2025-2026學年蘇科版數(shù)學九年級下冊

6.5相似三角形的性質(zhì)

（鞏固練習）

【典型例題】

【例1】兩個三角形相似，下列結(jié)論錯誤的是（）

A.對應邊上的高的比等于用似比B.對應角的平分線的比等于相似比

C.周長比等于相似比D.面積比等于相似比

【例2】如圖，△ABCsaADE,則下列比例式正確的是（）

nAEAD「ADDEnAEDE

A.-----=------B.—=一c.二D.---=---

BEDCABACACBCACBC

【例3】甌，相似比為1：2,則VAOE與YABC的周長比為

【例4】如圖，在VA8C中，。是3c的中點，ZBAC=150°,A￡>±AB,若AC=4,則8C=

【例5】已知:ZkABC中，ZC=90°.

(1)如圖1,若AC=4,BC=3,DE±AC,且DE=DB,求AD的長;

（2）如圖2,請利用沒有刻度的直尺和圓規(guī)，在線段AB上找一點F,使得點F到邊AC的距離

等于FB（注：不寫作法，保留作圖痕跡，對圖中涉及到的點用字母進行標注）.

【例6】如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F(xiàn)是AM的中點，EF1AM,垂足為F,交AD

的延長線于點E,交DC于點N.

(1)求證：AABM^AEFA；

(2)若AB=12,BM=5,求DE的長.

【舉一反三】

【變式1】如圖,己知DE〃BC,EF〃AB,則下列比例式錯誤的是（）

。F■

ADAEnCEEA,、DEAD汽EFCF

A.---=---B.—==——C.=D.=

ABACCFFBBCBDABCB

【變式2】如圖，在V4BC中，點D在BC上，連接AD,點E在AC上，過點E作EF//BC,

交AD丁點F,過點E作成"/A6,交BC丁點G,則下列式子一定正確的是()

BDGC

AEEF口EG1EFcAFBGnCGAF

A.=B.=—C.---=---D.---=---

ECCDAB(?DFDGCBCAD

【變式3】如圖，△ABCs/\ADE,且BC=2DE,則

3四邊形6EDC

【變式4】如圖，點G是VA5c的重心，GH1BC，垂足為點H,若GH=2,則點A到6c的

距離為.

【變式5】如圖，在△ABC中，ZC=ZADE,AB=3,AD=2,CE=5,

求證:(1)AADE^AACB；

(2)求AE的長.

【變式6］如圖，點D、E、尸分別在等邊VABC的三邊A3、AC、BC上，且DELEF,

ZDFE=60°.

(1)求證：GBFSdFCE；

(2)若EC=1,求4廠的長.

5.已知■的三條邊分別為6、8、10,若防的最短邊為3,則最長邊

為.

6.如果兩個相似三角形的面積之比為4:9,這兩個三角形的周長的和是100cm,那么較小的三

角形的周長為_____cm.

7.如圖，已知在中，D,E分別是AB,AC上的點，DE//BC,45=2.若%.E=2,

AB3

則S.ABC=?

8.如圖，在平行四邊形A8CO中，/ABC的平分線交AC于點E,交AD于點F,交CD的延長

RF

線于點G,若AF=2FD,則j三的值為____.

EG

9.如圖，已知矩形人1^口的邊長.18=3";，\BC=6cm.某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方

向以lcm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A

點勻速運動，問：是否存在時刻t,使以A,M,N為頂點的三角形與AACD相似？若存在，求

t的值；若不存在，請說明理由.

10.如圖，在6X10的方格紙ABCD中有一個格點△EFG,請按要求畫線段.

圖1圖2

（1）在圖1中，過點。畫一條格點線段PQ（端點在格點上），使點P,Q分別落在邊AD,BC

上，且PQ與FG的一邊垂直.

（2）在圖2中，僅用沒有刻度的直尺找出EF上一點M,EG上一點N,連結(jié)MN,使△EMN和4

EFG的相似比為2：5.（保留作圖痕跡）

11.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在BC上，ZCDE=ZDAE.

(1)求證：AAE>￡^ADEC；

(2)若AD=6,DE=4,求CE的長.

