第四章空間力系gjyxzOyxzabgO4.1

空間匯交力系1、直接投影法當(dāng)力與各軸正向夾角不易確定時，可先將

投影到xy面上得到，2、二次投影法(間接投影法)然后再投影到各坐標(biāo)軸上，即4.1

.1、力在直角坐標(biāo)軸上的投影及其分解方向余弦分別為：反之，已知力在各坐標(biāo)軸的投影，則若以 表示力沿直角坐標(biāo)軸的正交分量，

分別表示沿x、y、z軸的單位矢量，則力

可表示為：

力

的大小為：二、力沿坐標(biāo)軸分解yxzFFxFyFzikj即：合力FR的大小和方向可由其空間力多邊形的封閉邊確定，合力作用線過匯交點。1、幾何法：與平面匯交力系的合成方法相同，也可用力多邊形法則求合力。zyxObga2、解析法：于是可得4.1.2空間匯交力系的合成與平衡條件反之，如已知力系中各力在坐標(biāo)軸上的投影，則合力

的大小為：方向余弦為：四、空間匯交力系的平衡 如以解析形式表示平衡條件，則為：∴幾何法平衡充要條件為：該力系的力多邊形自行封閉?？臻g匯交力系平衡的充要條件是：該力系的合力為零，上式即為空間匯交力系的平衡方程。即：yxzabgO空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系中所有各力在三個坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零。例題

重為W的物體用桿AB和位于同一水平面的繩索AC與AD支承，如圖。已知W＝1000N，CE＝ED＝12cm，EA＝24cm，b＝45°，不計桿重；求繩索的拉力和桿所受的力。解：以鉸鏈A為研究對象，受力如圖。由幾何關(guān)系可得：解得：在圖示坐標(biāo)系內(nèi)列平衡方程。4.2空間力對點之矩和對軸之矩4.2.1力對點的矩xyzOA(x,y,z)hB這三個因素可用一個矢量

表示。由于力矩與矩心的位置有關(guān)，所以力矩矢的始端一定在矩心O處，是定位矢量。空間力對點的矩的作用效果取決于：力矩的大小、轉(zhuǎn)向和力矩作用面方位。.其模表示力矩的大??；.指向表示力矩在其作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向（符合右手螺旋法則）；.方位表示力矩作用面的法線。以r表示力作用點A的矢徑，則4.2.2力對軸的矩OxyzBAdab力對軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動效果的度量，是一個代數(shù)量，其絕對值等于力在垂直于該軸平面上的投影對于軸與平面交點的矩。(1)當(dāng)力的作用線與軸平行或相交(共面)時，力對軸的矩等于零。(2)當(dāng)力沿作用線移動時，它對于軸之矩不變。力

對z

軸的矩定義為：符號規(guī)定：從z軸正向看，若力使剛體逆時針轉(zhuǎn)則取正號，反之取負(fù)。也可按右手螺旋法則確定其正負(fù)號。由定義可知：力對于軸之矩也有合力矩定理，即合力對于任一軸之矩等于各分力對于同一軸之矩的代數(shù)和。力對軸之矩實例FzFxFyOxyzBA也就是力矩矢

與z軸之間的夾角,于是：力對于點O之矩的大小為：4.2.3力對于點之矩與力對于通過該點的軸之矩間的關(guān)系力對于z

軸之矩的大小為：顯然為在垂直于z軸的平面xy上的投影，根據(jù)幾何關(guān)系可知：式中為兩三角形平面間的夾角。定理：力對任一點之力矩矢在通過該點的任一軸上的投影等于力對該軸之矩，這稱為力矩關(guān)系定理。以矩心O為原點建立坐標(biāo)系，則xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik力矩矢MO(F)在三個坐標(biāo)軸上的投影為如圖所示，長方體棱長為a、b、c，力F沿BD，求力F對AC之矩。解：FbbcaABCDa例：已知:手柄ABCD位于平面Axy內(nèi)，D處有一力

