專題01全等三角形的判定與性質(zhì)目錄A題型建模?專項(xiàng)突破題型一、用SSS證明三角形全等 1題型二、全等的性質(zhì)和SSS綜合 2題型三、用SAS證明三角形全等 3題型四、全等的性質(zhì)和SAS綜合 5題型五、用ASA（AAS）證明三角形全等 6題型六、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合 8題型七、用HL證明三角形全等 8題型八、全等的性質(zhì)和HL綜合 8題型九、添加條件證明三角形全等 9題型十、尺規(guī)作圖中的全等問(wèn)題 11題型十一、全等三角形的證明大題 11題型十二、添加輔助線證明三角形全等 11題型十三、全等模型 11題型十四、全等三角形的綜合問(wèn)題 11B綜合攻堅(jiān)?能力躍升題型一、用SSS證明三角形全等1．如圖，這是雨傘在開(kāi)合過(guò)程中某時(shí)刻的截面圖，傘骨，D，E分別是的中點(diǎn)，是連接彈簧和傘骨的支架，且，則彈簧M在向上滑動(dòng)的過(guò)程中，總有（

）A． B．C．平分 D．【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．證明即可對(duì)各選項(xiàng)作出判斷．【詳解】解：∵D，E分別是的中點(diǎn)，∴；∵，∴；在與中，，∴，∴，即平分，故C正確；對(duì)于A、B、D三個(gè)選項(xiàng)，只在傘開(kāi)合的某一時(shí)刻正確；故選：C．2．如圖，D為外部一點(diǎn)，連接，已知．(1)尺規(guī)作圖：在內(nèi)求作一點(diǎn)M，使；（提示：以點(diǎn)A為圓心，為半徑畫?。辉僖渣c(diǎn)C為圓心，為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，連接）(2)①通過(guò)作圖可以得到：，；②判定的依據(jù)是（從或中選填）；(3)求．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①；②(3)【分析】本題考查作圖—復(fù)雜作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．（1）根據(jù)題意，以點(diǎn)A為圓心，為半徑畫弧，再以點(diǎn)C為圓心，為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，連接即可．（2）①根據(jù)題意可得答案．②結(jié)合全等三角形的判定可得答案．（3）結(jié)合全等三角形的判定可得，在中，，在中，，則可得．【詳解】解：（1）如圖，點(diǎn)M即為所求．（2）①通過(guò)作圖可以得到：．故答案為：；．②判定的依據(jù)是．故答案為：．（3）在中，，在中，．∵，∴．∴．3．如圖，A，B，C，D四點(diǎn)依次在同一條直線上，，，．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是全等三角形判定定理的應(yīng)用．先由得出，結(jié)合，，可通過(guò)證明，即可作答．【詳解】證明：∵，∴，∴，∵，，∴．4．莆仙戲是現(xiàn)存最古老的地方戲劇種之一，被稱為“宋元南戲的活化石”，該劇中“油紙傘”是最重要的道具．“油紙傘”的制作工藝十分巧妙．如圖，傘圈沿著傘柄滑動(dòng)時(shí)，總有傘骨，，從而使得傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的，為什么？【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，利用證明即可求解．【詳解】解：始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的，理由：在和中，，，，即平分．題型二、全等的性質(zhì)和SSS綜合5．如圖，點(diǎn)、、、在同一條直線上，，，(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練地掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.（1）先證明，再結(jié)合已知條件可得結(jié)論；（2）證明，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)論.【詳解】（1）證明：∵∴，即∵，∴（2）∵，，∴，∵，∴6．如圖，，，點(diǎn)在上．(1)平分嗎？為什么？(2)試說(shuō)明．【答案】(1)平分，理由見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)“邊邊邊”，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)“邊角邊”，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：平分，理由如下：在與中，，∴，∴，即平分．（2）解：由（1）可得：，在與中，得，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握全等三角形的判定定理與性質(zhì)．7．如圖，點(diǎn)在同一直線上，，，，與交于點(diǎn)．

(1)求證：．(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（）利用Z證明即可求證；（）利用全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解；本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：，.在和中，，；（2）解：，，，．8．如圖所示，、、、四點(diǎn)在同一條直線上，若，，，求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了等式的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由可推出，利用即可得出結(jié)論；（2）由（1）可得：，因而可得，由、、、四點(diǎn)在同一條直線上可得，于是得證．【詳解】（1）證明：，，即：，在和中，，；（2）證明：由（1）可得：，，、、、四點(diǎn)在同一條直線上，，．題型三、用SAS證明三角形全等9．如圖，在中，，是的中線，設(shè)長(zhǎng)為x，那么x的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造全等三角形，將已知邊和所求線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中．延長(zhǎng)到，使，證明，得到，再利用三角形三邊關(guān)系確定的取值范圍．【詳解】解：延長(zhǎng)到，使，∵是的中線在和中，，，在中，，∴，即，則．故答案為：．10．如圖，在和中，，，，則．【答案】45【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理．先證即可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)即可．熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵和中，，，，故答案為：45．11．如圖，，，，點(diǎn)，分別在，上，，延長(zhǎng)至點(diǎn)H，使得，連接．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)，推導(dǎo)出，進(jìn)而證明是解題的關(guān)鍵．（1）由，得，而，即可根據(jù)證明；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，推導(dǎo)出，因?yàn)?，且，所以，而，即可根?jù)證明，得，則．【詳解】（1）證明：，，．在與中．（2）由（1）得，，，．，，．在和中，．，，．12．如圖，在中，，，A，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，且．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)90，見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．（1）根據(jù)已知條件可依據(jù)“”判定和全等；（2）由得，根據(jù)可得．【詳解】（1）證明：在和中，，∴（）；（2）解：當(dāng)時(shí)，，理由如下：當(dāng)時(shí)，，由（1）可知：，∴，∵，∴．故答案為：90．