第第頁第07講分式方程【2大考點10大題型】考點一考點一分式方程1．分式方程的定義分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程．【歸納】（1）分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知數(shù)；③是方程．（2）方程的分母中是否含有未知數(shù)是分式方程與整式方程的根本區(qū)別．（3）分母中含有字母的方程未必是分式方程．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思想：把分式方程轉化為整式方程，解這個整式方程，然后驗根，從而確定分式方程的解．（2）解分式方程的一般方法和步驟：①去分母：方程兩邊同乘最簡公分母，把分式方程化為整式方程；②解整式方程：去括號、移項、合并同類項等等；③檢驗：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解．簡稱為一化，二解，三檢驗．（3）解分式方程產(chǎn)生不適合原方程解的原因：在將分式方程化為整式方程時，未知數(shù)的取值范圍被增大了，對于整式方程來說，求出的解成立，而對于原分式方程來說，當分母為零時，分式無意義，所以這個解不是原分式方程的解，即原分式方程無解．【題型1分式方程的概念及其解】【例1】（2024·四川成都·三模）下列結論正確的是（）A．y+15=y3是分式方程C．方程xx2+x=3x【答案】B【分析】根據(jù)分式方程的定義和分式方程的增根的意義即可判斷．【詳解】解：A．原方程中分母不含未知數(shù)，不是分式方程，所以A選項不符合題意；B．解方程，得x＝﹣2，經(jīng)檢驗x＝﹣2是原方程的增根，所以原方程無解，所以B選項符合題意；C．解方程，得x＝0，經(jīng)檢驗x＝0是原方程的增根，所以原方程無解，所以C選項不符合題意；D．解分式方程時，不一定會出現(xiàn)增根，只有使分式方程分母的值為0的根是增根，所以D選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了分式方程的增根、分式方程的定義，解決本題的關鍵是掌握分式方程的相關知識．【變式1-1】（2024·河南信陽·模擬預測）下列方程：①1x+1=x；②x+12?3=0；③2x?1+3A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】等號兩邊至少有一個分母含有未知數(shù)的有理方程叫做分式方程；【詳解】解：觀察各方程的分母，只有①③分母中含有未知數(shù)，而④中分母雖含有字母，但字母不是未知數(shù)，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均屬于整式方程．故選：B．【點睛】本題考查分式方程的定義，掌握定義是解題關鍵．【變式1-2】（2024·甘肅平?jīng)觥ひ荒＃┫铝姓f法：①解分式方程一定會產(chǎn)生增根；②方程1?4x+2=0的根為2；③方程12x=12x?4A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)分式方程的定義、解分式方程、增根的概念及最簡公分母的定義解答．【詳解】解：分式方程不一定會產(chǎn)生增根，故①錯誤；方程1?4方程12xx+1故選：B．【點睛】此題考查分式方程的定義、解分式方程、增根的概念及最簡公分母的定義，熟記各定義及正確解方程是解題的關鍵．【變式1-3】（2024·上海徐匯·二模）下列方程中，有實數(shù)根的是（

）A．x2+1=0 B．x2?1=0 C．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式、二次根式有意義的條件以及分數(shù)方程的定義進行判斷即可．【詳解】根據(jù)一元二次方程根的判別式Δ=A：x2B：x2C：x?1=?1<0D：1x?1故答案選：B【點睛】本題一元二次方程根的判別式、二次根式有意義的條件以及分數(shù)方程的定義，掌握相關的定義與計算是解題關鍵．【題型2解分式方程】【例2】（2024·江蘇無錫·中考真題）分式方程1x=2A．x=1 B．x=?2 C．x=12 【答案】A【分析】本題考查了解分式方程，先去分母，將分式方程化為整式方程，再進行計算，最后驗根即可．【詳解】解：1xx+1=2x，x=1，檢驗，當x=1時，xx+1∴x=1是原分式方程的解，故選：A．【變式2-1】（2024·山東濟寧·中考真題）解分式方程1?13x?1=?A．2?6x+2=?5 B．6x?2?2=?5C．2?6x?1=5 D．6x?2+1=5【答案】A【分析】本題考查通過去分母將分式方程轉化為整式方程，方程兩邊同乘各分母的最簡公分母，即可去分母．【詳解】解：方程兩邊同乘2?6x，得2?6x?2?6x整理可得：2?6x+2=?5故選：A．