2025年考研理學(xué)拓?fù)鋵W(xué)測(cè)試試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填入括號(hào)內(nèi)，每題3分，共15分）1.下列集合中，()不是拓?fù)淇臻g。(A)非空集合X，配以任意拓?fù)洇?B)非空集合X，僅包含空集和X本身作為開集的拓?fù)?C)歐氏空間R^n，配以標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)?D)非空集合X，配以只包含空集的拓?fù)?.設(shè)Top(X)為集合X上所有拓?fù)涞募希琓為X上給定的一個(gè)拓?fù)?。函?shù)φ:Top(X)→P(X)(P(X)為X的冪集)定義為φ(U)=U。則φ是(A)滿射但不是單射(B)單射但不是滿射(C)雙射(D)既不是單射也不是滿射3.拓?fù)淇臻g(X,T?)和(Y,T?)的積空間X×Y的拓?fù)洌ǚQ為積拓?fù)洌┦侵杆行稳鏤?×U?∈T?×T?的集合構(gòu)成的拓?fù)?，則此拓?fù)?A)總是T?與T?的乘積拓?fù)?B)總是比T?×T?（作為P(X×Y)的子集）更細(xì)(C)總是比T?×T?（作為P(X×Y)的子集）更粗(D)可能比T?×T?更粗也可能更細(xì)4.設(shè)f:X→Y是拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射。下列命題中，()為真。(A)如果Y是緊致空間，則f(X)是緊致空間。(B)如果X是緊致空間，則f(X)是緊致空間。(C)如果f(X)是緊致空間，則X是緊致空間。(D)如果Y是連通空間，則f(X)是連通空間。5.下列空間中，()是緊致空間。(A)R上的有理數(shù)集Q，配以標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)?B)[0,1]∪[2,3]，配以標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)?C)(0,1)，配以標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)?D)R，配以標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)涠?、填空題（請(qǐng)將答案填入橫線上，每題4分，共20分）6.在拓?fù)淇臻g(X,T)中，任意兩個(gè)開集的______仍然是開集。7.設(shè)f:X→Y是連續(xù)映射，B?Y。則f?1(B)______f(X)。8.歐氏空間R^n中的開球B(x?,r)={x∈R^n|||x-x?||<r}在其標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)湎率莀_____。9.連通空間X不能被分解為兩個(gè)非空且不相交的開集的______。10.設(shè)X是拓?fù)淇臻g，A?X。如果A的每一個(gè)點(diǎn)都是A的極限點(diǎn)，則稱A是______。三、計(jì)算題（請(qǐng)寫出詳細(xì)計(jì)算步驟，每題8分，共24分）11.設(shè)X={a,b,c}，定義拓?fù)洇?{{?},{a},{a,b},{a,c},{a,b,c}}。證明(X,τ)是拓?fù)淇臻g，并判斷它是否是T?空間（即分離空間）？12.設(shè)f:R→R定義為f(x)=x2。證明f是(R,std)到(R,std)的連續(xù)映射。13.設(shè)X=[0,1]∪[2,3]，Y=[0,2]。定義f:X→Y為f(x)=x。證明f是連續(xù)映射。四、證明題（請(qǐng)寫出詳細(xì)證明過(guò)程，每題10分，共30分）14.證明：緊致空間X的任何子集A?X都是緊致空間。15.證明：若拓?fù)淇臻gX是緊致的，且Y是X的子空間，則Y也是緊致空間。16.設(shè)X是拓?fù)淇臻g，A是X的閉集。證明：如果X是連通空間，則X\A也是連通空間（提示：用反證法）。試卷答案一、選擇題1.D2.C3.A4.A5.B二、填空題6.并集7.包含于8.開集9.唯一分解10.密集集三、計(jì)算題11.證明：(X,τ)是拓?fù)淇臻g：驗(yàn)證拓?fù)涔恚?1)?