2024?2025學(xué)年河南省駐馬店市確山第二高級中學(xué)高一（下）期中考試

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題紿出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.cos（-2100。）的值為（）

A.1B.C.苧D.一寫

2.中央電視臺每天晚上的“焦點訪談”是時事、政治性較強的一個節(jié)目，其播出時間是在晚上看電視節(jié)目

人數(shù)最多的“黃金時間”，即晚上7點與8點之間的一個時刻開始播出，這一時刻是時針與分針重合的時

刻，以高度顯示“聚焦”之意，匕喻時事、政治的“焦點”，則這個時刻大約是（）

A.7點36分B.7點38分C.7點39分D.7點40分

3.已知。是第一象限角，且sin（。一則cos（6+*=（）

44「3r>3

AA."owC.D.一三

4.“a=0”是"sina=si*成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

5.若銳角a,。滿足sina>sE0,則卜,列各式中正確的是（）

A.cosa>cospB.tana>tanpC.石白>f歷D.以上說法均不對

6.已知平面向量瓦5滿足同=4,麗=2萬-萬）=20,則向量五與石的夾角為（）

A-B-C—D—

八?6336

7.為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，某環(huán)保部門對?轄區(qū)內(nèi)一工廠產(chǎn)生的廢氣進行了監(jiān)測，發(fā)現(xiàn)該廠產(chǎn)生的

廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量p（mg/L）與時間t（九）的關(guān)系為p=po。—"如果在前18

個小時消除了19%的污染物，那么從過濾開始到污染物共減少10%需要花的時間為（）

A.8小時B.9小時C.10小時D.11小時

8.在平行四邊形48co中，E是對角線4。上靠近點C的三等分點，則（）

A.BE=-^AB+lADB.FE=1AB-^AD

C.BE=^AB-IADD.BE=-1AB+{AD

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

第1頁，共16頁

9.已知向量五=(3,血)，石=(幾1),a-26=(-l,2),則下列結(jié)論中正確的是()

A.a//(3a+2b)B.(2a-5b)1a

C.cos(a,b)=第D.|a|=V5|S|

10.如圖是某地一天從6點到14點的氣溫變化曲線，該曲線近似滿足函數(shù)：/'(%)=4sE(GX+仍+K，其

中：力>0,3>0,0V0V7T.則下列說法正確的有()

A.函數(shù)的最小正周期為167r

B.函數(shù)解析式為f(%)=lOsin^x+瑪+20

O4

C.函數(shù)在區(qū)間(2024,2025)上單調(diào)遞增

D.VxeR,/(I-x)+/(5+x)=40

11.已知函數(shù)/(%)=cos4%-sin4x,則下列結(jié)論正確的是()

A.f(x)的最小正周期為加

B./(%)的對稱中心為(kTT+?0),(keZ)

C./(%)的對稱軸為直線工=9,(k6Z)

D.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為他兀一?攵兀］,(〃6Z)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知=2,則sMacosa=____.

13.已知向量萬=(2,1),「=(1,-1),且巳與五+芯的夾角為銳角,則實數(shù)入的取值范圍是____.

14.在四邊形4BCC中，BC=2AD,點P是四邊形力BCD所在平面上一點，滿足通+2對+7而+無+8方=

6,點Q為線段4B的中點，則黑=_____.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

設(shè)x,yG/?,向量五=(%1),b=(l,y)?7=(2,-4),且往_Lb,b/fc.

(1)求同+,；

(2)求向量W+石與2益+石一？夾角的余弦值.

第2頁，共16頁

16.(本小題15分)

如圖，在梯形/BCD中，AB//CD,ABLAD,AB=2CD=4,E、尸分別為DC、CB的中點，旦前?并=2,

P是線段力8上的一個動點.

(1)若EF=mAB+幾4D,求mri的值;

(2)求的長；

(3)求而?方的取值范圍.

17.(本小題15分)

已知函數(shù)/'(%)=sin(2eox+＞0),若的最小正周期為TT.

(1)求/(X)的解析式：

XQ

(2)若函數(shù)g(x)=/2()-/(%)+施[一看中上有三個不同零點/，物x3＞且勺＜%2＜%3?

◎R實數(shù)a的取值范圍：

然2/+?。疽?求實數(shù)Q的取值范圍.

18.(本小題17分)

已知函數(shù)/(x)=Acos(a)x+(p)(A>0,a)>0,-^<(p<0)的部分圖像如圖所示.

