第01講實數(shù)及其運算（講義）【3大考點16大題型】考點一考點一實數(shù)的有關(guān)概念1.實數(shù)的分類分法一：負有理數(shù)負有理數(shù)0無理數(shù)實數(shù)有理數(shù)正有理數(shù)負無理數(shù)正無理數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)分法二：2.實數(shù)的相關(guān)概念（1）數(shù)軸:規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。（2）相反數(shù)代數(shù)定義：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。幾何定義：在數(shù)軸上原點的兩旁，離開原點距離相等的兩個點所表示的數(shù)，叫做互為相反數(shù)。一般地，a和-a互為相反數(shù)。0的相反數(shù)是0。a=-a所表示的意義是：一個數(shù)和它的相反數(shù)相等。很顯然，a=0。（3）絕對值定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|。一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。即：如果a>0，那么|a|=a；如果a=0，那么|a|=0；如果a<0，那么|a|=-a。a=|a|所表示的意義是：一個數(shù)和它的絕對值相等。很顯然，a≥0。（4）倒數(shù)定義：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。即：如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。a=1a所表示的意義是：一個數(shù)和它的倒數(shù)相等。很顯然，a（5）科學(xué)記數(shù)法定義：把一個大于10的數(shù)表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整數(shù))，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法。小于-10的數(shù)也可以類似表示。用科學(xué)記數(shù)法表示一個絕對值大于10的數(shù)時，n是原數(shù)的整數(shù)數(shù)位減1得到的正整數(shù)。用科學(xué)記數(shù)法表示一個絕對值小于1的數(shù)（a×10-n）時，n是從小數(shù)點后開始到第一個不是0的數(shù)為止的數(shù)的個數(shù)。（6）近似數(shù)一般地，一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個數(shù)近似到哪一位，也叫做精確到哪一位。精確到十分位——精確到0.1；精確到百分位——精確到0.01；···。3.平方根、算術(shù)數(shù)平方根和立方根平方根如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的平方根（或二次方根）。正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根。算術(shù)平方根正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“a”。正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零。立方根如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的立方根（或a的三次方根）。一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零。4.實數(shù)的大小比較（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（2）求差比較：設(shè)a、b是實數(shù)，a?b＞0（3）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實數(shù)，ab＞1a＞b；ab=1a=b；ab（4）絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負實數(shù)，則|a|＞|b|a＞b（5）平方法：設(shè)a、b是兩負實數(shù)，則a2【題型1實數(shù)的相關(guān)概念辨析】【例1】（2024·黑龍江大慶·中考真題）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（

）A．?2024和?2024 B．2024和1C．?2024和2024 D．?2024和1【變式1-1】（2024·四川雅安·中考真題）將?2，87，π，0，2，3.14這6個數(shù)分別寫在6張同樣的卡片上，從中隨機抽取1張，卡片上的數(shù)為有理數(shù)的概率是【變式1-2】（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）一批食品，標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為每袋454g．現(xiàn)隨機抽取4個樣品進行檢測，把超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)用正數(shù)表示，不足的克數(shù)用負數(shù)表示．那么，最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（

