2．3互斥事件預習課本P138～146，思考并完成以下問題(1)互斥事件的定義是什么？(2)對立事件的定義是什么？(3)互斥事件與對立事件有什么區(qū)別和聯(lián)系？(4)互斥事件的概率加法公式是什么？eq\a\vs4\al([新知初探])1．互斥事件(1)定義：在一個試驗中，我們把一次試驗下不能同時發(fā)生的兩個事件A與B稱作互斥事件．(2)規(guī)定：事件A＋B發(fā)生是指事件A和事件B至少有一個發(fā)生．(3)公式：在一次隨機試驗中，如果隨機事件A和B是互斥事件，那么有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(4)公式的推廣：如果隨機事件A1，A2，…，An中任意兩個是互斥事件，那么有P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．[點睛](1)如果事件A與B是互斥事件，那么A與B兩事件同時發(fā)生的概率為0.(2)從集合的角度看，記事件A所含結(jié)果組成的集合為集合A，事件B所含結(jié)果組成的集合為集合B，事件A與事件B互斥，則集合A與集合B的交集是空集，如圖所示．2．對立事件(1)定義：在一次試驗中，如果兩個事件A與B不能同時發(fā)生，并且一定有一個發(fā)生，那么事件A與B稱作對立事件，事件A的對立事件記為eq\o(A,\s\up6(－)).(2)性質(zhì)：P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1，即P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))．[點睛]兩個事件是對立事件，它們也一定是互斥事件；兩個事件為互斥事件，它們未必是對立事件．eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)對立事件一定是互斥事件．()(2)A，B為兩個事件，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．()(3)若事件A，B，C兩兩互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.()(4)事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，則A，B是對立事件．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．一人在打靶中連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．兩次都不中靶 D．只有一次中靶解析：選C連續(xù)射擊兩次的結(jié)果有四種：①兩次都中靶；②兩次都不中靶；③第一次中靶，第二次沒有中靶；④第一次沒有中靶，第二次中靶．“至少有一次中靶”包含①③④三種結(jié)果，因此互斥事件是②.3．抽查10件產(chǎn)品，記事件A為“至少有2件次品”，則A的對立事件為()A．至多有2件次品 B．至多有1件次品C．至多有2件正品 D．至少有2件正品解析：選B至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件．共9種結(jié)果，故它的對立事件為含有1或0件次品，即至多有1件次品．4．甲乙兩人下圍棋比賽，已知比賽中甲獲勝的概率為0.45，兩人平局的概率為0.1，則甲輸?shù)母怕蕿開_______．解析：記事件A＝“甲勝乙”，B＝“甲、乙戰(zhàn)平”，C＝“甲不輸”，則C＝A＋B，而A，B是互斥事件，故P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.55.由于甲輸與不輸為對立事件，故甲輸?shù)母怕蕿椋?－P(C)＝1－0.55＝0.45.答案：0.45互斥事件和對立事件的判斷[典例]某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報”，事件B為“至少訂一種報”，事件C為“至多訂一種報”，事件D為“不訂甲報”，事件E為“一種報也不訂”．判斷下列事件是否是互斥事件，如果是，判斷它們是否是對立事件．(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)B與C；(5)C與E.[解](1)由于事件C“至多訂一種報”中可能只訂甲報，即事件A與事件C有可能同時發(fā)生，故A與C不是互斥事件．(2)事件B“至少訂一種報”與事件E“一種報也不訂”是不可能同時發(fā)生的，故事件B與E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一個發(fā)生，故B與E也是對立事件．(3)事件B“至少訂一種報”中有可能只訂乙報，即有可能不訂甲報，也就是說事件B發(fā)生，事件D也可能發(fā)生，故B與D不是互斥事件．(4)事件B“至少訂一種報”中有3種可能：“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”．事件C“至多訂一種報”中有3種可能：“一種報也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”．即事件B與事件C可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥事件．(5)由(4)的分析可知，事件E“一種報也不訂”僅僅是事件C的一種可能，事件C與事件E可能同時發(fā)生，故C與E不是互斥事件．判斷兩個事件是否為互斥事件，主要看它們在一次試驗中能否同時發(fā)生，若不能同時發(fā)生，則這兩個事件是互斥事件，若能同時發(fā)生，則這兩個事件不是互斥事件；判斷兩個事件是否為對立事件，主要看在一次試驗中這兩個事件是否同時滿足兩個條件：一是不能同時發(fā)生；二是必有一個發(fā)生．這兩個條件同時成立，那么這兩個事件是對立事件，只要有一個條件不成立，那么這兩個事件就不是對立事件．[活學活用]某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學參加演講比賽．判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件．(1)恰有1名男生與恰有2名男生；(2)至少1名男生與全是男生；(3)至少1名男生與全是女生；(4)至少1名男生與至少1名女生．解：從3名男生和2名女生中任選2名同學有3類結(jié)果；兩男或兩女或一男一女．(1)因為恰有1名男生與恰有2名男生不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥事件；當恰有2名女生時，它們都沒有發(fā)生，所以它們不是對立事件．(2)當恰有2名男生時，至少1名男生與全是男生同時發(fā)生，所以它們不是互斥事件．(3)因為至少1名男生與全是女生不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥事件；由于它們必有一個發(fā)生，所以它們是對立事件．