2025屆中考復(fù)習(xí)1/432025屆中考復(fù)習(xí)專(zhuān)題11：二次函數(shù)中的定點(diǎn)、定值，焦點(diǎn)與準(zhǔn)線總覽總覽題型解讀TOC\o"1-3"\n\h\z\u模塊一定值問(wèn)題【題型1】面積定值【題型2】線段長(zhǎng)為定值【題型3】線段和定值【題型4】加權(quán)線段和定值【題型5】線段乘積為定值【題型6】比值為定值【題型7】橫（縱）坐標(biāo)定值【題型8】角度為定值【題型9】線段倒數(shù)平方和為定值【題型10】其它定值問(wèn)題模塊二定點(diǎn)問(wèn)題【題型11】直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題【題型12】已知定值求定點(diǎn)模塊三拋物線的焦點(diǎn)準(zhǔn)線及新定義問(wèn)題【題型13】焦點(diǎn)與準(zhǔn)線基本性質(zhì)證明【題型14】利用焦點(diǎn)與準(zhǔn)線性質(zhì)求最值【題型15】焦點(diǎn)準(zhǔn)線的其它性質(zhì)（倒數(shù)和為定值，焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切）【題型16】焦點(diǎn)準(zhǔn)線的新定義問(wèn)題題型題型匯編知識(shí)梳理與?？碱}型一、定值問(wèn)題一般來(lái)說(shuō)，二次函數(shù)求解幾何線段代數(shù)式定值問(wèn)題屬于定量問(wèn)題，方法采用:1.參數(shù)計(jì)算法：即在圖形運(yùn)動(dòng)中，選取其中的變量(如線段長(zhǎng)，點(diǎn)坐標(biāo))作為參數(shù),將要求的定值用參數(shù)表示出，然后消去參數(shù)即得定值。2.韋達(dá)定理法：當(dāng)涉及到直線(一次函數(shù)圖象或x軸)與二次函數(shù)交點(diǎn)時(shí)，先聯(lián)立方程消去y之后整理得到一元二次方程，借助韋達(dá)定理可得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系，可以將要求的定值代數(shù)式用交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和或積表示，往往會(huì)剛好抵消掉參數(shù)，則得到定值。簡(jiǎn)單的引例1如下：若線段AB＝x＋2，線段PQ＝－x＋7，那么AB＋PQ＝x＋2－x＋7＝9；即線段AB與線段PQ的和等于9，是一個(gè)定值．

簡(jiǎn)單的引例2如下：求證不論m取任何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y＝x2－2（m＋1）x＋m（m＋2）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離d為定值。通過(guò)令y＝0，可以求得方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1＝m，x2＝m＋2，則兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離d＝x1－x2＝|m－m－2|＝2，是一個(gè)定值二、定點(diǎn)問(wèn)題函數(shù)的解析式中除自變量外，還有待定的系數(shù)，此時(shí)函數(shù)的圖象會(huì)隨著待定的系數(shù)的變化而變化。圖象變化過(guò)程中，有時(shí)始終會(huì)經(jīng)過(guò)某個(gè)固定的點(diǎn)，定點(diǎn)問(wèn)題是一個(gè)難點(diǎn)。方法：使待定的系數(shù)k失去影響力【例】證明：無(wú)論k取何值，拋物線都經(jīng)同一定點(diǎn).第一步：先找出所有含k的項(xiàng)，再提公因式k第二步：令與k相乘的因式為0，此時(shí)k就不起作用了令，此時(shí)在一個(gè)函數(shù)中，知x可求y，這個(gè)坐標(biāo)就是定點(diǎn)，故無(wú)論k取何值，函數(shù)都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)總結(jié)：因?yàn)楫?dāng)x取某個(gè)值時(shí)，使含k項(xiàng)全部抵消了，即k不起作用了!【例2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=-x2+2mx+3m，點(diǎn)A（3，0）．證明：無(wú)論m為何值，拋物線必過(guò)定點(diǎn)D，并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；【思路點(diǎn)撥】將拋物線的解析式變形為：y=－x2+m（2x+3），進(jìn)而根據(jù)2x+3=0，求得x的值．【詳解】證明：∵y=-x2+m（2x+3），∴當(dāng)2x+3=0時(shí)，即時(shí)，，∴無(wú)論m為何值，拋物線必過(guò)定點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)是【例3】已知二次函數(shù)，其中．求證：二次函數(shù)的頂點(diǎn)在第三象限【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)為，然后分別證明頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫縱坐標(biāo)都小于0即可；【詳解】解：由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為．∵，∴，∴，∴．∵，∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)在第三象限．三、二次函數(shù)的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線我們已經(jīng)知道二次函數(shù)的圖像是拋物線，一種特別的曲線，其本身還具有這樣的性質(zhì)：拋物線上的任意一點(diǎn)到平面中某個(gè)定點(diǎn)和某條定直線的距離始終相等．這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為拋物線的焦點(diǎn)，這條直線稱(chēng)為拋物線的準(zhǔn)線，本文將討論一些與拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線相關(guān)的問(wèn)題．焦點(diǎn)和準(zhǔn)線屬于高中內(nèi)容，高中內(nèi)容下放也是中考中所常見(jiàn)的．我們知道，二次函數(shù)的圖像是拋物線，它也可以這樣定義：若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)M形成的圖形就叫拋物線 結(jié)論1：對(duì)于拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線為直線焦點(diǎn)一般用字母F表示．而且實(shí)際題目中二次項(xiàng)系數(shù)很多時(shí)候是只是為了焦點(diǎn)坐標(biāo)便于計(jì)算．至于形如的拋物線可化為頂點(diǎn)式然后通過(guò)由平移來(lái)確定焦點(diǎn)和準(zhǔn)線．結(jié)論2：如下圖，F(xiàn)M⊥FN．證明：設(shè)，，則，∴，∴FM⊥FN．結(jié)論3：取PQ中點(diǎn)E，作EH⊥x軸交x軸于H點(diǎn)，則PH⊥QH．證明：倍長(zhǎng)中線證兩次全等．結(jié)論4：記MN與y軸交于點(diǎn)，．模塊一定值問(wèn)題【題型1】面積定值【例題1】（2024·四川成都·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸為．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，連接，點(diǎn)D在直線上方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)D作的垂線交于點(diǎn)E，作y軸的平行線交于點(diǎn)F．若，求線段的長(zhǎng)；(3)直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q左側(cè)），直線與直線的交點(diǎn)為S，的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)1】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)D（1，4）在直線l：y＝x+t上，動(dòng)點(diǎn)P（m，n）在x軸上方的拋物線上．

