知識(shí)點(diǎn)40：輕桿連接體模型的力與能量問題【知識(shí)思維方法技巧】應(yīng)用動(dòng)力學(xué)和能量觀點(diǎn)解決連接體問題的技巧：（1）做好四個(gè)分析：受力分析、運(yùn)動(dòng)分析、做功分析和能量的轉(zhuǎn)化分析．（2）規(guī)律的選擇：①物體受到恒力作用發(fā)生運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變求某一時(shí)刻的力、加速度或求時(shí)間時(shí)，一般選擇動(dòng)力學(xué)方法（牛頓運(yùn)動(dòng)定律）解題；②當(dāng)涉及功、能和位移時(shí)，若研究某一個(gè)物體時(shí)，一般用動(dòng)能定理去解決問題。若研究的對(duì)象為連接體時(shí)，一般選用功能關(guān)系或能量守恒定律解題，題目中出現(xiàn)相對(duì)位移時(shí)，應(yīng)優(yōu)先選擇能量守恒定律；（3）使用能量守恒定律解題選用表達(dá)式的技巧：①解題時(shí)，首先確定初、末狀態(tài)，然后分清有多少種形式的能在轉(zhuǎn)化，再分析狀態(tài)變化過(guò)程中哪種形式的能量減少，哪種形式的能量增加。②無(wú)外力做功的表達(dá)式：ΔE減＝ΔE增，減少的那些能量的減少量等于增加的那些能量的增加量。E初＝E末，初狀態(tài)各種能量的總和等于末狀態(tài)各種能量的總和。③有外力做功的表達(dá)式：WF＝ΔE，ΔE為能量的增加量。考點(diǎn)一：輕桿連接體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)模型的力與能量問題【知識(shí)思維方法技巧】輕桿連接體同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相等，線速度與半徑成正比。題型一：物體異側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)模型【典例1基礎(chǔ)題】（多選）將質(zhì)量分別為m和2m的兩個(gè)小球A和B，用長(zhǎng)為2L的輕桿相連，如圖所示，在桿的中點(diǎn)O處有一固定水平轉(zhuǎn)動(dòng)軸，把桿置于水平位置后由靜止自由釋放，在B球順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到最低位置的過(guò)程中(不計(jì)一切摩擦)()A．A、B兩球的線速度大小始終不相等B．重力對(duì)B球做功的瞬時(shí)功率先增大后減小C．B球轉(zhuǎn)動(dòng)到最低位置時(shí)的速度大小為eq\r(\f(2,3)gL)D．桿對(duì)B球做正功，B球機(jī)械能不守恒【典例1基礎(chǔ)題】【答案】BC【解析】A、B兩球用輕桿相連共軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度大小始終相等，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑相等，所以兩球的線速度大小也相等，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；桿在水平位置時(shí)，重力對(duì)B球做功的瞬時(shí)功率為零，桿在豎直位置時(shí)，B球的重力方向和速度方向垂直，重力對(duì)B球做功的瞬時(shí)功率也為零，但在其他位置重力對(duì)B球做功的瞬時(shí)功率不為零，因此，重力對(duì)B球做功的瞬時(shí)功率先增大后減小，選項(xiàng)B正確；設(shè)B球轉(zhuǎn)動(dòng)到最低位置時(shí)速度為v，兩球線速度大小相等，對(duì)A、B兩球和桿組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律得2mgL－mgL＝eq\f(1,2)(2m)v2＋eq\f(1,2)mv2，解得v＝eq\r(\f(2,3)gL)，選項(xiàng)C正確；B球的重力勢(shì)能減少了2mgL，動(dòng)能增加了eq\f(2,3)mgL，機(jī)械能減少了，所以桿對(duì)B球做負(fù)功，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。題型二：物體同側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)模型【典例2基礎(chǔ)題】如圖所示，兩根輕質(zhì)桿構(gòu)成直角支架，O點(diǎn)為水平轉(zhuǎn)軸，OA桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，A端固定一質(zhì)量為2m的小球a，OB桿長(zhǎng)為2L，B端固定一質(zhì)量為m的小球b，用手抬著B端使OB桿處于水平狀態(tài)，撒手后支架在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，不計(jì)一切摩擦，則以下說(shuō)法正確的是()A．