【變式2-2】（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在分式方程2x?1x2+x22x?1=5A．y2+5y+5=0 B．y2?5y+5=0 C．【答案】D【分析】設2x?1x2=y【詳解】解：設2x?1x2=y即y2故選：D.【點睛】本題考查了利用換元法解方程，正確變形是關鍵，注意最后要化為整式方程.【變式2-3】（2024·陜西·中考真題）解方程：2x【答案】x=?3【分析】本題主要考查了解分式方程，先去分母變分式方程為整式方程，然后再解整式方程，最后對方程的解進行檢驗即可．【詳解】解：2x去分母得：2+xx+1去括號得：2+x移項，合并同類項得：x=?3，檢驗：把x=?3代入x+1x?1得：?3+1∴x=?3是原方程的解．【題型3分式方程的無解問題】【例3】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知關于x的分式方程kxx?3?2=33?x無解，則kA．k=2或k=?1 B．k=?2 C．k=2或k=1 D．k=?1【答案】A【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關鍵．先將分式方程去分母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可．【詳解】解：去分母得，kx?2(x?3)=?3，整理得，(k?2)x=?9，當k=2時，方程無解，當k≠2時，令x=3，解得k=?1，所以關于x的分式方程kxx?3?2=33?x無解時，故選：A．【變式3-1】（2024·廣東廣州·二模）已知，關于x的分式方程a2x+3(1)當a=2，b=1時，求分式方程的解；(2)當a=1時，求b為何值時分式方程a2x+3(3)若a=3b，且a、b為正整數(shù)，當分式方程a2x+3?b?x【答案】(1)x=?(2)11(3)3、29、55、185【分析】（1）將a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化為整式方程，分類討論b的值，使分式方程無解即可；（3）將a=3b代入方程，分式方程去分母化為整式方程，表示出整式方程的解，由解為整數(shù)和b為正整數(shù)確定b的取值．【詳解】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，得：22x+3方程兩邊同時乘以(2x+3)(x?5)，得：2(x?5)?(1?x)(2x+3)=(2x+3)(x?5)，解得：x=?1檢驗：把x=?15代入∴原分式方程的解為：x=?1（2）解：把a=1代入原分式方程中，得：12x+3方程兩邊同時乘以(2x+3)(x?5)，得：(x?5)?(b?x)(2x+3)=(2x+3)(x?5)，去括號，得：x?5+2x移項、合并同類項，得：(11?2b)x=3b?10，①當11?2b=0時，即b=11②當11?2b≠0時，得x=3b?10Ⅰ.x=?3即3b?1011?2b此時b不存在；Ⅱ.x=5時，原分式方程無解，即3b?1011?2b此時b=5；綜上所述，b=112或（3）解：把a=3b代入分式方程a2x+3得：3b2x+3方程兩邊同時乘以(2x+3)(x?5)，得：3b(x?5)+(x?b)(2x+3)=(2x+3)(x?5)，整理得：(10+b)x=18b?15解得：x=18b?15∵b為正整數(shù)，x為整數(shù)，∴10+b必為195的因數(shù)，10+b≥11，∵195=3×5×13，∴195的因數(shù)有1、3、5、13、15、39、65、195，∵1、3、5都小于11，∴10十b可以取13、15、39、65、195這五個數(shù)，對應地，方程的解x=3、5、13、15、17，又x=5為分式方程的增根，故應舍去，對應地，b只可以取3、29、55、185，∴滿足條件的b可取3、29、55、185這四個數(shù)．【點睛】本題主要考查分式方程的計算，難度較大，涉及知識點較多．熟練掌握解分式方程的步驟是解決這三道小題的前提條件；其次，分式方程無解的兩種情況要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程無解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．總之，解分式方程的步驟要重點掌握．【變式3-2】（2024·四川巴中·中考真題）關于x的分式方程m+x2?x?3＝0有解，則實數(shù)A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2【答案】B【分析】解分式方程得：m+x=6?3x即4x=6?m，由題意可知x≠2，即可得到6?m≠8.【詳解】解：m+x方程兩邊同時乘以2?x得：m+x?6+3x=0，∴4x=m?6，∵分式方程有解，∴2?x≠0，∴x≠2，∴6?m≠8，∴m≠?2，故選B.【點睛】本題主要考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，理解分式方程有意義的條件是解題的關鍵.