§9.3一元線性回歸模型及其應(yīng)用

【課標要求】1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義2了解最小二乘法原理，掌握一元線性回歸模型

參數(shù)的最小二乘估計方法.3.針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預測.

■落實主干知識

【知識梳理】

1.變量的相關(guān)關(guān)系

(I)相關(guān)關(guān)系：兩個變量有關(guān)系,但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度,

這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.

⑵相關(guān)關(guān)系的分類：正相關(guān)和負相關(guān).

⑶線性相關(guān)：一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負相關(guān)，而且散點落在二附

近，我們就稱這兩個變量線性相關(guān).

2.樣本相關(guān)系數(shù)

L(即一%)8-y)

i-l

E(x；-~t(y,~~y)2

(2)當廠>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)止相關(guān);當X0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān).

(3)H<1；當m越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；當M越接近0時，成對樣本

數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越觀.

3.一元線性回歸模型

⑴我們將；，=￡+：稱為丫關(guān)于％的經(jīng)驗回歸方程，

n___

E(的一x)(5v-y)

Ar=l

其中廣￡1)2，

i-l

AA_

y-bx.

(2)殘差：觀測值減去預測值稱為殘差.

【常用結(jié)論】

1.經(jīng)驗回歸直線過點(；，7).

Xy

2.求加時，常用公式力=------------.

Zd-〃x2

!=1

3.【回歸分析和獨立性檢驗都是基于成對樣本觀測數(shù)據(jù)進吁估計或推斷，得出的結(jié)論都可能犯

錯誤.

【自主診斷】

1.判斷下列結(jié)論是否正確.（請在括號中打“J”或“X”）

（1）相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.（J）

（2）散點圖是判斷兩個變量相關(guān)關(guān)系的一種重要方法和手段.（J）

AAA

（3）經(jīng)驗回歸直線）=/?%+〃至少經(jīng)過點（即，yi）,（孫）2）,…，（,%,加）中的一個點.（X）

（4）樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1,成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強.（V）

2.（多選）（2024?石嘴山模擬）下列有關(guān)回歸分析的說法中正確的是（）

A.經(jīng)驗回歸直線必過點（7,7）

B.經(jīng)驗回歸直線就是散點圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點最多的那條直線

C.當樣本相關(guān)系數(shù)，>0時，兩個變量正相關(guān)

D.兩個變量的線性相關(guān)性越弱，川越接近于0

答案ACD

解析經(jīng)驗回歸直線必過點（7,7）,故A對；

經(jīng)驗回歸直線在散點圖中可能不經(jīng)過任一樣本數(shù)據(jù)點，故B錯；

當樣本相關(guān)系數(shù)，>0時，丙個變量正相關(guān)，故C對；

兩個變量的線性相關(guān)性越弱，|r|越接近于0,故D對.

3.（2023?洛陽聯(lián)考）甲、乙、丙、丁四位同學分別對一組變量進行線性相關(guān)試驗，并分別計算

出決定系數(shù)總則線性相關(guān)程度最高的是（）

甲乙丙T

R20.870.910.580.83

A.甲B.乙C.丙D.T

答案B

解析W越接近于1,兩個變量的線性相關(guān)程度越高.

0.91>0.87>0.83>0.58,則線性相關(guān)程度最高的是乙.

4.（2023?福州統(tǒng)考）已知變量x和1y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：

X678910

y3.54566.5

若由表中數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗回回方程為y=0.8x+o,則當x=10時的殘差為（注：現(xiàn)測值

減去預測值稱為殘差）.

答案一0.1

—6+7+8+9+10

解析X=r=8,

—3.5+4+5+6+6.5

尸5

則〃=5—0.8X8=-1.4,所以)，=0.81一1.4,

A

當x=IO時，＞-=6.6,

所以當x=10時的殘差為6.5-6.6=-0.1.