(4)當選出的是1名男生1名女生時，至少1名男生與至少1名女生同時發(fā)生，所以它們不是互斥事件.互斥事件與對立事件概率公式的應用[典例]某射手在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.計算這個射手在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率；(2)至少射中7環(huán)的概率；(3)射中8環(huán)以下的概率．[解]“射中10環(huán)”“射中9環(huán)”“射中8環(huán)”“射中7環(huán)”“射中7環(huán)以下”是彼此互斥的，可運用互斥事件的概率加法公式求解．記“射中10環(huán)”“射中9環(huán)”“射中8環(huán)”“射中7環(huán)”“射中7環(huán)以下”的事件分別為A，B，C，D，E，則(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.52.(2)法一：P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87，所以至少射中7環(huán)的概率為0.87.法二：事件“至少射中7環(huán)”的對立事件是“射中7環(huán)以下”，其概率為0.13，則至少射中7環(huán)的概率為1－0.13＝0.87.(3)P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29，所以射中8環(huán)以下的概率為0.29.運用互斥事件的概率加法公式解題的一般步驟(1)確定各事件彼此互斥；(2)求各事件分別發(fā)生的概率，再求其和．值得注意的是：(1)是公式使用的前提條件，不符合這點，是不能運用互斥事件的概率加法公式的．[活學活用]在數(shù)學考試中，小明的成績在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分(包括80分與89分，下同)的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.計算下列事件的概率：(1)小明在數(shù)學考試中取得80分及80分以上的成績；(2)小明考試及格．解：分別記小明的成績在“90分及90分以上”，在“80～89分”，在“70～79分”，在“60～69分”為事件B，C，D，E，顯然這四個事件彼此互斥．(1)小明的成績在80分及80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)法一：小明考試及格的概率是P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.法二：因為小明考試不及格的概率是0.07，所以小明考試及格的概率是1－0.07＝0.93.互斥、對立事件與古典概型的綜合應用[典例]一盒中裝有各色球12個，其中5個紅球、4個黑球、2個白球、1個綠球．從中隨機取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．[解]記事件A1＝{任取1球為紅球}；A2＝{任取1球為黑球}；A3＝{任取1球為白球}；A4＝{任取1球為綠球}，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，法一：由互斥事件概率公式，得(1)取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).法二：(1)故取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出1球為白球或綠球，即A1＋A2的對立事件為A3＋A4.所以取得1球為紅球或黑球的概率為P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1＋A2＋A3的對立事件為A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).求復雜事件的概率通常有兩種方法(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事件的和事件；(2)若將一個較復雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和事件時，需要分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”，它常用來求“至少……”或“至多……”型事件的概率．[活學活用]某學校的籃球隊、羽毛球隊、乒乓球隊各有10名隊員，某些隊員不止參加了一支球隊，具體情況如圖所示．現(xiàn)從中隨機抽取一名隊員，求：(1)該隊員只屬于一支球隊的概率；(2)該隊員最多屬于兩支球隊的概率．解：分別令“抽取一名隊員只屬于籃球隊、羽毛球隊、乒乓球隊”為事件A，B，C.由圖知3支球隊共有球員20名．則P(A)＝eq\f(5,20)，P(B)＝eq\f(3,20)，P(C)＝eq\f(4,20).(1)令“抽取一名隊員，該隊員只屬于一支球隊”為事件D.則D＝A＋B＋C，∵事件A，B，C兩兩互斥，∴P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(5,20)＋eq\f(3,20)＋eq\f(4,20)＝eq\f(3,5).(2)令“抽取一名隊員，該隊員最多屬于兩支球隊”為事件E，則eq\x\to(E)為“抽取一名隊員，該隊員屬于3支球隊”，∴P(E)＝1－P(eq\x\to(E))＝1－eq\f(2,20)＝eq\f(9,10).[層級一學業(yè)水平達標]1．許洋說：“本周我至少做完三套練習題．”設許洋所說的事件為A，則A的對立事件為()A．至多做完三套練習題 B．至多做完二套練習題C．至多做完四套練習題 D．至少做完三套練習題解析：選B至少做完3套練習題包含做完3,4,5,6…套練習題，故它的對立事件為做完0,1,2套練習題，即至多做完2套練習題．2．把紅、藍、黑、白4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是()A．對立事件 B．互斥但不對立事件C．不可能事件 D．以上說法都不對解析：選B因為只有1張紅牌，所以這兩個事件不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥事件；但這兩個事件加起來并不是總體事件，所以它們不是對立事件．3．從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是()A.eq\f(1,10) B.eq\f(3,10)C.eq\f(3,5) D.eq\f(9,10)解析：選D記3個紅球分別為a1，a2，a3,2個白球分別為b1，b2.從3個紅球、2個白球中任取3個，則所包含的基本事件有(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10個．