【變式3-3】（2024安徽合肥·一模）已知關于x的分式方程mxx?3x?6+2x?3=3A．92 B．72 C．52【答案】C【分析】題目主要考查解分式方程及一次函數(shù)的性質，根據(jù)題意得出m=1或x=3或x=6，確定m=1或m=2或m=32，再由一次函數(shù)的性質得出【詳解】解：分式方程兩邊同時乘(x?3)(x?6)，得mx+2x?6整理，得m?1x=3∵此分式方程無解，∴m=1或x=3或x=6，∴m=1或m=2或m=3∵一次函數(shù)y=m?∴m?12>0∴12∴m=1或m=3∴滿足條件的m的值之和是52故選C．【題型4由分式方程的解求字母的取值范圍】【例4】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如果關于x的分式方程1x?mx+1=0A．m<1且m≠0 B．m<1 C．m>1 D．m<1且m≠?1【答案】A【分析】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解分式方程求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程的解是負數(shù)得到m?1<0，并結合分式方程的解滿足最簡公分母不為0，求出m的取值范圍即可，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．【詳解】解：方程兩邊同時乘以xx+1得，x+1?mx=0解得x=1∵分式方程的解是負數(shù)，∴m?1<0，∴m<1，又∵xx+1∴x+1≠0，∴1m?1∴m≠0，∴m<1且m≠0，故選：A．【變式4-1】（2024·四川達州·中考真題）若分式方程2x?ax?1?4=?2x+ax+1【答案】±1【分析】直接移項后通分合并同類項，化簡、用a來表示x，再根據(jù)解為整數(shù)來確定a的值．【詳解】解：2x?ax?12x?a(2x?a)(x+1)?(a?2x)(x?1)整理得：x=若分式方程2x?ax?1∵a為整數(shù)，當a=±1時，解得：x=±2，經(jīng)檢驗：x?1≠0,x+1≠0成立；當a=±2時，解得：x=±1，經(jīng)檢驗：分母為0沒有意義，故舍去；綜上:a=±1，故答案是：±1．【點睛】本題考查了分式方程，解題的關鍵是：化簡分式方程，最終用a來表示x，再根據(jù)解為整數(shù)來確定a的值，易錯點，容易忽略對根的檢驗．【變式4-2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）若關于x的分式方程1x?2+2x+2=【答案】m>0且m≠1【分析】先解分式方程得到解為x=m+1，根據(jù)解大于1得到關于m的不等式再求出m的取值范圍，然后再驗算分母不為0即可．【詳解】解：方程兩邊同時乘以x+2x?2得到：x+2+2(x?2)=x+2m整理得到：x=m+1，∵分式方程的解大于1，∴m+1>1，解得：m>0，又分式方程的分母不為0，∴m+1≠2且m+1≠?2，解得：m≠1且m≠?3，∴m的取值范圍是m>0且m≠1．故答案為：m>0且m≠1．【點睛】本題考查分式方程的解法，屬于基礎題，要注意分式方程的分母不為0這個隱藏條件．【變式4-3】（2024·重慶·中考真題）若關于x的一元一次不等式組x+32≤42x?a≥2，至少有2個整數(shù)解，且關于y的分式方程a?1【答案】4【分析】先解不等式組，確定a的取值范圍a≤6，再把分式方程去分母轉化為整式方程，解得y=a?12，由分式方程有正整數(shù)解，確定出【詳解】解：x解不等式①得：x≤5，解不等式②得：x≥1+∴不等式的解集為1+∵不等式組至少有2個整數(shù)解，∴1+解得：a≤6；∵關于y的分式方程a?1y?2∴a?1?4=2解得：y=a?1即a?12≥0且解得：a≥1且a≠5∴a的取值范圍是1≤a≤6，且a≠5∴a可以?。?，3，∴1+3=4，故答案為：4．【點睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解題關鍵．考點二考點二分式方程的應用的分式方程的應用分式方程的應用基本思路和方法：一審：審清題意，弄清已知量和未知量；二找：找出等量關系；三設：設未知數(shù)；四列：列出分式方程；五解：解這個方程；六驗：檢驗，既要檢驗所求得的解是不是所列分式方程的解，又要檢驗所求得的解是否符合實際問題的要求；七答：寫出答案．在上述過程中，關鍵步驟是根據(jù)題意尋找“等量關系”，進而列出分式方程，求解時注意必須檢驗求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合實際意義．【題型5列方程方程】【例5】（2024·四川達州·中考真題）某鎮(zhèn)的“脆紅李”深受廣大市民的喜愛，也是饋贈親友的尚佳禮品，首批“脆紅李”成熟后，當?shù)啬畴娚逃?2000元購進這種“脆紅李”進行銷售，面市后，線上訂單猛增供不應求，該電商又用11000元購進第二批這種“脆紅李”，由于更多“脆紅李”成熟，單價比第一批每件便宜了5元，但數(shù)量比第一批多購進了40件，求購進的第一批“脆紅李”的單價．設購進的第一批“脆紅李”的單價為x元/件，根據(jù)題意可列方程為（

