模型03全等模型易錯模型1：倍長中線模型模型解讀所謂倍長中線模型，就是將三角形的中線延長一倍，以便構造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關知識來解決問題的方法。（注：一般都是原題已經有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）。1）倍長中線模型（中線型）條件：AD為△ABC的中線。結論：2）倍長類中線模型（中點型）條件：△ABC中，D為BC邊的中點，E為AB邊上一點（不同于端點）。結論：△EDB≌△FDC。3）倍長類中線模型拓展（中點+平行線型）條件：AB∥CD，E為AC的中點，F(xiàn)為AB邊上一點（不同于端點）。結論：△AFE≌△CGE。練習時要記住下面三點：①見中點，先倍長；②證明8字全等；③找關系。易錯提醒：若“中點+平行線型”按“中點型”來倍長，則需證明點G在CD上，為了避免證明三點共線，點G就直接通過延長相交得到。因為有平行線，內錯角相等，故根據“AAS”或“ASA”證明全等。這里“中點+平行線型”可以看做是“中點型”的改良版。例1．（2024·山西呂梁·一模）閱讀與思考：下面是小宇同學的數(shù)學日記，請仔細閱讀，并完成相應的任務．“倍長中線法”中線是三角形中的重要線段之一，利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”加輔助線．如圖1．在中，平分，且恰好是邊的中點．求證：．

證明：如圖2，延長至點，使．∵是邊的中點∴．∵，，∴（依據）．∴．∵平分，∴，∴，∴，∴．任務：(1)材料中的“依據”是________．（填選項）A．

B．

C．

D．(2)在中，，，則邊上的中線長度的取值范圍是________．(3)如圖3，在四邊形中，，平分，且是的中點，，，求的長．【答案】(1)A(2)(3)1【詳解】（1）解：根據證明過程可得的依據是，故選：A；（2）解：如圖，延長至點，使．連接,∵是邊的中點∴．∵，，∴．∴．又，∴即∴．（3）解：如圖，延長，交于點，∵，即，∴∵點是的中點，∴又∴∴∵平分∴∴，∴∴變式1．（2024·山東·校考一模）閱讀材料：如圖1，在中，D，E分別是邊AB，AC的中點，小亮在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，通過延長DE到點F，使，連接CF，證明，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．類比遷移：（1）如圖2，AD是的中線，E是AC上的一點，BE交AD于點F，且，求證：．小亮發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進行證明．證明：如圖2，延長AD至點M，使，連接MC，……請根據小亮的思路完成證明過程．方法運用：（2）如圖3，在等邊中，D是射線BC上一動點（點D在點C的右側），連接AD．把線段CD繞點D逆時針旋轉120°得到線段DE，F(xiàn)是線段BE的中點，連接DF、CF．請你判斷線段DF與AD的數(shù)量關系，并給出證明．【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析【詳解】（1）證明：延長AD至M，使，連接MC．在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）線段DF與AD的數(shù)量關系為：．證明如下：延長DF至點M，使，連接BM、AM，如圖2所示：∵點F為BE的中點，∴在和中，∵，∴∴，，∴∵線段CD繞點D逆時針旋轉120°得到線段DE∴，，∴∵是等邊三角形∵，，∴∵，∴在和中，∵，∴∴，，∴∴是等邊三角形，∴．變式2．（2024·四川達州·模擬預測）[問題背景]在中，，求邊上的中線的取值范圍，小組內經過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：延長到E，使得，再連接，把集中在中．(1)利用上述方法求出的取值范圍是_________；(2)[探究]如圖2，在中，為邊上的中線，點D在的延長線上，且，與相交于點O，若四邊形的面積為20，求的面積；(3)[拓展]如圖3，在四邊形中，，E為的中點，G、F分別為邊上的點，若，，，求的長．【答案】(1)(2)50(3)【詳解】（1）解：根據題意：延長到點E，使，再連接，∴，∵是邊上的中線，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．（2）解：如圖：連接．過點A作交的延長線于點T．∴，∵為邊上的中線，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，設的面積為x,∵，∴的面積為，∵，∴的面積為,的面積為，∵，∴的面積=的面積=,∴四邊形的面積的面積的面積，∴．∴的面積為50．（3）解：如圖，延長至點M，使得，連接，過點M作，交的延長線于點N，∵E為中點，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴垂直平分，∴，∴．易錯模型2：截長補短模型模型解讀截長補短模型分為截長模型和補短模型：適用于求證線段的和差倍分關系，截長補短的關鍵在于通過輔助線構造出全等三角形、等腰三角形。該類題目條件中常出現(xiàn)等腰三角形（兩邊相等）、角平分線（兩角相等）等關鍵詞句，可采用截長補短法構造全等三角形來完成證明過程（往往需證2次全等）。截長：指在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補短：指將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。條件：AD為△ABC的角平分線，∠B=2∠C。結論：AB＋BD＝AC。易錯提醒：在截長補短模型中，輔助線的添加是關鍵。如果輔助線添加不當，可能會導致后續(xù)步驟無法順利進行，甚至得出錯誤的結論。因此，需要準確判斷何時何地添加輔助線，并確保其合理性。?例1．（2024·河南南陽·一模）李老師善于通過合適的主題整合教學內容，幫助同學們用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，下面是李老師在“利用角的對稱性構造全等模型”主題下設計的問題，請你解答．（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】①如圖1，是的角平分線，，在上截取，連接，則與的數(shù)量關系是__________；②如圖2，的角平分線、相交于點P．當時，線段與的數(shù)量關系是__________；（2）【探究遷移】如圖3，在四邊形中，，的平分線與的平分線恰好交于邊上的點P，試判斷與的數(shù)量關系，并說明理由．（3）【拓展應用】在（2）的條件下，若，當有一個內角是時，直接寫出邊的長．【答案】（1）①；②；（2），理由見解析；（3）或10．【詳解】（1）①∵是的角平分線，∴，∵，，∴，∴；故答案為：；②在上取點D，使，連接，，∵的角平分線、相交于點P．∴平分，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：；（2），理由：在上取點E，使，連接，則，∵，∴，∵的平分線與的平分線恰好交于邊上的點P，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）設，則，當時，，∴，∴，∴，過點E作于點G，則，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，；當時，，過點P作于點H，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，；當時，，∵，∴，∴，∴不成立．綜上，或．

