2/2第十三章三角形建議用時：120分鐘，滿分：120分選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．圖中以為邊的三角形有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了三角形的定義．根據(jù)三角形的定義（由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形）找出圖中的三角形．【詳解】解：以為邊的三角形有，共3個，故選：C．2．若一個三角形的三邊長分別為4，7，，則的值可能是（

）A．2 B．3 C．8 D．14【答案】C【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系列出不等式，即可求出a的取值范圍．【詳解】解：∵三角形的三邊長分別為4，7，a，∴7-4＜a＜7+4，即3＜a＜11，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，即任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．3．用直角三角板，作的高，下列作法正確的是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是作圖基本作圖，熟知三角形高線的定義是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)高線的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：A、B、C選項(xiàng)均不是高線，D選項(xiàng)是高線．故選：D．4．一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為5：4：9，這個三角形一定是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和，三角形的判定，能通過角度對三角形進(jìn)行分類是解題關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)三角形內(nèi)角分別為，三角形內(nèi)角和為，，解得：，故三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別為，，．故三角形為直角三角形．5．在，，，是邊上的中線，若的周長為45，的周長是（

）A．47 B．43 C．38 D．25【答案】B【分析】本題主要考查三角形的中線以及三角形的周長，掌握三角形的中線的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)的周長為45，可得，再結(jié)合三角形中線的定義，即可求解．【詳解】解：的周長為45，，是邊上的中線，，，，，的周長是．故選：B．6．小棗一筆畫成了如圖所示的圖形，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，由三角形外角的性質(zhì)可得，則可求出，由平角的定義和三角形外角的性質(zhì)可得．【詳解】解：如圖所示，∵，∴，∵，∴，∴，故選：B．7．如圖，在中，，點(diǎn)在的延長線上，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，即可求解．【詳解】解：由題意知，，，故選C．8．如圖，在中，已知點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，且，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查三角形的中線的性質(zhì)，根據(jù)三角形的中線平分面積，推出，即可．【詳解】解：∵點(diǎn)D，E分別為邊，上的中點(diǎn)，∴分別為的中線，∴，，，∴．故選：A．9．如圖，在中，是邊上高，是的角平分線，是邊上的中線，以下等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了三角形的高、角平分線、中線的定義，熟練掌握這些線段的定義是解題的關(guān)鍵．依據(jù)三角形的高、角平分線、中線的定義，對每個選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷．【詳解】解：選項(xiàng)A：∵是邊上的高，只有當(dāng)時，，題中未提及，∴與不一定相等，A選項(xiàng)錯誤．選項(xiàng)B：∵是的角平分線，根據(jù)角平分線定義，角平分線將一個角分成兩個相等的角，∴，B選項(xiàng)正確．選項(xiàng)C：∵是邊上的中線，中線是連接三角形頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的線段，與角的平分無關(guān)，∴與不一定相等，C選項(xiàng)錯誤．選項(xiàng)D：∵是角平分線分出的角，是高與邊形成的角，無必然相等關(guān)系（除非滿足特殊條件，題中未給出），∴與不一定相等，D選項(xiàng)錯誤．故選：．10．一副三角板按如圖所示放置，將含角的三角板固定，含角的三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，保持為銳角，旋轉(zhuǎn)過程中有下列結(jié)論：①；②若，則．③若，則；④若，則．其中正確的有（

）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④【答案】B【分析】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題是解本題的關(guān)鍵．由同角的余角相等可判斷①，求解從而可判斷②，證明可判斷③，畫好的示意圖，證明可判斷④，從而可得答案．【詳解】解：由題意可得：，，故①符合題意；如圖，，，，，與不平行，故②不符合題意；，，，∴，故③符合題意；如圖，當(dāng)時，，，，，，故④符合題意；故選：B．填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．如圖，在中，平分，平分，如果，那么°．【答案】【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．利用三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)三等分線的定義求出，即可求出．【詳解】，∴，∵平分平分，∴，∴∴，故答案為：．12．如圖：等于度．【答案】【分析】此題考查了三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)三角形內(nèi)角和為得到，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴故答案為：13．有4根長度分別為，，，的木棒，從中任意取3根，則這根木棒恰好能首尾相接構(gòu)成三角形的周長是．【答案】或【分析】本題考查了三角形三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形三邊的關(guān)系．根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，選出能圍成三角形的三條木棒，計(jì)算周長即可．【詳解】解：∵，，，，∴恰好能首尾相接構(gòu)成三角形的三根木棒長為：，，，或，，，∴這根木棒恰好能首尾相接構(gòu)成三角形的周長是或，故答案為：或．14．如圖，是的中線，E是的中點(diǎn)，連接．如果的面積是16，那么圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】本題考查三角形中線的性質(zhì)，三角形的面積，根據(jù)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分的知識進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵是的中線，的面積是16，∴∵E是的中點(diǎn)，∴，

∴陰影部分的面積為，故答案為：8．15．已知：如圖，，若為平面內(nèi)一點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)在直線之間時，于平分，連接，使，設(shè)，請寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義．延長交延長線于M，延長交于E，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理得到，結(jié)合平角定義和角平分線的定義得到，根據(jù)三角形外交的性質(zhì)求出，列等式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，延長交延長線于M，延長交于E，∵，，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴∵，，∴，即∴，故答案為：．三、解答題（共9小題，共75分）16．（6分）請你只用無刻度的直尺按要求作圖：如圖所示，在中，小張同學(xué)已畫出兩條邊，上的高，，請你畫出邊上的高．

