專題06利用等腰三角形的三線合一作輔助線的二類綜合題型

目錄

典例詳解

類型一、等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線

類型二、等腰三角形中底邊無(wú)中點(diǎn)時(shí)，作高

壓軸專練

覆,類型一、等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線

模型解析：等腰三角形中底邊有中點(diǎn)，連中線

直接用“三線合一”，①A用AC;②③8D=OC;④N1=N2.知2推2原貝h

連中線用“三線合一”，若AB=AC,〃O=C&?則4O_LBC,Z1=Z2.

例如圖，已如VA3C中，AB-AC,ZBAC-90°,直角的頂點(diǎn)F是〃。中點(diǎn)，兩邊FE、PF分

別交人8、C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F.求證：AE=CF；

F

\\A

C

P

E

【答案】見(jiàn)詳解

【分析】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，中線的性質(zhì)，掌握以上知

識(shí)是解題的關(guān)鍵.

先證明VEPB絲VfPA(ASA),得AF=BE,再由已知條件即可求證；

【詳解】證明：如圖，連接AP,

「A8=ACN8AC=90°,點(diǎn)P是中點(diǎn),

:.AP±BC,AP=-I3C=PB,

2

ZAPB-90°,NBAP-ZABP-45°,

NEBP=180。-Z4Ap=180。-45。=135。,

ZFAP=N/X4+NBAP=90°+45c=l35°,

:"EBP=NFAP,

NE尸尸=90。，

/.ZEPB+NBPF=ZBPF+ZFPA,

:.ZEPB=Z.FPA^

在△EPB和VfBA中：

/EBP=ZFAP

AP=BP,

NEPB=ZFPA

■.VETO^VFPA(ASA),

*.A卜=B七,

AB=ACt

AC+AF=AB+BE,

即b=AE.

【變式17］如圖，在V48C中，AB=AC,過(guò)BC的中點(diǎn)。作。石上八8,DF1AC,垂足分別為￡、F.

B

D

⑴求證：DE=DFx

⑵若N8/)￡=55。，求/K4C的度數(shù).

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)110度

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握等腰三角形“三線合

一"，”等邊對(duì)等角〃，角平分線上的點(diǎn)到兩端距離相等，以及三角形的內(nèi)角和是180度，是解題的關(guān)鍵.

(1)連接AO,根據(jù)"三線合，'得平分/班C,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，即可求證；

(2)先根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余得出N8=35。，再根據(jù)“等邊對(duì)等角〃得出NC=N8=35。，最后根據(jù)

三角形的內(nèi)角和定理，即可求解.

【詳解】(1)證明：連接A。，

AB=AC,D是8C的中點(diǎn),

平分NB4T,

\-DE±AB,DFJ.AC,

:.DE=DF.

(2)解：：DELAB,

.?."￡7)=90°,

-.ZBDE=55°,

.-.ZB=35°,

AI3=AC,

:./C=4=35。，

ZBAC=110°.

【變式1-2］如圖，在VA8C中，AB=AC,。是AC的中點(diǎn)，過(guò)A作律〃8C,且AE=".求證:

:.NB=/C,

在jRDG和△CD”中,

NB=ZC

、BD=CD

NBDG=NCDH

△BDG出△CO”(ASA),

:.BG=CH.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，余角的

性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3］如圖，在RtZ\48C中，ZACB=90°,AC=BC,。為AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)、E、尸分別在射線C4、

BC上，且NED尸=90。，連接即.

⑴如圖1，當(dāng)點(diǎn)E、尸分別在邊C4和8C上時(shí)，連接CO,

①證明：^ED^CFD.

②直接寫出SvEFC，EFD和SAtc的關(guān)系是：_

⑵探究：如圖2,當(dāng)點(diǎn)￡、尸分別在邊C4、8。的延長(zhǎng)線上時(shí)，5最楨，SVE4和S.c的關(guān)系是：_

⑶應(yīng)用：若4C=6,A￡=2,利用上面探究得到的結(jié)論，求力的面積.