變式1．（2024·湖南懷化·模擬預測）【證明體驗】（1）如圖1，為的角平分線，，點E在上，．求證：平分．【思考探究】（2）如圖2，在（1）的條件下，F(xiàn)為上一點，連接交于點G．若，，，求的長．【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形中，對角線平分，點E在上，．若，求的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【詳解】解：（1）平分，，，，，，，平分；（2），，，，，，，，；（3）在上截取，連接，平分，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．變式2．（2024·遼寧大連·模擬預測）【方法探究】如圖1，在中，平分，，探究，，之間的數(shù)量關系；嘉銘同學通過思考發(fā)現(xiàn)，可以通過“截長、補短”兩種方法解決問題：方法1：如圖2，在上截取，使得，連接，可以得到全等三角形，進而解決此問題．方法2：如圖3，延長到點，使得，連接，可以得到等腰三角形，進而解決此問題．（1）根據探究，直接寫出，，之間的數(shù)量關系；【遷移應用】（2）如圖4，在中，D是上一點，，，于，探究，，之間的數(shù)量關系，并證明．【拓展延伸】（3）如圖5，為等邊三角形，點為延長線上一動點，連接．以為邊在上方作等邊，點是的中點，連接并延長，交的延長線于點．若，求證：．【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）證明見解析．【詳解】（1）證明：方法一：∵平分，∴，在和中，，，，∴∴，，∵，∴，∴，∴，∴；方法二：延長到點E，使得，連接，∴，則，∵，∴，∵平分，∴，在和中，，，，∴，∴，∵，∴；（2）在上取，連接，∵于，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（3）如圖所示，∵，為等邊三角形，∴，，∴∴，∴，∴，∴，過作，交于點，∴，∵是的中點，∴，又，∴，∴，，，而，，∴，又∵，∴，∴，即．易錯模型3：一線三等角（K字）模型模型解讀一線三等角模型是指三個相等的角的頂點在同一條直線上，這個模型在七八年級階段往往用來證明三條線段的和差或線段的求值及角度的證明等，是一類比較典型的全等模型；模型主要分為同側型和異側型兩類。1）一線三等角（K型圖）模型（同側型）銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角條件：，AE=DE；結論：，AB+CD=BC。2）一線三等角（K型圖）模型（異側型）銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角條件：，AE=DE；結論：，AB-CD=BC。易錯提醒：在直角K型圖（如等腰直角三角形）中，常伴隨隱藏的邊角關系（如等邊或特殊角度）。若未挖掘這些條件，可能導致計算錯誤或步驟冗余。?例1．（2024·山東煙臺·中考真題）在等腰直角中，，，D為直線上任意一點，連接．將線段繞點D按順時針方向旋轉得線段，連接．【嘗試發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當點D在線段上時，線段與的數(shù)量關系為________；【類比探究】（2）當點D在線段的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段與的數(shù)量關系并證明；【聯(lián)系拓廣】（3）若，，請直接寫出的值．【答案】（1）；（2），補圖及證明見解析；（3）或【詳解】解：（1）如圖，過點作延長線于點，由旋轉得，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：；（2）補全圖形如圖：，理由如下：過點作交于點，由旋轉得，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴；（3）如圖，當在的延長線上時，過點作于點，連接，由（2）得，，∴，∴，∴．當在的延長線上時，過點作于點，如圖，連接，同理可得：，∴，，∴，∴，∴；綜上：或變式1．（2024·湖南·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點E．（1）當∠BDA=115°時，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）線段DC的長度為何值時，△ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由．【答案】（1）25°，65°；（2）2，理由見詳解；（3）可以，110°或80°.【詳解】解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=115°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；（2）當DC=2時，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形，∵∠BDA=110°時，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE的形狀是等腰三角形；∵當∠BDA的度數(shù)為80°時，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE的形狀是等腰三角形．變式2．（2024·甘肅·中考真題）【模型建立】（1）如圖1，已知和，，，，．用等式寫出線段，，的數(shù)量關系，并說明理由．【模型應用】（2）如圖2，在正方形中，點E，F(xiàn)分別在對角線和邊上，，．用等式寫出線段，，的數(shù)量關系，并說明理由．【模型遷移】（3）如圖3，在正方形中，點E在對角線上，點F在邊的延長線上，，．用等式寫出線段，，的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】（1），理由見詳解，（2），理由見詳解，（3），理由見詳解【詳解】（1），理由如下：∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴；（2），理由如下：過E點作于點M，過E點作于點N，如圖，∵四邊形是正方形，是正方形的對角線，∴，平分，，∴，即，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，，，∴四邊形是正方形，∴是正方形對角線，，∴，，∴，，∴，即，∵，∴，即有；（3），理由如下，過A點作于點H，過F點作，交的延長線于點G，如圖，∵，，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵在正方形中，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴．易錯模型4：手拉手模型模型解讀將兩個三角形（或多邊形）繞著公共頂點旋轉某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構成手拉手全等，也叫旋轉型全等。其中：公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左手”，第二個頂點記為“右手”。1）雙等邊三角形型條件：△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點F。結論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。2）雙等腰直角三角形型條件：△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點N。結論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。3）雙等腰三角形型條件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C為公共點；連接BE，AD交于點F。結論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。4）雙正方形形型條件：四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，C為公共點；連接BG，ED交于點N。結論：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。易錯提醒：1）手拉手模型需滿足兩等腰三角形?共頂點且頂角相等?，若題目未明確給出等腰條件或頂點位置，易誤判模型適用性；2）模型中需通過?順（逆）時針方向?判斷左右手，若方向顛倒則無法正確應用“左拉左，右拉右”的全等結論。?例1．（2024·山東泰安·中考真題）如圖1，在等腰中，，，點，分別在，上，，連接，，取中點，連接．(1)求證：，；(2)將繞點順時針旋轉到圖2的位置．①請直接寫出與的位置關系：___________；②求證：．【答案】(1)見解析(2)①；②見解析【詳解】（1）證明：在和中，，，，，，．是斜邊的中點，，，，．，，．；（2）解：①；理由如下：延長到點，使，連結，延長到，使，連接并延長交于點．證明（具體證法過程跟②一樣）．，是中點，是中點，是中位線，，，，，，．故答案為：；②證明：延長到點，使，連接．，，，，，，，，，，．，．在和中，，，，，，，．變式1．（2024·山東·九年級專題練習）已知，為等邊三角形，點在邊上．【基本圖形】如圖1，以為一邊作等邊三角形，連結．可得（不需證明）．【遷移運用】如圖2，點是邊上一點，以為一邊作等邊三角．求證：．【類比探究】如圖3，點是邊的延長線上一點，以為一邊作等邊三角．試探究線段，，三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關系，請寫出你的結論并說明理由．【答案】【基本圖形】見解析；【遷移運用】見解析；【類比探究】見解析．【詳解】基本圖形：證明：∵與都是等邊三角形，∴，，，，∴，，∴，在與中，，∴，∴，∴，∵，∴；遷移運用：證明：過點作，交于點，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，，又∵，∴為等邊三角形，∴，∵為等邊三角形，∴，，∵，，∴，在與中，∴，∴，∴；類比探究：解：，理由如下：過點作，交于點，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，，又∵，∴為等邊三角形，∴，∵為等邊三角形，∴，，∵，，∴，在與中，∴，∴，∵，∴．變式2．（2024·浙江紹興·?？家荒＃締栴}探究】（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關系，不需要證明．【深入探究】（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同學受到第一問的啟發(fā)構造了如圖所示的一個和△ABD全等的三角形，將BD進行轉化再計算，請你準確的敘述輔助線的作法，再計算；【變式思考】（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，則CD＝．【答案】（1）BD＝CE；（2）BD2＝54；（3）8【詳解】解：（1）BD＝CE．理由是：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE；（2）如圖2，在△ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，連接EA、EB、EC．∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE．∵AE＝AB＝5，∴BE＝，∠ABE＝∠AEB＝45°，又∵∠ABC＝45°，

∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，∴，∴．（3）如圖，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，把△ACD繞點C逆時針旋轉60°得到△BCE，連接DE，則BE＝AD，△CDE是等邊三角形，∴DE＝CD，∠CED＝60°，∵∠ADC＝30°，∴∠BED＝30°+60°＝90°，在Rt△BDE中，DE＝＝＝8，

∴CD＝DE＝8．易錯模型5：半角模型模型解讀半角模型概念：半角模型是指是指有公共頂點，較小角等于較大角的一半，較大的角的兩邊相等，通過旋轉，可將角進行等量轉化，構造全等三角形的幾何模型。1）正方形半角模型條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。2）等腰直角三角形半角模型條件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；結論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；3）等邊三角形半角模型（120°-60°型）條件：ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；結論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周長=2AB；⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。4）等邊三角形半角模型（60°-30°型）條件：ABC是等邊三角形，∠EAD=30°；結論：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+；易錯提醒：1）半角模型?；谡叫?、等邊三角形等對稱圖形，若未挖掘隱含的?鄰邊相等?或垂直關系，易遺漏關鍵證明條件；2）半角模型需通過旋轉構造全等三角形，若旋轉方向或角度錯誤（如未繞頂點旋轉），則無法正確匹配對應邊角。?例1．（2023·廣東廣州·二模）在正方形中，點E、F分別在邊上，且，連接．(1)如圖1，若，，求的長度；(2)如圖2，連接，與、分別相交于點M、N，若正方形的邊長為6，，求的長；(3)判斷線段三者之間的數(shù)量關系并證明你的結論﹒