由于每個基本事件發(fā)生的機會均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的．用A表示“所取的3個球中至少有1個白球”，則其對立事件eq\x\to(A)表示“所取的3個球中沒有白球”，則事件eq\x\to(A)包含的基本事件有1個：(a1，a2，a3)，所以P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,10).故P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).4．事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為eq\f(2,5)，且P(A)＝2P(B)，則P(A)＝________.解析：因為事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為eq\f(2,5)，所以P(A)＋P(B)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).又因為P(A)＝2P(B)，所以P(A)＋eq\f(1,2)P(A)＝eq\f(3,5)，所以P(A)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)[層級二應試能力達標]1．若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，則事件A與B的關(guān)系是()A．互斥不對立 B．對立不互斥C．互斥且對立 D．以上說法都不對答案：C2．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，則P(B)的取值范圍是()A．[0,0.9] B．[0.1,0.9]C．(0,0.9] D．[0,1]解析：選A由于事件A和B是互斥事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A∪B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，又P(B)≥0，所以0≤P(B)≤0.9，故選A.3．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“向上的點數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“向上的點數(shù)不超過3”，則P(A＋B)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,6) D．1解析：選BA包含向上點數(shù)是1,3,5的情況，B包含向上的點數(shù)是1,2,3的情況，所以A＋B包含了向上點數(shù)是1,2,3,5的情況．故P(A＋B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).4．從1,2,3，…，30這30個數(shù)中任意摸出一個數(shù)，則事件“摸出的數(shù)是偶數(shù)或能被5整除的數(shù)”的概率是()A.eq\f(7,10) B.eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(1,10)解析：選B這30個數(shù)中“是偶數(shù)”的有15個，“能被5整除的數(shù)”有6個，這兩個事件不互斥，既是偶數(shù)又能被5整除的數(shù)有3個，所以事件“是偶數(shù)或能被5整除的數(shù)”包含的基本事件數(shù)是18個，而基本事件共有30個，所以所求的概率為eq\f(18,30)＝eq\f(3,5).5．拋擲一粒骰子，觀察擲出的點數(shù)，設事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件B為“出現(xiàn)2點”，已知P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，則“出現(xiàn)奇數(shù)點或2點”的概率為________．解析：“出現(xiàn)奇數(shù)點”的概率為P(A)，“出現(xiàn)2點”的概率為P(B)，且事件A與B互斥，則“出現(xiàn)奇數(shù)點或2點”的概率為P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)6．某一時期內(nèi)，一條河流某處的最高水位在各個范圍內(nèi)的概率如下：最高水位/m[8,10)[10,12)[12,14)概率0.20.30.5則在同一時期內(nèi)，河流在這一處的最高水位不超過12m的概率為________．解析：法一：記“最高水位在[8,10)內(nèi)”為事件A1，記“最高水位在[10,12)內(nèi)”為事件A2，記“最高水位不超過12m”為事件A3，由題意知，事件A1，A2彼此互斥，而事件A3包含基本事件A1，A2，所以P(A3)＝P(A1)＋P(A2)＝0.2＋0.3＝0.5.法二：記“最高水位在[12,14)內(nèi)”為事件B1，記“最高水位不超過12m”為事件B2，由題意知，事件B1和B2互為對立事件，所以P(B2)＝1－P(B1)＝1－0.5＝0.5.答案：0.57．圍棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，從中取出2粒都是白子的概率是eq\f(12,35).那么，現(xiàn)從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．解析：設“從中取出2粒都是黑子”為事件A，“從中取出2粒都是白子”為事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C，則C＝A＋B，且事件A與B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35)，即“任意取出2粒恰好是同一色”的概率為eq\f(17,35).答案：eq\f(17,35)8．某飲料公司對一名員工進行測試以便確定其考評級別．公司準備了兩種不同的飲料共5杯，其顏色完全相同，并且其中3杯為A飲料，另外2杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從5杯飲料中選出3杯A飲料．若該員工3杯都選對，則評為優(yōu)秀；若3杯選對2杯，則評為良好；否則評為不合格．假設此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力．(1)求此人被評為優(yōu)秀的概率；(2)求此人被評為良好及以上的概率．解：將5杯飲料編號為：1,2,3,4,5，編號1,2,3表示A飲料，編號4,5表示B飲料，則從5杯飲料中選出3杯的所有可能情況為：(123)，(124)，(125