）A．12000x=11000C．12000x+5+40=11000【答案】A【分析】設購進的第一批“脆紅李”的單價為x元/件，則購進第二批“脆紅李”的單價為x?5元/件，根據(jù)購進的第二批這種“脆紅李”比第一批多購進了40件，列出方程即可．【詳解】解：設購進的第一批“脆紅李”的單價為x元/件，則購進第二批“脆紅李”的單價為x?5元/件，根據(jù)題意得：12000x故選：A．【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，解題的關鍵是找出題目中的等量關系式．【變式5-1】（2024·湖北襄陽·中考真題）《九章算術》中有一道關于古代驛站送信的題目，其白話譯文為：一份文件，若用慢馬送到900里遠的城市，所需時間比規(guī)定時間多1天；若改為快馬派送，則所需時間比規(guī)定時間少3天，已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規(guī)定時間，設規(guī)定時間為x天，則可列出正確的方程為（

）A．900x+3=2×900C．900x?1=2×900【答案】B【分析】本題考查了分式方程的應用，設規(guī)定時間為x天，根據(jù)題意列出方程即可，根據(jù)題意找到等量關系是解題的關鍵．【詳解】解：設規(guī)定時間為x天，由題意得，900x?3故選：B．【變式5-2】（2024·內蒙古通遼·中考真題）某市為處理污水，需要鋪設一條長為5000m的管道，為了盡量減少施工對交通所造成的影響，實際施工時每天比原計劃多鋪設20m，結果提前15天完成任務．設原計劃每天鋪設管道xm，則可得方程．【答案】5000【詳解】設原計劃每天鋪設管道xm，則實際每天鋪設管道（x+20）m，根據(jù)實際比原計劃少用15天完成任務，可得：5000【點睛】本題考查了由實際問題列出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．【變式5-3】（2024·貴州安順·中考真題）某生態(tài)示范園計劃種植一批蜂糖李，原計劃總產(chǎn)量達36萬千克，為了滿足市場需求，現(xiàn)決定改良蜂糖李品種，改良后平均每畝產(chǎn)量是原計劃的1.5倍，總產(chǎn)量比原計劃增加了9萬千克，種植畝數(shù)減少了20畝，則原計劃和改良后平均每畝產(chǎn)量各多少萬千克？設原計劃平均畝產(chǎn)量為x萬千克，則改良后平均每畝產(chǎn)量為1.5x萬千克，根據(jù)題意列方程為．【答案】36x【分析】根據(jù)種植畝數(shù)=總產(chǎn)量÷平均畝產(chǎn)量，結合改良后的種植面積比原計劃少20畝，即可列出關于x的方程．【詳解】解：設原計劃平均畝產(chǎn)量為x萬千克，則改良后平均每畝產(chǎn)量為1.5x萬千克，依題意，得：36x故答案為36x【點睛】本題考查了由實際問題列出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．【題型6分式方程的行程問題】【例6】（2024·黑龍江綏化·中考真題）一艘貨輪在靜水中的航速為40km/h，它以該航速沿江順流航行120km所用時間，與以該航速沿江逆流航行A．5km/h B．6km/h【答案】D【分析】此題主要考查了分式方程的應用，利用順水速=靜水速+水速，逆水速=靜水速?水速，設未知數(shù)列出方程，解方程即可求出答案．【詳解】解：設江水的流速為x?km/h12040+x解得：x=8，經(jīng)檢驗：x=8是原方程的根，答：江水的流速為8km/h故選：D．【變式6-1】（2024·四川綿陽·中考真題）隨著國家提倡節(jié)能減排，新能源車將成為時代“寵兒”．端午節(jié)，君君一家駕乘剛購買的新能源車，去相距180km的古鎮(zhèn)旅行，原計劃以速度vkm/h勻速前行，因急事以計劃速度的1.2倍勻速行殃，結果就比原計劃提前了0.5h到達，則原計劃的速度v為【答案】60【分析】本題考查分式方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出分式方程解決問題．根據(jù)比原計劃提前了0.5h【詳解】解：根據(jù)題意得：180v解得：v=60，經(jīng)檢驗，v=60是原方程的解，并符合題意，∴原計劃的速度v為60km故答案為：60．【變式6-2】（2024·云南·中考真題）某旅行社組織游客從A地到B地的航天科技館參觀，已知A地到B地的路程為300千米，乘坐C型車比乘坐D型車少用2小時，C型車的平均速度是D型車的平均速度的3倍，求D型車的平均速度．【答案】D型車的平均速度為100【分析】本題考查分式方程的應用，設D型車的平均速度為xkm/h，則C型車的平均速度是3xkm/【詳解】解：設D型車的平均速度為xkm/h，則C根據(jù)題意可得，300x整理得，6x=600，解得x=100，經(jīng)檢驗x=100是該方程的解，答：D型車的平均速度為100km【變式6-3】（2024·江蘇南通·模擬預測）近期，如皋的早茶文化深受廣大人民的歡迎和喜愛，通過互聯(lián)網(wǎng)的傳播，吸引了不少外地游客前來品嘗．小嚴和小許商量一起來如皋體驗，下面是兩人的聊天記錄．