題型四、全等的性質(zhì)和SAS綜合13．如圖，在和中，，，點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一直線上，連接交于點(diǎn)G．(1)試說(shuō)明：；(2)猜想有何特殊位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定、性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，可得，再根據(jù)，便可證得結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用全等三角形的性質(zhì)得，結(jié)合與內(nèi)角和，即可得．【詳解】（1）解：，．即．在和中，，．（2）解：，理由如下：，．，，，．．14．如圖，交于點(diǎn)是上一點(diǎn)，且．(1)試說(shuō)明．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角的性質(zhì)．（1）先證明，進(jìn)而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得證；（2）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】（1）證明：，，即：，在和中，，，；（2）解：是和的外角，，，，，，，，．15．如圖，在中，，D，E分別是的中點(diǎn)，連接相交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證得成為解題的關(guān)鍵．（1）利用線段中點(diǎn)的定義得到，再證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論得到，然后根據(jù)線段的和差即可解答．【詳解】（1）證明：∵D，E分別是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．（2）解：∵，∴，∴．16．如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)B，C不重合），連接，作，交線段于點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)當(dāng)線段的長(zhǎng)度是多少時(shí)，？請(qǐng)寫出證明過(guò)程．【答案】(1)(2)時(shí)，，見(jiàn)解析【分析】本題考查的是角的和差運(yùn)算，內(nèi)角和定理的應(yīng)用，全等三角形的判定；（1）直接利用平角的定義求解即可；（2）先證明，再結(jié)合即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，∴．（2）證明：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，在中，．∵，∴．在和中，∴．題型五、用ASA（AAS）證明三角形全等17．如圖，已知．(1)若，求證：；(2)若要用“”為依據(jù)證明，則需要添加的條件是_______，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，見(jiàn)解析【分析】此題考查全等三角形的判定定理，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)即可證明；（2）添加，即可根據(jù)證明；【詳解】（1）證明：在和中，，．（2）解：；

理由如下：在和中，，．故答案為：．18．課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉在兩墻之間，如圖所示，(1)求證：；(2)已知，請(qǐng)你幫小明求出砌墻磚塊的厚度α的大小和墻的高（每塊磚的厚度都為）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；（1）根據(jù)等角的余角相等求出，即可利用證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)即可求出，然后進(jìn)一步計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵是等腰直角三角形，∴，，由題意知，∴，∴，在和中，，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∴．19．如圖，，，，點(diǎn)在邊上，與相交于點(diǎn)．(1)試說(shuō)明：．(2)若，，，求與的周長(zhǎng)之和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（）由得，進(jìn)而由即可求證；（）由已知可得，由全等三角形的性質(zhì)得，，又由三角形的周長(zhǎng)公式可得與的周長(zhǎng)之和，代入計(jì)算即可求解；本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，在和中，，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，，∴與的周長(zhǎng)之和．20．將兩塊全等的含角的直角三角板按圖1的方式放置，已知，．(1)固定三角板，然后將三角板繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖2的位置，與分別交于點(diǎn)D、E，與交于點(diǎn)F．①填空：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于時(shí)，___________度；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于多少度時(shí)，與垂直？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)將圖2中的三角板繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖3的位置，使，與交于點(diǎn)D，試說(shuō)明．【答案】(1)①；②旋轉(zhuǎn)角為(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)．（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，則利用互余得到，然后根據(jù)進(jìn)行計(jì)算；②利用與垂直得，則，根據(jù)對(duì)頂角相等得，由于，利用三角形內(nèi)角和定理得，所以，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得到旋轉(zhuǎn)角等于時(shí)，與垂直；（2）先證明，再證明，然后證明，最后證明．【詳解】（1）解：∵將三角板繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖2所示的位置，∴，∴，∴；故答案為：160；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于時(shí)，與垂直．理由如下：當(dāng)與垂直時(shí)，，∴，∴，∵，∴，∴；即旋轉(zhuǎn)角等于時(shí)，與垂直；（2）解：連接，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴.題型六、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合21．如圖，在等腰中，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)如圖①，當(dāng)直線在外部時(shí)，可得，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖②，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)內(nèi)部且點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，判斷（1）中結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)不成立，見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理為解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂線性質(zhì)得到，證明，得到，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）通過(guò)證明，得到，結(jié)合，得到，從而得出（1）中結(jié)論不成立．