2/2專題三角形中的三線與內(nèi)外角目錄A題型建模?專項突破TOC\o"1-2"\h\u題型一、三角形的三邊關(guān)系化簡絕對值 1題型二、三角形中的三線計算問題 2題型三、三角形中的折疊求角度問題 6題型四、三角形的內(nèi)外角有關(guān)的問題 10B綜合攻堅?能力躍升題型一、三角形的三邊關(guān)系化簡絕對值1．（24-25七年級下·寧夏銀川·期中）若、、分別為三邊，化簡：．【答案】【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，化簡絕對值，先結(jié)合兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，得，再化簡，即可作答．【詳解】解：∵、、分別為三邊，∴，∴，則．2．已知的三邊長分別為a，b，c．(1)若，，且c為奇數(shù)，求c的值；(2)化簡：．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系，熟知三角形三邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，據(jù)此求出c的取值范圍即可得到答案；（2）根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可得，則，據(jù)此去絕對值求解即可．【詳解】（1）解：∵的三邊長分別為a，b，c，，，∴，∴，即，∵c為奇數(shù)，∴；（2）解：的三邊長分別為a，b，c，∴，∴，∴．3．（24-25七年級下·吉林長春·期中）已知的三邊長是．(1)若，且三角形的周長是小于的偶數(shù)，求的值；(2)化簡．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系、化簡絕對值，熟練掌握三角形三邊關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．（1）由三角形三邊關(guān)系結(jié)合三角形的周長是小于16的偶數(shù)，得出，即可得出答案；（2）由三角形三邊關(guān)系得，再利用絕對值的性質(zhì)化簡即可．【詳解】（1）解：的三邊長是，，，，，的周長是小于的偶數(shù)，，即，；（2）解：的三邊三邊長是a，b，c，，原式．題型二、三角形中的三線計算問題4．如圖，是的中線，已知．(1)求與的周長之差；(2)若邊上的高為，求邊上的高．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形中線將與的周長之差轉(zhuǎn)換為和的差即可得出答案；（2）設(shè)邊上的高為，根據(jù)三角形面積公式列出方程求解即可．【詳解】（1）解：的周長為，的周長為，∵是的邊上的中線，∴，∴；（2）設(shè)邊上的高為，∵是的中線，∴，∴，即，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形的中線，三角形的高等知識點(diǎn)，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵．5．（24-25七年級下·四川資陽·期末）如圖，在中，是高，是的平分線．(1)若，求：①的度數(shù)；②的度數(shù)．(2)若，求的長．【答案】(1)①，②(2)【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和性質(zhì)、角平分線的定義，三角形的等面積法求線段的長度，即可作答（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)得，再結(jié)合角平分線的定義得，再結(jié)合是高，得出的度數(shù)，再根據(jù)角的關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算得出的度數(shù)，即可作答．（2）運(yùn)用等面積法進(jìn)行列式，代入數(shù)值進(jìn)行化簡，即可作答．【詳解】（1）（1）解：①∵是高，∴，∴，∵，∴；②∵，∴，∵是的平分線，∴，∴；（2）解：∵是高，∴，，∵，∴，∴．6．在中，，為直線上任意一點(diǎn)，連結(jié)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．為邊上的高；（第一小問7分，第二小問2分，第三小問2分）【畫圖探究】（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)在邊上時，請畫出，猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【運(yùn)用】（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時，與的數(shù)量關(guān)系為___________【拓展】（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，、、之間的數(shù)量關(guān)系為___________；【答案】（1）作圖見解析；，證明見解析；（2），理由見解析；（3），理由見解析【分析】本題屬于三角形綜合題，考查中線平分三角形的面積，割補(bǔ)法求三角形的面積，（1）過點(diǎn)作交于一點(diǎn)，再根據(jù)列式化簡，即可得證；（2）同理得，根據(jù)點(diǎn)為中點(diǎn)時得，繼而推出，可得結(jié)論；（3）同理結(jié)合面積之間的關(guān)系列式化簡，即可得出結(jié)論．解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．【詳解】解：（1）依題意，邊上的高如下圖所示：，，之間的數(shù)量關(guān)系：．證明：∵，，，，∴，∴，∴；（2）與的數(shù)量關(guān)系為：．理由：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵，，，∴，∴，∴，∵，點(diǎn)為中點(diǎn)時，∴，即，∴，∴，故答案為：；（3），，之間的數(shù)量關(guān)系：．理由：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵，，，∴，∴，∴，故答案為：．