DC

AB

12.如圖1：已知在RtZXABC中,ZC=90°,AC=20cm,BC=15cm,點P由A點出發(fā)，沿AC

方向向點B勻速運動,速度為5cm/s；點Q由C出發(fā)沿CA方向向點A勻速運動,速度為4cm/s,

若沒運動的時間為/(s)(0＜，＜5),解答下列問題：

(1)如圖1,連接也，設△AP。的面積為y(cm2)，則y與t之間的函數(shù)關(guān)系式是；

(2)如圖2,連接PC、BQ,當尸C_L3Q,求t的值；

(3)如圖3,已知4B上有一點M,AC上有一點N,連接MN,使線段恰好把△ACB的

周長和面積同時平分？若存在，求出AN的值：若不存在，說明理由：

答案解析

【典型例題】

【例1】兩個三角形相似，下列結(jié)論錯誤的是()

A.對應邊上的高的比等于相似比B.對應角的平分線的比等于相似比

C.周長比等于相似比D.面積比等于相似比

【答案】D

【例2】如圖，AABC^AADE,則下列比例式正確的是()

AEADcADDE,、AEDE

C.—D.—~

BEDCAR-ACACBCACBC

[]D

【例3】△AOESAABC,相似比為1:2,則V4OE與VABC的周長比為

【答案】上2

【例4】如圖，在VA8C中，。是的中點，N84C=150o,4)JLA8,若AC=4,則BC=

【答案】2小

【例5】已知：△ABC中，ZC=90°.

(1)如圖1,若AC=4,BC=3,DE1AC,且DE=DB,求AD的長;

(2)如圖2,請利用沒有刻度的直尺和圓規(guī),在線段AB上找一點F,使得點F到動AC的距離

等于FB(注：不寫作法，保留作圖痕跡，對圖中涉及到的點用字母進行標注).

【答案】(1)RtZ^ABC中,AC=4,BC=3,

AB=5.

VDE1AC,ZC=90°,

???DE〃BC,

AAADE^AABC,

.DEAD

??箴一瓦'

5—ADAD

即nrt二二T，

25

解得：AD=

o

25

故AD的長為

o

(2)如圖2所示，作NB的平分線BG,交AC于G,作BG的垂直平分線MN,交AB于F,則點

F即為所求.

圖2

【例6】如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F(xiàn)是AM的中點，EF_LAM,垂足為F,交AD

的延長線于點E,交DC于點N.

(1)求證：△ABMs/\EFA；

(2)若AB=12,BM=5,求DE的長.

【答案】(1)(1)?.?四邊形ABCD是正方形,

???AB=AD,ZB=90°,AD〃BC,

???ZAMB=ZEAF,

XVEF1AM,

AZAFE=90°,

???ZB=ZAFE,

/.△ABM^AEFA；

(2)VZB=90°,AB=12,BM=5,

22

?*-AM=5/i2+5=13,AD=12,

???F是AM的中點，

???AF」AM=6.5,

2

VAABM^AEFA,

.BMAM

**'

B|J—=—,

6.5AE

AAE=16.9,

ADE=AE-AD=4.9.

【舉一反三】

【變式1］如圖，己知DE〃BC,EF〃AB,貝1J下列比例式錯誤的是（)

ADAE「DEADEFCF

A.---=---C.---=---D.

ABACBCBDABCB

【答案】C

【變式2】如圖，在VABC中，點D在BC上，連接AD,點E在AC上，過點E作EF//BC,

交AD于點F,過點E作石G//A8,交BC于點G,則下列式子一定正確的是（）

AEEFcEGEF廠AFBG口CGAF

A.---=---B.---=---C.---=---D.---=---

ECCDABCDFDGCBCAD

【答案】C

s

【變式3】如圖，ZkABCs/XADE,且BC=2DE,則《=______.

3四邊形

￡

【答案】§

【變式4】如圖，點G是VABC的重心，GH工BC,垂足為點H,若GH=2,則點A到8C的

距離為_______.

【變式5】如圖，在aABC中，ZC=ZADE,AB=3,AD=2fCE=5,

求證:(1)AADE^AACB；

(2)求AE的長.

A

E

D,

BC

【答案】（1）證明：???NC=N'ADE,NA=NA,

AAADE^AACB

(2)解:由⑴知，AADE^AACB,

ADAE

則一=一

ACAB

VAB=3,AD=2,CE=5,

2AE

AE+53

得：世=3自=一6（舍去）

AE長是1

【變式6］如圖，點。、E、”分別在等邊VA5c的三邊AB、AC、8c上，且DE_LEF,

ZDFE=60°

(1)求證：一DBFs_FCE；

(2)若EC=1,求Bb的長.