-探究核心題型

題型一成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性

例1（1）（2023?天津）調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中樣本相關(guān)系數(shù)

r=0.8245,則下列說法正確的是（）

A.花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性

B.花瓣長度和花萼長度呈負相關(guān)

C.花瓣長度和花萼長度呈正相關(guān)

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的樣本相關(guān)系數(shù)一定是0.8245

答案C

解析根據(jù)散點的集中程度可知，花耨長度和花萼長度有相關(guān)性，故A錯誤；

散點的分布是從左下到右上，從而花旖長度和花萼長度呈正相關(guān)，故B錯誤，C正確；

由于r=0.8245是全部數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)，取出來一部分數(shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強，可能變

弱，即取出的數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)不一定是0.8245,故D錯誤.

（2）（多選）（2023?湛江模擬）某服裝生產(chǎn)商為了解青少年的身高和體重的關(guān)系，在15歲的男生中

隨機抽測了10人的身高和體重，數(shù)據(jù)如表所示：

編號12345678910

身高/cm16516817()172173174175177179182

y3.52.41.1-0.2—1.3

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求得經(jīng)驗回歸方程為:=.+；則下列說法中正確的是（）

AAAA

A.a>0,b>0B.a>0,b<0

AAAA

C.a<（）,/?>（）D.a<0,b<0

答案B

解析由已知數(shù)據(jù)可知），隨著x的增大而減小，則變量x和），之間存在負相關(guān)關(guān)系，所以ko.

—I—IA八

又％=/（3+4+5+6+7）=5,y=/（3.5+2.4+1.1—0.2—1.3）=1.1,即1.1=58+a,所

AA

以〃=1.1-5/?0.

（2）已知相關(guān)變量x和y的散點圖如圖所示，若用），=匕-111a1外與>=22%+5擬合時的樣本相關(guān)

系數(shù)分別為內(nèi)，-2則比較小段的大小結(jié)果為（）

A.r\>r2B.r\=rz

C.r\<nD.不確定

答案C

解析由散點圖可知，用y="ln（hx）擬合比用y=2加+歷擬合的程度高，故仙|>|聞，

又因為人丁負相關(guān)，所以一門>一n,即〃<n.

題型二回歸模型

命題點1一元線性回歸模型

例2（2024.九江模擬）2023年，國家不斷加大對?科技創(chuàng)新的支持力度，極大鼓舞了企業(yè)投入研

發(fā)的信心，增強了企業(yè)的創(chuàng)新動能.某企業(yè)在國家一系列優(yōu)惠政策的大力扶持下，通過技術(shù)

革新和能力提升，極大提升了企業(yè)的影響力和市場知名度，訂單數(shù)量節(jié)節(jié)攀升，如表為該企

業(yè)今年1?4月份接到的訂單數(shù)量.

月份/1234

訂單數(shù)量y（萬件）5.25.35.75.8

（1）試根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)r的值判斷訂單數(shù)量y與月份/的線性相關(guān)性強弱（0.75WMW1,則認

為），與f的線性相關(guān)性較強；|“<0.75,則認為y與/的線性相關(guān)性較弱）；（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

(2)建立)，關(guān)于，的經(jīng)驗回歸方程，并預測該企業(yè)5月份接到的訂單數(shù)量.

n__

z(Xi-x)(y-y)

?=i

附：樣本相關(guān)系數(shù)：r=-J---1;

'￡(為一；)2、/t亍)*2

經(jīng)驗回歸直線；=。+隊的斜率和截,距的最小二乘估計分別為

n____

Z(即一x)(y>-y)

A|A__A

b=----------------------------,a=y-bx；[73%1.14.

會(劉一：)2

?=1

—1

)，=彳乂(5.2+5.3+5.7+5.8)=5.5,

4__

I)(>7-丁)=(-1.5)X(-0.3)4-(-0.5)X(-0.2)+0.5X0.2+1.5X03=1.1,

1=1

4一

Z(6—t)2=(-1.5)2+(-0.5)2+0.52+1.52=5,

i=l

X)2=(-O.3)24-(-O.2)2+O.224-O.32=O,26,

i-l

4__

Z(f>-1)()Ly)

I3—/4_端%“。"5,

A/Z“L/)2、/￡(yi-y)2

???訂單數(shù)量y與月份，的線性相關(guān)性較強.