【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：延長，使，如圖所示：

∵四邊形為正方形，∴，，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴．（2）解：設，則，由（1）可知，，在中，根據勾股定理可得，，解得：，∴．（3）三者之間的數(shù)量關系：．證明：截取，在和中，，∴，∴，，又∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．即．變式1．（23-24九年級上·江西南昌·期中）（1）如圖①，在直角中，，，點D為邊上一動點（與點B不重合），連接，將繞點A逆時針旋轉，得到，那么之間的位置關系為__________，數(shù)量關系為__________；（2）如圖②，在中，，，D，E（點D，E不與點B，C重合）為上兩動點，且．求證：．（3）如圖③，在中，，，，，D，E（點D，E不與點B，C重合）為上兩動點，若以為邊長的三角形是以為斜邊的直角三角形時，求的長．【答案】（1）CE⊥BD；CE=BD；（2）見解析；（3）．【詳解】解：（1）CE與BD位置關系是CE⊥BD，數(shù)量關系是CE=BD∵繞點A逆時針旋轉，得到∴∴，∴∵BA=CA，AD=AE∴∴且CE=BD∵∴，即CE⊥BD故答案為：CE⊥BD；CE=BD；（2）如圖②，把繞點A順時針旋轉，得到，連接DG，則∴AG=AE，BG=CE，∵，∴在和中，∴∴ED=GD∵∴即（3）如圖③，把繞點A順時針旋轉，得到，∴∴AF=AE，，EC=BF，∵，AB=AC∴∴∵，∴，且AF=AE，AD=AD∴∴DF=DE∵以BD、DE、EC為邊的三角形是直角三角形∴以BD、DF、BF為邊的三角形是直角三角形∴是直角三角形若，且∴BF=2BD=EC，∵∴∴∴若，且∴BD=2BF=2EC，∵∴∴BD=2，∴變式2．（2024·江西·九年級期中）（1）【特例探究】如圖1，在四邊形中，，，，，猜想并寫出線段，，之間的數(shù)量關系，證明你的猜想；（2）【遷移推廣】如圖2，在四邊形中，，，．請寫出線段，，之間的數(shù)量關系，并證明；（3）【拓展應用】如圖3，在海上軍事演習時，艦艇在指揮中心（處）北偏東20°的處．艦艇乙在指揮中心南偏西50°的處，并且兩艦艇在指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正西方向以80海里/時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/時的速度前進，半小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達，處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為75°．請直接寫出此時兩艦艇之間的距離．【答案】（1）EF=BE+DF，理由見解析；（2）EF=BE+DF，理由見解析；（3）85海里【詳解】解：（1）EF=BE+DF，理由如下：如圖，延長CD至點G，使DG=BE，連接AG，∵，∴∠ADG=∠ABC=90°，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵，，∴∠BAE+∠DAF=50°，∴∠FAG=∠EAF=50°，∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF=FG，∵FG=DG+DF，∴EF=DG+DF=BE+DF；（2）EF=BE+DF，理由如下：如圖，延長CD至點H，使DH=BE，連接AH，∵，∠ADC+∠ADH=180°，∴∠ADH=∠ABC，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADH，∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，∵∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH，∴∠EAF=∠HAF，∵AF=AF，∴△AEF≌△AHF，∴EF=FH，∵FH=DH+DF，∴EF=DH+DF=BE+DF；（3）如圖，連接CD，延長AC、BD交于點M，根據題意得：∠AOB=20°+90°+40°=150°，∠OBD=60°+50°=110°，∠COD=75°，∠OAM=90°-20°=70°，OA=OB，∴∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，∵OA=OB，∴由（2）【遷移推廣】得：CD=AC+BD，∵AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45，∴CD=40+45=85海里．即此時兩艦艇之間的距離85海里．易錯模型6：對角互補模型模型解讀對角互補模型概念：對角互補模型特指四邊形中，存在一對對角互補，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。對角互補模型處理方法主要有兩種：①過頂點做雙垂線，構造全等三角形；②進行旋轉的構造，構造手拉手全等。1）“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側型）條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.2）“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側型）條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結論：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.3）“等邊三角形對120°模型”（1）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.結論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.4）“等邊三角形對120°模型”（2）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一邊與BO的延長線交于點D，結論：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③.5）“120°等腰三角形對60°模型”條件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。結論：PB+PC=PA；6）“α對180°-α模型”條件：四邊形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。結論：OP平分∠AOB。7）“蝴蝶型對角互補模型”（隱藏對角互補）條件：AP=BP，∠AOB=∠APB，結論：OP平分∠AOB的外角。易錯提醒：當互補角位置從同側變?yōu)楫悅葧r，原結論可能失效（如線段和變?yōu)榫€段差），需結合旋轉方向重新推導。?例1．（23-24九年級上·河南洛陽·期中）綜合與實踐：已知，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D為AB邊的中點，∠EDF＝90°，∠EDF繞點D旋轉，它的兩邊分別交AC，CB（或它們的延長線）于點E，F(xiàn)．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，當∠EDF繞點D旋轉到DE⊥AC于點E時（如圖1），①證明：△ADE≌△BDF；②猜想：S△DEF+S△CEF＝S△ABC．（2）【類比探究】如圖2，當∠EDF繞點D旋轉到DE與AC不垂直時，且點E在線段AC上，試判斷S△DEF+S△CEF與S△ABC的關系，并給予證明．（3）【拓展延伸】如圖3，當點E在線段AC的延長線上時，此時問題（2）中的結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎樣的關系？（寫出你的猜想，不需證明）圖1圖2圖3【答案】（1）①證明見解析；②；（2）上述結論成立；理由見解析；（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝；理由見解析.【詳解】解：（1）①∵∠C＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠BDF＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∴∠A＝∠BDF，∵點D是AB的中點，∴AD＝BD，在△ADE和△BDF中，∴△ADE≌△BDF（SAS）；②如圖1中，當∠EDF繞D點旋轉到DE⊥AC時，四邊形CEDF是正方形．設△ABC的邊長AC＝BC＝a，則正方形CEDF的邊長為a．∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2，即S△DEF+S△CEF＝S△ABC；故答案為．（2）上述結論成立；理由如下：連接CD；如圖2所示：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D為AB中點，∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，在△CDE和△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴S△DEF+S△CEF＝S△ADE+S△BDF＝S△ABC；（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下：連接CD，如圖3所示：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°∴S△DEF＝S五邊形DBFEC，＝S△CFE+S△DBC，＝S△CFE+S△ABC，∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的關系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．變式1．（2024廣東中考一模）如圖，已知，在的角平分線上有一點，將一個角的頂點與點重合，它的兩條邊分別與射線相交于點.（1）如圖1，當繞點旋轉到與垂直時，請猜想與的數(shù)量關系，并說明理由；（2）當繞點旋轉到與不垂直時，到達圖2的位置，（1）中的結論是否成立？并說明理由；（3）如圖3，當繞點旋轉到點位于的反向延長線上時，求線段與之間又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需證明.【答案】（1），見解析；（2）結論仍然成立，見解析；（3）【詳解】解：（1）是的角平分線在中，，同理：（2）（1）中結論仍然成立，理由：過點作于，于由（1）知，，且點是的平分線上一點（3）結論為：.理由：過點C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF＋OG＝OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點C是∠AOB的平分線OM上一點，∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF＝EG，∴OF＝DF?OD＝EG?OD，OG＝OE?EG，∴OF＋OG＝EG?OD＋OE?EG＝OE?OD，∴OE?OD＝OC．變式2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）感知：如圖①，平分，，．判斷與的大小關系并證明．探究：如圖②，平分，，，與的大小關系變嗎？請說明理由．應用：如圖③，四邊形中，，，，則與差是多少（用含的代數(shù)式表示）【答案】感知：，證明見詳解；探究：與的大小關系不變，理由見詳解；應用：與差是．【詳解】感知：，理由如下：∵，，∴，即，∵平分，∴；探究：與的大小關系不變，還是相等，理由如下：過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC，交AC延長線于點F，則∠DEB=∠DFC=90°，如圖所示：∵平分，∴DE=DF，∵，，∴∠B=∠DCF，∴△DEB≌△DFC（AAS），∴；應用：過點D作DH⊥AB于點H，DG⊥AC，交AC的延長線于點G，連接AD，如圖所示：∵，，∴，∵，∴，∵，，∴△DHB≌△DGC（AAS），且△DHB與△DGC都為等腰直角三角形，∴，由勾股定理可得，∴，∴，在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG，∴Rt△AHD≌Rt△AGD（HL），∴，∴，∴．易錯模型7：角平分線模型(全等)模型解讀1）角平分線垂兩邊是指過角的平分線上一點向角的兩邊作垂線。角平分線垂兩邊模型，可以充分利用角平分線性質：角平分線上的點到角兩邊距離相等。條件：如圖1，為的角平分線，于點A，于點B.結論：、≌.條件：如圖2，在中，，為的角平分線，過點D作.結論：、≌.（當是等腰直角三角形時，還有.）圖1圖2 圖3圖42）角平分線垂中間模型是可以看作是等腰三角形“三線合一”的逆用，也可以得到兩個全等的直角三角形，進而得到對應邊、對應角相等，這個模型巧妙的把三線合一和角平分線聯(lián)系在一起。但同學們也需要注意，在解答題中使用時不能利用角平分線+中線得高線，也不能利用角平分線+高線得中線。一定要通過證明全等來得到結論。（因為正確的結論有很多，但只有作為定理的才可以在證明中直接使用哦！）條件：如圖3，為的角平分線，，結論：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三線合一等。條件：如圖4，為的角平分線，，延長BA，CE交于點F.結論：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三線合一等。3）角平分線構造軸對稱模型是利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構造對稱全等三角形，可以得到對應邊、對應角相等，利用對稱性把一些線段或角進行轉移，這是經常使用的一種解題技巧。圖1圖2條件：如圖1，為的角平分線，A為任意一點，在上截取，連結.結論：≌，CB=CA。條件：如圖2，BE、CE分別為和的平分線，，在上截取，連結。結論：≌，≌，AB+CD=BC。易錯提醒：1）優(yōu)先驗證角平分線存在性及隱含對稱性，避免強行套用定理?；2）嚴格按“雙垂線”“截長補短”等標準步驟構造輔助線，確保全等對應關系。?例1．（2024·陜西·中考真題）如圖，在中，，E是邊上一點，連接，在右側作，且，連接．若，，則四邊形的面積為．【答案】60【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴平分，過點作，，則：，∵，且，∴，∴四邊形的面積，∵，∴，設，則：，由勾股定理，得：，∴，解：，∴，∴，∴四邊形的面積為60．故答案為：60．變式1．（2024·廣東·九年級期中）如圖，在中，，，（1）如圖1,平分交于點，為上一點，連接交于點．（i）若，求證：垂直平分；（ii）若,求證：．（2）如圖2，平分交于點，，垂足在的延長線上，試判斷線段和的數(shù)量關系，并說明理由．（3）如圖3，為上一點，，，垂足為，與交于點，寫出線段和的數(shù)量關系．（不要求寫出過程）【答案】（1）（?。┮娊馕?；（ⅱ）見解析；（2）BD＝2CE，理由見解析；（3）CE＝FD．【詳解】（1）（?。┳C明：∵AB＝BF，BD平分∠ABC，∴BE⊥AF，AE＝EF，即BD垂直平分AF；（ⅱ）證明：過點C作CM⊥AF交AF的延長線于點M，如圖1，∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠CAM+∠BAE=90°，∴∠CAM＝∠ABE，在△ABE和△CAM中，，∴△ABE≌△CAM（AAS），∴AE＝CM，∵AF⊥BD，AF⊥CM，∴BD∥CM，∴∠FCM＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠FCM＝∠ABD，∴∠FCM＝∠EAD，在△AED和△CMF中，，∴△AED≌△CMF（ASA），∴AD＝CF；（2）解：BD＝2CE．理由如下：如圖2，延長BA、CE相交于點F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE＝EF，∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF，∵CF＝CE+EF＝2CE，∴BD＝2CE．（3）解：CE＝FD．過點F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延長線于點G，如圖3，∵FG∥AB，∠EFC＝∠B，∴∠EFC＝∠GFE，又∵CE⊥FE，∴∠CEF＝∠GEF＝90°，在△CEF和△GEF中，，∴△CEF≌△GEF（ASA），∴CE＝GE，即CE＝CG，∵FG∥AB，∠A＝90°，AB＝AC，∴∠CHG＝∠DHF＝90°，CH＝FH．又∵∠GCH＝∠DFH，∴△CGH≌△FDH（ASA），∴CG＝DF．∴CE＝FD．變式2．（24-25八年級上·江蘇揚州·階段練習）問題情境：數(shù)學課上，同學們在探索利用角平分線來構造全等三角形問題．如圖①，在四邊形中，點是邊的中點，平分，，證明：．討論思考：當同學們討論到題目中尋找線段之間的和差關系時，大家都踴躍提出了各自的見解，大家集思廣議，提出了一個截長法：如圖②，在上截取，連接CF，先證明，再證明，即有，即．解決問題：小明同學根據大家的思路，進行了如下的證明，理由如下：如圖②，在上取一點，使，連接CF．∵平分，∴，在和中，∴（）∴，．（1）小明已經完成了大家討論的第一步，接下來就由你來利用題干中的條件完成剩下的推理證明吧．拓展探究：已知：如圖③，在中，，、分別為上的點，且交于點．若為的角平分線．（2）；（3）證明：．（4）如圖④，在中，，延長的邊到點，AD平分交延長線于點，若，，則．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析；（4）【詳解】（1）補充證明如下：∵，∴，又∵∴，∴∵點是邊的中點，∴，又∵∴，在中，∴∴，又，∴，即；（2）∵，∴，∵為的角平分線，∴∴，故答案為：．（3）證明：如圖所示，在上截取，∵，∴，∵是的角平分線，∴，在中，∴，∴，，∵，∴，又∵∴∵是的角平分線，∴，在中，∴∴∴；（4）解：如圖所示，在上截取，∵AD平分∴，在中，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴∴，∴，∴答案：．易錯模型8：十字架模型模型解讀“十字形”模型，基本特征是在正方形中構成了一個互相重直的“十字形”，由此產生了兩組相等的銳角及一組全等的三角形。條件：1）如圖1，在正方形ABCD中，若E、F分別是BC、CD上的點，AE⊥BF；結論：AE=BF。條件：2）如圖2，在正方形ABCD中，若E、F、G分別是BC、CD、AB上的點，AE⊥GF；結論：AE=GF。條件：3）如圖3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分別是BC、CD、AB、AD上的點，EH⊥GF；結論：HE=GF。易錯提醒：十字架模型的核心是?垂直與邊相等互為條件?，若題目未明確“垂直則邊相等”或“邊相等則垂直”的具體場景，易混淆使用方向導致推導錯誤?。例1．（2024·北京·一模）如圖，正方形中，點分別在上，交于點；(1)_______．(2)在線段上截取，連接的角平分線交于點．①依題意補全圖形；②用等式表示線段與的數(shù)量關系，并證明．【答案】(1)(2)①見解析；②【詳解】（1）解：∵四邊形為正方形，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．（2）解：①根據題意補全圖形如圖所示：②證明：過點A作，交延長線于點H，連接，∵，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．變式1．（2024·廣東梅州·一模）如圖，E、F分別是正方形的邊，上的點，且，，相交于點，下列結論：①；②；③；④中，正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，在和中，，，（故①正確）；∴∵四邊形是正方形，∴∴（故④正確）；∴∵四邊形是正方形，∴，，∴一定成立（故②正確）；假設，，（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等），在中，，，這與正方形的邊長相矛盾，假設不成立，（故③錯誤）；∴正確的有①②④共3個正確，故選：C．變式2．（23-24江蘇九年級期中）蘇科版八下數(shù)學教材中，對正方形的性質和判定進行了探究，同時課本94頁第19題對正方形中特殊線段的位置和數(shù)量關系也進行了探究，在此，我們也來作進一步的探究，如圖1，探究所提供的正方形的邊長都為2．【探究】(1)如圖2，在正方形中，如果點E、F分別在、上，且，垂足為M，那么與相等嗎？證明你的結論．【應用】(2)如圖3，在正方形中，動點E、F分別在邊、上，將正方形沿直線折疊，使點B對應的點M始終落在邊上（點M不與點A、D重合），點C落在點N處，與交于點P，設，求線段的長（用含t的式子表示）．【拓展】(3)如圖4，在正方形中，E是的中點，F(xiàn)、G分別是、上的動點，且，求的最小值．【答案】(1)，理由見解析(2)(3)【詳解】（1）．證明：四邊形是正方形，，，，，，，在和中，，．（2）解：過作，交于，連接，四邊形是正方形，，四邊形是平行四邊形，，將正方形沿直線折疊，使點B對應的點M始終落在邊，，，，，，由（1）得同理可證：，，設，，，，，，在中，，整理得：，．（3）解：如圖，過點作，過點作，當、、三點共線時，的值最小，四邊形是平行四邊形，，，由（2）可證：，，四邊形是正方形，，，，，，，當、、三點共線時，，的值最小，的值最?。族e模型9：婆羅摩笈多模型模型解讀模型1）知中點證垂直條件：分別以三角形ABC的邊AB、AC為邊，向三角形外側外做正方形ABDE和正方形ACFG，N為EG的中點，M、A、N三點共線。結論：AM⊥BC；BC=2AN；S△ABC=S△AEG