(1)求/(無)的解析式及對稱中心；

(2)若/(%)=-/%￡[-,勺求%的值;

(3)若方程2/(x)-3/3=0在(0,m)上恰有5個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍.

第3頁，共16頁

答案解析

1.【答案】A

【解析】解：由題意cos（-2100，）=cos（-2100°+6x360°）=cos60°=

故cos（-2100。）的值堤.

故選：A.

利用誘導(dǎo)公式即可求解.

本題考查了誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：設(shè)7點￡分（30<t<60）時針。4與分針。8重合.

在7點時,時針0C與分針。。所夾的角為210°,

時針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°,分針每分鐘轉(zhuǎn)6°,

則分針從。。到達0B需旋轉(zhuǎn)6?！?忖針從0C到達04需旋轉(zhuǎn)0.5。3

于是6t=0.5t+210,

解得t=3哈=38（分）.

即這個時刻大約是7點38分，

故選:B.

利用時針和分針的關(guān)系建立等量關(guān)系，進行求解即可.

本題主要考查三角函數(shù)的弧度角的計算，根據(jù)條件建立分針和時針的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：因為8是第一象限角，且sin（?T）昊，

則cos（6+普）=cos[^+（0-^）1=-sin（e—3）=-1.

故選：D.

由題意利用誘導(dǎo)公式即可求解.

本題考查了誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查充分條件，必要條件，本題解題的關(guān)鍵是理解正弦值相同的兩個角之間的關(guān)系，是一個基礎(chǔ)題.

根據(jù)兩個角相等則兩個角的正弦值相等，而兩個角的正弦值相等，兩角不一定相等，可得出結(jié)論.

第5頁，共16頁

【解答】

解：???當(dāng)兩個角相等時，可以得到兩個角的正弦值相同，

即a=4=sina=sinp,

而當(dāng)兩個角的正弦值相等時，可以得到兩個角是終邊相同的角或終邊關(guān)于縱軸對稱的角,

即sina=sin。不能推出a=/?,

a=0是s出a=sin/?的充分不必要條件，

故選：A.

5.【答案】B

【解析】解:若銳角。、0滿足sina>sin/7,

則根據(jù)y=sinx^xe[0,勺上單調(diào)遞增,可得0V0vQ〈宏

對于4因為函數(shù)、="$%在[0與上單調(diào)遞減，所以cosaVcos/?,故/錯誤：

對干8,y=tazix在（0償）上單調(diào)遞增，可得tana>￡m/?,故8正確；

對于C,根據(jù)tcma>tan/?>0,兩邊都除以tanaUmS，可得石>。，故C錯誤.

綜上所述，8項正確，其它各項均不正確.

故選:B.

根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)對各項的結(jié)論依次進行驗證，即可得到本題的答案.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：???初0—石）=20,二^一五不二？。，?石二-4,

|a|=4,\b\=2,

j—工、林-41

'Ma，h>=^=T="?

v<a,~b>G[0,n],

,一W、27r

?,?<a,b>=—,

故選：c.

先求出優(yōu)石的數(shù)量積，再由向量的夾角公式，計算即可得到.

本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考杳向量夾角公式及計算，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

第6頁，共16頁

【解析】解：根據(jù)題意，p=p()e-H，

19k

由在前18個小時消除了19%的污染物，可得(1-0.19)po=Poe-,

解得仁-曙，

.Zn0.81

所以p=p()e18,

設(shè)污染物共減少10%需要花的時間￡，

lnO.812jt

-n08,n(081)二15

可得(1-O.l)po=PoeF=p0e^=p0e=p0?(0.81)西

f2t

所以0.9=(0.81)w=(0.9)18,

解得t=9.

故選:B.

pi/n0.81

根據(jù)題意，求得攵=一喀，得到p=p0eFt,設(shè)污染物共減少10%需要花的時間￡,得到(l—(M)po=

1no.81.

PoeF',結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，求得￡的值，即可得到答案.

本題主要考查了函數(shù)的實際應(yīng)用，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：因為E是對角線AC上靠近點C的三等分點，

所以荏=目就，

因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以融=而+荏=或+,前=一說+,(而+而)=一而+,而+,而=-^XB+IAD.

故選:A.

由向量的加減法，和數(shù)乘運算法則直接求解即可.