【詳解】（1）解：于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，又，，在和中，，，，，；（2）（1）中結(jié)論不成立，理由如下：，，，，又，，在和中，，，，，．則不成立．22．如圖1，在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且于，于E．(1)求證：；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)、、具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)，證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握此知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)同角的余角相等可得，，從而即可得出；（2）根據(jù)同角的余角相等可得，，從而即可得出，由全等三角形的性質(zhì)即可得解；（3）根據(jù)同角的余角相等可得，，從而即可得出，由全等三角形的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）證明：，，，，，，，，，．（2）解：，，，，，，，，∴，，，．（3）解：，，，，，，，，，∴，，，．23．問(wèn)題情境：如圖①，在直角三角形中，于點(diǎn)D，可知：（不需要證明）．特例探究：如圖②，，射線在這個(gè)角的內(nèi)部，點(diǎn)在的邊上，且于點(diǎn)于點(diǎn)D．證明：；歸納證明：如圖③，點(diǎn)在的邊上，點(diǎn)在內(nèi)部的射線上，分別是的外角．已知．求證：；拓展應(yīng)用：如圖④，在中，．點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)在線段上，．若的面積為15，則與的面積之和為．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）5【分析】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積計(jì)算，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，判斷出兩三角形全等是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖②，求出，根據(jù)證兩三角形全等即可；（2）根據(jù)圖③，運(yùn)用三角形外角性質(zhì)求出，根據(jù)證兩三角形全等即可；（3）根據(jù)圖④，由的面積為15，可求出的面積為5，根據(jù)，得出與的面積之和等于的面積，據(jù)此即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖②，∵，，，，在和中，，．（2）證明：如圖③，，，，，

在和中，，．（3）如圖④，∵的面積為，∴的面積，由（2）可得，即：，，即與的面積之和等于的面積5，故答案為：5．24．如圖，中，，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作且．（位于的上方）(1)在線段上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，求證：，并寫出和的數(shù)量關(guān)系；如圖，連接交于點(diǎn)，若，求證：點(diǎn)為中點(diǎn)；(2)連接與直線交于點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫出的值．（用含的代數(shù)式表示）【答案】(1)證明見(jiàn)解析，；證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角的余角相等，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）通過(guò)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，可得結(jié)論；過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)（）中結(jié)論可得，即可證明，可得，根據(jù)，推出，，即可解題；（）過(guò)作于點(diǎn)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)行求解.【詳解】（1）證明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，，且，∴；證明:如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴為的中點(diǎn)；（2）解：如圖中，過(guò)作于點(diǎn)，，，由（）（）知：，，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．題型七、用HL證明三角形全等25．如圖，在的兩邊上，分別取，再分別過(guò)點(diǎn)M、N作的垂線，交點(diǎn)為P，畫射線，則平分的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用以及基本作圖，利用判定方法“”證明和全等，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴是的平分線．故選：D．26．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，于點(diǎn)，連接，若，則線段的長(zhǎng)是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握其判定的方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，可證，得到，則有，再證，得到，由，即可求解．【詳解】解：在和中，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故選：B．27．如圖，在中，是邊上的高，是邊上一點(diǎn)，且，若，則．【答案】4【分析】本題重點(diǎn)考查三角形的高的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．由是邊上的高，推導(dǎo)出，即可證明，則，于是得到問(wèn)題的答案．【詳解】∵在中，是邊上的高，是邊上一點(diǎn)，∴于點(diǎn)，，在和中，，，．故答案為：4．28．在中，，點(diǎn)在的內(nèi)部，，．(1)如圖1，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是______．(2)如圖2，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，連接交射線于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，求證：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，則可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得出，證明，得出，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出．【詳解】（1）解：，，，，，，，；故答案為：．（2）證明：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，又，，，，，為的中點(diǎn)，，，，，，，，．題型八、全等的性質(zhì)和HL綜合29．如圖，在中，，且，于點(diǎn)．若，則的值為（）A．14 B．12 C．9 D．7【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意證明，得到，最后利用求解，即可解題．【詳解】解：，，，，，，，，．故選：D．30．如圖，是的平分線，，，垂足分別是點(diǎn)，，且，，則的長(zhǎng)度是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．利用全等三角形的判定推出，得到，，進(jìn)而得到，得到，再利用即可求解．【詳解】解：，，，是的平分線，，，，，又，，，，在和中，，，，．故選：A．31．