A．+7 B．?5 C．?3 D．10【變式1-3】（2024·山東淄博·中考真題）下列運算結(jié)果是正數(shù)的是（

）A．3?1 B．?32 C．?【題型2實數(shù)與數(shù)軸】【例2】（2024·山東德州·中考真題）實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所，下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)>b C．a(chǎn)+2>b+2 D．a(chǎn)?1【變式2-1】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）實數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則(a?b)2?b?a?2A．2 B．2a?2 C．2?2b D．-2【變式2-2】（2024·河北·中考真題）如圖，有甲、乙兩條數(shù)軸．甲數(shù)軸上的三點A，B，C所對應(yīng)的數(shù)依次為?4，2，32，乙數(shù)軸上的三點D，E，F(xiàn)所對應(yīng)的數(shù)依次為0，x，12．(1)計算A，B，C三點所對應(yīng)的數(shù)的和，并求ABAC(2)當(dāng)點A與點D上下對齊時，點B，C恰好分別與點E，F(xiàn)上下對齊，求x的值．【變式2-3】（2024·山東威海·中考真題）定義我們把數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值．?dāng)?shù)軸上表示數(shù)a，b的點A，B之間的距離AB=a?ba≥b．特別的，當(dāng)a≥0時，表示數(shù)a的點與原點的距離等于a?0．當(dāng)a<0時，表示數(shù)a的點與原點的距離等于0?a應(yīng)用如圖，在數(shù)軸上，動點A從表示?3的點出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿著數(shù)軸的正方向運動．同時，動點B從表示12的點出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負方向運動．(1)經(jīng)過多長時間，點A，B之間的距離等于3個單位長度？(2)求點A，B到原點距離之和的最小值．【題型3用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)】【例3】（2024·山東濟南·中考真題）截止2023年底，我國森林面積約為3465000000畝，森林覆蓋率達到24.02%，將數(shù)字3465000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．0.3465×109 B．3.465×109 C．【變式3-1】（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）據(jù)央視網(wǎng)2023年10月11日消息，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)中國科學(xué)院量子創(chuàng)新研究院與上海微系統(tǒng)所、國家并行計算機工程技術(shù)研究中心合作，成功構(gòu)建了255個光子的量子計算原型機“九章三號”，再度刷新了光量子信息的技術(shù)水平和量子計算優(yōu)越性的世界紀錄．“九章三號”處理高斯玻色取樣的速度比上一代“九章二號”提升一百萬倍，在百萬分之一秒時間內(nèi)所處理的最高復(fù)雜度的樣本，需要當(dāng)前最強的超級計算機花費超過二百億年的時間．將“百萬分之一”用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．1×10?5 B．1×10?6 C．【變式3-2】（2024·山東淄博·中考真題）我國大力發(fā)展新質(zhì)生產(chǎn)力，推動了新能源汽車產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展．據(jù)中國汽車工業(yè)協(xié)會發(fā)布的消息顯示．2024年1至3月，我國新能源汽車完成出口30.7萬輛．將30.7萬用科學(xué)記數(shù)法表示為3.07×10n．則n的值是（A．4 B．5 C．6 D．7【變式3-3】（2024·四川廣元·中考真題）2023年10月諾貝爾物理學(xué)獎授予三位“追光”科學(xué)家，以表彰他們“為研究物質(zhì)中的電子動力學(xué)而產(chǎn)生阿秒光脈沖的實驗方法”．什么是阿秒？1阿秒是10?18秒，也就是十億分之一秒的十億分之一．目前世界上最短的單個阿秒光學(xué)脈沖是43阿秒．將43阿秒用科學(xué)記數(shù)法表示為【題型4估算無理數(shù)】【例4】（2024·河北·中考真題）已知a，b，n均為正整數(shù)．（1）若n<10<n+1，則n=（2）若n?1<a<n,n<b<n+1，則滿足條件的a的個數(shù)總比【變式4-1】（2024·重慶·中考真題）已知m=27?3，則實數(shù)mA．2<m<3 B．3<m<4 C．4<m<5 D．5<m<6【變式4-2】（2024·重慶·中考真題）估計122A．8和9之間 B．9和10之間 C．10和11之間 D．11和12之間【變式4-3】（2024·江蘇鹽城·中考真題）對于整數(shù)n，定義n為不大于n的最大整數(shù)，例如：2=1，6=2，9=3，對26進行如下操作：26→第一次26=5→第二次5=2，即對26進行2次操作后變?yōu)?A．256 B．255 C．81 D．80【題型5實數(shù)的大小比較】【例5】（2024·山東·中考真題）下列實數(shù)中，平方最大的數(shù)是（

）A．3 B．12 C．?1 D．【變式5-1】（2024·山東威海·中考真題）下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（

