2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——?dú)夂蚰Ｐ椭械臄?shù)學(xué)分析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述氣候模型在理解氣候系統(tǒng)中的作用及其主要組成部分。說明數(shù)值模擬在氣候研究中的重要性。二、考慮一個(gè)簡(jiǎn)化的單層能量平衡氣候模型，其能量輸入項(xiàng)包括太陽輻射（S）和地表反照率（α）相關(guān)的項(xiàng)，能量輸出項(xiàng)主要是地表與大氣之間的感熱（H）和潛熱（LE）交換。設(shè)地表溫度為T，太陽常數(shù)S?，地球有效輻射常數(shù)ε，大氣可感熱和潛熱通量分別為H和LE。寫出該模型的能量平衡方程。若假設(shè)感熱和潛熱通量與地表溫度成正比（H=a?T,LE=a?T），且凈輻射平衡為常數(shù)（R_net=S(1-α)-εT?=const），推導(dǎo)地表溫度T隨時(shí)間變化的方程，并分析其穩(wěn)定性的條件（提示：考慮小擾動(dòng)分析）。三、在氣候模型中，大氣環(huán)流常用簡(jiǎn)化的波動(dòng)方程來描述?？紤]一維波動(dòng)方程u?+cu?=0，其中u代表某個(gè)氣象變量（如風(fēng)速分量）沿著x方向的梯度，c為波速。說明該方程的物理意義。假設(shè)初始條件為u(x,0)=f(x)，推導(dǎo)t時(shí)刻的解。若考慮地轉(zhuǎn)平衡下的波動(dòng)，如何修改該方程以包含科里奧利參數(shù)f？簡(jiǎn)述引入科里奧利參數(shù)后對(duì)波動(dòng)性質(zhì)的影響。四、全球氣候模型（GCM）通常包含大氣和海洋兩個(gè)主要子模型。描述GCM中大氣子模型求解的基本方程組（至少寫出三個(gè)主要方程，并說明每個(gè)方程代表的意義）。簡(jiǎn)述這些方程組在數(shù)值求解時(shí)面臨的主要挑戰(zhàn)（至少兩個(gè)方面），并解釋相應(yīng)的簡(jiǎn)化策略或數(shù)值技巧。五、氣候變率分析中常用功率譜來描述氣候信號(hào)在不同時(shí)間尺度的能量分布。簡(jiǎn)述功率譜的基本概念及其在氣候科學(xué)中的應(yīng)用。說明紅噪聲（1/f噪聲）在氣候系統(tǒng)中的普遍性，并解釋其物理意義。若某氣候變量時(shí)間序列的功率譜密度函數(shù)S(f)與頻率f成反比（S(f)∝1/f），推導(dǎo)該時(shí)間序列自相關(guān)函數(shù)R(τ)的表達(dá)式。六、海洋模式通常需要解決納維-斯托克斯方程來描述海水運(yùn)動(dòng)。寫出二維淺水方程組（忽略垂直方向上的加速度項(xiàng)），并解釋其中每個(gè)方程的物理意義。說明淺水方程組與納維-斯托克斯方程的主要區(qū)別及其在海洋模擬中的應(yīng)用范圍。簡(jiǎn)述數(shù)值求解淺水方程組時(shí)，如何保證穩(wěn)定性（例如，提及CFL條件）。七、氣候模型的不確定性來源廣泛，包括模型結(jié)構(gòu)、參數(shù)化方案和外部強(qiáng)迫。簡(jiǎn)述參數(shù)化方案在氣候模型中的作用。說明由于參數(shù)化方案的不確定性，氣候模型對(duì)溫室氣體濃度變化的響應(yīng)可能存在多大范圍的不確定性。提出至少兩種減少參數(shù)化不確定性或量化其影響的方法。八、假設(shè)一個(gè)氣候系統(tǒng)包含兩個(gè)相互作用的部分A和B，它們之間的能量交換率分別為k?A和k?B（k?,k?為正系數(shù)）。建立描述該系統(tǒng)的能量平衡微分方程組。求解該方程組的穩(wěn)態(tài)解（即系統(tǒng)達(dá)到平衡時(shí)的狀態(tài)）。分析系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的穩(wěn)定性條件，并解釋其物理意義。如果系統(tǒng)受到外部強(qiáng)迫，如何修改該方程組并分析其響應(yīng)特性？試卷答案一、氣候模型通過數(shù)學(xué)方程模擬氣候系統(tǒng)的物理、化學(xué)和生物過程，是理解和預(yù)測(cè)氣候變化、氣候自然變異以及人類活動(dòng)影響的重要工具。其主要組成部分通常包括大氣模型、海洋模型、陸面過程模型、冰雪圈模型和海冰模型，以及將它們耦合起來的耦合系統(tǒng)。