【答案】(1)①見(jiàn)解析；@—sABC=sEFD+sEFC

(2)—SABC+S.EFC=S.EFD

(3)5或17

【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)和判定

【分析】本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)及三角

形的面積等，根據(jù)圖形構(gòu)造全等三角形求解即可。

(I)①連接CD,叩可證明AAH)且△CFO；②根據(jù)看圖即可得出結(jié)論；

（2）連接CO,即同（1）可證明△AEQ四△CTO,根據(jù)八4瓦）也△CFD看圖即可得出結(jié)論:

（3）根據(jù)（1）,（2）中的結(jié)論，代入求解即可。

【詳解】（I）證明：①如圖，連接CO

在RtZXABC中，AC=BC,。為A8邊的中點(diǎn),

回CD_LA8,ZA=N8=45。，

0Z4=ZACD=45°,

QlzMDC是等腰直角三角形，

^AD-CD,

(?1ZDCF=Z4=45\

田NE/萬(wàn)=90°,

0ZEZ)C+ZCDF=90°,

團(tuán)N4DE+/EDC=90°,

田ZADE=NCDF,

在VAOE和VC。尸中，

Z4=ZDCF

?AD=CD,

ZADE=/CDF

團(tuán),AE慮CFZ)(ASA).

②?AAEDgACFD,

團(tuán)S&AED=S4w

根據(jù)圖中所示，

ADC=S.EFD+$.EFC>

團(tuán)。為48邊的中點(diǎn)，

回S.w=_5ABC.

問(wèn)ABC=SEFD+,EFC-

在RtZ\ABC中，AC=BC,。為A8邊的中點(diǎn),

團(tuán)CD_LA8,NC40=N8=45。，

0ZC4￡>=Z4CD=45°z

回zvwx"是等腰直角三角形，

^\AD=CDf

0ZACD=ZBCD=45\

0180°-ZAC/9=180°-N4CO

即NEAD=NFDC,

回㈤）F=90°,

回ZADF+ZEDA-90,

□ZADF+ZFDC=90°,

^ZEDA=ZFDC,

在VAOE和VC。尸中，

ZEAD=/FCD

AD=CD,

/EDA=ZFDC

0^AE￡>^_CFD（ASA）.

田△AEDqMFD,

團(tuán)S八人松=SACFD/

根據(jù)圖中所示，

0.ACDT°EFC~0EFD，

團(tuán)力為AB邊的中點(diǎn),

團(tuán)S.40c=-5ABC.

=

團(tuán)QS,\BC+S.EFCSEFD,

（3）如（1）中結(jié)論，

0AC=6>AE=2,

22

0S,.A?nCr=-24C2=-x6=1'8,

S￡rc=|cFCF=^A￡：（AC-AE）=1x2x（6-2）=4,

團(tuán)5sABC=SEFD+SEPC>

X

七E廣F〃D=-2SABC-SMEFFCC=2-\3-4=5.

②如（2）中結(jié)論，

回AC=6?AE=2，

0S.=-4C2=-X62=18,

<wr22r

SEFC=^CFCE=^AE（AC+AE）=^X2X（6+2）=S,

同5sABC+SEFC=SEFD，

團(tuán)SEFD=LSABC+SEFC=-X18+8=17

,fcrZy2.crC?

國(guó)類型二、等腰三角形中底邊無(wú)中點(diǎn)時(shí)，作高

1.三線合?性質(zhì)核心應(yīng)用：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。即使底邊

無(wú)中點(diǎn)，作底邊的高后，高同時(shí)成為底邊中線，可將等腰三角形分成兩個(gè)全等直角三角形，利用直角三

角形性質(zhì)（如勾股定理）求解邊長(zhǎng)、角度等。

2.輔助線與轉(zhuǎn)化思想：作高是關(guān)鍵輔助線，將等腰三角形轉(zhuǎn)化為宜角三角形，把非中點(diǎn)條件轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)

條件，結(jié)合全等三角形判定（〃匚）和直角三角形邊角關(guān)系，實(shí)現(xiàn)未知量向已知量的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)幾何中化

歸的重要思想。

例2.在VA4C中，點(diǎn)RE是邊6c上的兩點(diǎn).

A

AA

圖1圖2備用圖

⑴如圖I,若A3=AC,AD=AE.求證：BD=CE；

⑵如圖2,若N8AC=90。，我\=BD,設(shè)N8=x。，^CAD=y°.

①猜想）'與x的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②在①的條件下，CA=CE,請(qǐng)直接寫出/D4E的度數(shù).