小球a不可能轉(zhuǎn)到與O點(diǎn)等高處B．小球b轉(zhuǎn)動(dòng)的最大速度為eq\r(\f(8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－1))Lg,3))C．轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中桿受力一定沿桿方向D．小球a從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，桿對(duì)小球a做的功為mgL【典例2基礎(chǔ)題】【答案】B【解析】假設(shè)小球a恰好轉(zhuǎn)到與O點(diǎn)等高處，設(shè)O點(diǎn)所在水平面為零勢(shì)能面，小球a和b組成的系統(tǒng)初始位置機(jī)械能為E1＝－2mgL，當(dāng)小球a轉(zhuǎn)到與O點(diǎn)等高處時(shí)系統(tǒng)機(jī)械能為E2＝－2mgL，即E1＝E2，假設(shè)成立，故小球a一定能轉(zhuǎn)到與O點(diǎn)等高處，A錯(cuò)誤；設(shè)OB桿與水平方向夾角為θ時(shí)，小球b速度為v，則小球a的速度va＝eq\f(v,2)，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得2mgLsinθ－2mgL(1－cosθ)＝2eq\r(2)mgLsin(θ＋45°)－2mgL＝eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)·2mveq\o\al(2,a)，故θ＝45°時(shí)，速度最大為v＝eq\r(\f(8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－1))Lg,3))，B正確；在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中小球a的機(jī)械能增加，小球b的機(jī)械能減少，所以桿對(duì)a和b均做功，存在桿對(duì)a和b的力與速度不垂直位置，即存在桿對(duì)a和b的力不沿桿的位置，C錯(cuò)誤；設(shè)桿對(duì)小球a做的功為W，由動(dòng)能定理得W－2mgL＝0，即W＝2mgL，D錯(cuò)誤?！镜淅?基礎(chǔ)題對(duì)應(yīng)練習(xí)】(多選)如圖所示，一輕桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，一端固定在O點(diǎn)，桿可繞O點(diǎn)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)．質(zhì)量為3m的小球A固定在桿的末端，質(zhì)量為m的小球B固定在桿的中點(diǎn)，重力加速度為g，輕桿從水平位置由靜止釋放，小球均可視為質(zhì)點(diǎn)，則當(dāng)桿運(yùn)動(dòng)至豎直位置時(shí)下列說(shuō)法正確的有()A.該過(guò)程中，輕桿對(duì)兩小球均不做功B.處于豎直位置時(shí)，A球的速率一定是B球的兩倍C.處于豎直位置時(shí)，A球的速率為2D.該過(guò)程中，B球機(jī)械能增大了mgL【典例2基礎(chǔ)題對(duì)應(yīng)練習(xí)】【答案】BC【解析】A、B兩球?yàn)橥S轉(zhuǎn)動(dòng)，故角速度相等，由v＝ωr可知處于豎直位置時(shí)，A球的速率一定是B球的兩倍，故B正確；下落過(guò)程中，對(duì)A、B組成的系統(tǒng)由機(jī)械能守恒定律得3mgL＋mg·＝mvB2＋×3mvA2，且vA＝2vB，解得vA＝2，vB＝，故C正確；對(duì)B小球由動(dòng)能定理得W＋mg·＝mvB2，解得W＝－，即桿對(duì)小球B做負(fù)功，則小球B的機(jī)械能減小，故A、D錯(cuò)誤．考點(diǎn)二：輕桿連接體滑動(dòng)模型的力與能量問題【知識(shí)思維方法技巧】輕桿連接體在滑動(dòng)時(shí)，沿桿分速度大小相等，兩物體速度大小不一定相等。題型一：輕桿連接體在固定桿上滑動(dòng)模型【典例1基礎(chǔ)題】如圖所示，豎直平面內(nèi)固定兩根足夠長(zhǎng)的細(xì)桿L1、L2，兩桿不接觸，且兩桿間的距離忽略不計(jì)．兩個(gè)小球a、b(視為質(zhì)點(diǎn))質(zhì)量均為m，a球套在豎直桿L1上，b球套在水平桿L2上，a、b通過(guò)鉸鏈用長(zhǎng)度為l的剛性輕桿L連接，將a球從圖示位置(輕桿與L2桿夾角為45°)由靜止釋放，不計(jì)一切摩擦，已知重力加速度為g.在此后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是()A．a(chǎn)球和b球所組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒B．b球的速度為零時(shí)，a球的加速度大小為零C．b球的最大速度為eq\r(2＋\r(2)gl)D．