4__

Z(o，y)

“1=111

(2)?"=---------------------------=-y=0.22,

Z(6--)2

ri

A八

：.a=~y-bl=5.5-0.22X2.5=4.95,

A

.?.經(jīng)驗回歸方程為y=0.22i+4.95,

A

令f=5.y=0.22X5+4.95=6.05(萬件)，

即該企業(yè)5月份接到的訂單數(shù)量預計為6.05萬件.

命題點2非線性回歸模型

例3汽車輪胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素?，汽車行駛會導致輪胎面磨損.某實驗室通過

實驗測得行駛里程與某品牌輪胎凹槽深度的數(shù)據(jù)，建立了如下回歸模型通過實驗

數(shù)據(jù)分析與計算得到如下結(jié)論：@C2=-0.18；②x=10,令〃=lny,〃=0.35,則經(jīng)驗回

歸方程應(yīng)為.

答案y=e2-,5-0-,&r

解析因為回歸模型為）=。同/,

且C2=-0.18,則、=口晨°?叫

兩邊同時取對數(shù)，可得lny=ln（cie-0J8v）

=lnci-0.18x,

令w=ln.y,此時u=\nci—0.18,v,

又因為x=10,u=0.35,

所以Inci=0.35+0.18X10=2.15,即ci=e215,

2,50,l8,r^2.l5~('.18.v

所以j*=ee=V?

思維升華求經(jīng)臉回歸方程的步滕

壬卜［甘算呼『，%蔗3或2，-幻（乂一n

G---------------——

利用公式計算才虛；

寫出經(jīng)臉回歸方程

跟蹤訓練22023年是全B面貫徹落實黨二十大精神的開局之年，也是實施“十四五”規(guī)劃承上

啟卜?的關(guān)鍵之年，經(jīng)濟增長呈現(xiàn)穩(wěn)中有進的可喜現(xiàn)象.2023年8月4口，貴州省工業(yè)和信息化

廳召開推進貴州刺梨產(chǎn)業(yè)高質(zhì)量發(fā)展專題會議，安排部署加快推進特色優(yōu)勢產(chǎn)業(yè)刺梨高質(zhì)量

發(fā)展工作，集中資源、力量打造''貴州刺梨”公共品牌.貴州省為做好刺梨產(chǎn)業(yè)的高質(zhì)量發(fā)

展，項目組統(tǒng)計了全省近5年刺梨產(chǎn)業(yè)綜合產(chǎn)值的各項數(shù)據(jù)如表所示：

年份20182019202020212022

年份代碼X1245

綜合產(chǎn)值yi：億元）23.137.062.1111.6150.8

⑴根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可用一元線性回歸模型刻畫變量），與x之間的線性相關(guān)關(guān)系，請用樣

本相關(guān)系數(shù)加以說明（精確到0.01）；

（2）求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預測2023年底貴州省刺梨產(chǎn)業(yè)的綜合產(chǎn)值.

Z（XLx）GLy）

r=1AAA

參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)/?=——/,經(jīng)臉回歸直線），=/.+〃的斜率和

、￡（X/-T）2i（>>,-7）2

〃一一

Z（為一x）（>7-y）

截距的最小二乘估計公式分別為〃=-----------------,

E（即-V>

1=1

5_555

參考數(shù)據(jù)：&=384.6,y-77,￡3=55,?彳七40954,￡@=1483.8,113090=336.32.

1+2+3+4+5

解（1）由題設(shè)x=3,

5__5____

則Z8一')(>',—y)=2>/-5xy比1483.8-5X3X77=328.8,

5_5_

Z（Xi-x）2=S-V?—5x2=55—5X9=10,

i=\?=1

5_5_

Xy）2=Z.V7-5y2=40954—5X772=11309,

/=1fl

所以個I產(chǎn)需―98,兩個變量線性相關(guān)程度很強，

-710X11309336.3

故可用一元線性回歸模型刻畫變量），與x之間的線性相關(guān)關(guān)系.

5__

E（為一4）（y-y）

=

Ai1ao父RA

（2）由（1）得6=-----------------^F^=32.88,?=77-32.88X3=-21.64,

5_IU

E（kX）2

t=l

A

所以y=32.88x-2L64,

A

當x=6時，則y=32.88X6—21.64=175.64（億元）.