）A．?2 B．??2 C．?12【變式5-2】（2024·安徽·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)家張衡將圓周率取值為10，祖沖之給出圓周率的一種分數(shù)形式的近似值為227．比較大?。?022【變式5-3】（2024·云南·中考真題）已知拋物線y=x2+bx?1的對稱軸是直線x=32．設(shè)m是拋物線y=(1)求b的值；(2)比較M與132【題型6平方根、立方根及非負性的性質(zhì)】【例6】（2024·廣東深圳·中考真題）如圖所示，四邊形ABCD，DEFG，GHIJ均為正方形，且S正方形ABCD=10，S正方形GHIJ【變式6-1】（2024·浙江寧波·中考真題）?8的立方根是．【變式6-2】（2024·四川成都·中考真題）若m，n為實數(shù)，且m+42+n?5=0，則【變式6-3】（2024·湖南婁底·一模）已知x,y為整數(shù)，y=x+1011?x?1012，則y考點二考點二實數(shù)的運算1.實數(shù)的運算法則加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。加法運算律：①交換律a+b=b+a；②結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)。減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)。即：a-b=a+(-b)。乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。任何數(shù)與0相乘，都得0。乘法運算律：①交換律ab=ba；②結(jié)合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。即：a÷b=a·1b兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。2.實數(shù)的運算順序先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。實數(shù)范圍內(nèi)混合運算的順序：①先乘方開方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；③如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。????3.常見的幾種實數(shù)運算（1）乘方定義：求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方。乘方的結(jié)果叫做冪。如：讀作a的n次方（冪），在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。性質(zhì)：負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0。（2）零指數(shù)冪：a0=1(a≠0).

（3）負整數(shù)指數(shù)冪：a-p=1ap【題型7實數(shù)的簡單運算】【例7】（2024·浙江杭州·中考真題）計算下列各式，值最小的是（

）A．2×0+1?9 B．2+0×1?9 C．2+0?1×9 【變式7-1】（2024·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）計算：3?8+【變式7-2】（2024·湖南湘西·中考真題）按照如圖的操作步驟，若輸入x的值為2，則輸出的值是．（用科學(xué)計算器計算或筆算）【變式7-3】．（2024·黑龍江綏化·中考真題）定義一種新的運算：如果a≠0．則有a▲b=a?2+ab+|?b|，那么(?A．?3 B．5 C．?34 【題型8數(shù)的簡便運算】【例8】（2024·四川內(nèi)江·中考真題）對于正數(shù)x，規(guī)定f(x)=2xx+1，例如：f(2)=2×22+1=43，f12A．199 B．200 C．201 D．202【變式8-1】（2024·河北唐山·三模）與3952+2×395×5+5A．395?52 B．C．395+52 D．【變式8-2】（2024·河北唐山·一模）數(shù)學(xué)課上老師出一道題，用簡便方法計算29622962=300=90000+2400+16=92416第四步老師表揚小亮積極發(fā)言的同時，也指出了解題中的錯誤.（1）你認為小亮的解題過程中，從第________步開始出錯.（2）請你寫出正確的解題過程.【變式8-3】（2024·河北·中考真題）請你參考黑板中老師的講解，用運算律簡便計算：（1）999×（-15）；（2）999×11845+999×（?1【題型9實數(shù)的混合運算】【例9】（2024·山東濟南·中考真題）計算：9?【變式9-1】（2024·四川廣安·中考真題）計算：π2【變式9-2】（2024·河北·中考真題）有個填寫運算符號的游戲：在“1□2□6□9”中的每個□內(nèi)，填入+，?，×，÷中的某一個（可重復(fù)使用），然后計算結(jié)果．（1）計算：1+2?6?9；（2）若請推算1÷2×6□9=?6，請推算□內(nèi)的符號；（3）在“1□2□6?9”的□內(nèi)填入符號后，使計算所得數(shù)最小，直接寫出這個最小數(shù)．【變式9-3】（2024·貴州·中考真題）（1）在①22，②?2，③?10，④（2）先化簡，再求值：x2?1?【題型10實數(shù)的實際應(yīng)用】【例10】（2024·湖南長沙·一模）五一返校上課后，為了表揚在假期依舊認真完成數(shù)學(xué)作業(yè)的小函和小韜同學(xué)，數(shù)學(xué)老師決定在某外賣平臺上點2杯單價都是16元的奶茶獎勵他們．從奶茶店到學(xué)校的每份訂單配送費都為1.6元，由于數(shù)學(xué)老師是該平臺的會員，因此每單都可以使用一個平臺贈送的5元平臺紅包對每份訂單的總價減免5元（訂單總價不含配送費，同一訂單只允許使用一個紅包）．但根據(jù)該奶茶店的優(yōu)惠活動，當(dāng)訂單總價（不含配送費）滿30元時，5元的平臺紅包可兌換為一個7元的店家紅包，即可以給訂單總價（不含配送費）減免7元當(dāng)數(shù)學(xué)老師同時點了2杯奶茶準(zhǔn)備下單付款時，小函同學(xué)說：“老師，我們可以換一種下單方式，優(yōu)惠更多！”請同學(xué)們分析小函同學(xué)的下單方式，并計算出本次外賣總費用（包含配送費）最低可為元．【變式10-1】（2024·四川達州·中考真題）生活中常用的十進制是用0~9這十個數(shù)字來表示數(shù)，滿十進一，例：12=1×10+2，212=2×10×10+1×10+2；計算機也常用十六進制來表示字符代碼，它是用0~F來表示0~15，滿十六進一，它與十進制對應(yīng)的數(shù)如下表：十進制012…891011121314151617…十六進制012…89ABCDEF1011…例：十六進制2B對應(yīng)十進制的數(shù)為2×16+11=43，10C對應(yīng)十進制的數(shù)為1×16×16+0×16+12=268，那么十六進制中14E對應(yīng)十進制的數(shù)為（

