易錯03方程(組)與不等式(組)及其應(yīng)用易錯陷阱一、等式的基本性質(zhì)運用錯誤1、解一元一次方程的一般步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數(shù)化為1。2、等式的基本性質(zhì)在等式基本性質(zhì)中，“=”兩邊同時加、減、乘一個相同的數(shù)（或式子）時，大多不會出現(xiàn)問題；但是“=”兩邊同時除一個相同的數(shù)（或式子）時，會容易除反，導(dǎo)致方程的解法最后一步出錯，所以一定要注意不要除反了。易錯總結(jié)：①等式基本性質(zhì)反向應(yīng)用時，不確定c的范圍時，結(jié)果不一定成立；②一元一次方程解法中容易出錯的一些“小陷阱”：去分母①不含分母的項也要乘以最小公倍數(shù)；②分子是多項式的一定要先用括號括起來去括號括號外是負因數(shù)時，一是要注意變號，二是要注意各項都不要漏乘公因數(shù)移項移項要變號合并同類項單獨的一個未知數(shù)的系數(shù)為“±1”系數(shù)化為1不要顛倒了被除數(shù)和除數(shù)（未知數(shù)的系數(shù)作除數(shù)——分母）例1．解下列方程：(1)．(2)．例2．已知方程的解與關(guān)于方程的解互為相反數(shù)，則的值是．練習(xí)1．解下列方程：(1)；(2)．練習(xí)2．若與互為相反數(shù)，則的值為．練習(xí)3．已知關(guān)于x的一元一次方程的解與關(guān)于x的一元一次方程的解互為相反數(shù)，求代數(shù)式的值．練習(xí)4．若關(guān)于的一元一次方程的解為整數(shù)，則整數(shù)的所有可能值為．易錯陷阱二、解分式方程忘檢驗根的存在分式方程的解法：①將分式方程化成整式方程（去分母，即等號兩邊同乘以最簡公分母）；②解整式方程（去括號；移項；合并同類項；系數(shù)化為1或其它解法）；③檢驗：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根。易錯提醒：要記得將求得的解代入原分式方程，使原方程成立，才可確定為該方程的解．例3．解方程：．例4．某早餐店一天的“瓦罐湯”的銷售額是2000元，“拌粉”的銷售額是1200元，且這兩種餐品的銷量相同．已知“拌粉”的單價比“瓦罐湯”的單價少2元，求“拌粉”和“瓦罐湯”的單價．練習(xí)1．解方程：(1)；(2)．練習(xí)2．某項目室外綠化及道路工程進入收尾階段，參建單位接下來需進行某段路面施工工作，路面全長為3000米，更改施工方式后工作效率為原來的1.25倍，預(yù)計會提前15天完成，則原計劃每天施工多少米？練習(xí)3．從甲地到乙地有兩條公路，一條是全長千米的普通公路，另一條是全長千米的高速公路，某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上行駛的平均速度每小時快千米，由高速公路從甲地到乙地所需時間是由普通公路從甲地到乙地所需時間的一半．求該客車由普通公路從甲地到乙地的平均速度．練習(xí)4．已知關(guān)于的方程的解比的解多，求的值．易錯陷阱三、分式方程增根或無解時易考慮不全面一、增根：使最簡公分母值為0的未知數(shù)的值，整根是整式方程的根，不是原分式方程的根；二、無解：不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等；易錯提醒：對分式方程的增根和假根概念理解不透徹，如在增根或假根處無法正確判斷，導(dǎo)致求解過程出現(xiàn)問題例5．如果關(guān)于x的分式方程無解，則a的值為（

）A． B． C．2 D．例6．若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（

）．A．2 B．1 C．3 D．練習(xí)1．若關(guān)于的方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．且C．且 D．且練習(xí)2．若分式方程無解，則的值為（）A．2 B． C．1 D．練習(xí)3．若關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是（）A．且 B． C．且 D．且練習(xí)4．若關(guān)于x的方程有增根，則a的值為（

）A．2 B．0 C． D．易錯陷阱四、混淆一元二次方程的解法一元二次方程的解法有4種，不同解法的適用范圍也各不相同，準確選擇合適的解法解對應(yīng)的方程，可以更快速的求出方程的解，也可以減少一些解法中的易錯點。而在這些解法中，配方法、公式法、利用十字相乘因式分解法是必須掌握的。易錯總結(jié)：一元二次方程的解，要么無解，有解必有2個，所以最后的方程的解一定要寫明例7．一個直角三角形的兩條直角邊的長，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則這個直角三角形的斜邊長為．例8．解方程：(1)(2)(3)(4)練習(xí)1．解下列方程：(1)；（開平方法）(2)．練習(xí)2．下面是小華利用配方法解一元二次方程的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解：．移項，得．…………第一步配方，得，即………………第二步由此，可得．…………第三步……第四步請完成下列任務(wù)：(1)上述小華同學(xué)的解法中，第一步運算的依據(jù)是_________，其中，“配方法”所依據(jù)的數(shù)學(xué)公式是_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”）(2)小華同學(xué)利用配方法解題過程中，從第______步開始出現(xiàn)錯誤，請寫出正確的解題過程．練習(xí)3．方程的根是．練習(xí)4．已知的半徑是一元二次方程的一個根，圓心O到直線的距離，則直線與的交點個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．沒有交點 D．不能確定易錯陷阱五、若二次方程中的二次含參，易忽略為0的情況一、一元二次方程的一般形式：，其中是二次項，是二次項系數(shù)；是一次項，是一次項系數(shù)；是常數(shù)項二、求解方程過程中需滿足等式的性質(zhì)：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等易錯提醒：不要忽略一元二次方程二次項系數(shù)不為零這一隱含條件例9．已知關(guān)于的方程，求證：無論為何值，方程總有實數(shù)根．例10．若方程是關(guān)于的一元二次方程，則的值為（

