20242025學(xué)年福建省莆田市錦江中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知復(fù)數(shù)z滿足左=2+3則復(fù)數(shù)z的共挽復(fù)數(shù)為（）

A.1+3iB.1-3iC.3-iD.3-3i

2.（1-5i）（4+3i）在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知向量G,取滿足|磯=1,己?2方）=2,則@?方=（）

A--B「|D

21

4.已知向量G=(1,0),b=(l,l),若(五+；1為14,則2二()

A.1B.-1C.2D.-2

5.已知平面四邊形。｛8C用斜二測畫法畫出的直觀圖是邊長為1的正方形

OZ.'B'C',則原圖形。48c中的48=（）

A./2B.2/2

C.3D.2

6.設(shè)a,b,c是三條不同直線，a,p,y是三個不同平面，若aC。=a,

則下列命題為真命題的是（）

A.若bCa,bCR,則Q〃匕B.若bua,cap,則b,c異面

C.若/?ua,cu夕，bC\c=P,則P€QD.若=a//b,則a〃y

7.折扇是我國傳統(tǒng)文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善

良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖

1）.圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧DE,4c所在圓的半徑分別是3和6,且

乙ABC=120，則該圓臺的體枳為（）

8.記△力的內(nèi)角力，B,。所對的邊分別為a,b,c,若c=2/^,ccos(4-B)+2Casi，8cosC=

-ccosC,

則＜8邊上的中線CD長度的最小值為()

A.|B.苧C./2D.2/2

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.己知i為虛數(shù)單位，則下列說法中正確的是()

A.復(fù)數(shù)z二-2-i的虛部為T

B.i+i2+i3+i4=0

C.\z\2=z2

D.復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,則|z—2—i|的最大值為A+l

10.下列說法中正確的有()

A.兩個非零向量五，若|五-=|4|+|方則d與加共線且反向

B.向量五=(2.-3),b=0,一》能作為平面內(nèi)的一組基底

C.已知向量G=(2,1),b=(-3,1),則向量3在向量d上的投影向量是一/-G

D.若非零向量G,另滿足：|不=|另|=|社一月則G與G+3的夾角為30。

11.如圖,正方體4BCD-A/1C1D1的棱長為2,E,F分別是4。，0%的中點，點P是底面ABCD內(nèi)一動

點，則下列結(jié)論正確的為()

A.不存在點P,使得FP〃平面力BC15

B.過8,E,F三點的平面截止方體所得截面圖形是梯形

C.三棱錐G-&BiP的體積為4

D.三棱錐r-4CD的外接球表面積為97r

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量日、加滿足|即=1,\b\=2/3,d-(23+d)=18,貝帕與石的夾角等于_

13.若復(fù)數(shù)z=^+2為純虛數(shù)，則實數(shù)。=

14.某工廠需要制作一個如圖所示的模型，該模型為長方體A8CD-

A'B'CD',挖去一個四棱錐。-EFGH后所得的幾何體，其中。為長方體

—小夕C'。的中心，E,F,G,H分別為所在棱的中點,AB=BC=

8,44'=6,那么該模型的表面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z=(一堂產(chǎn))

(1)計算復(fù)數(shù)z,并求憶卜

(2)若復(fù)數(shù)z滿足z(z+a)=匕-83求實數(shù)a,匕的值.

16.(本小題15分)

在448。中，Q,b,c分別是角4B,。的對邊，且(2Q-C)COSB=/JCOSC.

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若8=7,。+。=13且。>。，求a,c的值.

17.(本小題15分)

如圖：在止方體力8G)-A]8】GDi中，M為DDi的中點.

(1)求證：BO1〃平面AMC；

(2)若N為CQ的中點，求證：平面力MC〃平面

18.(本小題17分)

如圖，在△48C中，點P滿足正二2前,。是線段4P的中點，過點。的直線與邊48,4C分別交于點E,F.

(1)若前二不而+y而，求工和y的值；

(2)若麗=2荏(2>0),定=〃而(〃>0),求：+白的最小值.