∈τ且X∈τ。是，?∈τ,{a,b,c}∈τ。(2)τ中任意多個(gè)集合的并集仍在τ中。檢查：?∪{a}={a}∈τ；{a}∪{a,b}={a,b}∈τ；{a}∪{a,c}={a,c}∈τ；...所有并集結(jié)果均在τ中。(3)τ中任意有限個(gè)集合的交集仍在τ中。檢查：?∩{a}=?∈τ；{a}∩{a,b}={a}∈τ；{a}∩{a,c}={a}∈τ；{a,b}∩{a,c}={a}∈τ；{a}∩{a,b}∩{a,c}={a}∈τ。所有交集結(jié)果均在τ中。所以(X,τ)滿足拓?fù)涔恚峭負(fù)淇臻g。判斷是否為T?空間：T?空間要求對(duì)任意單點(diǎn)集{p}?X，其閉包c(diǎn)l({p})={p}。檢查：{a}的閉包c(diǎn)l({a})={a}∪{a,b}∪{a,c}={a,b,c}≠{a}。因此(X,τ)不是T?空間。12.證明f是連續(xù)映射：需要證明對(duì)任意的開集V?R，其原像f?1(V)是R中的開集。方法一：使用逆像性質(zhì)。設(shè)V是R中的開集，則V可以表示為開區(qū)間的并集，即V=∪_{i∈I}(a?,b?)。則f?1(V)=f?1(∪_{i∈I}(a?,b?))=∪_{i∈I}f?1((a?,b?))。對(duì)每個(gè)(a?,b?)，有f?1((a?,b?))={x∈R|a?<x2<b?}=(-√b?,-√a?)∪(√a?,√b?)。這兩個(gè)區(qū)間都是開集。開集的并集是開集，因此f?1(V)是開集。由定義知f是連續(xù)的。方法二：使用ε-δ定義。任取x?∈R，V是開集，V包含某個(gè)開區(qū)間(a,b)。要找δ>0使得U(x?,δ)=(x?-δ,x?+δ)?f?1(V)。由于x?2∈V，存在ε>0使得(a,b)?(x?2-ε,x?2+ε)。令δ=min{√(x?2+ε),√(x?2-ε)}(如果x?=0則取δ=√ε)。對(duì)任意x∈U(x?,δ)，|x-x?|<δ?|x2-x?2|≤|x-x?||x+x?|<δ|x+x?|≤√(x?2+ε)|x+x?|≤√(x?2+ε)√(x?2+ε)=x?2+ε。所以x?2-ε<x2<x?2+ε，即x2∈(x?2-ε,x?2+ε)?(a,b)?V。因此U(x?,δ)?f?1(V)。由x?的任意性知f是連續(xù)的。13.證明f是連續(xù)映射：需要證明對(duì)任意的開集V?Y，其原像f?1(V)是X中的開集。方法一：使用逆像性質(zhì)。設(shè)V是Y中的開集。由于Y=[0,2]，開集V在Y中的形式為V=∪_{i∈I}(c?,d?)（可能是緊區(qū)間、開區(qū)間、半開區(qū)間或整個(gè)[0,2]）。f(x)=x，所以f?1((c?,d?))={x∈X|x∈[0,1]∪[2,3]且c?<x<d?}=(c?,d?)∩([0,1]∪[2,3])。這個(gè)交集要么是(c?,d?)∩[0,1]=(max(c?,0),min(d?,1))（如果0≤c?<d?≤1），要么是(c?,d?)∩[2,3]=(max(c?,2),min(d?,3))（如果2≤c?<d?≤3），要么是空集（如果d?<0或c?>3）。所有這些交集（如果非空）都是[0,1]或[2,3]中的開集（相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)涞淖涌臻g拓?fù)洌?，它們是開區(qū)間的并集，因此是開集。開集的并集是開集，因此f?1(V)是開集。由定義知f是連續(xù)的。方法二：使用拓?fù)浒?。設(shè)V是Y中的開集，f?1(V)?X?？紤]f?1(V)與[0,1]的交集f?1(V)∩[0,1]。由于V是開集，(0,1)?V?f?1((0,1))=(0,1)∩([0,1]∪[2,3])=(0,1)?f?1(V)∩[0,1]。同樣，(1,2)?V?f?1((1,2))=(1,2)∩([0,1]∪[2,3])=?。所以f?1(V)∩[0,1]包含(0,1)的子集，是[0,1]中的開集。同理，f?1(V)∩[2,3]包含(2,3)的子集，是[2,3]中的開集。因此f?1(V)是[0,1]和[2,3]中開集的并集，是開集。由定義知f是連續(xù)的。四、證明題14.證明：緊致空間X的任何子集A?X都是緊致空間。證明方法一：開覆蓋定義。