。模型2）知垂直證中點條件：分別以?ABC的邊AB、AC為邊，向三角形外側外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM⊥BC。結論：N為EG的中點；BC=2AN

；S△ABC=S△AEG。易錯提醒：模型中需通過“已知中點證垂直”或“已知垂直證中點”，若未明確題目給定條件的方向性，易顛倒證明邏輯。?例1．（2024·山東泰安·中考真題）如圖1，在等腰中，，，點，分別在，上，，連接，，取中點，連接．(1)求證：，；(2)將繞點順時針旋轉到圖2的位置．①請直接寫出與的位置關系：___________________；②求證：．【答案】(1)見解析(2)①；②見解析【詳解】（1）證明：在和中，，，，，，．是斜邊的中點，，，，．，，．；（2）解：①；理由如下：延長到點，使，連結，延長到，使，連接并延長交于點．證明（具體證法過程跟②一樣）．，是中點，是中點，是中位線，，，，，，．故答案為：；②證明：延長到點，使，連接．，，，，，，，，，，．，．在和中，，，，，，，．變式1．（2024·重慶渝中·二模）如圖，以的邊、為邊向外作正方形和正方形，連接、相交于點，連接、，取中點，連接并延長交于點．下列結論：①；②；③平分；④；⑤．其中正確的結論有（填寫編號）．【答案】①②④⑤．【詳解】解：如圖，連接AD，延長CM至H，使MH=CM，連接AH，∵四邊形ACDE是正方形，四邊形BCGF是正方形，∴AC=CD，BC=CG，∠ACD=∠BCG=90°，∠ADC=45°，∴∠ACG=∠BCD，∴△ACG≌△DCB（SAS），∴AG=BD，∠CAG=∠CDB，∠DBC=∠AGC，故①正確；∵∠CAG=∠CDB，∴點D，點A，點C，點O四點共圓，∴∠DOA=∠ACD=90°，∠ADC=∠AOC=45°，故⑤正確；∴∠BOC=45°=∠AOC，∴∠AGC+∠OCG=∠DCO+∠ODC，∵△ACB是任意三角形，∴AC不一定等于BC，即DC與BC不一定相等，∴∠CDB與∠AGC不一定相等，∴∠DCO與∠GCO不一定相等，∴CO不一定平分∠DCG，故③錯誤；∵點M是AB的中點，∴AM=BM，又∵CM=MH，∠CMB=∠AMH，∴△BCM≌△AHM（SAS），∴AH=BC=CG，∠H=∠BCH，∠ABC=∠HAM，S△BCM=S△AMH，∴S△ABC=S△ACH，∵∠DCG+∠ACM+∠BCM=180°，∠H+∠CAH+∠ACM=180°，∴∠CAH=∠DCG，又∵AC=DC，CG=AH，∴△ACH≌△CDG（SAS），∴S△ACH=S△CDG，∠ACH=∠CDG，∴S△ABC=S△CDG，故④正確；∵∠ACD=90°，∴∠DCN+∠ACM=90°，∴∠CDN+∠DCN=90°，∴MN⊥DG，故②正確，故答案為①②④⑤．變式2．（23-24九年級上·福建·期中）定義：如圖13，在中，把繞點A順時針旋轉（）得到，把繞點A逆時針旋轉得到，連接．當時，我們稱是的“旋補三角形”，邊上的中線叫做的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．(1)在圖1中，是的“旋補三角形”，是的“旋補中線”，若為等邊三角形，則與的數(shù)量關系為：______．(2)在圖2中，當為任意三角形時，猜想與的數(shù)量關系，并給予證明．(3)如圖3，在四邊形中，，，，，．若四邊形內部恰好存在一點P，使是的“旋補三角形”，請直接寫出的“旋補中線”長是____________．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：∵為等邊三角形，∴，，∵是的“旋補中線”，∴，∴，∵，，∴，∴，則．（2）延長到點M，使得，連接，，如圖，