如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接交邊于點(diǎn)，且，于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為．【答案】4【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．過(guò)點(diǎn)Q作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，先證明，得，再證明，得，然后證明，據(jù)此即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)Q作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵，，∴，在與中，，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴，∴，故答案為：4．32．如圖，于，于，若，．(1)求證：；(2)已知，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．（1）求出，根據(jù)全等三角形的判定定理得出，推出；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，由線段的和差關(guān)系求出答案．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，，；（2）解：，，，，在和中，，，．題型九、添加條件證明三角形全等33．如圖，在中，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，且．(1)請(qǐng)你再添加一個(gè)條件，使得，并說(shuō)明理由，你添加的條件是______；依據(jù)是______．(2)根據(jù)你添加的條件，再寫出圖中的一對(duì)全等三角形，并說(shuō)明理由．【答案】(1)，（答案不唯一）(2)，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查添加條件證明三角形全等，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵（1）根據(jù)已知條件，在和中，已有一組對(duì)角和一組對(duì)邊相等，僅需再添加一組對(duì)角相等即可（也可添加）；（2）由得，，進(jìn)而可得，即可證明．【詳解】（1）解：添加的條件是，依據(jù)是；在和中，；故答案為：，；（2）解：，理由如下：，，，，，即，在和中，．34．如圖，已知：點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，，．能否由上面的已知條件得出？如果能，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不能，請(qǐng)從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)合適的條件，添加到已知條件中，使成立，并說(shuō)明理由．供選擇的三個(gè)條件：①；②；③．【答案】不能；選擇條件①(還可選擇條件②，但不能選擇條件③)，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定．選擇①，證明得到，即可推出；選擇②，證明得到，即可推出．【詳解】解：不能．選擇①，，，，在和中，，，，；選擇②，，，，在和中，，，．35．如圖，已知，點(diǎn)，在線段上，且．(1)請(qǐng)從①；②；③中．選擇一個(gè)合適的選項(xiàng)作為已知條件，使得．你添加的條件是：（填寫序號(hào)）_____（只需選一個(gè)條件，多選不得分），請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)利用（1）的結(jié)論，求證：．【答案】(1)①或②，理由見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及平行線的判定．（1）利用全等三角形的判定定理進(jìn)行分析，選取合適的條件進(jìn)行求解，（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及平行線的判定證明即可．【詳解】（1）解：可選?、倩颌?；證明：當(dāng)選取①時(shí)，在與中，，；當(dāng)選?、跁r(shí)，在與中，，；（2）證明：當(dāng)選取①時(shí)，∵，，，，，在與中，，，，；當(dāng)選?、跁r(shí)，∵，，，，，在與中，，，，．36．如圖，，，點(diǎn)、、、在同一直線上，連接、交于點(diǎn)．(1)添加一個(gè)條件：________，使得，并說(shuō)明理由；(2)用尺規(guī)作圖在的下方作一點(diǎn)，使得．（要求保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)畫圖見(jiàn)解析【分析】（）根據(jù)全等三角形的判定解答即可；（）分別以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，連接，則，因?yàn)椋杂煽勺C，故即為所求；本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：當(dāng)添加條件時(shí)，，理由如下：∵，∴，即，∵，，∴，故答案為：；（2）解：如圖所示，即為所求．題型十、尺規(guī)作圖中的全等問(wèn)題37．（1）如圖1，是的平分線，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，在上求作一點(diǎn)，使得，請(qǐng)保留清晰的作圖痕跡．（2）如圖2，在中，，，、分別是和的角平分線，與相交于點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段、、之間的關(guān)系，請(qǐng)證明你的結(jié)論．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），證明見(jiàn)解析．【分析】本題考查角平分線定義，全等三角形判定及性質(zhì)，尺規(guī)作圖等．（1）當(dāng)時(shí)，可以證明出，即以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧交于一點(diǎn)，則此點(diǎn)為所要求的點(diǎn)，可以作出圖形；（2）在上截取，證明，繼而再證明，即可得到本題答案．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，∵是的平分線，∴，在和中，，∴，∴以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧交于一點(diǎn)，則此點(diǎn)為所要求的點(diǎn)，如下圖所示：（2），理由如下：在上截取，在和中，，，，，、分別是和的角平分線，與相交于點(diǎn)，，，，，在和中，，，，．38．已知一個(gè)三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是和，一個(gè)內(nèi)角為．

(1)請(qǐng)你借助圖1畫出一個(gè)滿足題設(shè)條件的三角形；(2)你是否還能畫出既滿足題設(shè)條件，又與（1）中所畫的三角形不全等的三角形？若能，請(qǐng)你在圖1的右邊用“尺規(guī)作圖”作出所有這樣的三角形；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．友情提醒：請(qǐng)?jiān)谀惝嫷膱D中標(biāo)出已知角的度數(shù)和已知邊的長(zhǎng)度，“尺規(guī)作圖”不要求寫作法，但要保留作圖痕跡．(3)如果將題設(shè)條件改為“三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是和，一個(gè)內(nèi)角為”，那么滿足這一條件，且彼此不全等的三角形共有__________個(gè)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)4【分析】（1）在角的兩邊上分別以頂點(diǎn)為圓心截取1cm和2cm的線段，連接即可得到符合條件的三角形；（2）能，可在角的一邊上以頂點(diǎn)為圓心截取1cm的線段，然后以1cm線段的另一個(gè)端點(diǎn)為圓心，2cm長(zhǎng)為半徑作弧，與角的另一邊交于一點(diǎn)，也得符合條件的三角形；（3）分情況考慮即可：角可以是已知兩邊的夾角，也可以是其中一邊的對(duì)角．【詳解】（1）作一個(gè)角等于已知角，然后在角的兩邊上分別以頂點(diǎn)為圓心截取1cm和2cm的線段，連接即可得到符合條件的三角形，如圖1所示；