a(chǎn)球的最大速度為eq\r(\r(2)gl)【典例1基礎(chǔ)題】【答案】C【解析】a球和b球組成的系統(tǒng)沒有外力做功，只有a球和b球的動(dòng)能和重力勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換，因此a球和b球所組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，A錯(cuò)誤；設(shè)輕桿L和水平桿L2的夾角為θ，由運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)可知vbcosθ＝vasinθ，則vb＝vatanθ，可知當(dāng)b球的速度為零時(shí)，輕桿L處于水平位置且與桿L2平行，則此時(shí)a球在豎直方向只受重力mg，因此a球的加速度大小為g，B錯(cuò)誤；當(dāng)桿L和桿L1第一次平行時(shí)，a球運(yùn)動(dòng)到最下方，b球運(yùn)動(dòng)到L1和L2交點(diǎn)位置，b球的速度達(dá)到最大，此時(shí)a球的速度為0，因此由系統(tǒng)機(jī)械能守恒有mg(eq\f(\r(2),2)l＋l)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,b)，解得vb＝eq\r(2＋\r(2)gl)，C正確；當(dāng)輕桿L和桿L2第一次平行時(shí)，由運(yùn)動(dòng)的關(guān)聯(lián)可知此時(shí)b球的速度為零，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒有mg·eq\f(\r(2),2)l＝eq\f(1,2)mveq\o\al(a2,)，解得va＝eq\r(\r(2)gl)，此時(shí)a球具有向下的加速度g，故此時(shí)a球的速度不是最大，a球?qū)⒗^續(xù)向下做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，到加速度為0時(shí)速度達(dá)到最大，D錯(cuò)誤．題型二：輕桿連接體其他形式滑動(dòng)模型【典例2基礎(chǔ)題】如圖所示，有一光滑軌道ABC，AB部分為半徑為R的eq\f(1,4)圓弧，BC部分水平，質(zhì)量均為m的小球a、b固定在豎直輕桿的兩端，輕桿長(zhǎng)為R，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，開始時(shí)a球處于圓弧上端A點(diǎn)，由靜止開始釋放小球和輕桿，使其沿光滑弧面下滑，重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)球下滑過(guò)程中機(jī)械能保持不變B．b球下滑過(guò)程中機(jī)械能保持不變C．a(chǎn)、b球都滑到水平軌道上時(shí)速度大小均為eq\r(2gR)D．從釋放a、b球到a、b球都滑到水平軌道上，整個(gè)過(guò)程中輕桿對(duì)a球做的功為eq\f(1,2)mgR【典例2基礎(chǔ)題】【答案】D【解析】對(duì)于單個(gè)小球來(lái)說(shuō)，桿的彈力做功，小球機(jī)械能不守恒，A、B錯(cuò)誤；兩個(gè)小球組成的系統(tǒng)只有重力做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故有mgR＋mg(2R)＝eq\f(1,2)·2mv2，解得v＝eq\r(3gR)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；a球在滑落過(guò)程中，桿對(duì)小球做功，重力對(duì)小球做功，故根據(jù)動(dòng)能定理可得W＋mgR＝eq\f(1,2)mv2，聯(lián)立v＝eq\r(3gR)，解得W＝eq\f(1,2)mgR，故D正確．【典例2基礎(chǔ)題對(duì)應(yīng)練習(xí)】如圖所示，在傾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有兩個(gè)質(zhì)量分別為1kg和2kg的可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A和B，兩球之間用一根長(zhǎng)L＝0.2m的輕桿相連，小球B距水平面的高度h＝0.1m．兩球由靜止開始下滑到光滑地面上，不計(jì)球與地面碰撞時(shí)的機(jī)械能損失，g取10m/s2.則下列說(shuō)法中正確的是()整個(gè)下滑過(guò)程中A球機(jī)械能守恒B．整個(gè)下滑過(guò)程中B球機(jī)械能守恒C．整個(gè)下滑過(guò)程中A球機(jī)械能的增加量為eq\f(2,3)JD．整個(gè)下滑過(guò)程中B球機(jī)械能的增加量為eq\f(2,3)J【典例2基礎(chǔ)題對(duì)應(yīng)練習(xí)】【答案】D【解析】在下滑的整個(gè)過(guò)程中，只有重力對(duì)系統(tǒng)做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，但在B球沿水平面滑行，而A沿