∵，，∴四邊形為平行四邊形，，，∵∴，∴，在和中，∴，∴，則．（3）延長，交點M，作交于點E，作線段的垂直平分線交于點P，交于點F，連接、、，作的中線，連接交于點O，如圖，∵，∴，在中，，，則，，在中，由，，得，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，在中，由，，∴，即，∴，即，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，則，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形；∵，∴，∴，則為等邊三角形，∴，∵，則，∴，則為的旋補三角形，在中，，，∴．易錯模型10：奔馳模型模型解讀此模型通常會和旋轉一起來考查，還會綜合勾股定理的知識來解題。為什么和旋轉-起考查，因為旋轉的特征是:共頂點等線段。等邊三角形，三邊相等，每一個頂點出發(fā)都有兩個相等線段，都符合共頂點等線段。等邊三角形三個頂點都可以作為旋轉中心(如上圖的旋轉)。條件：如圖，已知正三角形內有一點P，滿足（常考數(shù)據：BP=3，AP=4，CP=5），結論：∠APB=150°。（注意該模型條件結論互換后依舊可以證明）常用結論等邊三角形的面積公式：（選填題非常適用）條件：如圖，已知等腰直角三角形ABC內有一點P，滿足，結論：∠CPB=135°。（注意該模型條件結論互換后依舊可以證明）模型1）條件：如圖1，點P在等邊三角形ABC外，若，結論：∠CPA=30°。模型2）條件：如圖2，點P在等腰直角三角形ABC外，若，結論：∠APC=45°。（注意：上述兩個模型結論和條件互換也成立）圖1圖2雞爪就是模型本質就是通過旋轉構造“手拉手”，構造出全等三角形，實現(xiàn)邊的轉化，結合勾股定理，非常有意思。連完輔助線往往會產生新的直角三角形、等邊三角形等。易錯提醒：奔馳模型的核心是?繞固定點旋轉構造全等?，若未明確旋轉中心位置或旋轉角度對應關系，易導致全等判定失敗。例1．（2022·湖南·中考真題）如圖，點是等邊三角形內一點，，，，則與的面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：將繞點順時針旋轉得，連接，，，，是等邊三角形，，∵，，，，與的面積之和為．故選：C．變式1．（23-24九年級上·湖北孝感·階段練習）如圖，等腰直角，點P在內，，，則PB的長為（）A． B． C．5 D．5【答案】A【詳解】解∶∵等腰直角，∴，∵，∴，如下圖，把繞點C順時針旋轉得到，連接，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴，故選∶A．變式2．（2023·廣西賀州·二模）如圖，點P為等邊三角形外一點，連接，，若，，，則的長是．

【答案】【詳解】解：把繞點B順時針旋轉，連接，，如圖所示：則，，∴是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，

∴，∴，∵，∴，又，，∴．故答案為：．易錯模型11：帽子模型模型解讀帽子模型，其實是等腰三角形獨特性質的應用，因為模型很像帽子，學習知識點的同時也增加了趣味性。條件：如圖，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，結論：①DF=FE；②。例1．（23-24八年級下·遼寧沈陽·開學考試）中，點D是邊中點，過點D的直線交邊于點M，交邊的延長線于點N，且．(1)如圖①，當時，求證：；(2)如圖②，當時，請直接寫出線段的數(shù)量關系．【答案】(1)見解析；(2)【詳解】（1）證明：過點C作交于點E，如圖①，∴，，∵，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵D是中點，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：，理由如下：過點C作交于點F，如圖②，∴，，∵，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵D是中點，∴，∵，∴，∴，∵，∴．變式1．（2024·貴州銅仁·模擬預測）如圖，過邊長為6的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，連PQ交AC邊于D，當PA＝CQ時，DE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】解：過P作PM∥BC，交AC于M，∵△ABC是等邊三角形，且PM∥BC，∴△APM是等邊三角形；又∵PE⊥AM，∴AE＝EM＝AM；（等邊三角形三線合一）∵PM∥CQ，∴∠PMD＝∠QCD，∠MPD＝∠Q；又∵PA＝PM＝CQ，在△PMD和△QCD中，，∴△PMD≌△QCD（AAS）；∴CD＝DM＝CM；∴DE＝DM+ME＝（AM+MC）＝AC＝3．故選：C．變式2．（24-25九年級上·山西臨汾·階段練習）綜合與探究問題情境：在中，，在射線上截取線段，在射線上截取線段，連結，所在直線交直線于點M．猜想判斷：（1）當點D在邊的延長線上，點E在邊上時，過點E作交于點F，如圖①．若，則線段、的大小關系為_______．深入探究：（2）當點D在邊的延長線上，點E在邊的延長線上時，如圖②．若，判斷線段、的大小關系，并加以證明．拓展應用：（3）當點D在邊上（點D不與、重合），點E在邊的延長線上時，如圖③．若，，，求的長．【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）【詳解】（1）解：，理由如下：過點E作交于點F，∵，，∵，，，，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：理由如下：如圖，過點E作交的延長線于點F，∵，，，在和中，，∴，；（3）解：如圖，過點E作交的延長線于點F∵，，，，．易錯模型12：等邊截等長與內接等邊模型模型解讀條件：如圖1，在等邊中，點，分別在邊，上，且，與相交于點，于點．結論：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。圖1圖2圖31）等邊內接等邊（截取型）條件：如圖2，等邊三角形ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上運動，且滿足AD=BE=CF；結論：三角形DEF也是等邊三角形。2）等邊內接等邊（垂線型）條件：如圖3，點、、分別在等邊的各邊上，且于點，于點，于點，結論：三角形DEF也是等邊三角形。例1．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，點D、E分別是等邊三角形邊、上的點，且，與交于點F．求證：．【答案】見解析【詳解】證明∶∵是等邊三角形，∴，，又，∴，∴．變式1．（2024·浙江杭州·模擬預測）如圖，在等邊三角形的，邊上各取一點，（均不與端點重合），且，，相交于點，下列結論不正確的是（