本題考查平面向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】BCD

【解析】解：根據(jù)題意可知，｛;二221]I解得｛；：；，貝狽=(3,4),方=(2,1),

4選項，3W+2了=3(3,4)+2(2,1)=(13,14),

因為3x14。13x4,則五與33+2石不共線，故力項錯：

B選項，2a-5b=2(3,4)-5(2,1)=(-4,3)?則(2萬-55)F=-12+12=0,

故(2方一55)1瓦，故8項對：

第7頁，共16頁

。選項，cos@B)=吾［==今工故。項對；

\a\-\b\5V55

22

0選項，同=，32+42=5,|^|=V2+l=V5,故同二門向，故。項對.

故選：BCD.

利用平面向量的坐標(biāo)運算可求出m、九的值，可得出向量工、石的坐標(biāo)，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可判斷

4選項；利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可判斷BCD選項.

本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【脩析】解：對于4由函數(shù)f(x)的圖象得，函數(shù)/(%)的最小正周期為7=(10—6)x4=16,選項力錯誤.

對于B,由題意得，解得A=10,K=20.

因為函數(shù)f(x)的最小正周期為7=16,所以3=手=卷

由/(14)=10si?i(^x14十卬)+20=30得，sin(與十w)=1，

所以與+0=1+2/CTT,kEZJ

由。＜9VTT得，(p=手所以/(x)=10s出("+苧)+20,選項2正確.

對于C,因為7=16,2024=16x126+8,2025=16x126+9,

所以函數(shù)/'(%)在區(qū)間(2024,2025)上的單調(diào)性與函數(shù)/(%)在區(qū)間(8,9)上的單調(diào)性相同，由f(x)的圖象可得，

函數(shù)/(%)在區(qū)間(8,9)上單調(diào)遞增，選項。正確.

對干0,/(I-x)+/(5+x)=40等價于/(3-x)+/(3+x)=40,

由/(x)的圖象可知，函數(shù)/(%)的圖象不關(guān)于點(3,20)中心對稱，選項。錯誤.

故選：BC.

根據(jù)圖象計算最小正周期可得選項/錯誤；根據(jù)函數(shù)圖象逐步計算力，K,38的值可得選項3正確；利用

函數(shù)的周期性可知函數(shù)在區(qū)間(2024,2025)上的單調(diào)性與函數(shù)在區(qū)間(8,9)上的單調(diào)性相同，結(jié)合圖象可得選

項。正確：利用函數(shù)中心對稱的性質(zhì)可得選項。錯誤.

本題考查了三角函數(shù)模型應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題.

11.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查三角函數(shù)的恒等變換，余弦函數(shù)的周期性、對稱性及單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題.

化簡得/■(%)=cos2x,利用余弦樂數(shù)的周期性、對稱性及單調(diào)性對各個選項逐一判斷即可.

第8頁，共16頁

【解答】

解：f(x)=cos4x-sin4x

=(cos2x—sin2x)(cos2x+sin2x)

=cos2x-sin2x=cos2x,

???f(x)的最小正周期丁=^-=n,故力正確；

令2%=碗十得％=竽+睡匕2),

故/(%)的對稱中心為(亨+，,0)(A￡Z),故8錯誤;

令2x=k7i(k￡Z),得x=：(k€Z),

故/(%)的對稱軸方程為“與(k€Z),故C正確；

令Zkn—n<2x<2kn(k6Z),得Er—^<x<kn(kEZ),

??.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［ErGZ),故。正確.

故選：ACD.

12.【答案】|

【解析】解：tana=2,

.1?r12tanar22

???s山acosa=5sm2a=，x=誨二U

故答案為:|

把所求的式子提取3后，先利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，然后再利用萬能公式化為關(guān)于汝如的式子，將

tana的值代入即可求出值.

此題考查了二倍角的正弦函數(shù)公式，以及萬能公式.熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】(—5,0)U(0,+8)

【解析】解：因為近=(2,1),b=(l,-l),

所以五+高=(2+兒1-A),

因為五與H十4的夾角為銳角，

所以五?0+拈)>0,且五與N+乃不同向共線，

由+入方)=4+2%+1—/1=5+/1>0,得力>一5,

當(dāng)V/Q+武)時，所以2(1-2)=2+九解得；1=0,此時N與2+日同向，

第9頁，共16頁

所以實數(shù)/I的取值范圍是(一5,0)U(0,+8).

