習(xí)題2-11.設(shè)函數(shù)，求.解：，故.2.下列各題中均假定，按照導(dǎo)數(shù)定義觀察下列極限，求的值：(1)(2)解：（1），故.（2），故.3.設(shè)函數(shù)求解：4.討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.解：,故函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).因,故函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo).5.設(shè)函數(shù)為了使函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，應(yīng)取什么值？解：因，，要使在處連續(xù)，則有又要使在處可導(dǎo)，則必須，即故當(dāng)時(shí)，在處連續(xù)且可導(dǎo).習(xí)題2-21.計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)； (4)；(5)； (6).解：(1)，；；2.使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1);(2);(3);(4);(5)；(6)（a為常數(shù)）；(7)；(8).解：⑴;⑵;⑶;⑷;⑸；⑹；⑺；⑻；3.已知函數(shù)求.解：，.答案：4.試求曲線在點(diǎn)及點(diǎn)處的切線方程和法線方程.解：，故在點(diǎn)處的切線方程為：，即，法線方程為：，即.在點(diǎn)處不可導(dǎo)，其切線方程為：，法線方程為：.5.求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)（為常數(shù)）；(2)；(3)；(4)；解：(1)兩邊求導(dǎo)，得：，解得.(2)兩邊求導(dǎo)，得：，解得.(3)兩邊求導(dǎo)，得：，解得.(4)兩邊求導(dǎo)，得：，解得.6.利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)(2)解：(1)(2)7.求由下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）(為常數(shù))；（2）解：（1）（2）.習(xí)題2-31.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)：(1)，求;(2),求,;(3)求，.解：(1).(2)(3)故，.2.已知存在，求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：(1)；(2).解：(1)(2)3.求次多項(xiàng)式的階導(dǎo)數(shù).解：4.設(shè)函數(shù)，且，求.5.驗(yàn)證：函數(shù)滿足關(guān)系式.解：故.6.求由下列方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：(1)（a,b為常數(shù)）；(2)；(3)；(4).解：(1)兩邊對(duì)求導(dǎo)，得.(2)兩邊對(duì)求導(dǎo)，得.(3)兩邊對(duì)求導(dǎo)，得 (4)兩邊對(duì)求導(dǎo)，得答案：（1）（2）（3）（4）7.求由下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：⑴(為常數(shù))；⑵存在且不為0.解：⑴⑵.習(xí)題2-41.根據(jù)下列所給的值，求函數(shù)的及：（1）；（2）.解：（1）（2）2．求函數(shù)在處的微分.解：.3.利用微分求下列數(shù)的近似值：⑴；⑵；⑶.解：⑴利用近似公式，有.⑵利用近似公式，有⑶取，令，而，則4.求下列函數(shù)的微分：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹.解：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹答案：（1）（2）（3）（4）（5）（6）5.求由下列方程所確定的隱函數(shù)的微分：⑴；⑵；解：（1）對(duì)等式兩端微分，得即，于是（2）對(duì)等式兩端微分，得解得6.利用一階微分的形式不變性求函數(shù)的微分，其中和均為可微函數(shù).解：自測(cè)題單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1.設(shè)函數(shù)其中是正整數(shù)，則（A）A.B.C.D.解：等于對(duì)任意一項(xiàng)求導(dǎo)之后乘以其他項(xiàng)再求和，除了對(duì)求導(dǎo)的那一項(xiàng)之外，其余項(xiàng)都由于存在，在時(shí)為0，因此只剩一項(xiàng)為，把代入得2.設(shè)函數(shù)，為其導(dǎo)數(shù)，則（C）. A.是當(dāng)時(shí)的無窮小B.是當(dāng)時(shí)的無窮大C.不是當(dāng)時(shí)的無窮小，但在內(nèi)有界D.不是當(dāng)時(shí)的無窮大，但在內(nèi)無界解：，，因此既不是無窮大也不是無窮小，而是有界量，選C.3.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（D）.A.若存在，則 B.若存在，則C.若存在，則存在D.若存在，則存在解：若存在，則又函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，故選項(xiàng)A正確.若存在，則又函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，故選項(xiàng)B正確.若存在，則存在，即存在.選項(xiàng)C正確.設(shè)此時(shí)存在，但不存在.選項(xiàng)D錯(cuò)誤.4.設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量在點(diǎn)處的增量，與分別為在點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的增量與微分.若，則（A）.A.B.C.D.解：，由于，故.5.設(shè)，函數(shù)，則在內(nèi)（C）.A.處處可導(dǎo)B.恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)C.恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)D.至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)解：，，，，則是的不可導(dǎo)點(diǎn)，故選.二、填空題（每小題3分，共15分）6.曲線上與直線垂直的切線方程為.解：與直線垂直的切線的斜率為1，曲線上斜率為1的點(diǎn)為，此時(shí)，切線方程為7.已知函數(shù)則.解：8.設(shè)，，則.解：9.設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則.解：把代入方程得，對(duì)方程兩邊微分得10.設(shè)（為參數(shù)），則.解：，三、計(jì)算題（每小題5分，共25分）11.;解：;12．；解：13．；解：設(shè)，求;解：15．，求;解：四、綜合題綜合題（每小題5分，共25分）16.討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性；解：因?yàn)楣屎瘮?shù)在處連續(xù).又,故函數(shù)在處可導(dǎo).求函數(shù)的二階微分；解：,若，，求.解：19.若函數(shù)，求.解：令，則,即.20.設(shè)是由參數(shù)方程所確定的隱函數(shù)，求.解：分別對(duì)已知方程組的兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得：再對(duì)求一次導(dǎo)，得將代入上述各式，得五、應(yīng)用題（每小題10分，共20分）21.垂直向上拋某個(gè)物體，其上升高度h（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系式為求：（1）物體從t=1s到t=1.2s的平均速度；（2）速度函數(shù)