）A．28 B．62 C．238 D．334【變式10-2】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）“書法藝求課”開課后，某同學(xué)買了一包紙練習(xí)軟筆書法，且每逢星期幾寫幾張，即每星期一寫1張，每星期二寫2張，……，每星期日寫7張，若該同學(xué)從某年的5月1日開始練習(xí)，到5月30日練習(xí)完后累積寫完的宣紙總數(shù)過120張，則可算得5月1日到5月28日他共用宣紙張數(shù)為，并可推斷出5月30日應(yīng)該是星期幾．【變式10-3】（2024·四川攀枝花·中考真題）2022年卡塔爾世界杯共有32支球隊進行決賽階段的比賽．決賽階段分為分組積分賽和復(fù)賽．32支球隊通過抽簽被分成8個小組，每個小組4支球隊，進行分組積分賽，分組積分賽采取單循環(huán)比賽（同組內(nèi)每2支球隊之間都只進行一場比賽），各個小組的前兩名共16支球隊將獲得出線資格，進入復(fù)賽；進入復(fù)賽后均進行單場淘汰賽，16支球隊按照既定的規(guī)則確定賽程，不再抽簽，然后進行18決賽，1(1)本屆世界杯分在C組的4支球隊有阿根廷、沙特、墨西哥、波蘭，請用表格列一個C組分組積分賽對陣表（不要求寫對陣時間）．(2)請簡要說明本屆世界杯冠軍阿根廷隊在決賽階段一共踢了多少場比賽？(3)請簡要說明本屆世界杯32支球隊在決賽階段一共踢了多少場比賽？【題型11實數(shù)計算中的規(guī)律問題】【例11】（2024·重慶江北·一模）閱讀材料：求31解：設(shè)S=3則3S=3用②-①得3S?S=∴2S=37?3∴31以上方法我們稱為“錯位相減法”，請利用上述材料，解決下列問題：阿基米德與國王下棋，國王輸了，國王問阿基米德要什么獎賞，阿基米德對國王說：“我只要在棋盤上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八?！催@個方法放滿整個棋盤就行．”國王以為要不了多少糧食，就隨口答應(yīng)了，結(jié)果國王輸了．(1)國際象棋共有64個格子，則在第64格中應(yīng)放______粒米；（用冪表示）(2)設(shè)國王輸給阿基米德的米粒數(shù)為S．求S．(3)拓展應(yīng)用：計算：14【變式11-1】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）讀一讀：式子“1+2+3+4+…+100”表示從1開始的100個連續(xù)自然數(shù)的和，由于式子比較長，書寫不方便，為了簡便起見，我們將其表示為n=1100n，這里“∑”是求和符號．通過對以上材料的閱讀，計算n=12020【變式11-2】（2024·四川內(nèi)江·中考真題）觀察下列等式：第一個等式：a1第二個等式：a2第三個等式：a3第四個等式：a4按上述規(guī)律，回答下列問題：（1）請寫出第六個等式：a6==；（2）用含n的代數(shù)式表示第n個等式：an==；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6=（得出最簡結(jié)果）；（4）計算：a1+a2+…+an．【變式11-3】（2024·山東東營·一模）在求12假設(shè)A=1又有A=1①+②得：2A=1+(1+1)+(1+1+1)+(1+1+1+1)=1+2+3+4=10，∴A=5．計算12?(1考點三考點三二次根式1.二次根式式子a(a≥0)叫做二次根式，二次根式必須滿足：含有二次根號“”；被開方數(shù)a必須是非負數(shù)。2.最簡二次根式若二次根式滿足：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式。化二次根式為最簡二次根式的方法和步驟：（1）如果被開方數(shù)是分數(shù)（包括小數(shù)）或分式，先利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化進行化簡。（2）如果被開方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后把能開得盡方的因數(shù)或因式開出來。3.同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式。4.二次根式的性質(zhì)（1）(a)2=a(a≥0)（2）a2=|a|=（3）ab=a·（4）ab=a5.二次根式混合運算二次根式的混合運算與實數(shù)中的運算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的（或先去括號）?！绢}型12二次根式有意義的條件】【例12】（2024·重慶·中考真題）下列二次根式中，無論x取什么值都有意義的是（）A．x2?5 B．?x?5 C．x 【變式12-1】（2024·廣東汕頭·一模）已知x為正整數(shù)，寫出一個使x?4在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義的x值是．【變式12-2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）在函數(shù)y=13+x+1x+2【變式12-3】（2024·河北邢臺·三模）若x>5時，二次根式x+k（k為常數(shù)）有意義，則k的取值范圍是（