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵①x=2y：②45。

【分析】（I）過(guò)4作AF/BC于凡根據(jù)三線合一得到8斤=。尸，DF=EF,利用線段的和差可得結(jié)果;

（2）①根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和求出N5AO=NBD4=9（）o-gx。，再根據(jù)44。+/0。=90°,>

理可得結(jié)果：②根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和求出北越=/田=90。-3",再根據(jù)

ZZKE=ZZMP+ZC4E-90°,代入化簡(jiǎn)可得結(jié)果.

【詳解】（1）解：如圖，過(guò)A作八/18c于R

0AB=AC,AD=AE,

團(tuán)8F=C/，DF=EF,

^BF-DF=CF-EF,^BD=CE,

圖1

(2)①猜想：x=2y,理由是：

^BA=BD,N8=x°,

回NBAD=NBDA=1(180°-ZB)=90°-1x°,

回NR4C=90°,ZCAD=yG,

團(tuán)NR4O+NC4O=90°,即90°-；x°+)，。=90°,

整理得：x=2y；

@^CA=CE,

0ZCXE=ZCE4=^(18OO-ZC)=9O°-1ZC,

HZB4D=ZeDA=1(l800-Zfi)=90o-|zfi,

0Z￡ME=z^4￡>+ZC4E-9O0

=900--Z?+900--ZC-90°

22

=900_g(NB+NC)

=90。-；(180。-"AC)

=900-1(180°-90°)

=45°.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和，角的和差計(jì)算，解題的關(guān)

鍵是利用這些性質(zhì)找出角的關(guān)系.

【變式2-1】已知在VA8C中，AB=AC,且N8AC=a,作等腰AC。，使得AC=CZ）.

mi圖2符用圖

⑴如圖1,若NACD與284c互親，貝lj〃46=;（用含4的代數(shù)式表示）

（2）如圖2,若乙4C。與N84C互補(bǔ)，過(guò)點(diǎn)C作C"_LA。于點(diǎn)H,求證：CH=；BC；

⑶若VA8C與「.ACZ）的面積相等，請(qǐng)直接寫出NACO的度數(shù).（用含。的式子表示）

【答案】⑴45。+：。

(2)見(jiàn)解析

(3)180°a或a

【分析】（I）根據(jù)ZACO與/B4C互余得乙億7）=90。-a,根據(jù)等腰三角形兩底角相等得？OAC45?-a,

即可求出ND48的度數(shù)：

（2）^AELBC,根據(jù)A4S證明；AEC0二A/7C,則C〃=CE,由等腰三角形三線合一可得CE=：3C,

因此CH=g8C,問(wèn)題得證；

（3）由VA4C與A8的面積相等得高相等.情況①：作OE_ZACRE,笈/工AC于F,根據(jù)HL可得

DE%NBFA,則可得ZACD=ZBAC；情況②:AS是鈍角三角形，作BG_LAC于G,作DN垂直［AC

的延長(zhǎng)線7N,根據(jù)HL可得，A6Gyaw,則可得N34C=NDCN,由「NDCN與N4CD互補(bǔ)，因此

NBAC與NACQ互補(bǔ)，即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）解：?，“BC中，AB=AC,且N8AC=a,

N4CB=N/WC=，（180。-a）=90。」。

22

.ZACD+NBAC=90。,ZBAC=a,

...NAC/)=90。-NB4C=90°-a,

AC=CD,

\?CAD?D45?-a,

2

?DAB1DAC2BAC

=45。」。；

2

故答案為：45。一Ja；

（2）證明：如圖，過(guò)人點(diǎn)作AE_L8C于E點(diǎn),

V4BC中，AB=AC,AELBC,

ZAEC=90。,EC=-BC,

2

AC。中，CA=CD,CH±AD,

NAHC=90°,ZACH=ZDCH=；ZACD,

ZAEC=ZAHC,

AB=AC,^BAC=a,

\?ACB?BJ([80??BAC)

=；(180?！猘)

=90°--a,

2

ZACD+ZBAC=180°,

ZACD=180°-Z8AC=180°-a,

\?ACHg?ACO!(180?a)=90?5，

:.ZACB=^ACH.