即預計2023年底貴州省刺梨產(chǎn)業(yè)的綜合產(chǎn)值為175.64億元.

題型三殘差分析

例4（2023?聊城聯(lián)考）今年剛過去的4月份是“全國消費促進月”，各地拼起了特色經(jīng)濟，帶

動消費受蘇、市場回暖.”小餅烤爐加蘸料，靈魂燒烤三件套”，最近，淄博燒烤在化交媒

體火爆出圈，吸引全國各地的游客坐著高鐵，直奔燒烤店，而多家店鋪的營業(yè)額也在近一個

月內(nèi)實現(xiàn)了成倍增長.因比某燒烤店老板考慮投入更多的人工成本，現(xiàn)有以往的服務(wù)人員增

量M單位：人）與年收益增量單位：萬元）的數(shù)據(jù)如表：

服務(wù)人員增量力人234681013

年收益增量?萬元13223142505658

據(jù)此，建立了y與x的兩個回歸模型：

?

740

-------?---?

5(

4(

3(

2M(

5K）

模型①：由最小二乘公式可求得y與x的經(jīng)驗回歸方程為;=4.支+11.8：

模型②：由散點圖（如圖）的樣本點分布，可以認為樣本點集中在曲線；，=?的附近.

__77

對數(shù)據(jù)進行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計量的值：t=2.5,y=38,9,Z你=761.75,*?=

i=li=i

L-]7

47.55,其中力=在，，4"

（1）根據(jù)所給的統(tǒng)計量，求模型②中），關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程（精確到0.1）；

⑵根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的決定系數(shù)上，并選擇擬合精度更高的模型，預測

服務(wù)人員增加25人時的年收益增晟.

回歸模型模型①模型②

AAAA

回歸方程^=4.1x+11.8y=b5+a

7A,

Z⑴一田182.479.2

產(chǎn)1

X(fi-/)8-y)￡/通一〃ty

Ar=|/=1

附：樣本g,)力0=1,2,，。的最小二乘估計公式為。=------------------=-------------

2

E(/；—/Ft

J=I1=1

A_A_產(chǎn)］

a=y-bt-刻畫樣本回歸效果的決定系數(shù)R2=l------------.

1(5-7)2

解（1）令尸5,則了=4+a

由參考數(shù)據(jù)得

7____

Z砂i-7ty

761.75-7X2.5X38.9

b=~=~47.55-7X2.52

D?-772

1=1

=$21.3,

AA

a=~y-bla38.9-21.3X2.5%-14.4,

所以模型②中），關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為

A

7=21.3^/1—14.4.

（2）由表格中的數(shù)據(jù)，有182.4>79.2,即一以一〉一期—,

7-7一

Z8-y>ZGLy）2

j=\j=\

模型①的N小于模型②，說明回歸模型②的擬合效果更好；

A

當x=25時，模型②的年收益增量的預測值為y=21.3X，石一14.4=21.3X5—14.4=92.1（萬

元）.

所以預測服務(wù)人員增加25人時的年收益增量為92.1萬元.

思維升華檢臉回歸模型的擬合效果的兩種方法

（1）殘差分析：通過殘差分析發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，判斷所建立模型的擬合效果.

（2）/?2分析：通過公式計算片，R2越大,殘差平方和越小，模型的擬合效果越好；片越小，

殘差平方和越大，模型的擬合效果越差.

跟蹤訓練3（1）（多選）（2024?濱州模擬）下列說法正確的是（）

A.在經(jīng)驗回歸方程），=-0.34+10中，當解釋變量每增加1個單位時，響應(yīng)變量將平均減少

0.3個單位

B.在回歸分析中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示擬合效果越差

C.用殘差平方和來刻畫模型的擬合效果時，若殘差平方和越小，則相應(yīng)模型的擬合效果越

好

D.在一元線性回歸模型分析中，決定系數(shù)R2用來刻畫模型的擬合效果，若R2的值越小，則

模型的擬合效果越好

答案AC

解析在經(jīng)驗回歸方程；=—0.3x+10中，當解釋變量每增加1個單位時，響應(yīng)變量將平均減

少0.3個單位，故A正確；

在回歸分析中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示擬合效果越好，故B錯誤；

殘差平方和越小，則相應(yīng)模型的擬合效果越好，故C正確；

在一元線性回歸模型分析中，若R2的值越小，則模型的擬合效果越差，故D錯誤.