(1)求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)直線AP，BP與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，請(qǐng)?zhí)剿饕訟，F(xiàn)，B，G（G是點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)）為頂點(diǎn)的四邊形面積是否隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化，若不變，求出這個(gè)四邊形的面積；若變化，說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)2】已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)將點(diǎn)向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)，若點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則以線段為直徑的圓與直線交于點(diǎn)，，的面積是否為定值？若是，求出它的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)3】（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在直線上方的拋物線上存在點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)已知，為拋物線上不與，重合的相異兩點(diǎn)．①若點(diǎn)與點(diǎn)重合，，且，求證：，，三點(diǎn)共線；②若直線，交于點(diǎn)，則無(wú)論，在拋物線上如何運(yùn)動(dòng)，只要，，三點(diǎn)共線，，，中必存在面積為定值的三角形．請(qǐng)直接寫(xiě)出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說(shuō)明理由．【題型2】線段長(zhǎng)為定值【例題1】在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣2，0)，B(4，0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖乙，過(guò)A，B，P三點(diǎn)作⊙M，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為D，交⊙M于點(diǎn)E．點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段DE的長(zhǎng)是否變化，若有變化，求出DE的取值范圍；若不變，求DE的長(zhǎng)．【鞏固練習(xí)1】如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

(1)求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)如圖，將原拋物線沿射線方向進(jìn)行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線交于C，D兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：在拋物線平移的過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)2】已知，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，設(shè)直線（k≠0）與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，直線與直線交于點(diǎn)，求證：的長(zhǎng)為定值．【鞏固練習(xí)3】（2024·山東濟(jì)寧·二模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸分別相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，下表給出了這條拋物線上部分點(diǎn)的坐標(biāo)值：…012303430(1)求出這條拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最小值；(3)如圖2，點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，的外接圓與相交于點(diǎn)．試問(wèn)：線段的長(zhǎng)是否為定值?如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型3】線段和定值【例題1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，拋物線對(duì)稱(chēng)軸交直線于點(diǎn)D，P為x軸下方拋物線上一點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線下方的拋物線上時(shí)，連接，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)直線分別交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M，N，當(dāng)點(diǎn)M，N均在點(diǎn)D的下方時(shí)，是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【例題2】如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，點(diǎn)是軸上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作軸于，交直線于．(1)求二次函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)拋物線對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)，連接交對(duì)稱(chēng)軸于，連接并延長(zhǎng)交對(duì)稱(chēng)軸于，證明的值為定值，并求出這個(gè)定值．【鞏固練習(xí)1】已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，連接，點(diǎn)P在線段下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)．

如圖，直線，分別與y軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)2】如圖1，拋物線，交軸于A、B兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，為拋物線頂點(diǎn)，直線垂直于軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（除、外），過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，如圖2，直線，分別與拋物線對(duì)稱(chēng)軸交于、兩點(diǎn)．試問(wèn)，是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)3】如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，直線l為該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，交x軸于點(diǎn)E．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)Q為x軸上方二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作直線分別交直線l于點(diǎn)M，N，在點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型4】加權(quán)線段和定值【例題1】如圖1，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，B．與y軸交于點(diǎn)C．連接AC，BC．已知△ABC的面積為2．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N（2，0）．點(diǎn)D是拋物線上A，M之間的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D不與A，M重合，連接DB交MN于點(diǎn)E．連接AD并延長(zhǎng)交MN于點(diǎn)F．