）A． B． C． D．不存在練習(xí)1．關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B．且 C．且 D．練習(xí)2．已知關(guān)于的方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且練習(xí)3．若事件“關(guān)于的方程有實數(shù)根”是必然事件，則的取值范圍是（

）A． B．且C． D．且練習(xí)4．若關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．且C．且 D．且易錯陷阱六、忽略韋達定理的應(yīng)用韋達定理：若是一元二次方程的根，則有易錯總結(jié)：兩根之和、兩根之積公式比較相似，不要用反了例11．若關(guān)于x的一元二次方程兩根為、，且，則P的值為（

）A． B． C． D．6例12．已知方程的兩個實數(shù)根滿足，則實數(shù)k的值為（

）A． B． C． D．練習(xí)1．若a，b是關(guān)于x的一元一次方程的兩個實數(shù)根，且，則k的值是．練習(xí)2．已知是方程的兩個實數(shù)根，則．練習(xí)3．若、是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為．練習(xí)4．已知是方程的兩個不相等的實數(shù)根，則．易錯陷阱七、解不等式（組）忽略變號不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變易錯總結(jié)：注意乘（除以）一個負數(shù)，要記得變號例13．解不等式：．例14．學(xué)校圖書館每年都會購買一批新的圖書，去年購買的圖書中，每套科技書的單價比每套文學(xué)書的單價多20元，用3600元購買的科技書與2400元購買的文學(xué)書的套數(shù)相等．(1)求去年購買的每套文學(xué)書和科技書的單價各是多少元？(2)若今年每套科技書的單價提高到80元，每套文學(xué)書的單價與去年相同，該校今年計劃再購買文學(xué)書和科技書共180套，每種書籍至少買50套，且購買科技書和文學(xué)書的總費用不超過12000元，該校今年至多可購買多少套科技書？練習(xí)1．不等式組的解集是．練習(xí)2．先化簡，再求值：，其中的值從不等式組的正整數(shù)解中選?。毩?xí)3．某商場計劃購進甲、乙兩種空調(diào)共50臺，這兩種空調(diào)的進價、售價如下表所示：類型進價（元/臺）售價（元/臺）甲23002800乙33004000(1)若該商場此次進貨共用去13萬元，則這兩種空調(diào)各購進多少臺；(2)若商場規(guī)定每種空調(diào)至少購進10臺，并且在當(dāng)月全部銷售完，應(yīng)怎樣進貨才能使商場在銷售完這批空調(diào)時獲利最多，并求出最大利潤．練習(xí)4．南充有傳統(tǒng)民俗村在發(fā)展旅游經(jīng)濟過程中，村民制作并銷售多種特色手工藝品．其中一種制作一件的原材料成本為15元，經(jīng)前期市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價為每件整數(shù)x元時，每日的銷售量y（件）與售價x之間滿足函數(shù)關(guān)系，同時，每日還需額外支出固定的場地費等共200元．(1)求這種工藝品每日的利潤W（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)這種工藝品售價為多少元時，每日的利潤最大？最大利潤是多少？(3)原材料購買費用每日不超過1000元，若每日利潤不低于550元，銷售單價應(yīng)定在什么范圍內(nèi)？易錯陷阱八、已知不等式（組）解集時，端點取舍易錯易錯總結(jié)：已知不等式組的解集情況求參數(shù)時，需要驗證臨界值是否符合條件，符合則可以取到否則舍棄例15．已知關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程解為正整數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)的乘積為．例16．若關(guān)于的不等式組有個整數(shù)解，則的取值范圍是．練習(xí)1．不等式組的解集為，請你寫出一個符合條件的的值：．練習(xí)2．若關(guān)于x的不等式組的所有整數(shù)解的和是9，則a的取值范圍是．練習(xí)3．如果關(guān)于的不等式組有且只有個整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)的和為．練習(xí)4．不等式組的解集是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．1．若是關(guān)于x的方程的解，則a的值是（

）A． B． C．4 D．52．若關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m的值為（

）A．1 B．3 C． D．1和33．方程的解是（

）A． B． C． D．無解4．若關(guān)于的不等式組至少有4個整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程的解是非負數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)的和是（

）A．17 B．20 C．22 D．255．關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為．6．不等式的解集為．7．已知關(guān)于的一元二次方程的兩根之和等于兩根之積的2倍，則的值為．8．關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍．9．哈爾濱亞洲冬季運動會于2025年2月7日至2月14日舉行，吉祥物“濱濱”和“妮妮”深受大家喜愛，某商品經(jīng)銷店欲購進吉祥物胸章和冰箱貼，用160元購進的冰箱貼與用240元購進的胸章數(shù)量相同，每個胸章的進價比冰箱貼多10元．(1)求每個胸章和冰箱貼的進價分別為多少元？(2)若該商店冰箱貼每個售價24元，胸章每個售價35元，這兩種紀念品共購進1000件，且全部售出后總獲利不低于4900元，問冰箱貼最多購進多少件？10．已知關(guān)于x的分式方程．