答案解析

1.【答案】B

【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、共挽復(fù)數(shù)的定義即可得出.

本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、共施復(fù)數(shù)的定義，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：復(fù)數(shù)z滿足=2+i?

則z=(1+i)(2+i)=2-l+3i=l+3i,

復(fù)數(shù)z的共擾復(fù)數(shù)=l-3i,

故選:B.

2.【答案】D

【解析】解:由題意,(1-5i)(4+3i)=19-17i,

在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為(19,-17),位于第四象限.

故選：D.

由復(fù)數(shù)的乘法運算，整理其為標(biāo)準式，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，可得答案.

本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：已知向量蒼滿足|叫=1,亦@一2石)=2,

則看一2方i=2,所以1一2五?弓=2,

解得&-b=

故選:A.

根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算即可求解.

本題考查了平面向量數(shù)量積的計算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：(1,0),3=(1,1)，(a+lb)la,

a+Ad=(1+1,1).

???(a+lb)-a=0?

/.(1+1,1)-(1,0)=0.

即1+4=0,MA=-1.

故選:B.

先求出五+2族的坐標(biāo)，然后由0+人母_1五可得0+4加）?五=0,列方程可求得九

本題主要考查向量垂直的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：根據(jù)斜二測畫法規(guī)則，。4=。0=1,OB=20'B1=2/2，且041。8,

則48=>/OA2+OB2=3.

故選：C.

根據(jù)斜二測畫法規(guī)則畫出原圖，再利用勾股定理求解.

本題主要考查了平面圖形的直觀圖，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：若bUa,bC（i,則a與b平行、相交或異面，所以A錯誤；

若力ua,cc/?,aC0=a,則力與c可能相交，平行，異面，所以8錯誤；

若Z?ua,cu6,匕nc=P,則P￡a且P￡￡,則P￡Q,所以C正確；

若？ny=b,a//b,則a與y可能相交，如三棱柱的三個側(cè)面，所以。錯誤.

故選：C.

根據(jù)線線，線面，面面的位置關(guān)系，即可判斷選項.

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【蟀析】解：?.?兩個圓弧。凡4c所在圓的半徑分別是3和6,RLABC=120°,

???兩個圓弧的弧長分別為2兀，4兀，可得圓臺的兩底面半徑分別為1,2,

圓臺的高為132-12=272.

圓臺的體積為V=/⑵+2x1+I?）x2/2=駕紅.

故選：D.

由已知結(jié)合弧長公式求得圓臺的兩底面半徑，進一步求出高，代入圓臺體積公式得答案.

本題考查圓臺的結(jié)構(gòu)特征，考查了邏輯推理與運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：因為c=2\/~6,ccos(A-B)+2>J~3asinBcosC=-ccosC,

可得ccos(4-8)+ccosC=-2yJ~3asinBcosC?

在A/WC中，cosC=-cos(>4+B),

可得c[cos(/l—B)—cos(/+8)]=—2\/~3asinBcosC,

^2csinAsinB=-2>/~3asinBcosCf

由正弦定理得2sECsim4sinB=-2\/~3sinAsinBcosC,

因為4B€所以sinA工0,sinB0,

所以tanC=-

又Cw(0,/r),所以C二箏

由余弦定理得c?=(2V-6)2=a2+Z?2—2abcosC,

即a2+/)2=24-ab,由基本不等式可得24-abN2ab,即abW8,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，

因為48邊上的中線為CD,

可得2而=石？+無，

222

所以4方=CA+CB+2CA-CB=b2+a2+2bacosC=b2+a2-ba=24-2ab>24-2x8=8,

所以|而|2/L

所以48邊上的中線CD長度的最小值為心.

故選：C.

利用正弦定理、三角恒等變換等知識化簡已知條件，求得角C的大小，結(jié)合余弦定理、向量運算、基本不

等式等知識來求得正確答案.

