2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——函數(shù)分析的基本原理考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：（每小題3分，共15分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.設(shè)數(shù)列{a_n}收斂，數(shù)列{b_n}發(fā)散，則下列結(jié)論中一定正確的是（）。A.數(shù)列{a_n+b_n}收斂B.數(shù)列{a_n*b_n}收斂C.數(shù)列{a_n/b_n}收斂D.數(shù)列{b_n-a_n}發(fā)散2.函數(shù)f(x)=|x|在點(diǎn)x=0處（）。A.極限存在但不連續(xù)B.連續(xù)但不可導(dǎo)C.可導(dǎo)D.既不連續(xù)也不可導(dǎo)3.函數(shù)f(x)=x^2*sin(1/x)（x≠0），f(0)=0，則f(x)在x=0處（）。A.不連續(xù)B.連續(xù)但不可導(dǎo)C.可導(dǎo)且f'(0)=0D.可導(dǎo)且f'(0)≠04.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上（）。A.必有界B.必有最大值和最小值C.必可導(dǎo)D.必存在原函數(shù)5.下列級(jí)數(shù)中，發(fā)散的是（）。A.∑_{n=1}^∞(1/2^n)B.∑_{n=1}^∞(-1)^n/(n+1)C.∑_{n=1}^∞(n+1)/n^2D.∑_{n=1}^∞sin(nπ/2)二、填空題：（每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填在題后的橫線上）6.極限lim_{x→0}(x^2*sin(1/x))=_______。7.函數(shù)f(x)=sqrt(4-x^2)在區(qū)間[-2,2]上的平均變化率為_______。8.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，且f'(a)=3，則極限lim_{h→0}[f(a+h)-f(a)]/h=_______。9.定積分∫[0,π/2]sin(x)dx的值為_______。10.冪級(jí)數(shù)∑_{n=0}^∞x^(2n)的收斂半徑R=_______。三、計(jì)算題：（每小題7分，共28分）11.計(jì)算極限lim_{x→2}[(x^2-4)/(x-2)]。12.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值。13.計(jì)算定積分∫[1,e](1+ln(x))dx。14.將函數(shù)f(x)=1/(1+x^2)展開成關(guān)于x的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂域。四、證明題：（每小題10分，共20分）15.證明：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)*f(b)<0，則存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0（介值定理）。16.證明：級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞(-1)^(n+1)*(n+1)/(2n+1)絕對(duì)收斂。試卷答案一、選擇題：1.D2.B3.C4.B5.D二、填空題：6.07.18.39.110.1三、計(jì)算題：11.解：原式=lim_{x→2}[(x-2)(x+2)/(x-2)]=lim_{x→2}(x+2)=412.解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0,2。f(0)=2,f(2)=-2,f(3)=2。比較f(0),f(2),f(3)得最大值M=2，最小值m=-2。13.解：原式=∫[1,e]1dx+∫[1,e]ln(x)dx=[x]_[1,e]+[xln(x)-x]_[1,e]=(e-1)+(eeln(e)-e-(1eln(1)-1))=(e-1)+(e-e-(0-1))=e-1+1=e。14.解：f(x)=1/(1+x^2)=∑_{n=0}^∞(-1)^n*x^(2n)（這是幾何級(jí)數(shù)1/(1-(-x^2))的形式，收斂于|x^2|<1，即|x|<1）。收斂域?yàn)?-1,1)。四、證明題：15.證明：由f(x)在[a,b]上連續(xù)，知f(x)在[a,b]上有界。設(shè)M=max_{x∈[a,b]}f(x)，m=min_{x∈[a,b]}f(x)。由f(a)*f(b)<0，知f(a)和f(b)符號(hào)相反，不妨設(shè)f(a)<0<f(b)。則m≤0<M。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值性定理，存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=(m+M)/2。由于m≤0<M，故(m+M)/2必在(m,M)內(nèi)，且(m+M)/2>0。因此存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。16.證明：考慮級(jí)數(shù)絕對(duì)值級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞|(-1)^(n+1)*(n+1)/(2n+1)|=∑_{n=1}^∞(n+1)/(2n+1)?？疾焱?xiàng)b_n=(n+1)/(2n+1)的極限：lim_{n→∞}b_n=lim_{n→∞}(n+1)/(2n+1)=lim_{n→