2025年咸陽市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線l的方向向量，平面α的一個法向量為，則直線l與平面α的位置關(guān)系是（）A.平行 B.垂直C.在平面內(nèi) D.平行或在平面內(nèi)2．雙曲線的漸近線方程為A. B.C. D.3．在如圖所示的棱長為1的正方體中，點(diǎn)P在側(cè)面所在的平面上運(yùn)動，則下列四個命題中真命題的個數(shù)是（）①若點(diǎn)P總滿足，則動點(diǎn)P的軌跡是一條直線②若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，則動點(diǎn)P的軌跡是一個周長為的圓③若點(diǎn)P到直線AB的距離與到點(diǎn)C的距離之和為1，則動點(diǎn)P的軌跡是橢圓④若點(diǎn)P到平面的距離與到直線CD的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡是拋物線A.1 B.2C.3 D.44．直線的斜率是（）A. B.C. D.5．直線過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，設(shè)為直線的斜率，為直線的斜率，則的值為（）A. B.C. D.6．一個盒子里有3個分別標(biāo)有號碼為1，2，3小球，每次取出一個，記下它的標(biāo)號后再放回盒子中，共取2次，則在兩次取得小球中，標(biāo)號最大值是3的概率為（）A. B.C. D.7．若直線與雙曲線相交，則的取值范圍是A. B.C. D.8．已知向量，，則向量等于（）A.（3，1，－2） B.（3，－1，2）C.（3，－1，－2） D.（－3，－1，－2）9．已知，，且，則向量與的夾角為（）A. B.C. D.10．已知事件A，B相互獨(dú)立，，則（）A.0.24 B.0.8C.0.3 D.0.1611．如圖，在三棱錐中，，，，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，設(shè)異面直線與所成角為，則的最大值為（）A. B.C. D.12．某研究所計劃建設(shè)n個實驗室，從第1實驗室到第n實驗室的建設(shè)費(fèi)用依次構(gòu)成等差數(shù)列，已知第7實驗室比第2實驗室的建設(shè)費(fèi)用多15萬元，第3實驗室和第6實驗室的建設(shè)費(fèi)用共為61萬元.現(xiàn)在總共有建設(shè)費(fèi)用438萬元，則該研究所最多可以建設(shè)的實驗室個數(shù)是（）A.10 B.11C.12 D.13二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，前項和為，若，則_______________.14．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的方程是______.15．曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________16．直線與直線的夾角大小等于_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，（1）若，求c的值；（2）求最大值18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn).點(diǎn)M滿足.記M的軌跡為C.（1）求C的方程；（2）直線l經(jīng)過點(diǎn)，與軌跡C分別交于點(diǎn)M、N，與直線交于點(diǎn)Q，求證：.19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是的中點(diǎn)（1）求證：；（2）已知二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值20．（12分）已知橢圓的上一點(diǎn)處的切線方程為，橢圓C上的點(diǎn)與其右焦點(diǎn)F的最短距離為，離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)P為直線上任一點(diǎn)，過P作橢圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，求證：21．（12分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且求A和B的大小；若M，N是邊AB上的點(diǎn)，，求的面積的最小值22．（10分）在①直線l：是拋物線C的準(zhǔn)線；②F是橢圓的一個焦點(diǎn)；③，對于C上的點(diǎn)A，的最小值為；在以上三個條件中任選一個，填到下面問題中的橫線處，并完成解答．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，滿足_____（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是拋物線C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線：與C交于M，N兩點(diǎn)，若的面積為，求m的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的向量判斷方法，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，因為，所以，所以直線l與平面α的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)故選：D2、A【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程知，，故選A.3、C【解析】根據(jù)線面關(guān)系、距離關(guān)系可分別對每一個命題判斷.【詳解】若點(diǎn)P總滿足，又，，，可得對角面，因此點(diǎn)P的軌跡是直線，故①正確若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，則動點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)B為圓心，以1為半徑的圓（在平面內(nèi)），因此圓的周長為，故②正確點(diǎn)P到直線AB的距離PB與到點(diǎn)C的距離PC之和為1，又，則動點(diǎn)P的軌跡是線段BC，因此③不正確點(diǎn)P到平面的距離（即到直線的距離）與到直線CD的距離（即到點(diǎn)C的距離）相等，則動點(diǎn)P的軌跡是以線段BC的中點(diǎn)為頂點(diǎn)，直線BC為對稱軸的拋物線（在平面內(nèi)），因此④正確故有①②④三個故選:C4、D【解析】把直線方程化為斜截式即得【詳解】直線方程的斜截式為，斜率為故選：D5、A【解析】設(shè)點(diǎn)與的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示與，再結(jié)合兩點(diǎn)在橢圓上，可得的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)與，則，，所以，，又點(diǎn)與在橢圓上，所以，，作差可得，即，所以，故選：A.6、C【解析】求出兩次取球都沒有取到3的概率，再利用對立事件的概率公式計算作答.【詳解】依題意，每次取到標(biāo)號為3的球的事件為A，則，且每次取球是相互獨(dú)立的，在兩次取得小球中，標(biāo)號最大值是3的事件M，其對立事件是兩次都沒有取到標(biāo)號為3的球的事件，，則有，所以在兩次取得小球中，標(biāo)號最大值是3的概率為.故選：C7、C【解析】聯(lián)立直線和雙曲線的方程得到，即得的取值范圍.【詳解】聯(lián)立直線和雙曲線的方程得當(dāng)，即時，直線和雙曲線的漸近線重合，所以直線與雙曲線沒有公共點(diǎn).當(dāng)，即時，，解之得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.8、B【解析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可得出答案.【詳解】解：因為，，所以.故選：B.9、B【解析】先求出向量與的夾角的余弦值，即可求出與的夾角.