在aACE和，AC”中，

ZAEC=NAHC

,乙ACB=tACH,

AC=AC

%.ACEgACH,

田CH=CE,

^CH=-BC；

2

(3)解：①如圖，作OE1AC干E，BFJ.AC于F,

團(tuán)VA3C與?.AC。的面積相等，

中DE=BF,

又RNOEC=NM4=90。，DC=A8

氏DE(WYBFA,

團(tuán)NDCE=N84尸，

即ZACD=^BAC,

NBAC=a,

/.ZACD=a；

②如圖，作8GJ.AC于G,作DV垂直于AC的延長(zhǎng)線于N,

團(tuán)AB=AC,AC=CD,

團(tuán)AB=C￡>,

團(tuán)VABC與,.ACD的面積相等，

中BG=DN,

區(qū)ABGACDN,

團(tuán)4AG=N"7V,

ZACD+ZDCN=\SO0,

團(tuán)ZACO+N班C=180。，

￡BAC=a,

\?ACD180?a,

綜上，4。。=2或180。-0.

【點(diǎn)睹】本題主要考查了等腰三隹形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，同底等高的兩個(gè)三角形面積相等，.

熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2］在VABC中，AB=AC,過(guò)點(diǎn)C作射線C*,使NAC9=4CB（點(diǎn)與點(diǎn)B在真線AC的異

側(cè)）點(diǎn)。是射線ar上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)。重合），點(diǎn)E在線段8c上，且皿正+ZA8=90°.

圖I圖2

⑴如圖I,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，A。與C9的位置關(guān)系是_,若BC=a,則CD的長(zhǎng)為「（用含。的式子

表示）

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接OE.

①用等式表示NR4C與NZME之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

②用等式表示線段BE,CD,DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】⑴互相垂直；

(2)①N朋。=2N/M￡,證明見(jiàn)解析；②BE=CD+DE,證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得AD與C&的位置關(guān)系是互相垂直，過(guò)點(diǎn)A作/?于點(diǎn)根

據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到CM=BM=\BC=\a,利用AAS證明一ACZ)經(jīng)MCM,根據(jù)全等三免形性質(zhì)即可

22

得出CZ)=CM='a；

2

(2)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，①過(guò)點(diǎn)4作AM8c于點(diǎn)M、ANJ.C&于點(diǎn)M利用AAS證明.ACDg一ACM,

根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得到ZBAC=2ND4E:

②在"C上截取"“一8,連接"，利用SASiiE明ZM。"今"C￡>,根據(jù)全等二角形性質(zhì)得到"二八￡>,

/胡/=NC4。，根據(jù)角的和差得至|JNFAE=ND4E,再利用SAS證明△必月名△D4K,根據(jù)全等三角形性

質(zhì)及線段和差即可得到BE=CO+O￡.

【詳解】(1)解：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，ZmE=ZDAC,

回/04￡+448=90°,

0ZZMC+ZACD=9O°,

0Z4ZX7=9O°,

團(tuán)ADJ_CB',

即AD與CB'的位置關(guān)系是互相垂直，

若BC=a,過(guò)點(diǎn)4作AW_L8C于點(diǎn)M,如圖:

則ZAMC=9(r=ZADC,

團(tuán)AB=4C,

團(tuán)CM=/3M」4C=L,

22

在4八8與△ACW中,

ZADC=NAMC

/AC。=/ACM

AC=AC

回,ACD^_ACM（AAS）,

^CD=CM=-a,

2

即CD的長(zhǎng)為go,

故答案為：互相垂直；（a：

2

（2）解：①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，用等式表示N84。與ND4E之間的數(shù)量關(guān)系是：ZBAC2ZZME,

證明如下：

過(guò)點(diǎn)4作AA/J.BC廣點(diǎn)M、AN工CB'1點(diǎn)、N,如圖：

則NAMC=N/WC=90。，

團(tuán)NCW+ZAC夕=90。，

0Zn4￡+ZACD=9(F,

即/D4E+NAC8'=90。，

^ZDAE=Z.CAN,

團(tuán)ZBAC=2ZG4M=24BAM,

在△ACV與△ACW中，

ZANC=ZAMC

-4ACN=NACM,

AC=AC

巴ACN-ACM(AAS),

0ZCW=ZC4M,

^ZBAC=2ZCAM=2ZCAN=2ZDAE；

②用等式表示線段3七，CD,Z)E之間的量關(guān)系是：BE=CD+DE,證明如卜:

