換并提出了下面問題，請你解答：如圖3，，平分，求證：．【學(xué)以致用】（3）如圖4，在中，，，D是邊的中點，，與邊相交于點與邊相交于點．請直接寫出線段的值：___________．8．（1）問題發(fā)現(xiàn)：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，我們把具有這種規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形，如圖1，和是頂角相等的等腰三角形，即，，且，分別連接，．求證：；（2）類比探究：如圖2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一條直線上．請判斷線段與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并說明理由．（3）問題解決：如圖3，若和均為等腰直角三角形，且，，，點，，在同一條直線上，為中邊上的高，連接，若，，請直接寫出四邊形的面積．9．綜合與探究數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們以對角互補的四邊形為活動主題，開展了如下探究．(1)如圖1，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊上的點，且．請?zhí)骄烤€段之間的數(shù)量關(guān)系．下面是學(xué)習(xí)委員琳琳的解題過程，請將余下內(nèi)容補充完整．解：延長EB到G，使得，連接AG在和中∴，∴∴∴，∴……

(2)班長李浩發(fā)現(xiàn)在如圖2所示的四邊形中，若，E，F(xiàn)分別是邊上的點，且，（1）中的結(jié)論仍然是成立的，請你寫出結(jié)論并說明理由．

(3)如圖3，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊延長線上的點，且，請判斷線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

10．已知，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點，且．(1)為探究上述問題，小王同學(xué)先畫出了其中一種特殊情況，即如圖1，當(dāng)時．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點，使，連接．請你在圖1中添加上述輔助線，并補全下面的思路．小明的解題思路：先證明_____；再證明了_____，即可得出，，之間的數(shù)量關(guān)系為_____．(2)請你借鑒小王的方法探究圖2，當(dāng)時，上述結(jié)論是否依然成立，如果成立，請證明你的結(jié)論，如果不成立，請說明理由．(3)如圖3，若、分別是邊、延長線上的點，其他已知條件不變，此時線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為___________．（不用證明）11．【問題情境】在一次數(shù)學(xué)活動課上，九年一班同學(xué)用形狀相同的等腰三角形組合新圖形，并嘗試編制習(xí)題，下面是四個小組的探究情況．（1）一組：和是等腰直角三角形，．連接，構(gòu)建“手拉手”模型（如圖1），得到了；在此基礎(chǔ)上，又利用“蝴蝶型”，如圖2的劃斜線部分，得到了．二組：如圖3，和是等邊三角形，，連接的延長線與相交于點．猜想也能構(gòu)建上述兩種模型得到結(jié)論．請你模仿一組同學(xué)的思路，證明二組同學(xué)猜想的結(jié)論；【類比分析】（2）三組：如圖4，在和中，，連接．則與的數(shù)量關(guān)系為__________，直線與直線的夾角為__________；【變式拓展】（3）四組：只需用，就能構(gòu)建上面任一圖形．請你結(jié)合圖4，用一句話解釋這一過程_______；（4）四組：如圖5，和是等腰直角三角形，，，連接是線段的中點，連接．若，請你求出的長．12．問題探究：（1）如圖，在四邊形中，，，分別是上的點，且，探究圖