作用在垂直于y軸的平面內(nèi)，與鉛垂線的夾角為

。桿BC平行于x軸，桿CD平行于y軸，圖中D、B、A、C都在同一水平面內(nèi)。CD=a,

AB=BC=l

。求：力

對于x、y和z軸之矩。=–Fsin·(l+a)將力

沿直角坐標(biāo)軸方向分解為

和

，則解：Fx

=Fsin

,Fz=Fcos

。應(yīng)用合力矩定理有=–Fcos·l

4.3空間力偶理論平面力偶的性質(zhì)（2）力偶對任意點取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而改變。(1）力偶中兩力在任意坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和為零.（4）力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，只要保持力偶矩不變，可以相應(yīng)地改變力偶中力的大小與力偶臂的長短.（3）平面力偶等效定理：作用在同一平面內(nèi)的兩個力偶，若其力偶矩大小相等、轉(zhuǎn)向相同，則這兩個力偶等效。各力偶的作用面在空間呈任意分布的力偶系稱為空間力偶系。4.3.1空間力偶的等效定理空間力偶的性質(zhì)：空間力偶的等效定理：同一剛體內(nèi)作用面平行的兩個力偶，若它們的力偶矩的大小相等，轉(zhuǎn)向相同，則兩個力偶等效。ABⅠ令與AB平行且相等OA1B1Ⅱ力偶可以在平行平面間任意移轉(zhuǎn)而不影響它對于剛體的作用效應(yīng)。

力偶作用面不在同一平面內(nèi)的力偶系稱為空間力偶系。4.3.2空間力偶系的合成與平衡由于力偶矩矢是自由矢量，在對空間力偶系進行合成時，可將各力偶矩矢平行地搬移到任一點。類似于一般的矢量運算，力偶矩矢的合成也符合平行四邊形法則。因此，空間力偶系可以合成為一個合力偶，其合力偶矩矢等于力偶系中各力偶矩矢的矢量和。即解析法：將矢量方程向三個直角坐標(biāo)軸投影，得：因此，合力偶矩矢的大小和方向余弦分別為：合力偶矩矢的大小--稱為空間力偶系的平衡方程.空間力偶系平衡的充分必要條件是:合力偶矩矢等于零，即即力偶系中各力偶矩矢在三個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和都等于零。一、力線平移定理作用于剛體上的力可以平行移至剛體內(nèi)任一指定點，欲不改變該力對于剛體的作用，則必須在該力與指定點所決定的平面內(nèi)附加一力偶，其力偶矩矢等于原力對于指定點之力矩矢。這就是矢量形式的力線平移定理。力的作用線在空間任意分布的力系稱為空間任意力系。AOAO=4.4空間力系向一點的簡化·主矢和主矩1.空間任意力系向一點的簡化yzxOzyxOOxyz＝＝ABN空間任意力系向點O簡化得到一空間匯交力系和一空間力偶系。各力的矢量和稱為空間力系的主矢。主矢與簡化中心的位置無關(guān)。各力對簡化中心之矩矢的矢量和稱為力系對簡化中心的主矩。主矩與簡化中心的位置有關(guān)。空間匯交力系可合成一個力：空間力偶系可合成為一合力偶，其矩矢

：因此主矩

的大小和方向余弦為：因此主矢的大小和方向余弦為：將主矢及各力均投影在三個坐標(biāo)軸上，則：將主矩及均投影在三個坐標(biāo)軸上，并應(yīng)用力矩關(guān)系定理可得結(jié)論：空間力系向任一點O簡化，可得一力和一力偶，這個力的大小和方向等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心O；這個力偶的矩矢等于該力系對簡化中心的主矩。2空間任意力系的簡化結(jié)果分析空間任意力系向一點簡化的結(jié)果可能出現(xiàn)四種情況：(1)F'R＝0，MO≠0;(2)F'R≠

0，MO

＝

0;(3)F'R≠

0，MO≠0;(4)F'R＝0，MO＝

0

2)空間任意力系簡化為一合力偶的情形F'R＝0，MO≠0簡化結(jié)果為一個與原力系等效的合力偶，其合力偶矩矢等于對簡化中心的主矩。此時力偶矩矢與簡化中心位置無關(guān)。F'R≠