在8c上截取=連接A/，如圖：

團(tuán)48=AC,

團(tuán)4=乙4。8,

團(tuán)NAC8'=NAC3,

mZB=ZACB,=ZACD,

在△AB尸和4c。中，

AH=AC

</B=NCD,

BF=CD

區(qū)A￡井口ACO(SAS),

^AF=AD,NBAF=NCAD,

回ZBAF+ZCAE=ZCAD+ZC4E=ZDAE,

由①知：/BAC=2ZDAE,

即^DAE=-BAC,

2

團(tuán)NBAF+ZCAE=-N8AC,

2

0/FAE=N3AC-(4BAF+ZC4E)=g4BAC,

^ZFAE=ZDAE,

在.E4E和,.DA石中，

AF=AD

^FAE=ZDAE,

AE=AE

團(tuán),.E4E@ZME(SAS),

NFE=DE,

@BE=FE+BF=CD+DE.

壓軸專練

一、單選題

1.如圖，VA8C中，AB=AC,。是8c中點(diǎn)，下列結(jié)論中不正確的是（）

C.AD1BCD.AB=2BD

【答案】。

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形三線合?的性質(zhì)可得AD/BC,A。平分

“BAC,從而判斷B與C正確：由等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)可判斷4正確；根據(jù)已知條件不能判斷。

正確.

【詳解】解：E1VA8C中，AB=AC,。是3c中點(diǎn)

回人。_L4C,NB=NC,ZBAD=ZCADf即AO平分Z8AC,

故A、B、C三項(xiàng)正確，。不正確.

故選:D.

2.如圖，已知VA4C的面積為12,3P平分/A4C,且于點(diǎn)尸，則AAPC的面積是（）

A.1()B.8C.6D.4

【答案】C

【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，主要利用了等底等高的三角形的面積相等，

作輔助線構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵.延長(zhǎng)AP交AC于E，根據(jù)已知條件證得j.AB心，.及滬，根據(jù)全

等二角形的性質(zhì)得到AP=PE,得出S△48夕=S^EBP.S&CP=S△或°,推［出SplfC=—SABC.

【詳解】解：延長(zhǎng)/4P交3CJE,

BP平分/ABC,

:&BP=NEBP,

APIBP,

；.ZAPB=/EPB=90。,

在一A3P和中，

NABP=NEBP

BP=BP,

/APB=NEPB

..△AB儂△EBP(ASA),

：.AP=PE,

5ABP=SEBP，S&ACP=S&ECP?

???Sp友=；SAA..=gxl2=6,

故選：C.

3.如圖，在等腰VABC中,AB=AC,N8=50。，點(diǎn)D為邊3。的中點(diǎn)，點(diǎn)七在邊48上，Z4ED=69°.若

點(diǎn)?是等腰VA8C?的腰AC上的一點(diǎn)，當(dāng)△石加為等腰三角形時(shí)，則N"陰的度數(shù)是()

A.69°B.100°C.142°D.100。或142。

【答案】。

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，過(guò)。作OH_LAC,DGLAB,易證

RtDEG^RtDP2H,Rt.DEG^R\.：DPXH,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和360。即可得到答案.

【詳解】解:連接AO,

團(tuán)AB=AGN8=500,

0ZBAC=180°-50°-50°=80°,

團(tuán)點(diǎn)，是等腰的腰AC上的一點(diǎn)，AD-AC,。為〃。的中點(diǎn)，

團(tuán)NR4O=NC4。，

過(guò)D作O//J.AC,DGLAI3,,

@DG=DH,

在RtVOEG與RtDRH中，

DG=DH

DE=DP,'

回RiDEG^RtO[”（HL）,

回NA[Q=/A￡Q=69。，

團(tuán)NR4C=80。，

0NEDR=360°-ZAED-ZAP.D-NBAC=360°-69°-69°-80°=l42°,

同理可得RJOEG絲Rt_O6〃（HL）

田NEDG=NP>DH,

0NED匕=NGDH=360°-80°-90°-90°=100°,

綜上，/EDP的度數(shù)是100°或142。，

故選；D.

4.如圖，在VA8C中，AB=AC,AD平分N84C,DELAB,DFLAC,E,尸為垂足，則下列結(jié)論：(1)

BD=DC；(2)NK4D=NC4。；(3)ADJ.BC；(4)DE=DF,其中正確的個(gè)數(shù)有()

A.1個(gè)8.2個(gè)C.3個(gè)O.4個(gè)

【答案】。

【分析】本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，根據(jù)等腰三角形三線合一的

性質(zhì)可判斷(I)(2)(3),根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可判斷(4).