(2)(多選)(2023?長沙模擬)自然環(huán)境中，大氣壓受到各種因素的影響，如溫度、濕度、風速和

海拔等方面的改變，都將導致大氣壓發(fā)生相應(yīng)的變化，其中以海拔的影響最為顯著.如圖是

根據(jù)一組觀測數(shù)據(jù)得到海拔6千米?15千米的大氣壓強散點圖，根據(jù)一元線性回歸模型得到

經(jīng)驗回歸方程為則=-4.0%+68.5,決定系數(shù)為/?T=0.99；根據(jù)非線性回歸模型得到經(jīng)驗回歸

方程為”=132比一°」63。決定系數(shù)為咫=0.99,則下列說法正確的是()

大氣壓強(kPa)

6()

5()必=、y=-4.Ox"8.5

10.2

^567?910111213141516

海拔高度(km)

A.由散點圖可知，大氣壓強與海拔高度負相關(guān)

B.由方程》=-4.0%+68.5可知，海拔每升高1千米，大氣壓強必定降低4.0kPa

C.由方程y=-4.Qr+68.5可知，樣本點(11,22.6)的殘差為一1.9

D.對比兩個I可歸模型，結(jié)合實際情況，方程及=132.9屋°-63,的預報效果更好

答案ACD

解析由題圖知，海拔高度越高，大氣壓強越低，所以大氣壓強與海拔高度負相關(guān)，故A正

確；

經(jīng)驗回歸方程得到的數(shù)據(jù)為估計值，而非精確值，故B錯誤；

當x=ll時，yi=-4.0X11+68.5=24.5,又由題圖知觀測值為22.6,所以樣本點(11,22.6)的

殘差為22.6—24.5=—1.9,故C正確;

隨著海拔高度的增加，大氣壓強越來越小，但不可能為負數(shù)，因此方程竺=132.9廣°1631的預

報效果更好，故D正確.

課時精練

一、單項選擇題

1.下列有關(guān)線性回歸的說法，不正確的是()

A.具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量不是因果關(guān)系

B.散點圖能直觀地反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度

C.回歸直線最能代表線性相關(guān)的兩個變早:之間的關(guān)系

D.任一組數(shù)據(jù)都有經(jīng)驗回歸方程

答案D

解析根據(jù)兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的概念，可知A正確；

散點圖能直觀地描述呈相關(guān)關(guān)系的兩個變量的相關(guān)程度，且回歸直線最能代表它們之間的相

關(guān)關(guān)系，所以B,C正確；

具有相關(guān)關(guān)系的成對樣本數(shù)據(jù)才有經(jīng)驗回歸方程，所以D不正確.

2.（2024.南寧模擬）對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得以下散點圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較，正

確的是（）

___________Zx___

51（）1520253（）355101520253035

樣本相關(guān)系數(shù)為外樣本相關(guān)系數(shù)為「2

51()1520253()35°51(11520253035

樣本相關(guān)系數(shù)為心樣本相關(guān)系數(shù)為人

A./-2<^<0<r3<nB.7-4<r2<0<ri<r3

C.r4<r2<0<r3<r)D.r2<r4<0<n<r3

答案A

解析〃，「3都是正線性相關(guān)，所以外>0,r3>0,

并且小相關(guān)性最強，所以門>小：

小心都是負線性相關(guān)，身以9<0,r4<0,

且9相關(guān)性強，所以匕|>|聞，

所以巴々4,所以r2<n<0<n<ri.