（2）能，可在角的一邊上以頂點(diǎn)為圓心截取1cm的線段，然后以1cm線段的另一個(gè)端點(diǎn)為圓心，2cm長(zhǎng)為半徑作弧，與角的另一邊交于一點(diǎn)，所得三角形也符合條件，如圖2所示；

（3）角是邊長(zhǎng)為3cm與4cm兩邊的夾角，如圖3所示的；

角是4cm邊的對(duì)角，如圖4所示的兩個(gè)三角形：及；角是3cm邊的對(duì)角，如圖5中的，故共有4個(gè)這樣的三角形滿足條件．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題是一道開(kāi)放性的探索題，也考查了尺規(guī)作圖，在已知兩邊與一角的情況下，所作的三角形不唯一，注意不同的情況所作的三角形個(gè)數(shù)不同．39．【問(wèn)題提出】滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形是否全等？【初步思考】在和中，，，，然后對(duì)是直角、鈍角、銳角進(jìn)行分類．【深入探究】

(1)當(dāng)是直角時(shí)，如圖1，在和中，，，，根據(jù)__________，可以知道．(2)當(dāng)是鈍角時(shí)，如圖2，在和中，，，，求證：．(3)當(dāng)是銳角時(shí)，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖3中作出，滿足，，，但和不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）利用斜邊直角邊相等來(lái)判定直角三角形全等即可；（2）過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于G，過(guò)點(diǎn)F作交的延長(zhǎng)線于H，利用角角邊判定即可．；（3）通過(guò)邊邊角畫出反例即可．【詳解】（1）解：∵，在和中，，∴，故答案為：；（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于G，過(guò)點(diǎn)F作交的延長(zhǎng)線于H，∵，且都是鈍角，

∴，即，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴；（3）解：如圖，在和，，和不全等；．

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用全等三角形判定的原理是解題關(guān)鍵．40．我們通過(guò)“三角形全等的判定”的學(xué)習(xí)，可以知道“兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等”是一個(gè)基本事實(shí)，用它可以判定兩個(gè)三角形全等；而滿足條件“兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等”的兩個(gè)三角形卻不一定全等．下面請(qǐng)你來(lái)探究“兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一個(gè)△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等）．(1)動(dòng)手畫圖：請(qǐng)依據(jù)下面的步驟，用尺規(guī)完成作圖過(guò)程（保留作圖痕跡）：①畫EF=BC；②在線段EF的上方畫∠F=∠C；③畫DE=AB；④順次連接相應(yīng)頂點(diǎn)得所求三角形．(2)觀察：觀察你畫的圖形，你會(huì)發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形有____個(gè)；其中三角形____（填三角形的名稱）與△ABC明顯不全等；(3)小結(jié)：經(jīng)歷以上探究過(guò)程，可得結(jié)論：______．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2，；(3)兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作線段，作一個(gè)角等于已知角的步驟作圖即可；（2）根據(jù)所畫圖形填空即可；（3）根據(jù)探究過(guò)程結(jié)合全等三角形的判定可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）觀察所畫的圖形，發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形有2個(gè)；其中三角形（填三角形的名稱）與△ABC明顯不全等，故答案為：2，；（3）經(jīng)歷以上探究過(guò)程，可得結(jié)論：兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故答案為：兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法和全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．題型十一、全等三角形的證明大題41．某數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖①，在中，，，D是的中點(diǎn)，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，請(qǐng)補(bǔ)充完整證明“”的推理過(guò)程．（1）求證：．證明：如圖①，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使．在和中，（________）；（2）由（1）的結(jié)論，根據(jù)與之間的關(guān)系，探究得出的取值范圍是________；【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問(wèn)題解決】（3）如圖②，在中，是的中線，，且，求的長(zhǎng)．【答案】（1）已知，對(duì)頂角相等，，；（2）；（3）6【分析】本題是三角形的綜合題和倍長(zhǎng)中線問(wèn)題，主要考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，由“”可證；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，由三角形的三邊關(guān)系可求解；（3））延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于F，由“”可證，則，，證明，得，根據(jù)，即可得的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）證明：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，在和中，，；故答案為：已作，對(duì)頂角相等，，；（2）由（1），得，且，，．在中，．又．故答案為：．（3）如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．，．在和中，，．又且，，，．故的長(zhǎng)是6．42．如圖1，，，，垂足分別為A、B，．點(diǎn)P在線段上以3的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)在射線上運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束）．(1)若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)時(shí)，與是否全等？此時(shí)線段PC和線段PQ有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)分別說(shuō)明理由；(2)如圖2，若“，”改為“”，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為x，其他條件不變，當(dāng)與全等時(shí)，求出相應(yīng)的與的值．【答案】(1)，(2)，；，【分析】本題考查了全等三角形的判定，一元一次方程解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）先求得，再求得，然后利用證明，從而可說(shuō)明，再求得，從而可得；（2）先用表示出，再分“，”、“，”兩種情況，分別求得相應(yīng)的與的值．