【答案】作圖見解析【分析】本題考查作圖—復(fù)雜作圖，連接并延長交于，根據(jù)三角形的三條高相交于一點(diǎn)即可作出判斷．解題的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【詳解】解：如圖，連接并延長交于，∵在中，邊，上的高，交于點(diǎn)，∴線段為邊上的高，即線段即為所作．

17．（6分）若、、分別為三邊，化簡：．【答案】【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，化簡絕對值，先結(jié)合兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，得，再化簡，即可作答．【詳解】解：∵、、分別為三邊，∴，∴，則．18．（7分）如圖，分別交的邊于D、E，交延長線于F，若，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，再根據(jù)三角形一個外角的度數(shù)等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角度數(shù)之和進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，∵，∴．19．（7分）如圖，在中，于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若是的中線，，，的周長比周長小，求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題，三角形外角的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，熟知三角形的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）由垂線的定義可得，則由三角形內(nèi)角和定理可得，由三角形外角的性質(zhì)可得的度數(shù)，再由角平分線的定義可得的度數(shù)，據(jù)此由三角形內(nèi)角和定理可得答案；（2）由三角形中線的定義可得，則由三角形周長計(jì)算公式可得，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴．（2）解：∵是的中線，∴，∵的周長比周長小，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．20．（8分）如圖，在中，是的平分線，且．(1)試說明；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和性質(zhì)，角平分線有關(guān)的計(jì)算，三角形的外角性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先結(jié)合角平分線的性質(zhì)得，運(yùn)用三角形外角性質(zhì)以及，進(jìn)行角的等量代換得，即可證明；（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)，得出，再結(jié)合以及由（1）中，進(jìn)行計(jì)算，即可作答．【詳解】（1）解：∵是的平分線，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，由（1）得，即．21．（8分）如圖，，平分，點(diǎn)A，B，C分別是射線，，上的動點(diǎn)（點(diǎn)A，B，C不與點(diǎn)O重合），且，連接交射線于點(diǎn)D．(1)求的度數(shù)；(2)當(dāng)中有兩個相等的角時，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)或【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是要分兩種情況討論．（1）由角平分線定義得到，由平行線的性質(zhì)推出；（2）分和兩種情況，由三角形內(nèi)角和定理，即可計(jì)算．【詳解】（1）解：，平分，，，；（2）解：，，∴，當(dāng)時，；當(dāng)時，，，；或．22．（10分）【知識回顧】1．小學(xué)知識：三角形三個角的度數(shù)和是．2．課本再現(xiàn)：如圖Ⅰ，光線射向水平鏡面，在O處反射得到光線，此時．【問題探究】將可折疊的水平鏡面沿O處彎折，銳角的度數(shù)記為m，光線在E，F(xiàn)處經(jīng)過兩次反射得到光線．（1）如圖Ⅱ，光線與能否平行？為什么？（2）如圖Ⅲ，光線與交于點(diǎn)C，若，求m的值．【答案】（1）不平行，理由見解析；（2）【分析】（1）首先表示出，然后得到，進(jìn)而得到，進(jìn)而求解即可；（2）首先得到，然后求出，然后根據(jù)，列方程求解即可．【詳解】解：（1）不平行．如圖所示，由題意可得，．∴，∴∵，∴，∴，∵是銳角，∴m小于，∴小于，∴與的和不等于，∴與不平行；（2）如圖所示，∵，∴∵，∴∵，，∴∵，∴解得．【點(diǎn)睛】此題考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用，垂直的定義，三角形內(nèi)角和定理，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．23．（11分）如圖，在中，點(diǎn)D是上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是上的一點(diǎn)，相交于一點(diǎn)F．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖1，若為的中線．求的值；(3)如圖2，若是的角平分線．P、Q分別是線段上的點(diǎn)，射線分別與直線交于點(diǎn)M，與的平分線所在的直線相交于點(diǎn)H(不與點(diǎn)P重合)，設(shè)．當(dāng)時，請自行補(bǔ)全圖形，求出之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形中線的性質(zhì)，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．（1）由三角形外角的性質(zhì)可得的度數(shù)，進(jìn)而可得的度數(shù)；（2）連接，根據(jù)，可得，設(shè)，，則，由三角形中線的性質(zhì)得到，則，即可得到，解方程即可得到答案；（3）設(shè)，由三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義可得，再分點(diǎn)P在點(diǎn)E下方和點(diǎn)P在點(diǎn)E上方，兩種情況畫出示意圖，討論求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴；（2）解：如圖所示，連接，∵，∴，設(shè)，，∴，∵為的中線，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：設(shè)，∴，∵是的角平分線，∴，∴，∴；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E下方時，∵，∴，，∵的平分線所在的直線與射線交于H，∴，∴，∴，即；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E上方時，同理可得，∴，∴，∴，即；綜上所述，或．24．（12分）綜合與實(shí)踐在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，對有些具有特殊結(jié)構(gòu)，且結(jié)論又具有一般性的數(shù)學(xué)問題我們常將其作為一個數(shù)學(xué)模型加以識記，以積累和豐富自己的問題解決經(jīng)驗(yàn)．【結(jié)論發(fā)現(xiàn)】三角形的一個內(nèi)角平分線與另一內(nèi)角的外角平分線的夾角的度數(shù)是三角形第三內(nèi)角度數(shù)的一半．【結(jié)論探究】（1）如圖1所示，在中，是內(nèi)角平分線與外角的平分線的交點(diǎn)，則有，請給出證明過程．【簡單應(yīng)用】（2）如圖2所示，在中，，延長至，延長至，已知的平分線與的平分線及其反向延長線交于，求的度數(shù)．【變式拓展】（3）如圖3所示，四邊形的內(nèi)角與外角的平分線交于點(diǎn)．已知，，請直接寫出的度數(shù)．【答案