在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，3NE+NF是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)1】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型5】線段乘積為定值【例題1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（其中），交軸于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），交軸負(fù)半軸于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，平面上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作任意一條直線交拋物線于兩點(diǎn)，連接，分別交軸于兩點(diǎn)，則與的積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【例題2】如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，拋物線頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點(diǎn)，直線，分別交x軸于點(diǎn)M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)1】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知，對(duì)稱(chēng)軸為直線(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，拋物線頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)的直線（不與直線重合）與拋物線交于G，H兩點(diǎn)，直線分別交x軸于點(diǎn)M，N，畫(huà)出圖形，試探究是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)2】（2024·四川瀘州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，，交y軸于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸是直線．點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E是對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)連接，P是第一象限拋物線上的點(diǎn)，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上，過(guò)點(diǎn)K的直線（直線除外）與拋物線分別交于點(diǎn)G，H，直線，分別交x軸于點(diǎn)M，N．試探究的值是否是定值，如果是，求出該定值，如果不是，說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)3】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若為線段的中點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，直線交拋物線于兩點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)．試探究：是否為定值？若為定值，求出的值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型6】比值為定值【例題1】如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線．點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．(2)若點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)C不重合），點(diǎn)D是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，直線、分別交拋物線于E、F，連接，當(dāng)平分時(shí)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．【例題2】（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，是此二次函數(shù)的圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P在直線的上方，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，連接．若，求證的值為定值；【鞏固練習(xí)1】拋物線y＝ax2＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P在拋物線上，且位于x軸下方．（1）如圖1，若P（1，－3）、B（4，0），求該拋物線的解析式；（2）如圖2，已知直線PA、PB與y軸分別交于E、F兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)2】（2024·湖北武漢·三模）已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，其中，．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，在第三象限內(nèi)拋物線上找點(diǎn)，使，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖，過(guò)拋物線對(duì)稱(chēng)軸上點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)是，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)．若是一個(gè)定值，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【鞏固練習(xí)3】（2024·福建廈門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）如圖1和圖2，拋物線與軸分別交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，是拋物線上一點(diǎn)，連接，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，直線，分別交軸于點(diǎn)，．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．【題型7】橫（縱）坐標(biāo)定值【例題1】如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線．點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．(2)若點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)C不重合），點(diǎn)D是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，直線、分別交拋物線于E、F，連接，當(dāng)平分時(shí)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．【例題2】（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖①，已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，將拋物線向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線，點(diǎn)P是拋物線在第四象限內(nèi)一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交拋物線于點(diǎn)Q．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，求的值；(3)如圖②，若拋物線與拋物線交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作直線，分別交拋物線和于點(diǎn)M、N（M、N均不與點(diǎn)C重合），設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為n，試判斷是否為定值．若是，直接寫(xiě)出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)1】（2024·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，B，與y軸交于點(diǎn)，P點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)如圖1，P點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到直線的距離為最大時(shí)，求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)K是拋物線對(duì)稱(chēng)軸直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N在直線左側(cè)的拋物線上，點(diǎn)N在M的左側(cè)，若為等腰直角三角形，，設(shè)點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)分別為m，n，探究的值是否為定值，若是，求的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；【鞏固練習(xí)2】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，連接．