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，與全等；線段和線段的位置關(guān)系是：，理由如下：∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，都是3，且運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，，∴，在與中，，∴（），∴，在中，，∴，∴，∴；（2）依題意得：，，∵，∴，又∵，，當(dāng)，時(shí)，，由，得：，解得：，由，得：，解得：，②當(dāng)，時(shí)，，由，得：，解得：，由，得：，，解得：，綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．43．已知，在四邊形中，，．(1)如圖1，連接．若，求證：．(2)如圖2，點(diǎn)，分別在線段，上，且滿足，求證．(3)若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，，，仍然滿足．請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，根據(jù)圖形直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)圖見(jiàn)解析，【分析】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，分別證明、，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；（3）在延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)，使得，連接，分別證明、，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和為解答．【詳解】（1）證明：，∴，∵，，在和中，，；（2）證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，如圖2，，，，，在和中，，，，，，在和中，，；（3）解：如圖3，．理由如下：在延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)，使得，連接，，，，，在和中，，，，，，在和中，，，，，．44．如圖①，在中，是的中點(diǎn)，，分別為垂足．求證：．證明：如圖②，連接．是的中點(diǎn)，______．，______（______），．，．(1)將上面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整；(2)用不同的方法證明：．【答案】(1)，，SSS；(2)見(jiàn)解析．【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．（1）先理清證明思路，再證明即可；（2）連接，先證，再證即可．【詳解】（1）證明：如圖②，連接．是的中點(diǎn)，．，，．，．故答案為：，，SSS；（2）證明：如圖，連接．∵D是的中點(diǎn)，．，，．，．在和中，，．題型十二、添加輔助線證明三角形全等45．【方法學(xué)習(xí)】數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，王老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，在中，，，求邊上的中線的取值范圍．小李在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1），①延長(zhǎng)到，使得；②連接，通過(guò)三角形全等把、、轉(zhuǎn)化在中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得的取值范圍為，從而得到的取值范圍；方法總結(jié)：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．【問(wèn)題解決】(1)如圖1，請(qǐng)寫出的取值范圍是；(2)如圖2，已知中，平分，且，求證：．【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析．【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）由三角形三邊關(guān)系可得出答案；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，連接，證明，得出，，證出，則可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意知，，∴，，∴，∵，∴，即，故答案為：；（2）證明：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，連接，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴．46．【基本模型】（1）如圖1，是正方形，，當(dāng)在邊上，在邊上時(shí)，請(qǐng)你探究、與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【模型運(yùn)用】（2）如圖2，是正方形，，當(dāng)在的延長(zhǎng)線上，在的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你探究、與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1），證明見(jiàn)解析（2），證明見(jiàn)解析【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)．本題蘊(yùn)含半角模型，遇到半角經(jīng)常要通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形．（1）結(jié)論：．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，然后求出，利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，從而得解；（2）結(jié)論：，證明方法同法（1）．【詳解】解：（1）結(jié)論：．理由：如圖1，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，

則：，，，∴，即：三點(diǎn)共線，，∴，∴，，在和中，，，，又，．（2）結(jié)論：．理由：如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，

則：，同法（1）可得：，，又，．47．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們利用三角形紙片進(jìn)行操作活動(dòng)，探究有關(guān)線段之間的關(guān)系問(wèn)題情境：如圖1，三角形紙片中，，.將點(diǎn)C放在直線上，點(diǎn)A，B位于直線的同側(cè)，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D初步探究：(1)在圖1的直線上取點(diǎn)E，使，得到圖2，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)小穎又拿了一張三角形紙片繼續(xù)進(jìn)行拼圖操作，其中，.小穎在圖1的基礎(chǔ)上，將三角形紙片的頂點(diǎn)P放在直線上，點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)H.如圖3，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由【答案】(1)(2)【分析】本題考查了全等三角形的常見(jiàn)模型－垂直模型，熟記模型的構(gòu)成以及結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F，證得，根據(jù)“三線合一”可得，即可求解；（2）結(jié)合（1）的推理過(guò)程可得得，再證得即可求解．【詳解】（1）解：，理由如下：過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F，即，，，，.，..在和中，，..，，..（2）解：.理由如下：過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F，∴，由（1）可得：，.，，.，..在和中，，..48．