2025年大學《數(shù)學與應用數(shù)學》專業(yè)題庫——算法設計與復雜性分析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題3分，共15分。請將正確選項的字母填在題后的括號內）1.下列關于算法設計策略的說法中，錯誤的是（）。(A)分治法將問題分解為若干個規(guī)模較小的相同子問題(B)貪心法在每一步選擇中都采取在當前狀態(tài)下最好或最優(yōu)的選擇(C)動態(tài)規(guī)劃法適用于解決具有重疊子問題和最優(yōu)子結構的問題(D)回溯法通常用于搜索解空間，但無法保證找到最優(yōu)解2.設函數(shù)`f(n)=3n^2+2n+1`，`g(n)=n^2+n`，則`f(n)`和`g(n)`的漸進復雜度關系為（）。(A)f(n)=O(g(n))(B)g(n)=O(f(n))(C)f(n)=Ω(g(n))(D)g(n)=Ω(f(n))3.計算以下遞歸函數(shù)的漸進時間復雜度T(n)：`T(n)=2T(n/2)+n`，其中n是2的冪。（）(A)O(n)(B)O(nlogn)(C)O(n^2)(D)O(logn)4.在下列排序算法中，最壞情況下的時間復雜度與最好情況下的時間復雜度相同的是（）。(A)快速排序(B)插入排序(C)堆排序(D)冒泡排序5.對于以下代碼片段，其執(zhí)行次數(shù)的漸進時間復雜度為（）。```pythonsum=0foriinrange(n):forjinrange(n):sum+=i+j```(A)O(n)(B)O(n^2)(C)O(nlogn)(D)O(n^3)二、填空題（每空3分，共18分。請將答案填在橫線上）1.算法的______復雜度是指算法執(zhí)行所需的時間隨輸入規(guī)模增長的變化趨勢。2.算法的______復雜度是指算法執(zhí)行過程中臨時占用的存儲空間大小隨輸入規(guī)模增長的變化趨勢。3.在分治法中，將原問題分解為若干個規(guī)模較小的子問題的策略稱為______。4.如果一個問題存在一個解，那么可以通過一系列在每一步都做出局部最優(yōu)選擇，從而最終得到全局最優(yōu)解的算法稱為______算法。5.動態(tài)規(guī)劃算法通常用于解決具有______和______的問題。6.在計算復雜性理論中，所有在確定性圖靈機上能在多項式時間內解決的問題構成的集合稱為______。三、判斷題（每題2分，共10分。請將“正確”或“錯誤”填在題后的括號內）1.任何算法的漸近時間復雜度都可以表示為大O形式。（）2.快速排序的平均時間復雜度是O(nlogn)，且它是穩(wěn)定的排序算法。（）3.決策樹模型是動態(tài)規(guī)劃算法的一種典型應用形式。（）4.如果一個問題屬于NP類，那么它一定屬于P類。（）5.堆排序算法是一種基于堆數(shù)據(jù)結構的排序算法，它的最好、最壞和平均時間復雜度都是O(nlogn)。（）四、簡答題（每題6分，共18分）1.簡述分治法的核心思想及其適用條件。2.解釋什么是算法的漸近上下界（大O、大Ω、大Θ）？請分別舉例說明。3.什么是貪心算法？請說明設計貪心算法需要滿足哪些條件？五、算法設計題（10分）設計一個算法，找出一個無向圖中所有長度為k的簡單路徑（即路徑中不包含重復的邊和頂點）。請描述你的算法思想，并用偽代碼表示算法的主要步驟。注意：不要求分析算法的復雜度。六、復雜度分析題（12分）給定以下算法的偽代碼，請分別分析其時間復雜度和空間復雜度。```pythondefalgorithm(n):count=0foriinrange(1,n+1):forjinrange(1,i+1):count=count+1#某些操作returncount```七、簡答與證明題（14分）考慮以下利用分治法求解的遞歸函數(shù)：```pythondefT(n):ifn==1:return1else:return2*T(n//2)+n```其中`n`是正整數(shù)，`n//2`表示整數(shù)除法。請證明`T(n)`的漸進時間復雜度是O(nlogn)。試卷答案一、選擇題1.D2.B3.B4.C5.B二、填空題1.時間2.空間3.分解4.貪心5.重疊子問題，最優(yōu)子結構6.P三、判斷題1.正確2.錯誤3.錯誤4.錯誤5.正確四、簡答題1.解析：分治法將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規(guī)模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。其核心思想包括分解（將問題分解為若干個規(guī)模較小的子問題）、解決（若子問題規(guī)模較小則直接解決，否則遞歸地解各個子問題）、合并（將各個子問題的解合并為原問題的解）。適用條件：問題可以分解為若干個規(guī)模較小的相同子問題；子問題的解可以合并為原問題的解；遞歸的終止條件易于定義。2.解析：算法的漸近上下界用于描述算法運行時間或空間隨輸入規(guī)模增長的趨勢。*大O表示法（上界）：描述算法運行時間增長率上界的函數(shù)，即存在常數(shù)c和n0，使得當n>=n0時，算法運行時間T(n)<=c*g(n)。例如，`f(n)=O(n^2)`表示`f(n)`的增長速度不會超過`n^2`的常數(shù)倍。*大Ω表示法（下界）：描述算法運行時間增長率下界的函數(shù)，即存在常數(shù)c和n0，使得當n>=n0時，算法運行時間T(n)>=c*g(n)。例如，`g(n)=Ω(n)`表示`g(n)`的增長速度至少是`n`的常數(shù)倍。