2024?2025學(xué)年內(nèi)蒙古赤峰實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

l.sin585°的值為()

,r

A/V2「p.C

A.--B.—C.--D.—

222/

2.Tn=(3,-2),n=(l,x),若沅1(沆+元)，則7=()

A.-8B.-6C.6D.8

3.下列四個函數(shù)中，以兀為最小正周期，且在區(qū)間G，TT）上為減函數(shù)的是（）

A.y=2\sinx\B.y=cosxC.y=si〃2xD.y=|cosx|

4.如圖，在矩形4BCD中,4是CD的中點(diǎn),則()

C.AC=AM-lBM

D.AC=^AM+^BM

5.已知cos償-a)=I，則sin(a-爭=()

343D-Y

AyB-5C--5

6.已知向量d,］滿足悶=2|'=2,且I五一E|=2V7,則日在片上的投影向量為（）

A.-4B.-15c.-|5D.

7.嵩岳寺塔位于河南鄭州登封市嵩岳寺內(nèi)，歷經(jīng)1400多年風(fēng)雨侵蝕，仍巍然屹立，是中國現(xiàn)存最早的磚

塔.如圖，為測量塔的總高度選取與塔底8在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)C與。，現(xiàn)測得N8CD=

30%LBDC=45°,CD=32m,在C點(diǎn)測得塔頂4的仰角為60。，則塔的總高度為

()

A.(96-32/6)m

B.(96-32/3)m

C.(92-32/2)m

D.(92-3273)m

8.已知函數(shù)f(x)=sin(cox+g)(3>0),若/'(%)在［0,年］上有兩個零點(diǎn)，則3的取值范圍是()

A.g,4)B」|，+8)C」|SD」|,4］

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.函數(shù)/'(%)=2sin(2x4-(p)((pER)的一條對稱軸方程為“=3，則w可能的取值為()

A.氏一年C.與D.，

3636

10.已知向量r=(cos3,sin3),b=(-3,4),則()

A.若不〃兒則taziO=—：

B.若G15,則sin。=1

C.同一山的最大值為5

D若日?①-3)=0,則|老一一|=2/6

11.已知4/18。的內(nèi)角力，B,。的對邊分別是a,b,c,則下列結(jié)論正確的是()

人.若4<8,Msin/l<sinB

B.若A<B,則cosA<cosB

C.若AABC是銳角三角形,則sinA>cosB

D.若sinA<cosB,則^ABC是鈍角三角形

三、填空題：本題共3小題，每小題S分，共15分"

12.已知sina+cosa=則sizia?cosa=____.

13.已知向量五，3的夾角為金@|力=1,則|3五+旬=.

14.已知向量五二(2,2),S=(x,-3),若d與用勺夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)％的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知向量G=(3,2),b=(x,-1).

(1)當(dāng)@+29)1(2五一垃且x>0時，求不：

(2)當(dāng)蕓=(一8,-1),勿/日+刃，求向量d與3的夾角a.

16.(本小題15分)

記么248c的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知stnC=\T1COSB,a2+Z?2—c2=\/~2ab.

⑴求從

(2)若△ABC的面積為3+C，求c.

17.(本小題15分)

已知函數(shù)/'(%)=2sin(a)x+9)(3>0,0<</?<兀)的部分圖象如圖所示.先將/(%)圖象上的每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)

變?yōu)樵瓉淼摹隹v坐標(biāo)不變)，再將所得圖象向右平移今個單位長度，向下平移1個單位長度，得到函數(shù)g(x)

的圖象.

(1)求g(%)的解析式；

(2)已知a,0均為銳角，/(a-1)=|?sin(a-/?)二一||,求sin(2a-/?)的值.

18.(本小題17分)

已知向量己=(cos3x,sin3x),b=(―sin(x+^),cos(x+^)),令/(%)=d?3.

(1)求/(x)的最小正周期和單調(diào)遞灌區(qū)間；

(2)已知當(dāng)*e[-先芻時，關(guān)于x的方程/(X)—m=0(meR)有兩個不等實(shí)根，求m的取值范圍和這兩根之

和；

(3)在銳角三角形/BC中，角力，B,C的對邊分別為a,力，c,已知/(4)=1,a=2,求△ABC周長/的取

值范圍.

19.(本小題17分)

若點(diǎn)A,B,C都在半徑為r(r>0)的圓O_L,且存在實(shí)數(shù)x,y,z,使得4函十y四十=6,則稱

(居y,z)為65,OB,說關(guān)于圓。的“和諧數(shù)對”.

(1)若赤，OB,靈關(guān)于圓。的“和諧數(shù)對”為(3,4,5),求證：0A_L08；

(2)若瓦?，OB,沅關(guān)于圓。的“和諧數(shù)對”為(a,2,l),求實(shí)數(shù)Q的取值范圍；

(3)若瓦?，OB,沉關(guān)于圓。的“和諧數(shù)對”為(a,l-a-b,b),且△ABC為銳角三角形，乙ABC=%求

Q+b的最大值.