本題考查正弦定理，余弦定理即三角形中線用向量的表示，屬于中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解：復(fù)數(shù)z=-2—i的虛部為一1,故A錯誤；

i+i2+t3+i4=i-l-t+l=0,故B正確；

例如z=i,則|z『=1,z2=-1,此時|z|2#：z2,故C錯誤：

設(shè)復(fù)數(shù)Z,2+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為Z,4(2,1),

因為|z|=l,即|OZ|=1,其中。為坐標(biāo)原點，可知點Z在標(biāo)準單位圓上，

可得|z-2-i\=\AZ\<\0A\+1=門+1，

故選：BD.

對千4根據(jù)虛部的概念分析判斷；對于8：根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)運算求解；對于C：舉反例說明即可；對

于D：根據(jù)更數(shù)的幾何意義結(jié)合國的性質(zhì)分析判斷.

本題主要考查的四則運算，以及復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.

1().【答案】ABD

【解析】解：A選項，根據(jù)題意可知，|日一瓦=0+|瓦得0-私2=(|成+|方|)2,

-2a-b+b2=a2+2\a\\b\+b2^

所以后不=一|磯|石|，五行是非零向量，因此它們共線且反向，,4選項正確：

8選項，根據(jù)題意可知，向量弓=(2,-3),?=(1,-5),

由干G=4或它們共線，不能作為平面內(nèi)的一組基底，B選項正確；

C選項，向量E在向量G上的投影是%=嚶=一6，與向量G同向的單位向量為亮=4，

|a|VSPlv5

故所求投影向量為-，號?備=-乙。選項錯誤；

。選項，如圖，OA=a＞麗=族，作平行四邊形04CB,

則瓦5=G—左OC=a+b^

由|編=\b\=|五一畫得公。力8是等邊三角形，四邊形0AC8是菱形,

所以ZI/CM=30。，。選項正確.

故選:ABD.

把位-b\=\a\+|瓦平方，由數(shù)量積的運算與性質(zhì)判斷4

確定五石是否共線判斷8；

根據(jù)投影向量的定義求出投影向量判斷C;

根據(jù)向量的加減法法則(作出相應(yīng)的圖形)判斷D.

本題考查了投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】BD

【解析】解：作出示意圖如下：

對干4選項，當(dāng)P為中點時，由中位線可得尸夕〃8。1，

因為FPU平面BD】u平面48G01，所以"7/平面ABCWi，所以力選項錯誤；

對于B選項，由中位線可得E/7/zlDi，在正方體中，易證4DJ/BG，所以E尸〃BG，

又EFHBG，所以截面E8GF為梯形，所以8選項正確；

對千C選項，VCi_AiBiP=VP.AiBiCi=ix1x2x2x2=^,所以。選項錯誤；

對于D選項，三棱錐尸-4CD的外接球的直徑2R即為長方體的體對角線長，

所以(2R)2=4+4+l=9,

所以三棱錐尸-ACO的外接球表面積為4"產(chǎn)=9TT,所以。選項正確.

故選：BD.

對干4當(dāng)P為8。中點時，利用中位線的性質(zhì)可證得再證得線面平行；對于氏利月中位線的性

質(zhì)可證得EF〃8G，對邊平行且不相等，可得到截面是梯形；對于C,利用等體積法可求得三棱錐的體

積；對于D,三棱錐的外接球可以補形為長方體的外接球，先求半徑再求表面積即可.

本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，屬中檔題.

12.【答案】I

【解析】因為同=1,\b\=2/3,S(2a+S)=18,

所以九(2五+加)=22?另+,=2|磯?|B|cos(a,b)+\b\2

=4y/~3cos(a,b)+12=18,

解得cos〈五,9)=苧，

因為OW何㈤工加，所以@力=?即d與族的夾角為？

OO

故答案為:I.

利用平面向量數(shù)量積的運算、定義可計算出cos(乙分，結(jié)合平面向量夾角的取值范圍可得出《石〉的值.

本題考查平面向量的數(shù)量積與夾角，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】5

【解析［解-：由z=(4?3)+2=1*產(chǎn)1)，+2=(旦號到，為純虛數(shù),

可得5—a=0且a+1H0,解得Q=5.