【詳解】解：-AB=AC,A。平分/班。，

BD=DC,ZBAD=ZCAD,AD1BC,

故(1)(2)(3)正確，

?；4O平分NMC,

：.DEA.AB,DF1AC,

：DE=DF

故(4)正確，

綜上，一共有4個(gè)正確，

故選：D

二、填空題

5.如圖，在VA5c中，A8=ACA。是邊4c上的中線.若NK4C=108。，則N8AO的度數(shù)為.

【分析】本題考查了等腰三角形的三線合一，因?yàn)锳8=AC,A。是邊3C上的中線，所以VA8C是等腰三角

形，AO平分N84C,結(jié)合NBAC=108。，即可作答.

【詳解】解；團(tuán)在VABC中，A〃=4C,A￡＞是邊BC上的中線,

團(tuán)VA8C是等腰三角形，A。平分/84C,

團(tuán)447=108。，

回4A。」4/9=54。

2

故答案為:54。

6.如圖，在VA8C中，AO是3c邊上的中線，作跖_(tái)LAO,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.已知AC=S,4E=9,

那么AD=.

【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的三線合一，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形

是解題關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)C作CFLAE于點(diǎn)F,先證出BD喀CDF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得OE=OF,再

根據(jù)等腰三角形的三線合一可得4尸=。尸，然后根據(jù)線段的和差求解即可得.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作。/_14￡廣點(diǎn)產(chǎn)，

@ZC/D=90°,

0BE±AD,

0ZE=9O°,

團(tuán)在VA4c中，40是4c邊上的中線,

^BD=CD,

在V8DE和VC。/中，

ZE=ZCFD=90°

NBDE=ZCDF,

BD=CD

團(tuán)，8DE絲.CDRAAS),

國(guó)DE=DF,

又l?AC=CD,CF1AE,

^AF=DF,

田DE=DF=AF,

^AF+DF+DE=AE=9,

團(tuán)DE=DF=AF=3,

回AD=AF+DF=6,

故答案為:6.

7.如圖，在RtAABC中，AB=BC,47=2,把一塊含30。角的三角板DE"的直角頂點(diǎn)。放在AC的中

點(diǎn)上（兩直角邊。石，。尸分別與8C,48相交），則三角板力）與V4BC重疊部分的面積是.

CDA

【答案】1/0.5

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，由“ASA〃可證△ADV和,全

等，可得小，=5睥，即可求解.

【詳解】解例如圖，連接8。，

回A8=8C,AC=2,NA8C=9G。,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn),

^BD=AD=-AC=\ZCBD=ZA=45°,

2f

0BD14C,

0Z4￡>B=ZEDF=9O°,

DZBDM=ZADN,

在△ADN和BZW中，

NBDM=ZADN

■BD=AD,

NBDM=NADN

回一AON言二BDM(ASA),

團(tuán)SADN=SBQM?

團(tuán)S四邊形BMDN=SABO=/X1X1=/,

故答案：J.

8.如圖，在VA8C中，4。是8c邊上的高，過(guò)點(diǎn)A作AE〃3C,并且使AE=AC,尸是AC上一點(diǎn)，連接

EF,使砂=A3,EF交AB,4。于G,H兩點(diǎn)，若5CD=2BD,則《嘩=

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)

鍵.延長(zhǎng)6c至點(diǎn)M,使CA7=A/，證明二EAbSMCMeAS),推出所==AAf,S曰尸=SACM,由等腰

3SAf{CSARCBC7

角形三線合一的性質(zhì)，可得BD=MD,結(jié)合58=25￡>,推出CM=]4C,可得——=一"=---=-

s語(yǔ)S刈CM3

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)區(qū)C至點(diǎn)M,使C"=A尸，

\..AE//BC,

B/TD\C\M

ZEAF=ZACM,

在尸和zMCM中,

AE=AC

Z.EAF=/ACM,

AF=CM

fAF^ACM(SAS),

EF=AM,S曰尸=SACM,

EF=AB、

「?AM=AB,

AO是BC邊上的高，

.1.ADJ.BC,

BD=MD,

5CD=2BD,

2

ACD=-BD,=-BC,

55+27

23353

CM=DM-CD=BD一一BD=-BD=-x-BC=-BC,

55577

rJ

°ABC_°ABCBC_BC—

.'SAEFSACM

CM1BC3，

7

故答案為：-7.