答案解析

1.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

由sin(a+2kn)=sina(keZ),sin(a+TT)=—sizia及特殊角的三角函數(shù)值解之.

【解答】

解：s出585。=sin(585°-360°)=s出225。

=sin(45°+180°)=-sin45。=一浮

故選A.

2.【答案】D

【解析】解:根據(jù)題意，m=(3,-2),n=(l,x),則沅+1=(4,x-2),

若五1(沆+芹)，則沆(7n+n)=12-2(x-2)=0,

解可得，x=8；

故選：D.

根據(jù)題意，求出沅+元的坐標(biāo)，由向量垂直的判斷方法可得沅-何+尢)=12-2(%-2)=0,解可得答

案.

本題考杳向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量垂直的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【蟀析】解：滿足"為最小正周期，且在區(qū)間C，7T)上為減函數(shù)：

對于4曠=2/譏刈的圖象是把丫=25加工的圖象無軸卜.方翻折得到的，周期為7T,在區(qū)間C，7T)上為減函

數(shù)，.??｛對；

對于B：y=cosx的周期為2兀，8不對；

對于C：y=sin2x的周期為江，在?片)上為減函數(shù)，百,九)上為增函數(shù)，C不對.

對于。：丫=|。。5劉的圖象是把、=第5%的圖象、軸卜方翻折得到的，周期為7T,在區(qū)間G，7T)上為增函數(shù),

。對；

故選:A.

根據(jù)三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

本題考查了二角函數(shù)圖象及具周期的求法.屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：由圖可知：尼=彳而+就=祠+"通=祠+；(而？+麗)=|宿一!前.

故選:A.

平面向量的線性運(yùn)算，利用加減法運(yùn)算以及數(shù)乘運(yùn)算即可得到結(jié)果.

本題考查平面向量的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查給值求值問題，熟記誘導(dǎo)公式即可，屬r基礎(chǔ)題型.

由誘導(dǎo)公式，化簡已知條件以及所求的表達(dá)式，然后求解即可.

【解答】

解：Vcos(1一a)=|,-,?sin碎一/一?)]=sin(1+a)=cos/一a)=|,

則sin(a-y)=sin(7r-a+y)=-sin(a+^)=-|,

故本題選C.

6.【答案】D

【解析】解：由|4一方|二2口可得@一石)2=42+『一2五1=8,即4+1—2,i=8,

所以五不二一目，

可得d在加上的投影向量為警?卷=-阻

|b|\b\z

故選：0.

利用模長可求得數(shù)量積W-S=-l再由投影向量定義代入計(jì)算可得結(jié)果.

本題主要考查投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：設(shè)48=九，則8。二薪=/,

j,v/~?+

在以BCD中sin乙CBD=sin(30°+45°)=

h

??.?八二-^,即一^不二嗎，解得h二96—320，

sinz.CBDszn45-+山0

42

故選：B.

假設(shè)48=/i,然后計(jì)算出BC,接著利用正弦定理計(jì)算即可.

本題主要考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，正弦定理的實(shí)際應(yīng)用等知識，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：?.?函數(shù)fa)=sin(s+2)3>0),若/(%)在［0芻上恰有兩個零點(diǎn)，

?5

由且3>0,可得W3：+?工等+g,

.華+27n且半+gv37T,解之得,工3<4,

J5JJ4

故選：A.

由題意可得可得JWsr+lE華故有等+弓之2科且乎+?<3兀，由此求得3的取值范圍.

?55bs?3*5

本題主要考查正弦函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題.

9.【答案】BD

【解析】【分析】

直接利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的值的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式，三角函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬

干基礎(chǔ)題.

【解答】

解：函數(shù)/'(%)=2sE(2x+0)&WR)的,條對稱軸方程為％=3，

故/緇)=2sE(g+租)=±2,

根據(jù)選項(xiàng)得：9可以取值*或-斜.

故選:BD.

10.【答案】AD

【解析】解:已知向量五={cose,sine),b=(-3,4),

對于選項(xiàng)A,若d〃丸

則陋=，，

AJCOS03

即trniU=-:

即選項(xiàng)4正確；

對于選項(xiàng)8,若五_L

則-3cos"+4sin8=0,

Xsin20+cos20=1,

則sin。=W或-g，

即選項(xiàng)8錯誤；

對于選項(xiàng)C,\a-b\2=a2-2a-b+b2=26+6cos0-Bsinf)=26+10cos(8+@),其中汝肖=g,

又iocos(e+s)G[-10,10],

則|五一加|W[4,6],

即恒一山的最大值為6,

即選項(xiàng)C錯誤；

對于選項(xiàng)。，若a?(、—》)=o,

則定一心方=。

即Ab=l,

則|為一月|=Ja2-2a-S+b2=V1-2+25=2/6,

即選項(xiàng)。正確.