【詳解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴與的夾角為.故選：B.10、B【解析】利用事件獨(dú)立性的概率乘法公式及條件概率公式進(jìn)行求解.【詳解】因為事件A，B相互獨(dú)立，所以，所以故選：B11、D【解析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，證明出平面，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，且，求出的最大值，利用空間向量法可求得的最大值.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，，為的中點(diǎn)，則，，則，，同理可得，，，平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因為，所以，為等邊三角形，故為的中點(diǎn)，平面，平面，則，，，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為是邊長為的等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，則、、、，由于點(diǎn)在平面內(nèi)，可設(shè)，其中，且，從而，因為，則，所以，，故當(dāng)時，有最大值，即，故，即有最大值，所以，.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.12、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式，列出方程組，求出的值，進(jìn)而求出令根據(jù)題意令，即可求解.【詳解】設(shè)第n實驗室的建設(shè)費(fèi)用為萬元，其中，則為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則由題意可得，解得，則.令，即，解得，又，所以，，所以最多可以建設(shè)12個實驗室.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由可知公比，所以直接利用等比數(shù)列前項和公式化簡，即可求出【詳解】解：因為，所以，所以，所以，化簡得，因為等比數(shù)列的各項為正數(shù)，所以，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查等比數(shù)列前項和公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題14、【解析】求導(dǎo)，求得，，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求得答案.【詳解】因為，，所以切線的斜率，切線方程是，即.故答案為：.15、【解析】先驗證點(diǎn)在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可【詳解】由題，當(dāng)時，，故點(diǎn)在曲線上求導(dǎo)得：，所以故切線方程為故答案為：16、##【解析】根據(jù)直線的傾斜角可得答案.【詳解】直線是與軸平行的直線，直線的斜率為1，即與軸的夾角為角，故直線與直線的夾角大小等于.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）利用等差數(shù)列以及三角形內(nèi)角和，正弦定理以及余弦定理求解即可；（2）利用正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的最值求解即可【詳解】（1）由角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，得2B＝A＋C又，∴由正弦定理，得，即由余弦定理，得，即，解得（2）由正弦定理，得，∴，∴由，得所以當(dāng)時，即時，18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)已知得點(diǎn)M的軌跡C為橢圓，根據(jù)橢圓定義可得方程；（2）直線的方程設(shè)為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及線段長公式進(jìn)行計算即可.【小問1詳解】由橢圓定義得，點(diǎn)M的軌跡C為以點(diǎn)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，設(shè)此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則由題意得，所以C方程為；【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，由題意知直線的斜率一定存在，設(shè)為，則直線的方程可設(shè)為，與橢圓方程聯(lián)立可得，由韋達(dá)定理知，所以，，又因為，所以又由題知，所以，所以，所以，得證.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由菱形及線面垂直的性質(zhì)可得、，再根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，結(jié)合已知確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求面、面的法向量，結(jié)合已知二面角的余弦值求出參數(shù)t，再根據(jù)空間向量夾角的坐標(biāo)表示求與平面所成角的正弦值【小問1詳解】由平面，平面，則，又是菱形，則，又，所以平面，平面所以E.【小問2詳解】分別以，，為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由（1）知：平面的法向量為，令面的法向量為，則，令，可得，因為二面角的余弦值為，則，可得，則，設(shè)與平面所成的角為，又，，所以.20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，求出然后求解最小值，推出，，，得到雙曲線方程（2）設(shè)，，，，，即可得到，依題意可得以、為切點(diǎn)的切線方程，從而得到直線的方程，再分與兩種情況討論，即可得證；【小問1詳解】解：設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，因為，所以，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，，因為，所以，，因為，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】解：由（1）知，設(shè)，，，，，所以，由題知，以為切點(diǎn)的橢圓切線方程為，以為切點(diǎn)的橢圓切線方程為，又點(diǎn)在直線、上，所以、，所以直線的方程為，當(dāng)時，直線的斜率不存在，直線斜率為，所以，當(dāng)時，，所以，所以，綜上可得；21、（1），（2）【解析】利用正余弦定理化簡即求解A和B的大小利用正弦定理把CN、CM表示出來，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解的面積的最小值【詳解】解：，由正弦定理得：，，，可得，即;,由由余弦定理可得：，，如圖所示:設(shè)，,在中由正弦定理,得,由可知,,所以:,同理,由于,故，此時故的面積的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的有界限求解最值范圍，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題22、（1）（2）或.【解析】（1）選條件①，由準(zhǔn)線方程得參數(shù)，從而得拋物線方程；選條件②，由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)與拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)相同求得得拋物線方程；選條件③，由F，A，B三點(diǎn)共線時，，再由兩點(diǎn)間距離公式求得得拋物線方程；（2）求出點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線距離公式求得到直線的