3

三、解答題

9.如圖，在VABC中，AB的垂直平分線所交AC于點(diǎn)E,交AS于點(diǎn)尸，。為線段CE的中點(diǎn)，BE=AC.

(2)若N3AC=72。，則NC4O的度數(shù)為.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)18°

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，等

腰三角形的三線合一、等邊對(duì)等角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=8石，從而可得AE=AC,然后根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)

即可得證：

（2）根據(jù)等邊對(duì)等角可得NC=ZAEC,根據(jù)三角形外珀的性質(zhì)可得NC=ZA￡C=245,然后

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】（1）證明：連接4七，

AB的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)、E，

:.AE=BE,

BE=AC,

AE—AC，

。為線段CE的中點(diǎn)，

AD±BC；

(2)解：:AE=BE,

:.ZB=ZBAE,

ZAEC=NB+/BAE=2N8,

由(1)知，AE=AC,

.*.ZC=ZA￡C=2ZB,

^BAC=72°,ZBAC+ZB+ZC=180°,

.?"=36。，ZC=72°,

?.AD工BC,

.?.zC4￡>=90°-ZC=18°.

故答案為：18。.

10.如圖，點(diǎn)。、E在VA8C的邊上，AB=AC,AD=AE.

BDEC

⑴求證：BD=CE：

（2）若5D=人力，ZB=ZDAE，求N84C的度數(shù).

【答案】（I）見(jiàn)解析

⑵N8AC=108。

【分析】（1）作AF工BC于點(diǎn)F,利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到BF=CF.DF=律，相減后即可得到

正確的結(jié)論.

（2）由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到NfiAF=NC4F,ZDAF=ZEAF,即可得至ljNBAD=NC4E,設(shè)

ZB=x°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得x+x+3x=18O,解題即可.

【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)A作A/^BC尸凡

0AB—AC,AD—AE.

田BF=CF,DF=EF,

^BD=CE.

(2)^AB=AC.AD=AE,AF1BC,

^ZBAF=ZCAF,^DAF=ZEAF^/B=NC,

^ZBAD=^CAE,

^ZBAD=ZB,

設(shè)/B=x°,jJiiJZBAD=ZC4E=ZC=ZDAE=,

0ZBAC=3x°,

根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得x+x+3x=180,

解得：x=36,

0Z5AC=108°,

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，方程思想，熟練掌握等腰三角形的三線合一

是解答此題的關(guān)鍵.

11.如圖.已知VABC中，NACB=90。，點(diǎn)。是邊上一點(diǎn).連結(jié)CO,過(guò)點(diǎn)。作。石工CO,交BC于

點(diǎn)E,且有AC=AO=CE.求證:

（2）CD=2DE.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【分析】本題考查全等三角形判定及性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，這些知識(shí)點(diǎn)的掌握是正

確解題的關(guān)鍵.

（1）由垂直的定義得到NCDE=90°,再根據(jù)N4C8=90。，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論：

（2）取CO的中點(diǎn)R連結(jié)A尸，則C尸=0產(chǎn)=；8,由等腰三角形的性質(zhì)得到NAFC=NCDE=90。，由

（1）知NAC0=NCE￡＞：證明A4bMCED（AAS）,即可證明結(jié)論.

【詳解】（1）證明：團(tuán)448=90。，

0Z4CD+ZBCD=9O°,

0ZCDE=9O°,

0ZCED+Z5CD=90°,

（?]Z4CD=ZC￡D：

（2）證明：取CO的中點(diǎn)尸，連結(jié)A/，則。'=。/=g。，

.-.Z4FC=ZCDE=90°,

rh(1)知乙4CD=NCa)：

AC=CE,

...ACF^CED(AAS),

:.CF=ED,

:.CD=2DE.

