7.15(1)求證：在重力場(chǎng)中分子數(shù)密度按高度分布的規(guī)律為。其中，z是高度。氫氣、氖氣、氮?dú)?、氧氣和氟氣的分子量分別為2，20，28，32和38，氫氣、氖氣、氮?dú)?、氧氣和氟氣?00K時(shí)分子數(shù)密度按高度分布的曲線有什么特點(diǎn)？氧氣在溫度分別為100K到400K(間隔為50K)時(shí)分子數(shù)密度按高度分布的曲線有什么特點(diǎn)？(2)用點(diǎn)表示分子，通過點(diǎn)的密集程度表示分子按高度分布的規(guī)律。[解析](1)麥克斯韋的速度分布律和速率分布律的指數(shù)中都包含動(dòng)能因子，這是不考慮分子受外力場(chǎng)影響的情況。如果分子在保守力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，粒子的總能量就是動(dòng)能與勢(shì)能之和E=Ek+Ep。玻爾茲曼認(rèn)為：指數(shù)中的動(dòng)能應(yīng)該用總能量代替。由于勢(shì)能與位置有關(guān)，因此分子在空間的分布是不均勻的。玻爾茲曼認(rèn)為：氣體在一定的溫度下處于平衡狀態(tài)時(shí)，在速度間隔vx~vx+dvx、vy~vy+dvy、vz~vz+dvz和坐標(biāo)間隔x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz中的分子數(shù)為，。(7.1)其中n0表示Ep=0處單位體積內(nèi)各種速度的總分子數(shù)。此式稱為玻爾茲曼分布律。exp(-E/kT)稱為概率因子，在一定的速度和坐標(biāo)范圍內(nèi)，在一定的溫度下的平衡狀態(tài)中，分子的能量越低，分子數(shù)就越多，即：分子將占據(jù)能量較低的狀態(tài)。在溫度一定時(shí)，分子的平均動(dòng)能是一定的，所以，分子優(yōu)先占據(jù)勢(shì)能較低的位置。如果對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行積分，(7.1)式就演變?yōu)辂溈怂鬼f速率分布律。由于對(duì)速率的積分是歸一化的?？傻貌柶澛植悸傻某Ｓ眯问健?7.2)在重力場(chǎng)中，Ep=mgz，因此在高為z處的單位體積內(nèi)的分子數(shù)為。(7.3)可見：在重力場(chǎng)中，氣體分子的密度隨高度的增加按指數(shù)規(guī)律減小。[算法]對(duì)于一定溫度下不同的氣體分子，將分子質(zhì)量和高度形成矩陣，計(jì)算各點(diǎn)的分子數(shù)相對(duì)密度n/n0，可畫出分子數(shù)密度按高度分布的曲線。對(duì)于不同溫度下的氧氣分子，將溫度和高度形成矩陣，同樣計(jì)算各點(diǎn)的分子數(shù)相對(duì)密度n/n0，可畫出分子數(shù)密度按高度分布的曲線。[程序]P7_15_1.m如下。%重力場(chǎng)中氣體分子按高度分布曲線(玻爾茲曼分布律)clear%清除變量k=1.38e-23;%玻爾茲曼常數(shù)m0=1.66e-27;%原子質(zhì)量單位m=[2,20,28,32,38];%分子量向量n='氫氖氮氧氟';%氣體分子名z=0:100;%高度向量(以千米為單位)z0=1000;%千米[Z,M]=meshgrid(z*z0,m*m0);%高度(以米為單位)和質(zhì)量矩陣(以千克為單位)g=9.8;%重力加速度t=300;%熱力學(xué)溫度N=exp(-M*g.*Z/k/t);%氣體分子數(shù)密度矩陣figure%創(chuàng)建圖形窗口plot(z,N)%畫曲線l=length(m);%質(zhì)量向量長度h=legend([n',repmat('氣:',l,1),num2str(m')]);%顯示圖例并取句柄fs=16;%字體大小set(h,'fontsize',fs)%放大圖例gridon%加網(wǎng)格title('重力場(chǎng)中不同質(zhì)量的氣體分子按高度分布','fontsize',fs)%標(biāo)題xlabel('高度\itz\rm/km','fontsize',fs)%橫坐標(biāo)ylabel('氣體分子數(shù)密度\itn/n\rm_0','fontsize',fs)%縱坐標(biāo)text(0,0.05,['\itT\rm=',num2str(t),'K'],'fontsize',fs)%顯示溫度文本z=0:20;%高度向量(以米為單位)t=100:50:400;%熱力學(xué)溫度[Z,T]=meshgrid(z*z0,t);%高度和溫度矩陣m=32*m0;%氧氣分子質(zhì)量N=exp(-m*g*Z/k./T);%氣體分子數(shù)密