0，MO＝

0這時得一與原力系等效的合力，合力的作用線過簡化中心O，其大小和方向等于原力系的主矢。3)空間任意力系簡化為一合力的情形1)空間任意力系簡化為平衡的情形主矢F'R＝0，主矩MO＝

0，這是空間任意力系平衡的情形。

這時亦得一與原力系等效的合力，其大小和方向等于原力系的主矢，合力的作用線離簡化中心O的距離為

F'R≠

0，MO≠0，且F'R⊥MOOOO'd＝＝OO'即空間任意力系的合力對于任一軸之矩等于力系中各力對于同一軸之矩的代數(shù)和。即當(dāng)空間任意力系可以合成為一個合力時，其合力對于任一點的矩等于力系中各力對于同一點之矩的矢量和。此為空間任意力系的合力矩定理。因為所以常用投影式F'R≠

0，MO≠0，且F'R∥MO此時無法進一步合成，這就是簡化的最后結(jié)果。這種力與力偶作用面垂直的情形稱為力螺旋。F'R與MO同方向時，稱為右手螺旋；F'R與MO反向時，稱為左手螺旋。圖示為一右手螺旋。＝MOF'ROOF'R4)空間任意力系簡化為力螺旋的情形F'R≠

0，MO≠0，同時兩者既不平行，又不垂直，且成任意角度

。此時可將MO分解為兩個分力偶M1和M2，它們分別垂直于F'R和平行于F'R，則M2和F'R可用作用于點O'的力FR來代替，最終得一通過點O'的力螺旋。Od

O=鉆頭鉆孔時施加的力螺旋4.5.1空間任意力系的平衡條件空間任意力系平衡的充要條件：空間任意力系平衡的充要條件：所有各力在三個坐標(biāo)軸中每一個軸上的投影的代數(shù)和等于零，以及這些力對于每一個坐標(biāo)軸之矩的代數(shù)和也等于零.該力系的主矢、主矩分別為零.2.空間平行力系的平衡方程4.5.2空間任意力系的平衡方程例題已知：P=8kN,各尺寸如圖求：A、B、D

處約束力解：研究對象：小車列平衡方程例題：已知:已知起重機，AD=DB=1m，CD=1.5m，CM=1m。機身與平衡錘重G=100kN，其作用線在平面LMN內(nèi)，到機身軸線MN的距離為0.5m，起重量G1=30kN

求：當(dāng)平面LMN平行于AB時，地面對三個輪子的約束力。解：取起重機整體為研究對象。受力分析作用于起重機上的力有重力

、

和地面對三個輪子的鉛垂約束力

、

、

，這些力構(gòu)成空間平行力系

,,建立坐標(biāo)系Mxyz如圖，列平衡方程并求解解得求：及A、B處約束力。車床主軸如圖所示，車刀的切削力為：傳動齒輪半徑R=50mm，嚙合力工件半徑r=30mm，其余尺寸如圖所示，A處為向心軸承，B處為向心推力軸承。又：解：以整體為研究對象，受力分析如圖所示。解得：4.5.3固定端約束

固定端約束是工程中一種常見的約束。它是將兩個物體固連在一起后,相互之間不能產(chǎn)生相對運動的一種約束。4.6物體的重心4.6.2重心的坐標(biāo)4.6.1重心的概念物體重心問題可以看成是空間平行力系中心的一個特例。不論物體如何放置，其重力的合力的作用線相對于物體總是通過一個確定的點，這個點稱為物體的重心。重力是地球?qū)ξ矬w的吸引力，如果將物體由無數(shù)的質(zhì)點組成，則重力便構(gòu)成空間匯交力系。由于物體的尺寸比地球小得多，因此可近似地認(rèn)為重力是個平行力系，這力系的合力就是物體的重量。設(shè)重心C的坐標(biāo)為（xC，yC，zC），計算重心坐標(biāo)的公式為如果物體是均質(zhì)的，其單位體積的重量為，各微小部分的體積為，整個物體的體積，則：由此可見，均質(zhì)物體的重心位置與物體的重量無關(guān)，而只取決于物體的幾何形狀，這時物體的重心就是物體幾何形狀的中心——形心。均質(zhì)薄板的重心或