故選：AD.

由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合平面向量共線及垂直的坐標(biāo)運(yùn)算逐一判斷即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量模的運(yùn)算，屬中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解：選項(xiàng)A,由正弦定理知，號=告，

sinAsinu

若AVB,則aV匕，所以sizMVsEB,故選項(xiàng)4正確；

選項(xiàng)8,因?yàn)閥=cos6在(0,方上單調(diào)遞減，

若4<8且均為銳角，則cosR>cosB,故選項(xiàng)4錯誤；

選項(xiàng)C在銳角二角形中.A+R>^,11%>4>]-/?>0.

因?yàn)閥=sin。在(0,勺上單調(diào)遞增，

所以si/M>sin(^-8)=cosB,故選項(xiàng)C正確；

選項(xiàng)。，若sinAVcosB,則B為銳角，且s?4Vsin(]—8),所以力不為直角，

若4為鈍角，則△ABC為鈍角三角形;

若？I為銳角，因?yàn)閥=s）8在（0,今上單調(diào)遞增，所以0VAV*BV》即8+8V》

此時C=加一（4+8）即△ABC為鈍角三角形，故選項(xiàng)。正確.

故選:ACD.

結(jié)合大角對大邊與正弦定理，即可判斷選項(xiàng)4利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷選項(xiàng)以利用銳角三角形中

兩角之和大于90。的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C；通過三角函數(shù)關(guān)系式與三角函數(shù)的性質(zhì)證明必存在鈍角可判斷選

項(xiàng)D.

本題考查解三角形，主要涉及三角形中角與邊的關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性，以及銳角三角形和鈍角三角形

的判定條件，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

12.【答案】一】

O

【解析】解：sina4-cosa=

，兩邊平方，可得1+2sina-cosa=J,

4

/3

二可解得：sina?cosa=o

故答案為：—O

將已知兩邊平方后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求值.

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】，眄

【解析】【分析】

本題考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量的模的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

先由己知條件求出心兀然后結(jié)合向量模的運(yùn)算求解即可.

【解答】

解：由向量G,前勺夾角為手同|瓦=1,

則|W||E|cos年=一￡

則|3a+1|=J（32+方）2=j9|a|2+6aS+|b|2

=J9x3+6x（-1）+l=/19.

故答案為：/否.

14.【答案】{x|x<3且工。一3}

【解析】解:因?yàn)橄蛄课?(2,2),b=(x,-3),若五與1的夾角為鈍角,則五?方=2%-6<0,

所以x<3,

當(dāng)d〃石時，-3x2=2%,即工二一3,

故實(shí)數(shù)％的取值范圍為{加工<3且工工-3}.

故答案為：卜優(yōu)V3且％學(xué)一3}.

由已知結(jié)合向量數(shù)量積性質(zhì)的坐標(biāo)表示即可求解.

本題主要考查了向量數(shù)量積性質(zhì)的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】x=6；

a=24-

【解析】解：(1)根據(jù)題意，向量江=(3,2),E=(x,-1),

則Z+2b=(3,2)+2(x,-l)=(3+2x,0),

2a-S=2(3,2)-(x,-l)=(6-x,5),

若@+2b)1(2a-S),則有0+2b)-(2a-b)=(3+2x)-(6-x)+0x5=0,

解得無=6或%=

又因?yàn)?>0,所以工=6.

(2)根據(jù)題意,若口=(一8,—1),方=(%,—1),則方+力=(%—8,—2),

又由1〃0+均，且向量五=(3,2),

則有3x(-2)-2x(%-8)=0,解得x=5,

所以另=(5,-1),

所以cosa=6[=eTk=V>

|a|-|d|v13xv262

乂a是向量五與族的夾角，則aE[0詞，所以。=孑

(1)由向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得6-23和2五一B的坐標(biāo)，再由m+2方?(2五-3)=0,求得”的值：

(2)由向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則先求得斤+5的坐標(biāo)，由當(dāng)值〃色+引，求得x的值，再由向量的夾角公式求得夾

角的大小.

本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量夾角的計(jì)算，屬于中檔題.

16.【答案】解：(1)因?yàn)閍2+b2-c2=Oab,所以由余弦定理得cosC=/+信-。2=馬=口,

2ab2ah2

而CG(0,4)，因此C=/

又因?yàn)閟inC=dlcosB,所以sin'=V7cosB,即￥=V~^cos8，解得cosB=：,

而Bw(0,7i),因此B=g.

(2)由(1)知：B=:C=p因此力=4一8—0=兀一3—3=工.