（1）如圖1，在四邊形中，，，E、F分別是邊、上的點(diǎn)，若，可求得、、之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______．（只思考解題思路，完成填空即可，不必書(shū)寫證明過(guò)程）（2）如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊、延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，若，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎，若成立，請(qǐng)完成證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）．理由見(jiàn)解析．【分析】（1）線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是．如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（2）結(jié)論：．如圖中，在上截取，連接，證明，推出，，再證明，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是．如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，∵，，即：，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；故答案為：．（2）結(jié)論：．理由：在上截取，連接，∵，，∴，在與中，，∴，∴，，則，∴∵，，∴，在與中，，∴，∴，即，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．題型十三、全等模型49．【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，馬老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，在中，，．是的中線，求的取值范圍．【探究方法】第一小組經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：①延長(zhǎng)到E，使得；②連接，通過(guò)三角形全等把、、轉(zhuǎn)化在中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得的取值范圍為，從而得到的取值范圍是________；方法總結(jié)：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形【問(wèn)題解決】（2）如圖2，是的中線，是的中線，，下列四個(gè)選項(xiàng)中：直接寫出所有正確選項(xiàng)的序號(hào)是________．①；②；③；④【問(wèn)題拓展】（3）如圖3，，，與互補(bǔ)，連接、，E是的中點(diǎn)，試說(shuō)明：；（4）如圖4，在（3）的條件下，若，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，，，則的面積是________．【答案】（1）；（2）②④；（3）見(jiàn)解析；（4）【分析】（1）由“”可證，可得，由三角形的三邊關(guān)系可求解；（2）由“”可證，可得，，由“”可證，可得，，即可求解；（3）由“”可證，可得，，由“”可證，可得，可得結(jié)論；（4）由全等三角形的性質(zhì)可得，，，由三角形的面積公式可求解．【詳解】（1）解：如圖1中，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使．在和中，，，，，，，；（2）解：如圖2，延長(zhǎng)至，使，連接，是中線，，又，，，，，，，，為中線，，，，又，，，，，∴正確選項(xiàng)的序號(hào)是：②④；（3）證明：如圖3，延長(zhǎng)至，使，連接，是的中點(diǎn)，，又，，，，，，，與互補(bǔ)，，，又，，，，；（4），，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，中點(diǎn)的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．50．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為的兩條射線，并連接它們與該頂點(diǎn)的兩對(duì)邊的交點(diǎn)構(gòu)成的基本平面幾何模型稱為半角模型．半角模型可證出多個(gè)幾何結(jié)論，例如：如圖1，在正方形中，以為頂點(diǎn)的，、與、邊分別交于、兩點(diǎn)．易證得．大致證明思路：如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，由可得、、三點(diǎn)共線，，進(jìn)而可證明，故．任務(wù)：如圖3，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)的，、與、邊分別交于、兩點(diǎn)．請(qǐng)參照閱讀材料中的解題方法，你認(rèn)為結(jié)論是否依然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】成立，見(jiàn)解析【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，，，推出、、三點(diǎn)共線，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：成立．證明：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，、、三點(diǎn)共線，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．51．通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：【模型呈現(xiàn)】某興趣小組在從漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖（如圖1，由外到內(nèi)含三個(gè)正方形）中提煉出兩個(gè)三角形全等模型圖（如圖2、圖3），即“一線三等角”模型和“K字”模型．【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖2，已知中，，，一直線過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A，B分別作其垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，求證：；（2）如圖3，若改變直線的位置，其余條件與（1）相同，請(qǐng)寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【問(wèn)題提出】（3）在（2）的條件下，若，，求的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），見(jiàn)解析；（3）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂直的定義和余角的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出；（2）根據(jù)余角的性質(zhì)得到根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，等量代換得到結(jié)論；（3）由（2）得且，得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，又，，，，，在和中，，∴，（2）解：，理由如下：，，，又，∴，，，，即；（3）解：由（2）得且，，∴，∴，∴，則，∴．52．【材料閱讀】小明在學(xué)習(xí)完全等三角形后，為了進(jìn)一步探究，他嘗試用三種不同方式擺放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相應(yīng)的問(wèn)題．