請根據(jù)他們的對話，分別求出小嚴和小許的速度．【答案】小許的速度為60公里／小時，小嚴的速度為72公里／小時．【分析】本題考查了分式方程的應用．設小許的速度為x公里／小時，則小嚴的速度為1.2x公里／小時，根據(jù)“小嚴晚15分鐘出發(fā)”列分式方程，求解即可．【詳解】解：設小許的速度為x公里／小時，則小嚴的速度為1.2x公里／小時，根據(jù)題意得90x解得x=60，經(jīng)檢驗，x=60是原方程的解，1.2x=72，答：小許的速度為60公里／小時，小嚴的速度為72公里／小時．【題型7分式方程的工程問題】【例7】（2024·四川雅安·中考真題）某市為治理污水，保護環(huán)境，需鋪設一段全長為3000米的污水排放管道，為了減少施工對城市交通所造成的影響，實際施工時每天的工效比原計劃增加25%，結果提前15天完成鋪設任務．(1)求原計劃與實際每天鋪設管道各多少米？(2)負責該工程的施工單位，按原計劃對工人的工資進行了初步的預算，工人每天人均工資為300元，所有工人的工資總金額不超過18萬元，該公司原計劃最多應安排多少名工人施工？【答案】(1)原計劃與實際每天鋪設管道各為40米，50米(2)該公司原計劃最多應安排8名工人施工【分析】此題考查了分式方程的應用，以及一元一次不等式的應用，弄清題意是解本題的關鍵．（1）設原計劃每天鋪設管道x米，則實際施工每天鋪設管道(1+25%)x，根據(jù)原計劃的時間（2）設該公司原計劃應安排y名工人施工，根據(jù)工作時間=工作總量÷工作效率計算出原計劃的工作天數(shù)，進而表示出所有工人的工作總額，由所有工人的工資總金額不超過18萬元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整數(shù)解即可．【詳解】（1）解：設原計劃每天鋪設管道x米，則實際施工每天鋪設管道1+25%根據(jù)題意得：30001.25x解得：x=40，經(jīng)檢驗x=40是分式方程的解，且符合題意，∴1.25x=50，則原計劃與實際每天鋪設管道各為40米，50米；（2）解：設該公司原計劃應安排y名工人施工，3000÷40=75（天），根據(jù)題意得：300×75y≤180000，解得：y≤8，∴不等式的最大整數(shù)解為8，則該公司原計劃最多應安排8名工人施工．【變式7-1】（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）A，B兩種機器人都被用來搬運化工原料，A型機器人比B型機器人每小時多搬運30千克，A型機器人搬運900千克所用時間與B型機器人搬運600千克所用時間相等．A，B兩種機器人每小時分別搬運多少干克化工原料？（

）A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60【答案】D【分析】本題考查了分式方程的應用，設B型機器人每小時搬運x千克，則A型機器人每小時搬運x+30千克，根據(jù)“A型機器人搬運900千克所用時間與B型機器人搬運600千克所用時間相等”列分式方程求解即可．【詳解】解：設B型機器人每小時搬運x千克，則A型機器人每小時搬運x+30千克，根據(jù)題意，得900x+30解得x=60，經(jīng)檢驗，x=60是原方程的解，∴x+30=90，答：A型機器人每小時搬運90千克，B型機器人每小時搬運60千克．故選：D．【變式7-2】（2024·遼寧丹東·中考真題）“暢通交通，扮靚城市”，某市在道路提升改造中，將一座長度為36米的橋梁進行重新改造．為了盡快通車，某施工隊在實際施工時，每天工作效率比原計劃提高了50%【答案】施工隊原計劃每天改造6米．【分析】設施工隊原計劃每天改造x米，根據(jù)提前2天成功地完成了大橋的改造任務得：36x【詳解】解：設施工隊原計劃每天改造x米，根據(jù)題意得：36x解得x=6，經(jīng)檢驗，x=6是原方程的解，答：施工隊原計劃每天改造6米．【點睛】本題考查分式方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系列出分式方程．【變式7-3】（2024·內蒙古赤峰·中考真題）一段高速公路需要修復，現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊參與施工，已知乙隊平均每天修復公路比甲隊平均每天修復公路多3千米，且甲隊單獨修復60千米公路所需要的時間與乙隊單獨修復90千米公路所需要的時間相等．