第十三章達(dá)朗貝爾原理

前面介紹的動(dòng)力學(xué)普遍定理,為解決質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題提供了一種普遍的方法。達(dá)朗貝爾原理為解決非自由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題提供了另一種普遍的方法。這種方法的特點(diǎn)是：用靜力學(xué)研究平衡問(wèn)題的方法來(lái)研究動(dòng)力學(xué)的不平衡問(wèn)題,因此這種方法又叫動(dòng)靜法。由于靜力學(xué)研究平衡問(wèn)題的方法比較簡(jiǎn)單,也容易掌握,因此動(dòng)靜法在工程中被廣泛使用。

設(shè)一質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m,加速度為a,作用于質(zhì)點(diǎn)的主動(dòng)力為F,約束反力為FN。由牛頓第二定律，有將上式改寫成令13.1慣性力及其力系的簡(jiǎn)化FI具有力的量綱,且與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量有關(guān)，稱其為質(zhì)點(diǎn)的慣性力。它的大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積,方向與質(zhì)點(diǎn)加速度的方向相反。mFFNFIa13.1.1

慣性力

用質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理求解質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，需要對(duì)質(zhì)點(diǎn)內(nèi)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)加上各自的慣性力，這些慣性力也形成一個(gè)力系，稱為慣性力系。下面用靜力學(xué)力系簡(jiǎn)化理論，求出慣性力系的主矢和主矩。以FIR表示慣性力系的主矢。由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理及質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理得此式表明：無(wú)論剛體作什么運(yùn)動(dòng),慣性力系的主矢都等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積,方向與質(zhì)心加速度的方向相反。13.1.2慣性力系及其簡(jiǎn)化由靜力學(xué)中任意力系簡(jiǎn)化理論知，主矢的大小和方向與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)，主矩一般與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。下面就剛體平移、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)討論慣性力系的簡(jiǎn)化結(jié)果。

剛體平移時(shí)，剛體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)i的加速度ai與質(zhì)心的加速度aC相同，有ai

＝aC，任選一點(diǎn)O為簡(jiǎn)化中心，主矩用MIO表示，有1.剛體作平移a11FI1aiiFIiCOrCaC

式中，rC為質(zhì)心C到簡(jiǎn)化中心O的矢徑。若選質(zhì)心C為簡(jiǎn)化中心，主矩以MIC表示，則rC＝0，有綜上可得結(jié)論：平移剛體的慣性力系可以簡(jiǎn)化為通過(guò)質(zhì)心的合力,其大小等于剛體的質(zhì)量與加速度的乘積,合力的方向與加速度方向相反。a11FI1aiiFIiCOrCaC2.剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

如圖所示,具有質(zhì)量對(duì)稱面且繞垂直于質(zhì)量對(duì)稱面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體。其上任一點(diǎn)的慣性力的分量的大小為方向如圖所示。該慣性力系對(duì)轉(zhuǎn)軸O的主矩為FIinFIitiOMIOriwa

由于FIin通過(guò)O點(diǎn),則有ΣMO(

FIin

)=0,所以即

綜上可得結(jié)論：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的慣性力系,可以簡(jiǎn)化為通過(guò)轉(zhuǎn)軸O的一個(gè)慣性力FIR和一個(gè)慣性力偶MIO。力FIR的大小等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度大小的乘積,方向與質(zhì)心加速度的方向相反，作用線通過(guò)轉(zhuǎn)軸；力偶MIO的矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其角加速度大小的乘積,轉(zhuǎn)向與角加速度的轉(zhuǎn)向相反?，F(xiàn)在討論以下三種特殊情況：2.當(dāng)剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),a＝0,若轉(zhuǎn)軸不過(guò)質(zhì)心,慣性力系簡(jiǎn)化為一慣性力FI,且FI

＝－maC,同時(shí)力的作用線通過(guò)轉(zhuǎn)軸O。1.當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)質(zhì)心C時(shí),aC＝0,FI＝0,MIC＝－JCa。此時(shí)慣性力系簡(jiǎn)化為一慣性力偶。3.當(dāng)剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)且轉(zhuǎn)軸通過(guò)質(zhì)心C時(shí),FI＝0,MIC＝0,慣性力系自成平衡力系。3.剛體作平面運(yùn)動(dòng)(平行于質(zhì)量對(duì)稱面）

工程中，作平面運(yùn)動(dòng)的剛體常常有質(zhì)量對(duì)稱平面，且平行于此平面運(yùn)動(dòng)。當(dāng)剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其上各質(zhì)點(diǎn)的慣性力組成的空間力系，可簡(jiǎn)化為在質(zhì)量對(duì)稱平面內(nèi)的平面力系。

取質(zhì)量對(duì)稱平面內(nèi)的平面圖形如圖所示,取質(zhì)心C為基點(diǎn),設(shè)質(zhì)心的加速度為aC，繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為w，角加速度為a，與剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)相似，此時(shí)慣性力系向質(zhì)心C簡(jiǎn)化的主矩為FIRCMICaCwa綜上可得結(jié)論：有質(zhì)量對(duì)稱平面的剛體，平行于此平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體的慣性力系簡(jiǎn)化為在此平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力通過(guò)質(zhì)心，其大小等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積,其方向與質(zhì)心加速度的方向相反；這個(gè)力偶的矩等于剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心且垂直于質(zhì)量對(duì)稱面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積,轉(zhuǎn)向與角加速度相反。即：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí),作用于質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束反力和假想加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力構(gòu)成形式上的平衡力系。這就是質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，質(zhì)點(diǎn)并非處于平衡狀態(tài)，這樣做的目的是將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問(wèn)題求解。達(dá)朗貝爾原理與虛位移原理構(gòu)成了分析力學(xué)的基礎(chǔ)。13.2達(dá)朗貝爾原理13.2.1質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理