）A．k≤?5 B．k<?5 C．k>?5 D．k≥?5【題型13二次根式的值】【例13】（2024·廣東陽江·二模）若2×6x是整數(shù)，則整數(shù)xA．1或3 B．3或6 C．3或12 D．6或12【變式13-1】（2024·上?！ぶ锌颊骖}）已知2x?1=1，則x=【變式13-2】（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知y=(x?4)2?x+5，當(dāng)x分別取1，2，3，……，2024時，所對應(yīng)y【變式13-3】（2024·河北邯鄲·二模）已知6n+4是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【題型14二次根式的混合運算】【例14】（2024·湖南·模擬預(yù)測）斐波那契數(shù)列中的第n個數(shù)可以用151+5【變式14-1】（2024·山東濟寧·中考真題）下列運算正確的是（

）A．2+3=C．2÷2=1 【變式14-2】（2024·湖北恩施·中考真題）從2，?3，?2這三個實數(shù)中任選兩數(shù)相乘，所有積中小于2的有（A．0 B．1 C．2 D．3【變式14-3】（2024·河北石家莊·二模）已知兩個實數(shù)：3和2．(1)計算：23(2)若m為正整數(shù)，3與2這兩個數(shù)的平方和小于m，求m的最小值．【題型15復(fù)合二次根式的化簡】【例15】（2024·湖北·中考真題）“分母有理化”是我們常用的一種化簡的方法，如：2+32?3=(2+3)(2+3)(2?3)(2+3)=7+43，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數(shù)，如：對于A．5+36 B．5+6 C．5?6【變式15-1】（2024·安徽合肥·一模）已知x=6?25為一元二次方程x2+ax+b=0的一個根，且a，b為有理數(shù)，則a=【變式15-2】（2024·安徽蕪湖·二模）當(dāng)x=4時，x?23x2A．1 B．3 C．2 D．3【變式15-3】（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個重要原則”．材料一：平方運算和開方運算是互逆運算．如a2±2ab+b2=a±b2，那么a2±2ab+材料二：在直角坐標(biāo)系xOy中，對于點Px,y和Qx,y′給出如下定義：若y′=y(x≥0)?y(x<0)，則稱點Q為點P的“橫負縱變點”．例如：點請選擇合適的材料解決下面的問題：(1)點2,?3的“橫負縱變點”為______________________，點(2)化簡：7+210(3)已知a為常數(shù)1≤a≤2，點M?2,m且m=12a+2a?1【題型16二次根式的實際應(yīng)用】【例16】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）中國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三邊長，求它的面積，用現(xiàn)代式子表示為S=1古希臘數(shù)學(xué)家海倫利用三角形三條邊的邊長直接求出了三角形的面積．如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記p=a+b+c2，那么這個三角形的面積請完成下列問題：(1)一個三角形的三邊長依次為5，5，6，則該三角形的面積為；(2)請由秦九韶公式推導(dǎo)出海倫公式；(3)若三角形的周長為24cm，一邊長為6【變式16-1】（2024·河北邯鄲·三模）如圖，將一根鐵絲首尾相接可以圍成一個長為8π，寬為2πA．12π B．18π C．24π【變式16-2】（2024·山西·一模）如圖1，兩張面積分別為25cm2和20cm(1)圖1中陰影部分圖形的長為__________cm，寬為_________cm．(2)求圖1中陰影部分圖形的周長和面積．(3)小康將圖1中的面積分別為25cm2和20cm2的正方形紙片重新按照如圖2所示的方式擺放，其中長方形【變式16-3】（2024·江蘇鹽城·中考真題）發(fā)現(xiàn)問題小明買菠蘿時發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．提出問題銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數(shù)學(xué)道理呢？分析問題某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以看成點，每個點表示不同的籽．該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯規(guī)律排列，每行有n個籽，每列有k個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數(shù)，n>k≥3，d>0），如圖1所示．小明設(shè)計了如下三種鏟籽方案．方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總長為________；方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為________；方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長．解決問題在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價．特色專項練特色專項練【新考向：新考法】1.（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）我市2023年12月30日的天氣預(yù)報顯示如下圖，請問該日溫差為（