*大Θ表示法（緊界）：同時描述算法運行時間增長率的上界和下界，即存在常數(shù)c1,c2和n0，使得當n>=n0時，c1*g(n)<=T(n)<=c2*g(n)。例如，`f(n)=Θ(n)`表示`f(n)`的增長速度與`n`成線性關系。舉例：`f(n)=3n+5`，`g(n)=n`。`f(n)=O(g(n))`因為`3n+5<=4n`(當n>=3時)。`g(n)=Ω(f(n)/4)`因為`n>=3n/4`。`f(n)=Θ(n)`因為存在常數(shù)3和4，使得`3n<=3n+5<=4n`(當n>=3時)。3.解析：貪心算法是一種在每一步選擇中都采取在當前狀態(tài)下最好或最優(yōu)的選擇，以期望通過局部最優(yōu)的選擇達到全局最優(yōu)解的算法策略。設計貪心算法通常需要滿足兩個關鍵條件：*貪心選擇性質（GreedyChoiceProperty）：算法每一步做出的選擇都是當前狀態(tài)下看起來最優(yōu)的選擇，并且這個選擇最終能夠導致問題的整體最優(yōu)解。*最優(yōu)子結構性質（OptimalSubstructureProperty）：問題的最優(yōu)解包含其子問題的最優(yōu)解。換句話說，算法構造出的全局最優(yōu)解可以通過組合局部最優(yōu)解來實現(xiàn)。五、算法設計題算法思想：可以使用深度優(yōu)先搜索（DFS）來遍歷圖中的頂點，并在遍歷過程中記錄路徑長度和已訪問的頂點，以避免重復。偽代碼：```DFS(node,current_path,current_length,target_length,visited,graph):ifcurrent_length==target_length:printcurrent_pathreturnifcurrent_length>target_length:returnvisited.add(node)forneighboringraph.get_neighbors(node):ifneighbornotinvisited:DFS(neighbor,current_path+[neighbor],current_length+1,target_length,visited,graph)visited.remove(node)//回溯FindPaths(graph,start_node,k):ifk<=0:returnvisited=set()DFS(start_node,[start_node],1,k,visited,graph)```解析思路：從起始節(jié)點開始，使用DFS遞歸地探索所有可能的路徑。在遞歸過程中，維護當前路徑`current_path`、當前路徑長度`current_length`、已訪問節(jié)點集合`visited`。當`current_length`達到`k`時，輸出當前路徑。如果`current_length`超過了`k`或者沒有未訪問的鄰居，則回溯。每次遞歸前訪問當前節(jié)點，遞歸后需要回溯（從`visited`中移除當前節(jié)點），以保證其他路徑可以繼續(xù)探索。六、復雜度分析題時間復雜度：外層循環(huán)變量`i`從1到n變化，內層循環(huán)變量`j`從1到`i`變化。當`i=1`時，內層循環(huán)執(zhí)行1次；當`i=2`時，執(zhí)行2次；...；當`i=n`時，執(zhí)行`n`次。因此，總的循環(huán)次數(shù)為1+2+3+...+n=n(n+1)/2。所以時間復雜度為O(n^2)?？臻g復雜度：算法中使用的輔助變量`sum`和`count`各占O(1)空間。循環(huán)變量`i`和`j`也占用O(1)空間。沒有使用額外的數(shù)據(jù)結構空間與輸入規(guī)模`n`成比例。因此，空間復雜度為O(1)。七、簡答與證明題證明：使用數(shù)學歸納法證明。基準情況：當n=1時，`T(1)=2*T(1//2)+1=2*T(0)+1=2*1+1=3`。假設對于n=k(k>=1)，`T(k)<=c*k*log_2(k)`(其中c是一個常數(shù))。對于n=k+1：`T(k+1)=2*T((k+1)//2)+(k+1)``T(k+1)<=2*c*((k+1)//2)*log_2((k+1)//2)+(k+1)`(應用歸納假設)因為`(k+1)//2<=k`，所以`log_2((k+1)//2)<=log_2(k)`。`T(k+1)<=2*c*k*log_2(k)+(k+1)`需要證明`2*c*k*log_2(k)+(k+1)<=c*(k+1)*log_2(k+1)`。即`2*c*k*log_2(k)+(k+1)<=c*(k+1)*(log_2(k)+log_2(2))``2*c*k*log_2(k)+(k+1)<=c*(k+1)*log_2(k)+c*(k+1)``2*c*k*log_2(k)+(k+1)<=c*(k+1)*log_2(k)+c*k+c``2*c*k*log_2(k)+(k+1)<=c*(k+1)*log_2(k)+c*k+c``2*c*k*log_2(k)-c*(k+1)*log_2(k)<=c*k+c-(k+1)``c*k*log_2(k)-c*(k+1)*log_2(k)<=c*k+c-k-1``c*k*log_2(k)-c*(k*log_2(k)+log_2(k))<=c*k+c-k-1``-c*log_2(k)<=c*k+c-k-1`因為`log_2(k)`是正數(shù)，所以`-c*log_2(k)`總是小于0。而`c*k+c-k-1`也是0或正數(shù)（當c>=1且k>=1時）。為了使不等式成立，需要c足夠大。假設c>=2，則`-c*log_2(k)`<=`-2*log_2(k)`。而`c*k+c-k-1