題型三、三角形中的折疊求角度問題7．（24-25八年級上·安徽合肥·期中）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊和上，連接，將沿著直線折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)重合，連接，，平分，平分．(1)若，求的度數(shù)：(2)若，，求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義等知識，熟練掌握疏導(dǎo)他對于空間解答本題的關(guān)鍵．（1）由三角形內(nèi)角和定理求出，由角平分線定義得，再由三角形內(nèi)角和定理可求出；（2）設(shè)，則，求出根據(jù)可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，，且又平分，平分，∴∴；（2）解：設(shè)，則，由折疊得，∴∴而∵∴∵，∴∴∴∴．8．（24-25八年級上·北京·期中）把三角形紙片沿折疊．(1)如圖1，點(diǎn)落在四邊形內(nèi)部點(diǎn)A處時，與之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，寫出這種關(guān)系并證明；(2)如圖2，點(diǎn)落在四邊形外部點(diǎn)A處時，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，見解析(2)【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、折疊的性質(zhì)．（1）由折疊得到，，根據(jù)平角得到，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和得到，即可解決問題；（2）由折疊得到，，根據(jù)平角得到，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和得到，即可解決問題．【詳解】（1）解：．證明：∵三角形紙片沿折疊得到，∴，，∴，，又∵，∴，∴；（2）解：∵三角形紙片沿折疊得到，∴，，∴，，又∵，∴，∴．9．如圖（1）所示，把沿折疊，(1)當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形內(nèi)部時，與、之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請試著找一找這個規(guī)律，請你寫出規(guī)律并證明你的規(guī)律．(2)當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形上方時，與、之間數(shù)量關(guān)系是．(3)當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形下方時，與、之間數(shù)量關(guān)系是．【答案】(1)，證明見解析(2)(3)【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）由折疊的性質(zhì)可得，，由鄰補(bǔ)角的定義可得，，由三角形內(nèi)角和定理可得，由此計算即可得解；（2）由折疊的性質(zhì)可得，，從而得出，，由三角形內(nèi)角和定理可得，由此計算即可得解；（3）由折疊的性質(zhì)可得，，從而得出，，由三角形內(nèi)角和定理可得，由此計算即可得解．【詳解】（1）解：，證明如下：由折疊的性質(zhì)可得：，，∴，，∵，∴，∴，即；（2）解：由折疊的性質(zhì)可得：，，∴，，∵，∴，∴，即（3）解：由折疊的性質(zhì)可得：，，∴，，∵，∴，∴，即．題型四、三角形的內(nèi)外角有關(guān)的問題10．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，且平分交于點(diǎn)．(1)求的度數(shù)．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，外角定理，角平分線的計算，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，外角定理是解題的關(guān)鍵．（1）在中，由三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）先由外角定理求出，然后由角平分線求出，最后由三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】（1）解：，．在中，，；（2）解：是的外角，．，．平分，．在中，，．11．（24-25七年級下·全國·期中）如圖，中，D為邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E，F(xiàn)為邊上一點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)G，且．(1)試說明平分；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理；解題的關(guān)鍵是能融會貫通綜合運(yùn)用這些性質(zhì)和定理．（1）根據(jù)得到，結(jié)合，得到即可．（2）先求得，結(jié)合，三角形外角性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：因為，所以，，因為，所以，所以平分．（2）解：因為，，所以，，因為，所以，所以．12．（24-25七年級下·江蘇南通·期末）如圖，為的角平分線，點(diǎn)在上（不與重合），，延長交于點(diǎn)．(1)如圖1，若，則的度數(shù)為___________．(2)當(dāng)時，求證：；(3)如圖2，的角平分線交于點(diǎn)，請用一個等式表示三個角之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)角的平分線，對頂角相等，三角形內(nèi)角和定理計算解答即可．