）A．4℃ B．?4℃ C．10℃ D．2.（2024·廣東惠州·一模）2024年3月30日，中國散裂中子源二期工程在廣東東莞啟動建設(shè)，二期工程將在原裝備基礎(chǔ)上增設(shè)科研設(shè)備，建成后裝備研究能力將大幅提升．當(dāng)前，全球建成的散裂中子源裝備僅有4個，中國散裂中子源被譽為探索物質(zhì)材料微觀結(jié)構(gòu)的“超級顯微鏡”，能夠為探索科學(xué)前沿，解決國家重大需求和產(chǎn)業(yè)發(fā)展中的關(guān)鍵科學(xué)問題提供科技利器．已知中子的半徑約為0.0000000000000016m，將0.0000000000000016m用科學(xué)記數(shù)法表示為（A．16×10?14 B．1.6×10?14 C．【新考向：新趨勢】3.（2024·湖南長沙·二模）籌算是中國古代計算方法之一，宋代數(shù)學(xué)家用白色籌碼代表正數(shù)，用黑色籌碼代表負數(shù)，圖中算式一表示的是(+2)+(?4)=?2，按照這種算法，算式二被蓋住的部分是（

）A．

B．

C．

D．

4.（2024·四川南充·中考真題）如圖，已知線段AB，按以下步驟作圖：①過點B作BC⊥AB，使BC=12AB，連接AC；②以點C為圓心，以BC長為半徑畫弧，交AC于點D；③以點A為圓心，以AD長為半徑畫弧，交AB于點E．若AE=mAB，則m

A．5?12 B．5?22 C．5．（2024·四川瀘州·中考真題）關(guān)于x，y的二元一次方程組2x+3y=3+ax+2y=6的解滿足x+y>22，寫出a的一個整數(shù)值6.（2024·湖北隨州·模擬預(yù)測）古巴比倫的記數(shù)法是六十進制的，用表示1，用表示10，這兩種符號能表示1～59的數(shù)字，例如，32可以用表示．從60起，開始使用符號組，從右往左依次是個位、六十位、三千六百位…（每一位的數(shù)值都是上一位的60倍），例如，的個位表示23個1，六十位表示2個60，所以這個符號表示143.則下列表示3812的符號是（