假定有一質(zhì)點(diǎn)m,受主動(dòng)力F和約束反力FN作用,被約束在曲線上運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)在F和FN這兩個(gè)力的作用下產(chǎn)生加速度a,依據(jù)牛頓第二定律并引入慣性力概念有:

例題

球磨機(jī)的滾筒以勻角速度w繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng),內(nèi)裝鋼球和需要粉碎的物料,鋼球被筒壁帶到一定高度脫離筒壁,然后沿拋物線軌跡自由落下,從而擊碎物料,如圖。設(shè)滾筒內(nèi)壁半徑為r,試求鋼球的脫離角a。

解：以某一尚未脫離筒壁的鋼球?yàn)檠芯繉?duì)象,受力如圖。鋼球未脫離筒壁前,作圓周運(yùn)動(dòng),其加速度為慣性力FI的大小為假想地加上慣性力,由達(dá)朗貝爾原理OMrwaqFFNmgFI

這就是鋼球在任一位置q時(shí)所受的法向反力,顯然當(dāng)鋼球脫離筒壁時(shí),FN＝0,由此可求出其脫離角a為

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成,其中任一質(zhì)點(diǎn)i的質(zhì)量為mi,其加速度為ai,把作用在此質(zhì)點(diǎn)上的力分為主動(dòng)力的合力Fi、約束力的合力為FNi，對(duì)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)上假想地加上它的慣性力FIi＝-miai,

則由質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理,有即：質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上作用的主動(dòng)力、約束力和它的慣性力在形式上組成平衡力系。這就是質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理。13.2.2質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理

把作用在第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的所有力分為外力的合力為Fi(e),內(nèi)力的合力為Fi(i)，則有質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上作用的外力、內(nèi)力和它的慣性力在形式上組成平衡力系。由靜力學(xué)知，空間任意力系平衡的充分必要條件是力系的主矢和對(duì)于任一點(diǎn)的主矩等于零，即因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn),且等值、反向、共線,因此有ΣFi(i)=0和ΣMO(Fi(i))

=0,于是的有即：作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力與虛加在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的慣性力在形式上組成平衡力系。這是質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗貝爾原理的又一表述。稱ΣFIi為慣性力系的主矢，ΣMO(FIi)為慣性力系的主矩。

例題

重P長(zhǎng)l的等截面均質(zhì)細(xì)桿AB,其A端鉸接于鉛直軸AC上,并以勻角速度w繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng),如圖。求角速度w與角q的關(guān)系。

解：以桿AB為研究對(duì)象,受力如圖。

桿AB勻速轉(zhuǎn)動(dòng),桿上距A點(diǎn)x

的微元段dx

的加速度的大小為

微元段的質(zhì)量dm＝Pdx/gl。在該微元段虛加慣性力dFI,它的大小為xdxdFIanqwBACyxqBAxdPFAxFAyFI

于是整個(gè)桿的慣性力的合力的大小為設(shè)力FI的作用點(diǎn)到點(diǎn)A的距離為d,由合力矩定理,有即假想地加上慣性力,由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理qBAxdPFAxFAyFI代入FI的數(shù)值,有故有q＝0或DBA

例題

如圖所示,均質(zhì)桿AB的質(zhì)量m＝40kg,長(zhǎng)l＝4m,A點(diǎn)以鉸鏈連接于小車上。不計(jì)摩擦,當(dāng)小車以加速度a＝15m/s2向左運(yùn)動(dòng)時(shí),求D處和鉸A處的約束反力。

解：以桿為研究對(duì)象,受力如圖,建立如圖坐標(biāo)。

桿作平動(dòng),慣性力的大小為FI＝ma。假想地加上慣性力,則由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理于是得FIlA30°DBh＝1maaFDmgFAxFAyxy代入數(shù)據(jù),解之得：DBAFIaFDmgFAxFAyxyBC

例題

均質(zhì)桿AB長(zhǎng)l,重W,B端與重G、半徑為r的均質(zhì)圓輪鉸接。在圓輪上作用一矩為M的力偶,借助于細(xì)繩提升重為P的重物C。試求固定端A的約束反力。

解：先以輪和重物為研究對(duì)象,受力如圖。假想地加上慣性力由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理aMGFBxFByMIBaPFIC代入MIB和FIC得

再以整體為研究對(duì)象,受力如圖,假想地加上慣性力BCAaMGFAxFAyMIBPFICaWmA代入MIB和FIC解得由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理jOxyCBA

例題：質(zhì)量為m,長(zhǎng)為l的均質(zhì)直桿AB的一端A焊接于半徑為r的圓盤邊緣上,如圖。今圓盤以角加速度a繞其中心O轉(zhuǎn)動(dòng)。求圓盤開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),AB桿上焊接點(diǎn)A處的約束反力。

解：以桿為研究對(duì)象,受力如圖,建立如圖坐標(biāo)。將慣性力系向轉(zhuǎn)軸簡(jiǎn)化,慣性力的大小為aOrABlamgaCFIMIOFAxFAymA

由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理CBAamgaCFIMIOFAxFAymAjOxy將已知數(shù)值代入以上三式,解之得qrC

例題

重P、半徑為r的均質(zhì)圓輪沿傾角為q的斜面向下滾動(dòng)。求輪心C的加速度,并求圓輪不滑動(dòng)的最小摩擦