故答案為:(-5,0)U(0,+8).

利用N?0+疝)>0且五與3+右不共線求解.

本題考查平面向量的數(shù)量積與夾角，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】|

【解析】解：由標(biāo)十2同十7而十A?+8而=6，所以麗一園十2瓦？+7而+近+8麗=6,

所以瓦5+8而+無+8而=6，所以同+近+8麗+8麗=5，

取E,F分別為8D,4C的中點，如下圖，

則2而+16而=1即方=-8而，所以而+前=-8而，

所以解=得病因為Q為4?的中點，所以QO/4ZQF//BC,又近=2而，則40〃BC,

所以QE〃力D,QF/?所以Q，E，F(xiàn)三點共線，

所以的=一；而，而=］正=而，所以并二評一迎二而一;而二;而，

所以而=一擊而，所以而=而+的=-5而，

所以I可=|肯砌=5而「所叫祟=余

7X\/\U\7

故答案為:1.

若E,F分別為BO,4C的中點，得到巨？=一:阮，根據(jù)已知得而=一言而，進而可得所=一。而，可求結(jié)

VloV

論.

本題考查了平面向量共線的性質(zhì)，屬于中檔題.

15.【答案】，而；

/13

丁

【解析】解:(1)由五1瓦b/fc,

可得工+y=0且-4—2y=0,

第10頁，共16頁

解得x=2,y=-2,

即3=(2,1),6=(1,-2),

則2+了=(3,-1),

則同+b\=V32+(-l)2=/To；

(2)由(1)知，22+1一金=(3,4),a+b=(3,-l),

所以何+方)?(2五+萬一0=5,|2a+b-c|=5,

設(shè)向量互+了與2瓦+E—7夾角為a,

(a+by(_2a+b-c)5E

則mil=1嬴府樂j=EF'

即向量五+石與2Z+石一下夾角的余弦值為零.

(1)利用平面向量的垂直與共線，列出方程組求解心y的值，從而可得五十石的坐標(biāo)，再利用模的運算公式求

解即可；

(2)由向量的坐標(biāo)運算可得2往+石一3計算0+了),(2五十石一7),然后結(jié)合向量夾角公式即可求得夾角余

弦值.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算，屬中檔題.

16.【答案】一/

2；

口5].

【解析】解：(1)由HF分別為CD,8C的中點，

則EF〃町EF=：BD,

由圖可得而=^DB=^(AB—AD)=rnAB+nAD,則m=1,n=—

所以mn=-1；

4

(2)由(1)可知即二^力豆一^力力，AC=^AB+Ab.

由4D1AB,則而.而=0，

AC-EF=^AB+AD)■-^AD)=^\AB\2~^\AD\2=2,

可得4一：|彳團2=2,解得|而|=2;

(3)設(shè)而=x而，0<x<1,則麗=(1-x)通，

第11頁，共16頁

由圖可得兩=而+而+屁=-％而+而+;荏=([-%)而+而，

而=麗+而=(1一%)而+2玩=(1一乃而+!(而+而+反)=(W一%)而+^而,

則而-PF=[(i-x)AB+AD][(l-x)^B+|^D]=(i-x)(1-x)\AB\2+1\AD\2

=(2-％+,)x16+[x4=16x2-16x4-5=16(x-i)2+l,

16ZZ

又0￡%三1,則無?冏E[1,5].

(1)根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，可得答案：

(2)利用同一組基底表示向量，根據(jù)數(shù)量積的運算律，可得答案；

(3)利用同一組基底表示向量，根據(jù)數(shù)量積的運算律，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

本題考查平面向量的線性運算及數(shù)量積運算，屬中檔題.

17.【答案】/(x)=sin(2x+弓)；

軟W):做6(51雷片).

【解析】解：⑴/(%)=￥COS2GX+JsE2cox=sin(2o)x+今)，

因為f(W的最小正周期為7T，所以？=〃，即3=1,

所以f(x)=sin(2x+j).