(1)拋物線的解析式為_(kāi)_________________；（直接寫(xiě)出結(jié)果）(2)如圖2，若動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)（直線與不重合），連接，直線與交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型8】角度為定值【例題1】如圖1，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．若tan∠ABC＝3，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）直線l繞點(diǎn)A以AB為起始位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AC位置停止，l與線段BC交于點(diǎn)D，P是AD的中點(diǎn)．如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DE垂直x軸于點(diǎn)E，作DF⊥AC所在直線于點(diǎn)F，連結(jié)PE、PF，在l運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠EPF的大小是否改變？請(qǐng)說(shuō)明理由；【鞏固練習(xí)1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為．直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)線段被拋物線的對(duì)稱(chēng)軸分成長(zhǎng)度比為的兩部分時(shí)，求的值；(3)連接，，試探究的大小是否為定值．若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型9】線段倒數(shù)平方和為定值【例題1】（2024·黑龍江大慶·二模）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，若直線下方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作y軸平行線交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作的垂線，垂足為E，求周長(zhǎng)的最大值；(3)將拋物線向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到一個(gè)新的拋物線，問(wèn)在y軸正半軸上是否存在一點(diǎn)M，使得當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的任意一條直線與新拋物線交于S，T兩點(diǎn)時(shí)，總有為定值？若存在，直接寫(xiě)出出點(diǎn)M坐標(biāo)及定值，若不存在，說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)1】（2024·山東淄博·一模）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖，若直線下方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸平行線交于，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，求周長(zhǎng)的最大值；(3)若點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)在軸上，是否存在以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)將拋物線向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到一個(gè)新的拋物線，問(wèn)在軸正半軸上是否存在一點(diǎn)，使得當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的任意一條直線與新拋物線交于，兩點(diǎn)時(shí)，總有為定值？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)及定值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型10】其它定值問(wèn)題【例題1】拋物線與軸相交于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為拋物線在第一象限上的點(diǎn)，頂點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若點(diǎn)時(shí)，求的值；(2)直線：交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，求證：為定值．【鞏固練習(xí)1】如圖，已知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，且與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其中，連結(jié)．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及此拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差是一個(gè)定值，直接寫(xiě)出n的取值范圍．【鞏固練習(xí)2】（2024·湖北襄陽(yáng)·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，線段與交于點(diǎn)Q，設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值與最小值的差是一個(gè)定值，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的取值范圍．【鞏固練習(xí)3】已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)點(diǎn)在左側(cè)．

(1)，、分別交拋物線于、兩點(diǎn)，的解析式為點(diǎn)在第一象限，的解析式為，直接寫(xiě)出的值點(diǎn)在第三象限；(2)在（1）的條件下，若，求證：一定與定直線平行模塊二定點(diǎn)問(wèn)題【題型11】直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題【例題1】已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．(1)直接寫(xiě)出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，M、N是拋物線上異于B、C的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線與直線的交點(diǎn)始終在直線上．求證：直線必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo)．【例題2】（2024·福建三明·二模）已知拋物線（為常數(shù)，且）(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸：直線______．(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，拋物線始終在x軸下方，求a的取值范圍；(3)若，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為．若直線l與拋物線相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸相交于點(diǎn)E，且點(diǎn)E在點(diǎn)M的上方，過(guò)點(diǎn)A作直線的垂線，垂足為D．若點(diǎn)D、M、B三點(diǎn)共線，那么直線是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【例題3】拋物線，（）交x軸于A，B兩點(diǎn)（A在B的左邊），C是拋物線的頂點(diǎn)．