（2）根據(jù)（1）的證明解答即可；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，證明解答即可；本題考查了角的平分線，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，對等角相等，等量代換，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵為的角平分線，∴，∵，，∴，∵∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：．（2）解：∵為的角平分線，∴，∵，，∴，∵∴，∵，∴，∴，∴．（3）解：．理由如下：根據(jù)（2）解答，得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得，∴，∵的角平分線交于點(diǎn)，∴，故．一、單選題1．（24-25七年級下·甘肅蘭州·期末）如圖，在中，點(diǎn)分別是、的中點(diǎn)，且，則圖中陰影部分的面積為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】本題考查了三角形的中線，根據(jù)中線將三角形面積分為相等的兩部分可知：，，，依此即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，，∴，∵點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，∴，，∴．即陰影部分的面積等于4．故選：C．2．（24-25七年級下·廣東梅州·期中）作的邊上的高，下列作法中，正確的是（）A．B． C． D．【答案】D【分析】本題考查畫三角形的高線，熟練掌握三角形的高的定義是解題的關(guān)鍵根據(jù)三角形的高線的定義，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：作邊上的高，是從頂點(diǎn)出發(fā)，引對邊的垂線段，據(jù)此，符合題意的是；故選：D．3．（24-25七年級下·山東威?！て谀┤鐖D，在中，，是的平分線，外角，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的外角性質(zhì)．利用三角形的外角求出的度數(shù)，利用角平分線的性質(zhì)求出的度數(shù)，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵是的平分線，，∴，故選：C．二、填空題4．（13-14八年級上·甘肅嘉峪關(guān)·期末）已知、、是三角形的三邊長，化簡：．【答案】【分析】本題主要考查三角形三邊關(guān)系和絕對值的化簡，熟練掌握三角形三邊關(guān)系（兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊）以及絕對值的性質(zhì)（正數(shù)的絕對值是本身，負(fù)數(shù)的絕對值是其相反數(shù)）是解題的關(guān)鍵．利用三角形三邊關(guān)系判斷絕對值內(nèi)式子的正負(fù)，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡．【詳解】解：∵、、是三角形的三邊長根據(jù)三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊∴，即；，即∵正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)∴，則故答案為：．5．（24-25七年級下·山西運(yùn)城·期末）如圖，現(xiàn)有一張三角形紙片，點(diǎn)D，E分別是邊上的一點(diǎn)，將該紙片沿折疊，使得點(diǎn)A落在四邊形的外部點(diǎn)的位置，且點(diǎn)與點(diǎn)C在直線的異側(cè)．若，，且，則的度數(shù)為．【答案】/30度【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．連接，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，再由折疊的性質(zhì)可得，從而得到，，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，再由平行線的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴由折疊的性質(zhì)得：，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：6．（24-25七年級下·河南平頂山·期末）如圖，的面積為，第一次操作：分別延長，，至點(diǎn)，，，使，，，順次連接，得到；第二次操作：分別延長，，至點(diǎn)，，，使，，，順次連接，得到；…；按此規(guī)律，第次操作后，得到，要使的面積超過，則至少需要操作次．【答案】【分析】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，圖形規(guī)律，連接根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得出與的面積相等，根據(jù)得出的面積等于的面積的倍，等于，同理可得的面積為，的面積為，得出第一次操作后的，的面積為，根據(jù)規(guī)律得出第四次操作后的面積為，結(jié)合題意即可求解，掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，∵，面積為，∴與的面積相等，等于，∵，∴的面積等于的面積的倍，等于，同理可得的面積為，的面積為，∴的面積等于，同理可證，第二次操作后的面積為的面積的倍，等于；第三次操作后的面積為的面積的倍，等于；第四次操作后的面積為的面積的倍，等于；故按此規(guī)律，要使三角形的面積超過，至少操作次，故答案為：．三、解答題7．如圖所示，已知三角形的面積為20，，，求陰影部分的面積．【答案】【分析】本題考查了三角形中線有關(guān)的面積，由邊之間的關(guān)系得，，陰影部分的面積轉(zhuǎn)化成的面積，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)，，，，，，，，，解得∶，故陰影部分的面積為．8．