12.如圖1,在RlZUBC中，ZC=90°,AC=8C,點(diǎn)尸是斜邊A4的中點(diǎn)，點(diǎn)D,E分別在邊AC,8C上,

（2）若點(diǎn)。，E分別在邊八CC3的延長(zhǎng)線上，如圖2,其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立？并加以證明；

（3）在（I）或（2）的條件下，是否能成為等腰三角形？若能，請(qǐng)直接寫出"EB的段數(shù)（不用說(shuō)理）；

若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵成立，見(jiàn)解析

（3）能成為等腰三角形，此時(shí)APEB的度數(shù)為22.5?；?7.5。或90°或45°

［分析X1）連接PC,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得ZDCP=45。=,從而得到CP=B尸，再由PD_LPE,

可得ZDPC=/EPB,川證得ADPC當(dāng)AEPB,即可求證：

（2）連接PC,根據(jù)等腰史角三角形的性質(zhì)可得NECP=45o=ZABC=4=NACP,從而得到CP=AP,

再由ePDJ_PE,bJ_AB,可得ZAPD=NCPE,可證得即可；

（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分四種情況討論，即可求解.

【詳解】（1）明團(tuán)連接尸C,

0ZA=ZB=45°,

田。為斜邊A"的中點(diǎn),

團(tuán)CPJ_A8,

0ZDCP=45°=Z5,

⑦CP=BP,

Sim±PE,

0"PC+NCPE=Z.CPE+/EPB=90°,

⑦ZDPC=NEPB,

在△OPC和△EP8中，

NDCP=/B

4PC=PB,

4DPC=NEPB

[?]ADPC^/\EPB(ASA),

^m=PE\

(2)解：PD=PE仍成立,理由如下：

連接CP,

0ZC=9O°,AC=BC,

0Z4=ZABC=45°,

田。為斜邊AA的中點(diǎn)，

團(tuán)CP_LA4,

0ZECP=450=ZABC=ZA=AACP,

^CP=AP,

又l?P￡>_LP￡,CP_LA3,

^ZDPE=ZCPA=90°,

0ZDPE+NCPD=/CPA+/CPD,

(7]ZAPD=ZCPE,

在△APO和△(?莊中,

NPAD=ZPCE

<PC=PA,

ZAPD=NCPE

0/\APD^ACPE（ASA）,

田PD=PE；

（3）解：APBE能成為等腰三角形，

①當(dāng)點(diǎn)E在C8的延長(zhǎng)線上時(shí)，則ZE=ZBPE,

又RZ￡+/BPE=ZABC=45°,

0ZPE5=22.5°；

A

k

②當(dāng)點(diǎn)E在C8上時(shí)，則/PE8=NBPE=1（|80°-45°）=67.5°；

:b\

cEB

③當(dāng)EP=EB時(shí),則N8=N8PE=45。，

0"EB=1800-NB-NBPE=90°；

A

4K

LEB

④當(dāng)b=/孫點(diǎn)E和C重合，

0ZPEfi=ZB=45°；

。⑹B

綜上所述，能成為等腰三角形，NPEB的度數(shù)為22.5?；?7.5?；?0?；?5。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，全

等三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

13.已知V48c中，AB=AC,BC=6.點(diǎn)〃從點(diǎn)8出發(fā)沿射線班移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)。出發(fā)沿線段AC的

⑵如圖②，當(dāng)點(diǎn)P為A8的中點(diǎn)時(shí)，求。。的長(zhǎng)；

(3)如圖③，過(guò)點(diǎn)P作PE上BC于點(diǎn)E,在點(diǎn)〃從點(diǎn)4向點(diǎn)A移動(dòng)的過(guò)程中，線段OE的長(zhǎng)度是否保持不變？

若保持不變，請(qǐng)求出0E的長(zhǎng)度，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(I)見(jiàn)解析

嗚

(3)線段。E的長(zhǎng)度保持不變，3

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等.熟練掌握全

等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意得出BP=CQ，根據(jù)等邊對(duì)?等角得出N3=NAa,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出/尸廠3=NAC3,

推得“=N/7話，根據(jù)等角對(duì)等邊得出8。=。，推得G=C2,根據(jù)全等三角形的判定定理即可證明；

(2)過(guò)戶點(diǎn)作刊"AC交4c于尸，先推得尸C=gAC=3,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CO=OP,即可

求解；

(3)過(guò)點(diǎn)P點(diǎn)作P尸〃AC交于尸，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出的=所，根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)得出CD=O產(chǎn)，即可推得。E=,BC=3.

2

【詳解】(1)證明：團(tuán)點(diǎn)P、。移動(dòng)的速度相同,

[38P=CQ,

團(tuán)八B=AC,

團(tuán)4=NACB.

團(tuán)尸尸〃AQ,

中"FB=ZACB

?ZB=NPFB,

05P=fP，

團(tuán)FP=