）A．B．C．若，，則D．若，，則【答案】D【詳解】解：為等邊，，，在與中，，，，，，因此結論A正確；，即：，又，，，，因此結論B正確；過作于點，為等邊，，，，，在中，，，由勾股定理得：，在中，，，由勾股定理得：，，因此結論C正確；設，，則，，，，，，過點作于點，，在中，，，由勾股定理得：，在中，，，由勾股定理得：，即：，，將代入上式得：，整理得：，因此結論D不正確．故選D．變式2．（24-25九年級上·四川成都·階段練習）如圖，已知等邊三角形，點，，分別為邊上的黃金分割點（，，），連接，，，我們稱為的“內含黃金三角形”，若在中任意取點，則該點落在“內含黃金三角形”中的概率是．【答案】【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，設，如圖所示，過點作于點，∴在中，，∴，，∴，∵點分別是的黃金分割點，∴，∴，∴，∴，則，如圖所示，過點P1作于點，∴在中，，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．變式3．（23-24八年級下·廣東·期中）如圖，點P，M，N分別在等邊三角形的各邊上，且于點P，于點M，于點N．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求的長．

【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴．∵，∴．∴．∴．∴是等邊三角形．（2）解：∵是等邊三角形，∴．在和中，，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．1-1．（2024·廣東·?？级＃┚C合與實踐：小明遇到這樣一個問題，如圖1，中，，，點為的中點，求的取值范圍．小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關知識來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長到，使，連接，構造，經過推理和計算使問題得到解決請回答：(1)小明證明用到的判定定理是：________；（填入你選擇的選項字母）A．

B．

C．

D．(2)的取值范圍是________．小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構造．參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在正方形中，為邊的中點，、分別為，邊上的點，若，，，求的長．【答案】(1)A(2)；．【詳解】（1）解：如圖，延長到，使，連接，點為的中點，，在和中，，，故答案為：A；（2）解：，，，，，，，，故答案為：；解決問題：如圖，延長交的延長線于點H，四邊形是正方形，，為邊的中點，，在和中，，，，，，，，，，，，，，．1-2．（2024·江蘇·三模）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在中，D為邊的中點，連接并延長至點H，使，連接．由，得，則與的數(shù)量關系為______，位置關系為______．【嘗試應用】（2）如圖2，在中，平分，D為邊的中點，過點D作，交CA的延長線于點Q，交邊于點K．試判斷與的數(shù)量關系，并說明理由．【拓展應用】（3）如圖3，在中，，，，D為邊的中點，連接，E為邊上一動點，連接交于點F．①若．求的長度；②在射線上取一點G，且，連接，直接寫出的最小值．

【答案】（1），；（2），見詳解；（3）①；②【詳解】（1）解：為邊的中點，，，，，，，，故答案為：，；（2）解：，理由如下：如圖2，延長至點，使，連接，為的中點，，，，，，，，，，平分，，，；（3）解：①延長至，連接,為邊的中點,，，

，，，，在中，，，，D為邊的中點，，，，，，，，，，，

，，，②如圖，過點作交的延長線于點，點從點向點動時，點從點向點運動，均同時減小，故點在點時，最小，此時，，即，，，，，在中，，，在中，，．故的最小值為．1-3．（23-24廣東八年級期末）【問題提出】期末復習課上，數(shù)學丁老師出示了下面一個問題：如圖1，在中，是延長線的點，是邊上一點，且滿足，那么是的中點，請你說明理由．【思路探究】小王同學從條件出發(fā)分析解題思路：以為腰構造等腰和平行八字型全等三角形，如圖2，以點為圓心，以長為半徑畫弧，交的延長線于點，先應用等腰三角形的軸對稱性，再應用三角形全等“”（或“”）的判定方法即可得，小張同學從結論出發(fā)分析解題思路：以為腰構造等腰，將說明的問題轉化為說明的問題，如圖3，以點為圓心，以長為半徑畫弧，交于點，于是可得，再應用三角形全等“”(或“”)的判定方法即可得．（1）請你選擇小張同學或小王同學的思路或按自己的思路寫出完整的解題過程；【學以致用】（2）請你在理解了小張同學或小王同學解題思路的基礎上，解答下面一道圖形較為復雜的同類問題：如圖4，在四邊形中，，過點作線段，且，連接，交的延長于點，猜想與的數(shù)量關系并說明理由．【答案】（1）見解析；（2），理由見解析．【詳解】解∶（1）小王同學的思路：如圖1，以點為圓心，以長為半徑畫弧，交的延長線于點，則．所以．因為，所以．因為，所以．所以，即是的中點小張同學的思路：如圖2，以點為圓心，以長為半徑畫弧，交于點，連接，則．所以，因為，所以．因為，所以．所以．所以，即是的中點；（2）猜想方法1：如圖3，以點為圓心，長為半徑作弧，交的延長線于點，連接，則．所以．因為，所以，．所以．所以．又因為，所以．所以．方法2：如圖4，以點為圓心，以長為半徑畫弧，交于點，連接，則．所以．因為，所以．因為，所以．所以．所以．因為，所以．所以．所以．2-1．（23-24八年級上·河南漯河·期末）（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題．結合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當時，探究線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點作，垂足為點，請寫出線段、、之間的數(shù)量關系．【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3），見解析【詳解】解：（1）方法1：在上截取，連接，平分，，在和中，，，，，，，，，；方法2：延長到，使，連接，平分，，在和中，，，，，，，，，；（2），，之間的數(shù)量關系為．方法1：理由如下：如圖，在上截取，連接，由（1）知，，，，，為等邊三角形，，，，為等邊三角形，，，，，，．方法：理由：延長到，使，連接，由（1）知，，是等邊三角形，，，，，，，為等邊三角形，，，，，即，在和中，，，，，；（3）線段、、之間的數(shù)量關系為．連接，過點作于點，，，，在和中，，，，，在和中，，，，，．2-2．（2024·廣西賀州·一模）閱讀與思考：下面是小王的數(shù)學改錯本上的改錯總結反思請仔細閱讀，并完成相應的任務．截長補短法：有一類幾何題其命題主要是證明三條線段長度的“和”或“差”及其比例關系．這一類題目一般可以采取“截長”或“補短”的方法來進行求解，所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段長度與已知線段長度相等，然后證明其中的另一條線段與已知的另一條線段的數(shù)量關系，所謂“補短”，就是將一條已知的較短的線段延長至與另一條已知的較短的線段長度相等，然后求出延長后的線段與最長的已知線段的數(shù)量關系．有的是采取截長補短法后，使之構成某種特定的三角形進行求解…．如圖1，四邊形是的內接四邊形，連接，．是的直徑，．請說明線段，，之間的數(shù)量關系．下面是該問題的部分解答過程：解：．理由如下：∵是的直徑，∴，∵，∴．如圖2，過點A作交于點M，…．任務：(1)補全解答過程；(2)如圖3，四邊形是的內接四邊形，連接，．是的直徑，，則線段，，之間的數(shù)量關系式是______．【答案】(1)見解析(2)，見解析【詳解】（1）解：∵是的直徑，∴，∵，∴．如圖，過點A作交于點M，根據圓周角定理得，，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵∴，∴，∵，∴．（2）．理由如下：∵是的直徑，∴，∵，∴，，∴．如圖，過點A作交于點N，根據圓周角定理，得，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．2-3．（23-24八年級下·遼寧盤錦·期中）【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題．