數(shù)值模擬在氣候研究中至關(guān)重要，因?yàn)樗軌蛱幚碚鎸?shí)氣候系統(tǒng)所涉及的巨大時(shí)空尺度和復(fù)雜相互作用，人類無法直接觀測(cè)或?qū)嶒?yàn)驗(yàn)證，從而揭示系統(tǒng)內(nèi)在機(jī)制和未來演變趨勢(shì)。二、能量平衡方程為：S(1-α)-H-LE-εT?=0或R_net-H-LE-εT?=0。假設(shè)H=a?T,LE=a?T，代入得：S(1-α)-a?T-a?T-εT?=0。穩(wěn)態(tài)解（T?）滿足：S(1-α)-a?T?-a?T?-εT??=0。T??=T?+δT，代入原方程得：δT(-4εT?3-a?-a?)=0。為分析穩(wěn)定性，考慮小擾動(dòng)δT，若系統(tǒng)穩(wěn)定，擾動(dòng)應(yīng)衰減，即-4εT?3-a?-a?<0。因此，穩(wěn)定性條件為：T?<[(a?+a?)/(4ε)]^(1/3)。解析思路：首先根據(jù)題目描述寫出能量平衡方程。將給定的線性關(guān)系代入簡(jiǎn)化方程。求解穩(wěn)態(tài)解（令時(shí)間導(dǎo)數(shù)為零）。為分析穩(wěn)定性，進(jìn)行小擾動(dòng)分析，將擾動(dòng)量代入穩(wěn)態(tài)方程，考察擾動(dòng)項(xiàng)的符號(hào)。穩(wěn)定條件要求擾動(dòng)項(xiàng)系數(shù)為負(fù)。三、該一維波動(dòng)方程u?+cu?=0描述了沿著x方向傳播的波，其速度為c。物理意義是：波速c乘以波形沿x方向的梯度（即變化率）等于該波形隨時(shí)間的局部變化率。解法：利用特征線方法，沿特征線x=x?+ct，變量u保持不變。初始條件為u(x,0)=f(x)，則沿特征線x-ct=constant，解為u=f(x-ct)。引入科里奧利參數(shù)f后，地轉(zhuǎn)平衡下的波動(dòng)方程變?yōu)閡?+cu?=f?，其中?是u對(duì)y方向的偏導(dǎo)數(shù)。引入科氏力后，波動(dòng)不再是簡(jiǎn)單的沿x方向傳播，而是會(huì)向右偏轉(zhuǎn)（在北半球），形成所謂的地轉(zhuǎn)波，波速和波形會(huì)受到影響，不再是簡(jiǎn)單的行波解。四、大氣子模型通常求解以下方程組：1.運(yùn)動(dòng)方程：描述大氣動(dòng)量變化，包含水平風(fēng)、氣壓梯度力、科里奧利力、摩擦力等。2.熱力學(xué)方程（或能量方程）：描述大氣溫度（或位溫）變化，包含輻射收支、感熱和潛熱交換、絕熱變化等。3.水汽方程：描述大氣中水汽含量的變化，包含水汽輸送、蒸發(fā)、凝結(jié)/降水等過程。4.連續(xù)方程（或質(zhì)量守恒方程）：描述大氣密度的變化，基于質(zhì)量守恒。數(shù)值求解面臨的挑戰(zhàn)：1)大氣系統(tǒng)多維、多尺度、非線性特性導(dǎo)致方程組求解困難；2)模式分辨率越高，計(jì)算量呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，對(duì)計(jì)算資源要求極高。簡(jiǎn)化策略或數(shù)值技巧：1)采用坐標(biāo)變換（如σ坐標(biāo)、β坐標(biāo)）簡(jiǎn)化垂直方向；2)使用濾波技術(shù)處理不同尺度的信號(hào)；3)對(duì)快速變化的物理過程（如云微物理）進(jìn)行參數(shù)化；4)采用高效的時(shí)間積分方案（如隱式積分）。五、功率譜S(f)表示氣候信號(hào)在頻率f處的能量密度。通過傅里葉變換從時(shí)間序列獲得，用于識(shí)別氣候振蕩（如ENSO、MJO）的周期或時(shí)間尺度，分析不同尺度能量分布，研究氣候變率特性。紅噪聲（1/f噪聲）是一種頻譜密度與頻率f成反比（S(f)∝1/f）的噪聲。在氣候系統(tǒng)中普遍存在，通常與流體動(dòng)力學(xué)中的湍流、波-流相互作用或臨界慢變過程有關(guān)。其物理意義可能源于系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，微小擾動(dòng)會(huì)通過非線性相互作用逐級(jí)放大。若功率譜S(f)∝1/f，則自相關(guān)函數(shù)R(τ)=1/(2f?)