第一章特殊平行四邊形3正方形的性質(zhì)與判定第2課時正方形的判定

1.

定理：（1）有

一組鄰邊相等

的矩形是正方形；

（2）對角線

互相垂直

的矩形是正方形；（3）有

一

個角是直角

的菱形是正方形；（4）對角線

相等

的

菱形是正方形.一組鄰邊相等互相垂直一

個角是直角相等2.

特殊平行四邊形的關(guān)系：3.

中點四邊形：順次連接四邊形各邊

中點

所組成的

四邊形，叫中點四邊形；凡對角線相等的四邊形的中點四

邊形都是

菱形

；凡對角線互相垂直的四邊形的中點四

邊形都是

矩形

.中點菱形矩形

正方形的判定【例1】（鄲城模擬）下列說法中，錯誤的是（D）DA.

有一個角為直角的菱形是正方形B.

有一組鄰邊相等的矩形是正方形C.

對角線相等的菱形是正方形D.

對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形

掌握正方形的特殊性是解答本題的關(guān)鍵，記住正方

形具有平行四邊形、菱形、矩形的所有性質(zhì)，在判定正

方形時，也需要包含平行四邊形、菱形、矩形的判定.

中點四邊形【例2】如圖（1），在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在

AB，BC上，且AE＝BF.

（1）試探索線段AF，DE的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說明理由.解：（1）AF＝DE.

理由：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°.又∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF（SAS）.∴AF＝DE.

（2）連接EF，DF，分別取AE，EF，F(xiàn)D，DA的中點

H，I，J，K，則四邊形HIJK是什么特殊的四邊形？請

在圖（2）中補全圖形并說明理由.解：（2）四邊形HIJK是正方形.理由：如圖，點H，I，J，K分別是AE，EF，F(xiàn)D，DA的中點，

由（1）知AF＝DE，∴HI＝KJ＝HK＝IJ，∴四邊形HIJK是菱形.由（1）知△DAE≌△ABF，∴∠ADE＝∠BAF.

∵∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠BAF＋∠AED＝90°，∴∠AOE＝90°，∴∠KHI＝90°，∴菱形HIJK是正方形.

判斷中點四邊形的關(guān)鍵是利用中位線定理，在代換

邊相等時也可利用三角形全等；在求直角時，通常利用

余角的性質(zhì).

正方形性質(zhì)及判定綜合運用

（1）求證：矩形DEFG是正方形.證明：過點E作EM⊥BC于點M，EN⊥CD于點N，則

∠MEN＝∠DNE＝∠FME＝90°.∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF.

又∵E是正方形ABCD對角線上的點，∴EM＝EN，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE.

∵四邊形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形.（2）探究：CE＋CG的值是否為定值？若是，請求出這

個定值；若不是，請說明理由.

解決這類問題時，需先判定四邊形為正方形，再結(jié)

合全等三角形、等腰三角形、勾股定理等進行求解.

1.

如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在對角線BD上，且BE＝DF，OE＝OA.

求證：四邊形AECF是正方形.第1題圖證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.

∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四邊形AECF是菱形.∵OE＝OA＝OF，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，∴菱形AECF是正方形.

2.

如圖，D為Rt△ABC中的一點，∠BAC＝90°，

AD⊥BD，AD＝3，BD＝4，AC＝12，E，F(xiàn)，G，H分

別是線段AB，AC，CD，BD的中點，則四邊形EFGH的

周長為（C）A.

7B.15C.

16D.25第2題圖C3.

如圖，?ABCD中，∠A＝45°，過點D作ED⊥AD交

AB的延長線于點E，且BE＝AB，連接BD，CE.

第3題圖（1）求證：四邊形BDCE是正方形；證明：（1）在?ABCD中，AB＝CD，AB∥CD.

∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四邊形BDCE是平行四邊形.∵ED⊥AD，∠A＝45°，∴∠A＝∠DEA＝45°，∴AD＝DE.

∴△ADE是等腰直角三角形.又∵AB＝BE，∴DB＝BE.

∴四邊形BDCE是菱形.∴DE⊥BE，∴∠DBE＝90°，∴菱形BDCE是正方形.

證明：（2）由（1）知四邊形BDCE是正方形，∴BD＝BE＝AB，∠DBP＝∠EBP＝45°.∵PM＝PB，∴∠PBM＝∠PMB＝45°，∴∠BPM＝90°.

4.

如圖，在△ABC中，O是邊AC上一個動點，過點O作

直線MN∥BC，MN交∠ACB的平分線于點E，交△ABC

的外角∠ACD的平分線于點F.

第4題圖（1）探究線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.解：（1）OE＝OF.理由：∵CE是∠ACB的平分線，

∴∠ACE＝∠BCE.

又∵MN∥BC，∴∠NEC＝∠ECB，∴∠NEC＝∠ACE，∴OE＝OC.

∵CF是∠BCA的外角平分線，∴∠OCF＝∠FCD.

又∵MN∥BC，∴∠OFC＝∠FCD，∴∠OFC＝∠OCF，∴OF＝OC，∴OE＝OF.

（2）當點O運動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四

邊形AECF是正方形？請說明理由.解：（2）當點O運動到AC的中點，且△ABC滿足∠ACB

為直角時，四邊形AECF是正方形.理由如下：∵EO＝FO，當點O運動到AC的中點時，AO＝CO，∴四邊形AECF是平行四邊形.∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO，∴AO＋CO＝EO＋FO，∴AC＝EF，∴四邊形AECF是矩形.∵MN∥BC，∠ACB＝90°，∴∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，∴AC⊥EF，∴四邊形AECF是正方形.∴當點O運動到AC的中點，且△ABC滿足∠ACB為直角

時，四邊形AECF是正方形.

（興安盟中考）如圖，AD是△ABC的角平分線，

DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，連接EF，EF

與AD相交于點H.

（1）求證：AD⊥EF.

證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD＝∠FAD.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴∠AED＝∠AFD＝90°.∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，∴A