(2)①由(1)知/?(%)=sln2(2x十^)-astn(2x十g)十g

由—,WxwJ,可得+工，

6436

令1=sin(2%+《)則g(￡)=產(chǎn)-砒+*,0<t<1,

若函數(shù)gQ)=sin2(2x+^)-asni(2x+^)+先生[-，力有三個零點，

JO■OT

BPsin2(2x+j)-asin(2x+“+*=0在[一??有三個不相等的實數(shù)根，

也就是關(guān)于t的方程￡2-at+*=0在區(qū)間[0，)有一個實根，另一個實根在弓,1)上，

或一個實根是1，另一個實根在七,1),當(dāng)一個根在(0j),另一個實根在

4LL

3>0

p(0)>04

所以(g(g)vO，BP-J—號+弓〈0，解得：1VaVg

U(!)>04243

第12頁，共16頁

當(dāng)一個根為0時，即2=0,所以口=0,此時方程為12=0,所以￡=0,不合題意;

4

當(dāng)一個根是上即)一9+稅=°，解得。=1，

L4L4

此時方程為￡2-t+；=0,所以t=g,不合題意；

當(dāng)一個根是1，另一個實根在弓」)，

由1—Q+髀0得Q=￡此時方程為產(chǎn)一,+9=0,解得t=_l或￡=),

43333

這兩個根都不屬于4,1),不合題意，綜上a的取值范圍是(1《).

住1+攵=Q

②設(shè)G，12為方程/一砒+*n=0的兩個不相等的實數(shù)根，則1].匕=g，

由回，口<亡2，ti=sin(2%i+^)€(0,1),所以2與+?￡(0,，)，

即打6(一也一劫」2=sin(2x2+j)E(1,1),

所以2必+[W(3J)，即%2?(一相老),

由2%1+%2>—3得2%1>—[—%2，所以2無1+三>—彳一次+^二卷一丫2，

因為2無1+畀(0,看)，x2E(0i?)?

所以sin(2Xi4-^)>sin信一％2)，

所以siMQ]+“>siM*-皿)=…產(chǎn))=旦亭電，

所以2片>1一匕，

所以2(。-'了金>>1-。+子，整理得(a-l)(8a2-5a-4)>0,

因為a-1>0,所以8a2—5a—4>0,

z.nz(35—V153T5+V153

解得QV—77—或Q>—yr-，

io1O

T74,,4匚_/5+，1534、

乂1VQV彳，所以QG(——.

jio

(1)根據(jù)輔助角公式化簡即可.

(2)根據(jù)函數(shù)零點與二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于￡的方程，再利用韋達定理、三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

本題考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬難題.

第13頁，共16頁

18.【答案】f(x)=3cos(2x-Q對稱中心：弓+理,0),(&62)；

OD4

5TTTn

%=適或％=一不

/137roi

【解析】解：⑴由題意可得4=3,周期丁=4段一引=%，

則3=2,f(x)=3cos(2x+(p),

將點(工,—3)代入可得2x卷+@=2/CTT+nskEZ,

解得9=-5+2/nr(kWZ),v-y<(^<0,(p=-7,f(x)=3cos(2x-￡)；

OLa\JO

令2%—?=4九+3kezt解得3/竽,(kwz),

f(x)的對稱中心為(9+亭,0)，(攵6Z);

(2)由(1)知f(x)=3cos(2%一3)，

：?3cos(2x-])=一,，即cos(2x-7)=-x，

OLoL

2x-7=^+2/CTT或2x-7=4r+2kn,kEZ

6360

又“6[-與6]，

?,?%=瑞或%=一去

(3)由(1)知/'(x)=3cos(2%-。則9。)=2/(%)-3后=6cos(2x-^)-373,

由函數(shù)g(x)=2/(%)-在(09)上恰有5個零點,

即6cos(2%-看)-3門=0在(0,m)上恰有5個解，

即cos(2x-2)=坐在(0,m)上恰有5個解，

6L

vxG(0,?n),???t=2xe(-J),

、/Obo

第14頁，共16頁

即函數(shù)y=costly=苧在區(qū)間￡€(Y，2mY)有5個交點，

則第<2小一，4爭，解M^〈mW37T,

oOOO

故瓶的范圍為(早,3用.

(1)由函數(shù)/(%)的圖像得到A和周期T，然后求得3,通過點坐標(biāo)，得到仍即求得函數(shù)解析式，由余弦函數(shù)

的對稱中心得到函數(shù)的對稱中心；

(2)由(1)得到方程，結(jié)合題目給到的區(qū)間求得對應(yīng)的x的值；

⑶整體題中方程得cos(2%—?=苧,由“取值范圍求得2%-例范圍，由題意得到2%一看最大值的不等式,

解得