D勺641Z

因?yàn)閆MBC的面積為3+4，所以?absinC=3+JI,%Q/?X苧=3+C，解得ab=2，I(3+，5).

乂因?yàn)橛烧叶ɡ淼胊=霽，b=駕,所以必=必嚶更，

sinesineside

a.5斤.#

(rKIU-am-

即2a(3+%/S)=-12^―J，

叫腦47

即2，^(3+V-3)=V_3c2(?："),解得c=2y[2{c=—2，^舍去).

【解析】本題考杳了利用余弦定理解三角形，利用正弦定理解三角形，三角形面積公式與兩角和與差的正

弦公式，屬于中檔撅.

(1)利用余弦定理解三角形得C=%再利用題目條件，計(jì)算得結(jié)論；

(2)利用三角形面積公式得必=22(3+C)，再利用正弦定理解三角形，結(jié)合(1)的結(jié)論得

2、$3-v3)、工再利用兩角和的正弦公式，計(jì)算得結(jié)論.

17.【答案】解：⑴由函數(shù)/⑶=25出(3%+0)的部分圖象知，±二與一合5解T=2TT,所以3=

1,

又說)=2sE弓+9)=2,所以sin。+@)=1,4-+2kn,k￡Z；解得s=g+2k7r,k￡Z；

因?yàn)?<8<兀，所以8=*所以/(%)=2si"(x+金；

將/。)圖象上的每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模?縱坐標(biāo)不變)，得y=f(2x)=2s/(2%+勺，

再將所得圖象向右平移背單位長度，得y=2sin[2(x一》+芻=2sin(2x--

向下平移1個單位長度，得y=2sin(2x一著)一1,所以g(x)=2sin(2x--1：

(2)因?yàn)閍,0均為銳角，f(a-^)=|,所以2s譏(a-^+^)=|>sina=1,cosa=V1-sin2a=

由OVaV%。<S<%所以一9<a一0<2，由sin(a一夕)二一'JI，得cos(a-/?)=

71-sin2(a-/?)=磊，

所以sin(2a—/?)=sinacos{a—/?)+cosasin(a—/?)=!x^+|x(—1|)=—

【解析】(1)由函數(shù)f(x)的部分圖象求出7、3和仍寫出f。)的解析式，根據(jù)圖象平移變換求出g(x)的解

析式；

(2)根據(jù)三角恒等變換，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系與兩角和的正弦公式，求解即可.

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)用問題，也考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題.

18.【答案】函數(shù)/(%)的最小正周期為兀；函數(shù)的單調(diào)遞增期間為［一*+k兀(+上兀］,kwz；

mE1)?兩根之和為瞥

(2+2/3,6］.

【解析】解：(1)因?yàn)橄蛄坑?(ccs3x,si7i3x),b=(-sin(x+^j,cos(x+^)),令/'(%)=di,

可得f(%)=—cos3xsin(x+巳)+sin3xcos(x+/=sin[3x—(x4-[)]=sin(2x—看),

可得函數(shù)的最小正周期丁=y=7F，

令一J+2k?rW2%—[WJ+2kw,kEZ,解得一?+/nrW%Wg+/or,kEZ,

L6L6j

所以函數(shù)/'(X)的最小正周期為7T；函數(shù)的單調(diào)遞增期間為［弋+也升何，kEZ；

(2)當(dāng)不€［—“時，可得2%_看￡［一］,焉，

當(dāng)為一注色片］,且2%一時，/(無)=m有兩個不等的兩個根，

且2為一Y+(20一看)=］,可得M+x2=相'

所以mwg,l)，且兩根之和為居;

(3)在銳角三角形A8C中,因?yàn)閒(A)=l,即sin(24-］=l,即24一荽=宗

可得力=}

(0<B

可得(ZnK可得標(biāo)8〈%

OVC=竽—B<562

\4

又因?yàn)閍=2,

由正弦定理可得芻=——=」、=磊=上，

smBstnCsinA￡3V3

2

所以c=-^=sinC,

所以△力8C的周長為a+b+c=2+表(siziB+sinC)=2+[sinB+sin(^4-8)]

=2+cosB+=24-4sizi(B+，

因?yàn)?+旨或紈所以sin(8+《W有,1],

所以該三角形的周長為(2+2/3,6].

(1)由數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)及輔助角公式可得函數(shù)/(%)的解析式，進(jìn)而求出函數(shù)的最小正周期及苴調(diào)遞增區(qū)

間；

(2)由x的范圍，可得2%-名的范圍，進(jìn)而可得/(%)=加有兩個解的m的范圍及兩個根之和的大?。?/p>

(3)由(1)可得力的大小，在銳角三角形中，可得角B的范圍，再由正弦定理可得b,c的表達(dá)式，進(jìn)而可得三

角形的周長的表達(dá)式，再由輔助角公式及角B