*exp(-2πτ/f?)，其中τ為時(shí)間滯后，f?為參考頻率。更通用的形式為R(τ)∝τ^(-1)。*（注：推導(dǎo)過程涉及傅里葉變換的逆變換，此處給出結(jié)果形式）*六、二維淺水方程組為：?u/?t+u?u/?x+v?u/?y=-g?η/?x+F_u(粘性項(xiàng)等)?v/?t+u?v/?x+v?v/?y=-g?η/?y+F_v(粘性項(xiàng)等)?η/?t+?(uη)/?x+?(vη)/?y=0(質(zhì)量守恒)其中u,v為水平風(fēng)速分量，η為自由表面高度，g為重力加速度，F(xiàn)_u,F_v為水平動(dòng)量方程中的其他力（如摩擦力）。第一個(gè)方程描述水平動(dòng)量平衡，包含慣性項(xiàng)、科里奧利項(xiàng)（此處未顯式寫出）、壓力梯度項(xiàng)（由自由面高度梯度近似）和其他力。第二個(gè)方程類似。第三個(gè)方程為自由面高度的時(shí)間變化率等于水體積通量散度。淺水方程忽略了垂直加速度項(xiàng)和垂直方向的運(yùn)動(dòng)，適用于水層較薄、水平尺度較大的海洋或湖泊模擬。與納維-斯托克斯方程相比，簡(jiǎn)化了垂直動(dòng)量方程和壓力梯度項(xiàng)。適用于模擬大型水體的大尺度波動(dòng)和環(huán)流。數(shù)值求解時(shí)，為了保證穩(wěn)定性（特別是對(duì)于顯式時(shí)間積分格式），需要滿足Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）條件，即時(shí)間步長(zhǎng)Δt與空間步長(zhǎng)Δx,Δy和波速的比值必須小于某個(gè)上限，以防止信息傳播速度超過數(shù)值格點(diǎn)間的距離。七、參數(shù)化方案用于將大氣的微物理過程（如云、降水形成）和陸面過程（如蒸散發(fā)、土壤水分）等難以直接在模型中解算的細(xì)節(jié)，用簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)公式或統(tǒng)計(jì)關(guān)系來描述。由于這些過程本身的復(fù)雜性和觀測(cè)資料的缺乏，參數(shù)化方案存在很大的不確定性，是導(dǎo)致不同氣候模型對(duì)同一強(qiáng)迫（如CO?增加）產(chǎn)生不同響應(yīng)（如氣候敏感性、極端溫度變化幅度）的主要原因之一。減少不確定性或量化影響的方法：1)基于理論或高分辨率觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)化方案的改進(jìn)和驗(yàn)證；2)利用多模式集合（ensemblesofmodels）來評(píng)估參數(shù)化方案變化帶來的不確定性范圍；3)發(fā)展數(shù)據(jù)同化技術(shù)，結(jié)合觀測(cè)數(shù)據(jù)約束模型狀態(tài)和參數(shù)；4)進(jìn)行參數(shù)化方案敏感性試驗(yàn)，研究參數(shù)變化對(duì)模擬結(jié)果的影響。八、系統(tǒng)包含A、B兩部分，能量交換率分別為k?A和k?B。能量平衡微分方程組為：dE_A/dt=-k?AdE_B/dt=+k?A+k?B其中E_A,E_B分別為A、B部分的能量。穩(wěn)態(tài)解滿足dE_A/dt=0和dE_B/dt=0。因此：-k?A=0=>A=0（假設(shè)A的能量耗盡或輸出為零）+k?A+k?B=0=>0+k?B=0=>B=0穩(wěn)態(tài)解為(E_A,E_B)=(0,0)。穩(wěn)定性分析：考慮小擾動(dòng)dE_A/dt=-k?δA，dE_B/dt=+k?δA+k?δB。線性化系統(tǒng)為：dδA/dt=-k?δAdδB/dt=+k?δA+k?δB特征方程為λ2+k?λ+k?=0。判別式Δ=k?2-4k?。系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是所有特征根具有負(fù)實(shí)部，這要求Δ≥0且λ?λ?>0。由于k?,k?為正，Δ≥0總是成立。λ?λ?=k?k?>0也成立。因此，判別式非負(fù)且乘積為正，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。物理意義：兩個(gè)部分通過正反饋（A向B放熱，B向A放熱）相互作用