(1)當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，將拋物線平移使其頂點(diǎn)為（0，1），點(diǎn)P為直線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)1】已知過(guò)點(diǎn)的直線：與拋物線：的圖象交于點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，拋物線與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)將拋物線平移使得其頂點(diǎn)和原點(diǎn)重合，得到新拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)．求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【鞏固練習(xí)2】已知拋物線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)過(guò)的直線和直線均與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)．①求的值；②平移直線，，使平移后的兩條直線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且分別與拋物線相交于G、H和P、Q兩點(diǎn)，若M、N分別為，的中點(diǎn)，證明直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)【鞏固練習(xí)3】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)，為拋物線上不與重合的相異兩點(diǎn)，設(shè)直線的交點(diǎn)為．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，且，求四邊形的面積；(3)若直線的交點(diǎn)在直線上，則直線必過(guò)定點(diǎn)，直接寫(xiě)出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【鞏固練習(xí)4】拋物線：與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)如圖，將拋物線平移得到拋物線，使其頂點(diǎn)為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的上方），過(guò)點(diǎn)E作直線的平行線交拋物線于另一點(diǎn)M，連接，求證：直線必過(guò)一定點(diǎn)．【題型12】已知定值求定點(diǎn)【例題1】經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、的拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，其中且．(1)求拋物線的解析式；(2)連接，作，交拋物線于點(diǎn)B，求證直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【例題2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)直接寫(xiě)出拋物線的解析式；(2)如圖1，過(guò)點(diǎn)A作交拋物線于點(diǎn)E，連接，點(diǎn)P是x軸上點(diǎn)B左側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，若與相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，拋物線頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)T是上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)T的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點(diǎn)，直線分別交x軸于點(diǎn)M，N．當(dāng)是定值16時(shí)，判斷點(diǎn)T是否是定點(diǎn)？若是，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)1】如圖1，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)直接寫(xiě)出A，B，C點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖2所示，過(guò)作兩條直線分別交拋物線于第一象限點(diǎn)，，交軸于，，．當(dāng)為定值時(shí)，直線是否必定經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，請(qǐng)你求出該定點(diǎn)坐標(biāo)（用含的式子表示）；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)2】（2024·江蘇泰州·三模）如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P是第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線解析式．(2)如圖2，若點(diǎn)P是拋物線頂點(diǎn)，連接、、，求面積．(3)如圖3，點(diǎn)Q是第四象限拋物線上的另一動(dòng)點(diǎn)，交y軸于H點(diǎn)，交y軸于G點(diǎn)．在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中始終滿足，試探究直線是否經(jīng)過(guò)某一個(gè)定點(diǎn)，若是，則求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)3】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C、頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的解析式；(2)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，將頂點(diǎn)D繞點(diǎn)Р順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°剛好落在拋物線上的點(diǎn)E處，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2、點(diǎn)G，H為x軸上方的拋物線上兩點(diǎn)（點(diǎn)G在點(diǎn)H的左邊），直線、與y軸分別交于S，T兩點(diǎn)，若，試探究直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若是，求定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是、請(qǐng)說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)4】（2024·湖北黃石·三模）已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求拋物線的解析式；(2)如圖1，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，判斷的形狀，并求出的值；(3)如圖2，在（1）條件下，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，記點(diǎn)Q為．含b的式子表示a；②若拋物線上有兩點(diǎn)、，按（3）的變換方式得到點(diǎn)、且，連恰好過(guò)定點(diǎn)F，直接寫(xiě)出的值．模塊三拋物線的焦點(diǎn)準(zhǔn)線及新定義問(wèn)題【題型13】焦點(diǎn)與準(zhǔn)線基本性質(zhì)證明【例題1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，1)，如圖，直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線l為y＝－1．(1)求拋物線的解析式；(2)知為平面內(nèi)一定點(diǎn)，M(m，n)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，求定點(diǎn)F的坐標(biāo)．【鞏固練習(xí)1】如圖，已知直線AB與拋物線相交于點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B(2，3)兩點(diǎn)(1)求拋物線C函數(shù)表達(dá)式；(2)在拋物線C的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在定點(diǎn)F，使拋物線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于到直線的距離?