（1）如圖1，是等邊三角形，點是邊下方一點，，探索線段、、之間的數(shù)量關系．解題思路：延長到點，使，連接，根據，可證，易證得≌，得出是等邊三角形，所以，從而探尋線段、、之間的數(shù)量關系．根據上述解題思路，請寫出、、之間的數(shù)量關系是______；【拓展延伸】（2）如圖2，在中，，，若點是邊下方一點，，探索線段、、之間的數(shù)量關系，并說明理由；【知識應用】（3）如圖3，兩塊斜邊長都為的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距離cm．【答案】（1），見解析；（2）；見解析；（3）【詳解】解：（1），理由如下：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，即，∴，即，∴是等邊三角形，∴，即，故答案為：；（2），如圖2，延長到點E，使，連接，

∵，∴，∵，∴，∵，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴；（3）如圖3，連接，∵，∴，∴，由（2）知．∴．故答案為：．3-1．（2024·重慶·中考真題）如圖，在正方形的邊上有一點，連接，把繞點逆時針旋轉，得到，連接并延長與的延長線交于點．則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：過點F作延長線的垂線，垂足為點H，則，由旋轉得，∵四邊形是正方形，∴，，，設，∴，∵，∴，∴，∴，，設，則，∴，∴，而，∴，∴，∵，∴，同理可求，∴，∴，故選：A．3-2．（23-24八年級上·重慶綦江·期末）（1）如圖①，，射線在這個角的內部，點B、C分別在的邊、上，且，于點F，于點D．求證：；（2）如圖②，點B、C分別在的邊、上，點E、F都在內部的射線上，、分別是、的外角．已知，且．求證：；（3）如圖③，在中，，．點D在邊上，，點E、F在線段上，．若的面積為17，求與的面積之和．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【詳解】證明：（1）∵，，，∴，∴，，∴，在和中，，∴；（2）∵，，，，∴，，在和中，，∴；∴，，∴；（3）∵的面積為17，，∴的面積是：，根據解析（2）同理可證，∴，∴．3-3．（2023·江蘇·九年級專題練習）【感知模型】“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，請根據以下問題，把你的感知填寫出來：①如圖1，是等腰直角三角形，，AE=BD，則_______；②如圖2，為正三角形，，則________；③如圖3，正方形的頂點B在直線l上，分別過點A、C作于E，于F．若，，則的長為________．【模型應用】（2）如圖4，將正方形放在平面直角坐標系中，點O為原點，點A的坐標為，則點C的坐標為________．【模型變式】（3）如圖5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的長．【答案】①△BDF；②△CFD；③3；（2）（3）2cm【詳解】①∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90゜∴∠A=∠B=45゜∴∠BDF+∠BFD=180゜?∠B=135゜∵∠EDF=45゜∴∠ADE+∠BDF=180゜?∠EDF=135゜∴∠ADE=∠BFD在△AED和△BDF中∴△AED≌△BDF(AAS)答案為：△BDF；②∵△ABC是等邊三角形∴∠B=∠C=60゜∴∠BDE+∠BED=180゜?∠B=120゜∵∠EDF=60゜∴∠BDE+∠CDF=180゜?∠EDF=120゜∴∠BED=∠CDF在△BDE和△CFD中∴△BDE≌△CFD(AAS)故答案為：△CFD；③∵四邊形ABCD是正方形∴∠ABC=90゜，AB=BC∴∠ABE+∠CBF=180゜?∠ABC=90゜∵AE⊥l，CF⊥l∴∠AEB=∠CFB=90゜∴∠ABE+∠EAB=90゜∴∠EAB=∠CBF在△ABE和△BCF中∴△ABE≌△BCF(AAS)∴AE=BF=1，BE=CF=2∴EF=BE+BF=2+1=3故答案為：3；（2）分別過A、C作x軸的垂線，垂足分別為點D、E，如圖所示∵四邊形OABC是正方形∴∠AOC=90゜，AO=OC∴∠COE+∠AOD=180゜?∠ACO=90゜∵AD⊥x軸，CE⊥x軸∴∠CEO=∠ADO=90゜∴∠ECO+∠COE=90゜∴∠ECO=∠AOD在△COE和△OAD中∴△COE≌△OAD(AAS)∴CE=OD，OE=AD∵∴OD=1，∴CE=1，∵點C在第二象限∴點C的坐標為故答案為：；（3）∵∠ACB=90゜∴∠BCE+∠ACD=90゜∵BE⊥CE，AD⊥CE∴∠CEB=∠ADC=90゜∴∠BCE+∠CBE=90゜∴∠CBE=∠ACD在△BCE和△CAD中∴△BCE≌△CAD(AAS)∴BE=CD，CE=AD=6cm∴BE=CD=CE－DE=6－4=2(cm)4-1．（23-24八年級下·遼寧丹東·期中）如圖，點A，B，C在同一條直線上，，均為等邊三角形，連接和，分別交、于點M，P，交于點Q，連接，，下面結論：①；②；③為等邊三角形；④平分；⑤．其中結論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【詳解】解：、為等邊三角形，，，，，，在和中，，，故①正確；，，，，故②正確；在和中，，，，為等邊三角形，故③正確；，，點到，的距離相等，即邊上的高相等，點在的角平分線上，即平分；故④正確；已有的條件無法求的度數(shù)，故⑤錯誤；綜上所述：正確的結論有4個；故選：D．4-2．（23-24九年級上·浙江臺州·期末）如圖，將繞點A順時針旋轉得到，并使C點的對應點D點落在直線上．(1)如圖1，證明：平分；(2)如圖2，與交于點F，若，求的度數(shù)；(3)如圖3，連接，若，則的長為．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)．【詳解】（1）證明：∵繞點A順時針旋轉得到，∴，∴，∴，∴平分；（2）解：設，∵∴，∵，∴，∵，∴，解得，∴；（3）解：過A作于H，如圖：∵繞點A順時針旋轉得到，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，故答案為：．4-3．（23-24九年級下·四川達州·開學考試）已知，與都是等腰直角三角形，，，連接，．(1)如圖，求證；(2)如圖，點在內，，，三點在同一直線上，過點作的高，證明：；(3)如圖，點在內，平分，的延長線與交于點，點恰好為中點，若，求線段的長．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)【詳解】（1）證明：與都是等腰直角三角形，，，，，，，；（2）證明：，，，，，，由（1）可知：