【答案】(1)解：?.士ABC是等邊三角形,

ZB=ZC=60°,

:"BDF+NBFD=120。

*/NO莊=60。，

Z^F￡>+ZCFE=120°,

；,/BDF=NCFE,

:ADBFs/\FCE

【小問2詳解】

解：DE工EF,/DFE=60。，

???/EDF=30°

:.DF=2EF,

?.△DBFSAFCE,

BFDF-

??==2，

CEEF

BF=2CE=2.

答：8尸的長為2.

【鞏固練習】

L如圖，中，DE//BC,且OE:8C=2:3,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.AD:DE=2:3B.AD:BD=2：3C.AD:AE=2:3D.AD:AB=2:3

【答案】D

2.已知，如圖，平行四邊形MCO中，CE:BE=1:3,且以詆=1，那么S?c=（）

A.9B.12C.15D.20

【答案】0

3.如圖，在矩形ABC。中，過點8作8尸1AC,垂足為尸，設4b=m，CF=n,若CF=2CD,

則儀的值為（）

in

AD

A.2>/2+2B.3桓+1c.2V3+1D.2y/5-l

【答案】A

4.如圖，直線y=-2式+4與x軸，y軸分別相交于A,B兩點，C為0B上一點，且N1=N2,則

C.3D.4

【答案】C

5.己知的三條邊分別為6、8、10,若"）歷的最短邊為3,則最長邊

為.

【答案】5

6.如果兩個相似三角形的面積之比為4:9,這兩個三角形的周長的和是100cm,那么較小的三

角形的周長為cm.

【答案】40

An1

7.如圖，已知在4ABe中，D,E分別是AB,AC上的點，DE//BC,—若S△皿：=2,

AB3

則S.A8C=?

A

D/—\E

BC

【答案】18

8.如圖，在平行四邊形A8CO中，/4HC的平分線交AC于點E,交AD于點F,交CD的延長

RF

除的值為一.

EG

【答案】|2

9.如圖，已知矩形ABCD的邊長A8=3ca，BC=6cw.某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方

向以lcm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A

點勻速運動，問：是否存在時刻t,使以A,M,N為頂點的三角形與4ACD相似？若存在，求

t的值；若不存在，請說明理由.

【答案】由于兩三角形相似時的對應點不確定，故應分△ACDsZXMNA與△ACDs/\NMA兩種情

況進行討論，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例求解.

旦即口=」一，解得『=上

當△ACDs^MNA時，—=

CD毋36』5

即pT亙"，解得

,_

當△ACDsZ\NMA時，—=必

CD13t2

319以

答：存在，當/或與時,、M、N為頂點的三處形與AACQ相似.

10.如圖，在6X10的方格紙ABCD中有一個格點△EFG,請按要求畫線段.

圖1圖2

（1）在圖1中，過點。畫一條格點線段PQ（端點在格點上），使點P,Q分別落在邊AD,BC

上，且PQ與FG的一邊垂直.

（2）在圖2中，僅用沒有刻度的直尺找出EF上一點M,EG上一點N,連結(jié)MN,使AEMN和4

EFG的相似比為2：5.（保留作圖痕跡）

【答案】（1）如圖所示，R2即為所求，

圖1

（2）如圖所示，取格點連接。/交放于點M,連接0K交EG于點N連接MN,則MN

即為所求,

圖2

???EO//JF

:一MOES-MHF

OEME_2

JF_MF_3

EN2

同理

NG3

EM_EN

NE=/E

74F~~EG

EMNs.EFG

EM2

-----=—.

EF5

11.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在BC上,ZCDE=ZDAE.

(1)求證：AAP^ADEC；

(2)若AD=6,DE=4,求CE的長.

【答案】(1)(1)四邊形A8CO是平行四邊形

AD//BC,

:,ZADE=ZCED.

/CDE=NDAE,

:.^ADESADEC.

(2)vAADE-ADEC,

ADDE

~DE~~ECy

ADEC=DE2.

???AQ=6,DE=4,

..BE=16,

,C*

12.如圖1：已知在RtZXABC中,ZC=90°,AC=20cm,8C=15cm,點P由A點出發(fā)，沿Ab

方向向點B勻速運動,速度為5cm/s；點Q由C出發(fā)沿CA方向向點A勻速運動,速度為4cm/s,

若設運動的時間為/(s)(0<Z<5),解答下列問題：