【發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，將兩個(gè)三角板互不重疊地?cái)[放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)擺放在線段上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，①請(qǐng)?jiān)趫D1找出一對(duì)全等三角形，在橫線上填出推理所得結(jié)論；，，∵，，，，，，∵，__________；②，，則__________；【類比】（2）如圖2，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)B在線段上且頂點(diǎn)A在線段上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)P，猜想，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展】（3）如圖3，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)A在線段上且頂點(diǎn)B在線段上時(shí)，若，，連接CE，則的面積為_(kāi)_________．【答案】（1）①②；（2）結(jié)論，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記相關(guān)定理內(nèi)容進(jìn)行幾何推理是解題關(guān)鍵．（1）①根據(jù)兩個(gè)三角形全等的判定定理，結(jié)合已知求證即可得到答案；②由①中，利用兩個(gè)三角形全等的性質(zhì)，得到，，即可得到；（2）根據(jù)兩個(gè)三角形全等的判定定理，得到，利用兩個(gè)三角形全等的性質(zhì)，得到，，由圖中，即可得到三者的數(shù)量關(guān)系；（3）延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示，由兩個(gè)三角形全等的判定定理得到，從而，，則可求得，延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示，由平行線間的平行線段相等可得，代入面積公式得，即可得到答案．【詳解】解：（1）①，，∵，，，，，，∵，，，∴；故答案為：②由①知，，∵，，∴；故答案為：；（2）結(jié)論：．理由如下：，，，，，，，∵，，，，；（3）延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示：，，，，，∴，，，，延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示：，，，，由平行線間的平行線段相等可得，．故答案為：．題型十四、全等三角形的綜合問(wèn)題53．（1）如圖，在四邊形中，，，．，分別是，上的點(diǎn)．且．探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論是_____（直接寫結(jié)論，不需證明）；（2）如圖2，若在四邊形中，，，，分別是，上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，，求的周長(zhǎng)．（4）【實(shí)際應(yīng)用】如圖，海警船甲在指揮中心（處）北偏西的處，一艘可疑船只乙在指揮中心正東方向的處，并且兩艘船到指揮中心的距離相等，可疑船只沿北偏東的方向以海里/小時(shí)的速度行駛，指揮中心命令海警船甲從點(diǎn)向正東方向以海里/小時(shí)的速度追擊，兩船前進(jìn)小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩船分別到達(dá)，處，且兩船和指揮中心形成的夾角為，，此時(shí)甲、乙兩船之間的距離DE為_(kāi)_____海里．【答案】（1）；（2）結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析；（3）；（4）．【分析】本題是四邊形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，由“”可證，可得，，再由“”可證，可得，即可解題；（2）延長(zhǎng)到，使，連接，即可證明，可得，再證明，可得，即可解題；（3）延長(zhǎng)到，使，連接，由“”可證，可得，，由“SAS”可證，可得，可得，即可求解；（4）由題意得，，，延長(zhǎng)到，使，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）．證明：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，在和中，，，，，，，，在和中，，，，故答案為：；（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2，延長(zhǎng)到，使，連接．，，，在與中，，，，，，，又，，．．；（3）如圖，延長(zhǎng)到，使，連接，四邊形是正方形，，，，又，，，，，，，，又，，，，，的周長(zhǎng)；（4）由題意得，，，，延長(zhǎng)到，使，，，，，，，，，，，，（海里），（海里），（海里）．54．某校七年級(jí)學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．(1)如圖①，在中，，，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，直線l，直線l，垂足分別為D、E．可證得：、、的數(shù)量關(guān)系為；(2)組員小麗想，如果將圖①中的直角變式為一般情況，那么結(jié)論是否成立呢？如圖②，將（1）中的條件改為：在中，，D、A、E三點(diǎn)都在直線l上，并且有，其中α為任意鈍角．請(qǐng)問(wèn)（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用以上結(jié)論來(lái)解決問(wèn)題：如圖③，以的邊、為腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足為點(diǎn)H，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M．求證：點(diǎn)M是的中點(diǎn)．【答案】(1)(2)（1）中的結(jié)論成立，理由見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；（1）證明得，由此即可得出、、的數(shù)量關(guān)系；（2）同（1）證得，進(jìn)而得，據(jù)此即可得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由等腰直角三角形，得到，根據(jù)同角的余角相等得到，再根據(jù)和得到，即可證明，得到，再由，得到，即可證明得到，據(jù)此即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：、、的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：如圖1所示：∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：；（2）解：（1）中的結(jié)論成立，證明如下：如圖2所示：∵，，∴，在中，，∴，∵，，∴，∴，∴；（3）解：證明：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖3所示：∵和都是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)．55．【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，試猜想圖中與的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)解決此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使．連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______；【問(wèn)題探究】（2）如圖2，在四邊形中，，．、分別是、上的點(diǎn)，且，試探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形中，，，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，如圖所示，仍然滿足，請(qǐng)寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本題考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形．解題時(shí)注意：同角的補(bǔ)角相等．（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，可判定，進(jìn)而得出