3.（2023?無錫天一中學模擬）對兩組變量進行回歸分析，得到不同的兩組樣本數(shù)據(jù)，第一組對

應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)、殘差平方和、決定系數(shù)分別為門，5?,心,第二組對應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)、

殘差平方和、決定系數(shù)分別為aS3,心，則（）

A.若〃>小則笫一組變量比笫二組的線性相關(guān)關(guān)系強

B.若rf>“，則第一組變量比第二組的線性相關(guān)關(guān)系強

C.若S〉S9,則第一組變量比第二組變量擬合的效果好

D.若咫,則第二組變量比第一組變量擬合的效果好

答案B

解析線性相關(guān)系數(shù)H越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，故A錯誤，B正確；

殘差平方和S2越小，則決定系數(shù)R?越大，從而兩個變量擬合的效果越好，

殘差平方和S2越大，則決定系數(shù)R2越小，從而兩個變量擬合的效果越差，故C,D錯誤.

4.（2023?黃岡中學模擬）在一組樣本數(shù)據(jù)（乃，》），。2，刃，…，（為，y.）（〃22,為，也，…，

心互不相等）的散點圖中，若所有樣本點（為，用（，=12…，用都在直線y=*-5上，則這組

樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）

A.-gB.gC.-1D.1

答案D

解析由題意可知，所有樣本點（H,W（i=l,2,…，〃）都在直線5上，

則這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關(guān)，且樣本相關(guān)系數(shù)為1.

5.某市物價局派人對5個商場某商品同一天的銷售量及其價格進行調(diào)查，得到該商品的售價

M元）和銷售量M件）之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：

價格M元）909510()105110

銷售量N件）1110865

用最小二乘法求得），關(guān)于.r的經(jīng)驗回歸方程是y=-0.32A+〃，樣本相關(guān)系數(shù)，?=—0.9923,

則下列說法不正確的是（）

A.變量x與），負相關(guān)且相關(guān)性很強

A

B.a=40

C.當％=85時，y的估計值為15

D.對應(yīng)點（105,6）的殘差為一0.4

答案C

解析由經(jīng)驗回歸方程可得變量％與），負相關(guān)，且由樣本相關(guān)系數(shù)仍=0.9923,可知相關(guān)性

很強，故A正確；

—1—1

由表中數(shù)據(jù)可得x=7X（90+95+l00+l05+110）=100,），=《X（11+10+8+6+5）=8,

JJ

故經(jīng)驗回歸直線過點（100,8）,

AA

故8=-0.32X100+。，解得々=40,故B正確；

A

當x=85時，y=-0.32X85+40=12.8,故C錯誤；

對應(yīng)點（105,6）的殘差為6一（一0.32X1054-40）=-0.4,故D正確.

6.下表為某外來生物物種入侵某河流生態(tài)后的前3個月繁殖數(shù)量），（單位：百只）的數(shù)據(jù)，通

過相關(guān)理論進行分析，知可用回歸模型y=e"m（a￡R）對y與J的關(guān)系進行擬合，則根據(jù)該回

歸模型，預測第6個月該物種的繁殖數(shù)量為（）

第廣個月123

繁殖數(shù)量），eL4ee14

A.e3百只B.e35百只

C.百只D.e*百只

答案C

解析由題意，y=e"s兩邊取自然對數(shù)得lny=l+a/,

令w=lny,則”=I+〃/.

—1—I

u=（Iny\+Iny2+Iny3）Xj=2,t=（/|+力+，3）乂§=2,

???經(jīng)驗回歸直線必過點（7,V）,

.??2=2。+1,解得

乙

I1+-

，〃=1+Z，則y=e2.

當f=6時，y=e±

二、多項選擇題

7.（2024.長沙模擬）6個數(shù)據(jù)（x,y）構(gòu)成的散點圖如圖所示，采用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗回

歸方程，若在6個數(shù)據(jù)中去掉E（5,6）后，下列說法正確的是（）

'M（l,6）?E（5,6）

?欣2,5）

?.D（4,4）

C（3,4）?封（6,3）

Ox

A.解釋變量x與響應(yīng)變量y的相關(guān)性變強

B.樣本相關(guān)系數(shù)r變大

C.殘差平方和變小

D.決定系數(shù)R?變小

答案AC

解析去掉瓜5,6）后，變量x與響應(yīng)變量），的相關(guān)性變強，故A正確；

但由于散點的分布是從左上到右下，故變量負相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)/■變小，殘差平方和

變小，決定系數(shù)配變大，故C正確，B,D錯誤.