(1)求甲、乙兩隊平均每天修復公路分別是多少千米；(2)為了保證交通安全，兩隊不能同時施工，要求甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍，那么15天的工期，兩隊最多能修復公路多少千米？【答案】(1)甲隊平均每天修復公路6千米，則乙隊平均每天修復公路9千米；(2)15天的工期，兩隊最多能修復公路105千米．【分析】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用，一次函數(shù)的應用．（1）設甲隊平均每天修復公路x千米，則乙隊平均每天修復公路x+3千米，根據(jù)“甲隊單獨修復60千米公路所需要的時間與乙隊單獨修復90千米公路所需要的時間相等”列分式方程求解即可；（2）設甲隊的工作時間為m天，則乙隊的工作時間為15?m天，15天的工期，兩隊能修復公路w千米，求得w關于m的一次函數(shù)，再利用“甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍”求得m的范圍，利用一次函數(shù)的性質求解即可．【詳解】（1）解：設甲隊平均每天修復公路x千米，則乙隊平均每天修復公路x+3千米，由題意得60x解得x=6，經(jīng)檢驗，x=6是原方程的解，且符合題意，x+3=9，答：甲隊平均每天修復公路6千米，則乙隊平均每天修復公路9千米；（2）解：設甲隊的工作時間為m天，則乙隊的工作時間為15?m天，15天的工期，兩隊能修復公路w千米，由題意得w=6m+915?mm≥215?m解得m≥10，∵?3<0，∴w隨m的增加而減少，∴當m=10時，w有最大值，最大值為w=?3×10+135=105，答：15天的工期，兩隊最多能修復公路105千米．【題型8分式方程的經(jīng)濟問題】【例8】（2024·四川眉山·中考真題）眉山是“三蘇”故里，文化底蘊深厚．近年來眉山市旅游產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，促進了文創(chuàng)產(chǎn)品的銷售，某商店用960元購進的A款文創(chuàng)產(chǎn)品和用780元購進的B款文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量相同．每件A款文創(chuàng)產(chǎn)品進價比B款文創(chuàng)產(chǎn)品進價多15元．(1)求A，B兩款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價各是多少元？(2)已知A，B文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價為100元，B款文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價為80元，根據(jù)市場需求，商店計劃再用不超過7400元的總費用購進這兩款文創(chuàng)產(chǎn)品共100件進行銷售，問：怎樣進貨才能使銷售完后獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？【答案】(1)A款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價80元，B文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價是65元；(2)購進A款文創(chuàng)產(chǎn)品60件，購進B款文創(chuàng)產(chǎn)品40件，才能使銷售完后獲得的利潤最大，最大利潤是1800元．【分析】（1）設A款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價a元，則B文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價是a?15元，根據(jù)題意，列出分式方程即可求解；（2）設購進A款文創(chuàng)產(chǎn)品x件，則購進B款文創(chuàng)產(chǎn)品100?x件，總利潤為W，利用一次一次不等式求出x的取值范圍，再根據(jù)題意求出W與x的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質解答即可求解；本題考查了分式方程的應用，一次函數(shù)的應用，根據(jù)題意，列出分式方程和一次函數(shù)解析式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：設A款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價a元，則B文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價是a?15元，根據(jù)題意得，960a解得a=80，