故答案為：5

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算及純虛數(shù)的概念求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】2884-8734

【解析】解：由題意可得。E=OF=OG=OH=V32+42=5,

HG=FG=EF=EH=V42+42=4\<2,

故S&OHG=S^OFG=S^OEF=S&OEH=1xxJ52—(2x/-2)2=2V34,

故該模型的表面積為S=4x8x6+8x8+4x|x4x4+8/34=288+8734.

故答案為：288+8/34.

先求解得OH=5,HG=4/2,進而得到△O"G的面積，再根據(jù)全等性質(zhì)與表面積的計算公式求解即可.

本題考查組合立體圖形的表面積，屬于基礎(chǔ)題.

6【答案】解：(1)因為z=^嘿金也=上當(dāng)竺坦=丹=般2=4—23

''2+i2+i2+i(2+0(2—I)

所以|z|=J42+(-2)2=2N<5.

(2)由z(z+a)=b—83得(4—2t)(4+a—2t)—b—8i,

化簡得16+4a-8i-8i-2ai+4產(chǎn)=6—8i,

即12+4Q-(16+2a)i=b-8if

所以Ed"1解得。=一4,b=-4-

【解析】(1)先對復(fù)數(shù)化簡，然后求復(fù)數(shù)的模；

(2)對等式左邊化簡，再由復(fù)數(shù)相等的條件列方程組可求出實數(shù)%b的值.

本題考查復(fù)數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】B=^

a=8,c=5.

【解析】解：(1)因為(2a-c)cosB=bcosC,

由正弦定理整理可得2si?Mcos8=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C),

在△力BC中，sin(F+C)=sinA,且sinA>0,

可得cosB=I，

又因為BG(O,TT),

所以B=全

(2)b=7,Q+c=13且Q>c,

由余弦定理可得8=a2+c2-2accosB,

即49=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=169-3ac,

解得ac=40,

a+c=13

聯(lián)立ac=40,

a>c

解得Q=8,c=5

所以a,。的值分別為8,5.

(1)根據(jù)正弦定理，將邊化角，利用三角恒等變換以及三角形內(nèi)角關(guān)系，即可求出結(jié)果;

(2)利用余弦定理推得ac=40,結(jié)合題設(shè)條件即可求出結(jié)果.

本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】證明：（1）設(shè)ACn8D=。，連接0M,

???在正方體48C0-4B1GD1中，四邊形48co是正方形，

??.0是BD中點，是DDi的中點，

GM〃叫，

?；BDi仁平面AMC,0Mu平面力MC,

二BDi〃平面4MC：

（2）vN為CG的中點，M為。。1的中點，

:.CN/RM,

???CN=DM

???匹邊形CND]M為平行四邊形，

???&N〃CM,

又???MCu平面/MC,

vDiN仁平面4MC,

???4N〃平面4MC,

由（1）知8D"/平面AMC,

?:BD[CD]N=D[,B/\u平面BN。1，D.Nc^BND.,

平面AM?！ㄆ矫?N0i.

【解析】（1）設(shè)力CG8。=0,接0M,證明。M〃80i，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；

（2）證明四邊形CNZ\M為平行四邊形，從而可得QN〃（:M,即可證得AN〃平面AMC,再根據(jù)面面平行的

判定定理即可得證.

本題主要考查面面平行的判定，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：（1）由正二2前，得南=喬+瓦?=3而，可得前二!就,

所以而=而+而=而+；就=而+9（而一同）=|AB+1/ic,

11

布

+近

由點0是線段/IP的中點，可得而="而=2?彳耳+^彳?)3-6-

又因為而=%而+、而，且而、正不共線，所以根據(jù)平面向量基本定理，得x=5,y=N；

OO

>

(2)因為而=AE+~EB=AE+AAE=(1+X)AE,AC=AF+FC=AF+^AF=(1+fi)AFf

由(1)得萬5=J而'+!前，可知而=竽荏+乎前，

根據(jù)E,0,尸三點共線，得孚+華=1,即22+〃=3,

OO

所以抖A*2/l+〃)G+L(4+/+金

由;1>0,〃>0,得與+[.2J,]=4,

所嗚(4