若存在，求出定點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型14】利用焦點(diǎn)與準(zhǔn)線性質(zhì)求最值【例題1】圖，拋物線的頂點(diǎn)為A(h，－1)，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)F(2，1)為其對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)定點(diǎn)．（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；（2）已知坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)D(4，3)，請(qǐng)?jiān)趻佄锞€上找一點(diǎn)Q，使△DFQ的周長(zhǎng)最小，并求此時(shí)DFQ周長(zhǎng)的最小值及點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【例題2】已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)、(4，1)，直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線h為．(1)求拋物線的解析式；(2)在h上是否存在一點(diǎn)P，使取得最小值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)為平面內(nèi)一定點(diǎn)，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M到直線h的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，求定點(diǎn)F的坐標(biāo)．【鞏固練習(xí)1】我們知道，二次函數(shù)的圖像是拋物線，它也可以這樣定義：若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)M形成的圖形就叫拋物線 (1)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x，y)到定點(diǎn)A(0，4)的距離與到定直線y＝－4的距離相等，請(qǐng)寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)M形成的拋物線的解析式．(2)若點(diǎn)D的坐標(biāo)是(1，8)，在(1)中求得的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PA＋PD最短?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)2】已知拋物線具有如下性質(zhì)：拋物線上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到軸的距離相等．如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最小值．

【鞏固練習(xí)3】如圖，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(1)若拋物線是由拋物線通過(guò)圖像平移得到的，請(qǐng)寫(xiě)出平移的過(guò)程；(2)若直線l經(jīng)過(guò)y軸上一點(diǎn)N，且平行于x軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0，－1)，過(guò)點(diǎn)P作于M．①問(wèn)題探究：如圖一，在對(duì)稱(chēng)軸．上是否存在一定點(diǎn)F，使得PM＝PF恒成立?若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②問(wèn)題解決：如圖二，若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，5)，求QP+PF的最小值．【題型15】焦點(diǎn)準(zhǔn)線的其它性質(zhì)（倒數(shù)和為定值，焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切）【例題1】如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)直線交拋物線于點(diǎn)、，求證：無(wú)論為何值，平行于軸的直線上總存在一點(diǎn)，使得為直角．【鞏固練習(xí)1】如圖，已知二次函數(shù)a為實(shí)數(shù))的圖像過(guò)點(diǎn)A(－2，2)，一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0，k、b為實(shí)數(shù))的圖像1經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0，2)．(1)求a值并寫(xiě)出二次函數(shù)表達(dá)式；(2)求b值；(3)設(shè)直線1與二次函數(shù)圖像交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M作MC垂直x軸于點(diǎn)C，試證明：MB＝MC；(4)在(3)的條件下，請(qǐng)判斷以線段MN為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)2】如圖，拋物線y＝ax2+c（a≠0）經(jīng)過(guò)C（2，0），D（0，﹣1）兩點(diǎn)，并與直線y＝kx交于A、B兩點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)E（0，﹣2）且平行于x軸，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N．（1）求此拋物線的解析式；（2）求證：AO＝AM；（3）探究：①當(dāng)k＝0時(shí)，直線y＝kx與x軸重合，求出此時(shí)的值；②試說(shuō)明無(wú)論k取何值，的值都等于同一個(gè)常數(shù)．【題型16】焦點(diǎn)準(zhǔn)線的新定義問(wèn)題【例題1】（2024·河北邯鄲·三模）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫(huà)板》軟件探究（）型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類(lèi)型圖象上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離，始終等于它到定直線l：的距離（該結(jié)論不需要證明）．他們稱(chēng)：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為H．其中原點(diǎn)O為的中點(diǎn)，．例如，拋物線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為l：，其中，．【基礎(chǔ)訓(xùn)練】（1）①請(qǐng)分別直接寫(xiě)出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：，；②拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P到它的焦點(diǎn)之間距離最小值為．【技能訓(xùn)練】（2）如圖2，已知拋物上一點(diǎn)（）到焦點(diǎn)F的距離是它到x軸距離的3倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【能力提升】（3）如圖3，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為l．直線m：，過(guò)拋物線上P點(diǎn)作x軸垂線，交直線m于點(diǎn)Q，，，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)橫坐標(biāo)x的取值范圍．【拓展延伸】該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線（）平移至（）．坐標(biāo)系內(nèi)有一定點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)．且與x軸平行．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離始終等于點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離（該結(jié)論不需要證明）．例如：拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到直線l：的距離．請(qǐng)閱讀上面的材料，探究下題：（4）如圖4，點(diǎn)是第二象限內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出最小值及此時(shí)的面積．