度矩陣figure%創(chuàng)建圖形窗口plot(z,N)%畫曲線l=length(t);%向量長度legend([repmat('溫度:',l,1),num2str(t'),repmat('K',l,1)])%顯示圖例gridon%加網(wǎng)格title('重力場(chǎng)中氧氣分子在不同溫度下按高度分布','fontsize',fs)%標(biāo)題xlabel('高度\itz\rm/km','fontsize',fs)%橫坐標(biāo)ylabel('氣體分子數(shù)密度\itn/n\rm_0','fontsize',fs)%縱坐標(biāo)text(0,0.15,'氧氣O_2','fontsize',fs)%顯示氣體文本[圖示](1)如P7.15.1a圖所示，分子的質(zhì)量越大，分子數(shù)密度隨高度減小得越快，這是因?yàn)橹亓Φ淖饔迷斤@著。(2)如P7.15.1b圖所示，氣體的溫度越高，分子數(shù)隨高度減小得越慢，這是因?yàn)榉肿拥臒o規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)加劇。P7.15.1a圖P7.15.1b圖[解析](2)在重力場(chǎng)中，氣體分子的密度隨高度的分布可用點(diǎn)的密集程度表示。[算法]對(duì)于某一高度z來說，如果分子數(shù)密度是0.4，那么，在10點(diǎn)中就可取4個(gè)在同一水平高度，其水平位置可隨機(jī)選擇。高度越高，分子數(shù)密度就越小，可取的點(diǎn)數(shù)就少。這種方法稱為分層隨機(jī)法。對(duì)于同一高度，將一個(gè)0到1的隨機(jī)數(shù)與分子數(shù)密度進(jìn)行比較，隨機(jī)數(shù)小于(等于的機(jī)會(huì)很少)分子數(shù)密度就選取，否則不選。那么，分子數(shù)密度大的地方，選取的可能性就大，否則就小。這種方法稱為隨機(jī)篩選法。對(duì)于隨機(jī)篩選法來說，利用0~1的隨機(jī)函數(shù)rand在各個(gè)高度產(chǎn)生大量隨機(jī)數(shù)，比較各點(diǎn)的密度，隨機(jī)數(shù)小于分子數(shù)密度者取邏輯真，將邏輯真的點(diǎn)顯示出來。對(duì)于分層隨機(jī)法來說，根據(jù)各點(diǎn)高度選取分子數(shù)(最少為1)，用隨機(jī)函數(shù)rand取橫坐標(biāo)，顯示一層中的點(diǎn)。[程序]P7_15_2.m如下。%玻爾茲曼分布率之重力場(chǎng)中氣體分子按高度分布概率clear%清除變量m0=input('請(qǐng)輸入氣體分子量:');%鍵盤輸入分子量m=1.66e-27*m0;%分子質(zhì)量k=1.38e-23;%玻爾茲曼常數(shù)g=9.8;%重力加速度t=300;%熱力學(xué)溫度zm=40000;%最大高度z=0:10:zm;%高度向量n=exp(-m*g*z/k/t);%分子數(shù)密度n0=rand(size(z));%隨機(jī)概率l=n0<n;%在分子數(shù)密度范圍內(nèi)為邏輯真x=rand(size(z));%隨機(jī)橫坐標(biāo)(隨機(jī)篩選法)figure%創(chuàng)建圖形窗口subplot(1,2,1)%選子圖plot(x(l),z(l),'.')%畫點(diǎn)gridon%加網(wǎng)格fs=16;%字體大小title('重力場(chǎng)中氣體分子按高度分布','fontsize',fs)%標(biāo)題xlabel('寬度\itx\rm/m','fontsize',fs)%橫坐標(biāo)ylabel('高度\itz\rm/m','fontsize',fs)%縱坐標(biāo)text(0,9*zm/10,['氣體溫度:',num2str(t),'K'],'fontsize',fs)%顯示溫度text(0,8*zm/10,['分子量:',num2str(m0)],'fontsize',fs)%顯示分子量z=0:100:zm;%高度向量subplot(1,2,2)%選子圖axis([0,1,0,zm])%坐標(biāo)范圍gridon%加網(wǎng)格holdon%保持圖像fori=1:length(z)%按高度循環(huán)n=round(10*exp(-m*g*z(i)/k/t));%某高度的分子數(shù)(密度)ifn==0n=1;end%如果分子數(shù)為零則改為1x=rand(n,1);%取一高度取分子的橫坐標(biāo)(分層隨機(jī)法)plot(x,z(i),'.')%畫點(diǎn)drawnow%刷新屏幕end%結(jié)束循環(huán)[說明]隨機(jī)篩選法和分層隨機(jī)法的效果相同，