）A．

B．

C．

D．

7.（2024·廣東珠?！ぶ锌颊骖}）將1,2,3,6按右側(cè)方式排列．若規(guī)定（m，n）表示第m【新考向：新情境】8.（2024·江西·中考真題）公元前2000年左右，古巴比倫人使用的楔形文字中有兩個符號（如圖所示），一個釘頭形代表1，一個尖頭形代表10，在古巴比倫的記數(shù)系統(tǒng)中，人們使用的標(biāo)記方法和我們當(dāng)今使用的方法相同，最右邊的數(shù)字代表個位，然后是十位，百位，根據(jù)符號記數(shù)的方法，右下面符號表示一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)是．9．（2024·甘肅隴南·模擬預(yù)測）根據(jù)文獻記載，魏晉學(xué)者劉徽是引入負數(shù)概念的第一人，他在注解《九章算術(shù)》時寫道：“正算赤，負算黑；否則以斜正為異．今兩算得失相反，要令正負以名之．”簡而言之，劉徽不僅給了正負數(shù)定義，而且還指出用赤黑區(qū)分正負數(shù)，即“正算赤，負算黑”．如果向東走30米記作“+30米”，那么向西走70米記作．10．（2024·河南周口·二模）問題：先化簡，再求值：2a+a小宇和小穎在解答該問題時產(chǎn)生了不同意見，具體如下．小宇的解答過程如下：解：2=2a+=2a+=3a?5當(dāng)a=3原式=3×3?5=4

（第四步）小穎為驗證小宇的做法是否正確，她將a=32=6+=6+2=8．由此，小穎認為小宇的解答有錯誤，你認為小宇的解答錯在哪一步？并給出完整正確的解答過程．【新考向：跨學(xué)科】11．（2024·寧夏銀川·一模）液體沸騰時的溫度叫做沸點，下表是幾種物質(zhì)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下的沸點，則沸點最低的物質(zhì)是（

）物質(zhì)酒精液態(tài)甲醛液態(tài)一氧化碳花生油沸點/78?19.5?191.5335A．液態(tài)一氧化碳 B．液態(tài)甲醛 C．酒精 D．花生油12．（2024·廣東清遠·三模）在物理學(xué)中，表示電流大小的單位有千安kA、安培A、毫安mA、微安μA等，其中1kA=103A，1A=103A．10?3kA B．103mA C．13．（2024·云南曲靖·二模）科學(xué)實驗表明，原子中的原子核與核外電子所帶電荷是兩種相反的電荷．物理學(xué)中規(guī)定，原子核所帶電荷為正電荷，核外電子所帶電荷為負電荷．碳原子中的原子核帶6個單位的電荷可以表示為+6，其核外電子帶6個單位的電荷可以表示為（

）A．3 B．?3 C．+6 D．?614．（2024·廣東·三模）化學(xué)中直鏈烷烴的名稱用“碳原子數(shù)＋烷”來表示，當(dāng)碳原子數(shù)為1~10時，依次用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷的化學(xué)式為CH4，乙烷的化學(xué)式為C2H6，丙烷的化學(xué)式為1．（2024·甘肅蘭州·中考真題）?2024的絕對值是（

）A．?2024 B．2024 C．12024 D．2．（2024·江蘇徐州·中考真題）若x+1有意義，則x的取值范圍是（

）A．x≥?1 B．x≤?1 C．x>?1 D．x<?13．（2024·山東德州·中考真題）在0，12，?2，2這四個數(shù)中，最小的數(shù)是（

A．0 B．12 C．?2 D．4．（2024·山東青島·中考真題）“?？惶枴笔峭耆晌覈灾髟O(shè)計建造的深水油氣田“大國重器”，集原油生產(chǎn)、存儲、外輸?shù)裙δ苡谝惑w，儲油量達60000立方米．將60000用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．6×103 B．60×103 C．5．（2024·江蘇徐州·中考真題）觀察下列各數(shù)：3、8、18、38、…，按此規(guī)律，第5～7個數(shù)可能為（

）A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、3186．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）計算：38+7．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）實數(shù)m在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡：(m?2)2=8．（2024·陜西·中考真題）小華探究“幻方”時，提出了一個問題：如圖，將0，?2，?1，1，2這五個數(shù)分別填在五個小正方形內(nèi)，使橫向三個數(shù)之和與縱向三個數(shù)之和相等，則填入中間位置的小正方形內(nèi)的數(shù)可以是．（寫出一個符合題意的數(shù)即可）9．（2024·遼寧撫順·中考真題）已知a、b為兩個連續(xù)整數(shù)，且a＜17＜b，則a+b=．10．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，把R1，R2，R3三個電阻串聯(lián)起來，線路AB上的電流為I，電壓為U，則U=IR1+IR2+IR3．當(dāng)R

11．（2024·山東濰坊·中考真題）從?2、3，6中任意選擇兩個數(shù)，