（24-25七年級下·山東濟(jì)南·期中）如圖，中，平分，P為延長線上一點(diǎn)，于E，已知．(1)的度數(shù)為_______；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義以及對頂角，利用三角形內(nèi)角和定理及角平分線的定義，求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）在中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)；（2）結(jié)合角平分線的定義可得出的度數(shù)，在中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，結(jié)合對頂角相等可得出的度數(shù)，再在中利用三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵中，，，故答案為：．（2）解：∵平分，，在中，，，，，，．9．（24-25七年級下·河北石家莊·期末）如圖，在中，是角平分線，點(diǎn)D在邊上（不與點(diǎn)A，B重合），與交于點(diǎn)．(1)若是中線，，，則與的周長差為______；(2)若，是的高，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和是定理，三角形的外角定理，三角形角平分線的定義，三角形高的定義，理解三角形角平分線的定義和三角形高的定義，靈活運(yùn)用三角形的外角定理進(jìn)行角度的計算是解答此題的關(guān)鍵．（1）首先由是中線得，再分別求出和的周長，然后再求出它們的差即可；（2）先根據(jù)是的高得，再根據(jù)角平分線的定義求出，然后根據(jù)三角形的外角定理可得的度數(shù)．【詳解】（1）解：是中線，，，，的周長，則的周長，的周長的周長，故答案為：；（2）解：∵是的高，，，是的角平分線，，．10．（24-25七年級下·四川達(dá)州·期中）如圖，，平分，點(diǎn)A，B，C分別是射線，，上的動點(diǎn)（點(diǎn)A，B，C不與點(diǎn)O重合），且，連接交射線于點(diǎn)D．(1)求的度數(shù)；(2)當(dāng)中有兩個相等的角時，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)或【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是要分兩種情況討論．（1）由角平分線定義得到，由平行線的性質(zhì)推出；（2）分和兩種情況，由三角形內(nèi)角和定理，即可計算．【詳解】（1）解：，平分，，，；（2）解：，，∴，當(dāng)時，；當(dāng)時，，，；或．11．如圖1，在中，，D是上一點(diǎn)，且．(1)請說明；(2)如圖2，若平分，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，與相等嗎？請說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】本題考查了垂直的定義、對頂角相等、三角形的內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．（1）先求出，再根據(jù)等量代換可得，從而可得，由此即可得；（2）先根據(jù)角平分線的定義可得，再求出，然后根據(jù)對頂角相等可得，由此即可得．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：，理由如下：∵平分，∴，∵，∴，由（1）已得：，∴，∴，由對頂角相等得：，∴．12．（24-25七年級下·河南鄭州·期中）如圖，是的高，是的角平分線，是的中線．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，與的周長差為，求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握三角形的角平分線、中線和高定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)三角形的高的概念得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)角平分線的定義求出，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算即可；（2）根據(jù)三角形的中線的概念得到，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【詳解】（1）解：是的高，，是的角平分線，，，；（2）是中點(diǎn)，，與的周長差為，；，，．13．（24-25七年級下·河北石家莊·期末）已知，直線與交于點(diǎn)C，與交于點(diǎn)D，點(diǎn)C，D均不與點(diǎn)O重合，平分，平分．(1)如圖1，的度數(shù)為______；(2)如圖2，延長與交于點(diǎn)F，過E作射線與交于點(diǎn)G，且滿足．求證：．【答案】(1)(2)見詳解【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，內(nèi)錯角相等兩直線平行，弄清各角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知得，進(jìn)而得出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得答案；（2）根據(jù)角平分線定義得，進(jìn)而得，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得，然后結(jié)合已知可得，則答案可證．【詳解】（1）解：∵，平分，平分，∴，∴，∴；（2）解：∵平分，平分，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．14．（24-25八年級上·貴州六盤水·期末）如圖，在中，，分別為，的角平分線，與相交于點(diǎn)．(1)若，，則_____度；(2)求證：；(3)直接寫出與，，的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)見解析(