設(shè)A是緊致空間X的子集。任給A的一個(gè)開覆蓋{Uα|α∈I}。由于A?X，每個(gè)Uα也是X中的開集。因此{(lán)Uα|α∈I}是X的一個(gè)開覆蓋。由于X是緊致的，存在有限子覆蓋{U_{α?},U_{α?},...,U_{α<0xE2><0x82><0x99}}，使得X?U_{α?}∪U_{α?}∪...∪U_{α<0xE2><0x82><0x99}}。因?yàn)锳?X，所以A?U_{α?}∪U_{α?}∪...∪U_{α<0xE2><0x82><0x99}}。這表明{U_{α?},U_{α?},...,U_{α<0xE2><0x82><0x99}}是A的一個(gè)有限子覆蓋。由定義知A是緊致的。證明方法二：閉覆蓋定義。設(shè)A是緊致空間X的子集?？紤]A的所有開覆蓋。根據(jù)緊致性，每個(gè)這樣的開覆蓋都有有限子覆蓋。因此，對(duì)于A的任意閉覆蓋{Vβ|β∈J}，其中每個(gè)Vβ是A的閉集，考慮X中的閉覆蓋{X\Vβ|β∈J}。由于X是緊致的，存在有限子覆蓋{X\V_{β?},X\V_{β?},...,X\V_{β<0xE2><0x82><0x99}}。這意味著X\(V_{β?}∪V_{β?}∪...∪V_{β<0xE2><0x82><0x99}})=(X\V_{β?})∩(X\V_{β?})∩...∩(X\V_{β<0xE2><0x82><0x99}})=?。所以V_{β?}∪V_{β?}∪...∪V_{β<0xE2><0x82><0x99}}=X。因?yàn)锳?X，所以A?V_{β?}∪V_{β?}∪...∪V_{β<0xE2><0x82><0x99}}。這表明{V_{β?},V_{β?},...,V_{β<0xE2><0x82><0x99}}是A的一個(gè)有限子覆蓋。由定義知A是緊致的。15.證明：若拓?fù)淇臻gX是緊致的，且Y是X的子空間，則Y也是緊致空間。證明：設(shè)X是緊致空間，Y是X的子集，配備Y在X中的子空間拓?fù)洹Ｈ谓oY的一個(gè)開覆蓋{Uα|α∈I}。由于每個(gè)Uα是Y中的開集，根據(jù)子空間拓?fù)涠x，存在X中的開集Vα，使得Uα=Vα∩Y。因此，{Vα|α∈I}是X的一個(gè)開覆蓋，且Y?(∪_{α∈I}Vα)∩Y=∪_{α∈I}(Vα∩Y)=∪_{α∈I}Uα。由于X是緊致的，這個(gè)開覆蓋{Vα|α∈I}有有限子覆蓋{V_{α?},V_{α?},...,V_{α<0xE2><0x82><0x99}}。這意味著X?V_{α?}∪V_{α?}∪...∪V_{α<0xE2><0x82><0x99}}。因此Y?(V_{α?}∪V_{α?}∪...∪V_{α<0xE2><0x82><0x99}})∩Y=(V_{α?}∩Y)∪(V_{α?}∩Y)∪...∪(V_{α<0xE2><0x82><0x99}}∩Y)=U_{α?}∪U_{α?}∪...∪U_{α<0xE2><0x82><0x99}}。這表明{U_{α?},U_{α?},...,U_{α<0xE2><0x82><0x99}}是Y的一個(gè)有限子覆蓋。由定義知Y是緊致的。16.證明：設(shè)X是拓?fù)淇臻g，A是X的閉集。證明：如果X是連通空間，則X\A也是連通空間（提示：用反證法）。證明：假設(shè)X是連通空間，且A是X的閉集，但X\A不是連通空間。則存在非空、不相交的開集U,V，使得(X\A)=U∪V且U∩V=?。由于U,V是(X\A)中的開集，存在X中的開集U',V'，使得U=U'∩(X\A)，V=V'∩(X\A)。則(X\A)=(U'∩(X\A))∪(V'∩(X\A))=(U'∩V')∩(X\A)∪(U'∩(X\A))∪(V'∩(X\A))=(U'∩V')∩(X\A)∪(U'∩(X\A))∪(V'∩(X\A))=(U'∩V')∩(X\A)∪U'∩(X\A)∪V'∩(X\A)。由于U'和V'是X中的開集，U'∩(X\A)和V'∩(X\A)是X中的開集。又因?yàn)锳=X\(X\A)，所以(X\A)∪A=X。所以X=[(X\A)∪A]=[(U'∩V')∩(X\A)∪U'∩(X\A)∪V'∩(X\A)]∪A。令W?=(U'∩V')∩(X\A)∪U'∩(X\A)，W?=V'∩(X\A)∪A。則X=W?∪W?。我們需要證明W?和W?是不相交的非空開集。*非空性：U,V是非空的(X\A)的子集