8.某商店的某款商品近5個月的月銷售量y（單位：千瓶）如表：

第X個月12345

月銷售量），2.53.244.85.5

若變量y和x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法求得的經(jīng)驗回歸方程為；=0.76+；,則

下列說法正確的是（）

AA

A.點（3,4）一定在經(jīng)驗回歸直線），=0.764+〃上

A

B.?=L72

C.樣本相關(guān)系數(shù)，（0

D.預計該款商品第6個月的銷售量為7800瓶

答案AB

解析對于A,X=9X（1+2+3+4+5）=3,y=gx（2.5+3.2+4+4.8+5.5）=4,所以樣本點

JJ

AA

中心（3,4）一定在經(jīng)驗回歸直線y=0.78+。上，所以A正確；

AAA

對于B,因為樣本點中心（3,4）一定在經(jīng)瞼回歸直線y=O.76x+〃上，所以4=0.76X3+。，解得

A

4=1.72,所以B正確；

對于C,因為0.76X）,所以變量工與y成正相關(guān)，所以欄本相關(guān)系數(shù)"0,所以C錯誤；

A

對于D,當x=6時，y=0.76X6+1.72=6.28,預計該款商品第6個月的銷售量為6280瓶，

所以D錯誤.

三、填空題

9.（2023?遼寧實驗中學模擬）為了比較甲、乙、丙、丁四組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性的強弱，小明分

別計算了甲、乙、丙、丁四組數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)，其數(shù)值分別為-0.95,-0.87,0.76.0.92,

則這四組數(shù)據(jù)中線性相關(guān)性最強的是組數(shù)據(jù).

答案甲

解析根據(jù)題意，因為樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，線性相關(guān)性越強.

甲、乙、丙、丁四組數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為-0.95,-0.87,0.76,0.92,

所以甲組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最強.

10.（2023?安慶模擬）對于數(shù)據(jù)組（即，y）（i=1,2,…，〃），如果由經(jīng)驗回歸方程得到的對應(yīng)自

變量為的估計值是:，那么將“一；稱為對應(yīng)點（知》）的殘差.某商場為了給一種新商品進行

合理定價，將該商品按事先擬定的價格進行試銷，得到如表所示的數(shù)據(jù)：

單價X/元8.28.48.68.8

銷量W件848378m

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到銷量N單位：件）與單價x（單位：元）之間的經(jīng)驗回歸方程為），=-16.r

+a,據(jù)計算，樣本點（8.4,83）處的殘差為1.4,則〃?=一.

答案75

解析由條件知當12=8.4時，＞-2=83-1.4=81.6,

A

代入y=-16x+a,解得0=81.6+16X8.4=216,

A

于是y=-16x+216,

又x=8.5,所以y=80,

“84+83+78+加

即------；-----------=80,解得m=75.

四、解答題

11.（2023?綿陽模擬）移動物聯(lián)網(wǎng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)制造、公共服務(wù)、個人消費等領(lǐng)域.截至2022

年底，我國移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)達18.45億戶，成為全球主要經(jīng)濟體中首個實現(xiàn)“物超人”的

國家.如圖是2018—2022年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)笫與年份代碼/的散點圖，其中年份2。18—

2022對應(yīng)的J分別為1?5,

（1）根據(jù)散點圖推斷兩個變量是否線性相關(guān).計算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）,并推斷它們的

相關(guān)程度；

⑵求w關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程，并預測2024年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù).

E（ti-t）（孫—w）

附：樣本相關(guān)系數(shù)

E(tj—t)(Wj—w)

AJ=|AA

b=-------------------------,a=w~bt,740^41.7.

i(h-7)2

i=i

解（i）由圖可知，兩個變量線性相關(guān).

,一，.％n—1+2+3+4+5

由已知條件可付t==3,

一7+12+13+19+24

w=----------------------------=15,

所以一z)(研一a)=16+3+0+4+18=41,

Z(助一w)2=，64+9+4+16+81=d174,A工(匕-f>=，4+1+0+1+4=>\fHi,

產(chǎn)i\l產(chǎn)i