2025年考研數(shù)學(xué)二線性代數(shù)真題試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：1.設(shè)矩陣A=[[1,2],[k,1]],則矩陣A可逆的充分必要條件是（）。A.k=0B.k=-1C.k≠0D.k≠-12.向量組α?=[1,0,1],α?=[0,1,1],α?=[1,a,a2]線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是（）。A.a=0B.a=1C.a=-1D.a≠0且a≠13.設(shè)A是n階可逆矩陣，B是n階不可逆矩陣，則下列矩陣中一定不可逆的是（）。A.A+BB.ABC.BAD.A24.齊次線性方程組x?+x?+x?=0,x?+2x?+3x?=0有非零解的一個(gè)充分條件是（）。A.λ=1是其特征值B.λ=2是其特征值C.λ=3是其特征值D.任意實(shí)數(shù)都是其特征值5.設(shè)二次型f(x?,x?,x?)=x?2+ax?2+bx?2+2x?x?+2x?x?+2x?x?的標(biāo)準(zhǔn)形為y?2+y?2，則a,b滿足的條件是（）。A.a+b=0B.a-b=0C.a2+b2=1D.a2-b2=0二、填空題：1.行列式|A|=[[1,2,3],[0,4,5],[0,0,6]]的值為_(kāi)______。2.設(shè)A=[[1,2],[3,4]],B=[[a,0],[0,b]]，則AB-BA=_______。3.設(shè)向量組α?,α?,α?的秩為2，且α?+α?=α?，則向量組α?,α?的秩為_(kāi)______。4.非齊次線性方程組Ax=b有無(wú)窮多解的充分必要條件是_______。5.設(shè)矩陣A=[[a,0],[1,a]]的特征值為1和2，則a=_______。三、解答題：1.計(jì)算行列式|A|=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]的值。2.設(shè)矩陣A=[[1,2,0],[4,3,0],[0,0,2]]，求A的逆矩陣A?1。3.判斷向量組α?=[1,0,1],α?=[1,1,0],α?=[0,1,1]是否線性相關(guān)，并說(shuō)明理由。4.解線性方程組：x?+2x?+x?=12x?+3x?+x?=2x?+x?+2x?=15.設(shè)矩陣A=[[1,-1],[1,1]]，求A的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。6.將二次型f(x?,x?)=x?2+4x?2+2x?x?化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用的可逆線性變換。7.證明：如果矩陣A可逆，那么A的伴隨矩陣A*也可逆，且(A*)?1=(1/|A|)A。試卷答案一、選擇題：1.D2.D3.B4.A5.B二、填空題：1.242.[[0,-2],[2,0]]3.24.秩(A)<n且r(A)=r(A,b)5.1三、解答題：1.解：將第二列乘以(-1)加到第三列，得到[[1,2,1],[4,5,-1],[7,8,-1]]。再將第一列乘以(-4)加到第二列，得到[[1,2,1],[0,-3,-1],[7,8,-1]]。再將第一列乘以(-7)加到第三列，得到[[1,2,1],[0,-3,-1],[0,-6,-8]]。計(jì)算得行列式值=1*(-3)*(-8)=24。2.解：計(jì)算|A|=1*3*2-2*4*0-0*3*0+0*4*0+0*2*1-1*3*0=6。A的伴隨矩陣A*=[[3,-8,0],[-4,2,0],[0,0,1]]（計(jì)算過(guò)程略）。A?1=(1/|A|)A*=(1/6)*[[3,-8,0],[-4,2,0],[0,0,1]]=[[1/2,-4/3,0],[-2/3,1/3,0],[0,0,1/6]]。3.解：設(shè)x?α?+x?α?+x?α?=0，即x?[1,0,1]+x?[1,1,0]+x?[0,1,1]=[0,0,0]。得方程組：x?+x?=0,x?+x?=0,x?+x?=0。其系數(shù)矩陣為[[1,1,0],[0,1,1],[1,0,1]]，計(jì)算其行列式|A|=1*1*1+1*0*0+0*1*0-0*1*1-1*0*1-1*1*1=1-1=0。行列式為0，系數(shù)矩陣秩小于3，方程組有非零解，故向量組線性相關(guān)。4.解：增廣矩陣為[[1,2,1,1],[2,3,1,2],[1,1,2,1]]。進(jìn)行行變換：R?-2R?→R?,R?-R?→R?，得[[1,2,1,1],[0,-1,-1,0],[0,-1,1,0]]。R?-R?→R?，得[[1,2,1,1],[0,-1,-1,0],[0,0,2,0]]?；卮簒?=0。-x?-x?=0→-x?=0→x?=0。x?+2x?+x?=1→x?=1。解為(x?,x?,x?)=(1,0,0)。5.解：計(jì)算特征多項(xiàng)式f(λ)=|λI-A|=|[[λ-1,1],[-1,λ-1]]|=(λ-1)2-(-1)*1=λ2-2λ+2。令f(λ)=0，解得λ?=1+i,λ?=1-i。對(duì)λ?=1+i，解(1+iI-A)v=0，即[[i,1],[-1,i]][[x?],[x?]]=[[0],[0]]。得x?+ix?=0，即x?=-ix?。取x?=1，得v?=[-i,1]?。對(duì)λ?=1-i，解(1-iI-A)v=0，即[[-i,1],[-1,-i]][[x?],[x?]]=[[0],[0]]。得x?-ix?=0，即x?=ix?。取x?=1，得v?=[i,1]?。特征值為1+i，對(duì)應(yīng)特征向量[-i,1]?；特征值為1-i，對(duì)應(yīng)特征向量[i,1]?。6.解：二次型對(duì)應(yīng)矩陣A=[[1,1],[1,4]]。求特征值：|λI-A|=|[[λ-1,-1],[-1,λ-4]]|=(λ-1)(λ-4)-(-1)*(-1)=λ2-5λ+3。令f(λ)=0，解得λ?=5+2√3,λ?=5-2√3。求特征向量（過(guò)程略）：對(duì)λ?，得特征向量v?=[1,(1-2√3)]?/√(1+(1-2√3)2)=[1,(1-2√3)]?/√(14-4√3)。單位化后記為u?。對(duì)λ?，得特征向量v?=[1,(1+2√3)]?/√(1+(1+2√3)2)=[1,(1+2√3)]?/√(14+4√3)。單位化后記為u?。令x=Au=P'y，其中P=[u?,u?]，y=[y?,y?]?。則f(x)=x?Ax=(Py)?A(Py)=y?(P?AP)y=y?(λ?u?u??+λ?u?u??)y=λ?y?2+λ?y?2。即標(biāo)準(zhǔn)形為f(y?,y?)=(5+2√3)y?2+(5-2√3)y?2。所用變換為x=P'y，其中P=[[1,1],[(1-2√3)/√(14-4√3),(1+2√3)/√(14+4√3)]]。7.證明：因?yàn)锳可逆，所以|A|≠0。A*=[[A??,A??,...,A?n],[A??,A??,...,A?n],...,[A?n,A?n,...,Ann]]?，其中A??是A中去掉第i行第j列的n-1階子式。因?yàn)锳可逆，所以A的每一行向量組線性無(wú)關(guān)，其秩為n。根據(jù)行列式展開(kāi)定理，|A|=Σ?A??A??=Σ?A??A??，故Σ?A??A??≠0。所以A*不是零矩陣。考慮AA*=|A|I?。因?yàn)閨A|≠0，所以AA*可逆。根據(jù)可逆矩陣性質(zhì)，(AA*)?1=A?1(A*)?1。又因?yàn)?AA*)?1=(|A|I?)?1