經(jīng)檢驗，a=80是原分式方程的解，∴80?15=65答：A款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價80元，則B文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價是65元；（2）解：設購進A款文創(chuàng)產(chǎn)品x件，則購進B款文創(chuàng)產(chǎn)品100?x件，總利潤為W，根據(jù)題意得，80x+65100?x解得x≤60，又由題意得，W=100?80∵k=5>0，w隨x的增大而增大，∴當x=60時，利潤最大，∴購進A款文創(chuàng)產(chǎn)品60件，購進B款文創(chuàng)產(chǎn)品40件，獲得的利潤最大，W最大答：購進A款文創(chuàng)產(chǎn)品60件，購進B款文創(chuàng)產(chǎn)品40件，才能使銷售完后獲得的利潤最大，最大利潤是1800元．【變式8-1】（2024·重慶·中考真題）為促進新質生產(chǎn)力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對現(xiàn)有甲、乙兩類共30條生產(chǎn)線的設備進行更新?lián)Q代．(1)為鼓勵企業(yè)進行生產(chǎn)線的設備更新，某市出臺了相應的補貼政策．根據(jù)相關政策，更新1條甲類生產(chǎn)線的設備可獲得3萬元的補貼，更新1條乙類生產(chǎn)線的設備可獲得2萬元的補貼．這樣更新完這30條生產(chǎn)線的設備，該企業(yè)可獲得70萬元的補貼．該企業(yè)甲、乙兩類生產(chǎn)線各有多少條？(2)經(jīng)測算，購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設備比購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設備需多投入5萬元，用200萬元購買更新甲類生產(chǎn)線的設備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設備數(shù)量相同，那么該企業(yè)在獲得70萬元的補貼后，還需投入多少資金更新生產(chǎn)線的設備？【答案】(1)該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有10條，則乙類生產(chǎn)線各有20條；(2)需要更新設備費用為1330萬元【分析】本題考查的是一元一次方程的應用，分式方程的應用，理解題意，確定相等關系是解本題的關鍵．（1）設該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有x條，則乙類生產(chǎn)線各有30?x條，再利用更新完這30條生產(chǎn)線的設備，該企業(yè)可獲得70萬元的補貼，再建立方程求解即可；（2）設購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設備為m萬元，則購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設備為m?5萬元，利用用200萬元購買更新甲類生產(chǎn)線的設備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設備數(shù)量相同，再建立分式方程，進一步求解．【詳解】（1）解：設該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有x條，則乙類生產(chǎn)線各有30?x條，則3x+230?x解得：x=10，則30?x=20；答：該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有10條，則乙類生產(chǎn)線各有20條；（2）解：設購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設備為m萬元，則購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設備為m?5萬元，則200m解得：m=50，經(jīng)檢驗：m=50是原方程的根，且符合題意；則m?5=45，則還需要更新設備費用為10×50+20×45?70=1330（萬元）【變式8-2】（2024·內蒙古·中考真題）2024年春晚吉祥物“龍辰辰”，以十二生肖龍的專屬漢字“辰”為名．某廠家生產(chǎn)大小兩種型號的“龍辰辰”，大號“龍辰辰”單價比小號“龍辰辰”單價貴15元，且用2400元購進小號“龍辰辰”的數(shù)量是用2200元購進大號“龍辰辰”數(shù)量的1.5倍，則大號“龍辰辰”的單價為元．某網(wǎng)店在該廠家購進了兩種型號的“龍辰辰”共60個，且大號“龍辰辰”的個數(shù)不超過小號“龍辰辰”個數(shù)的一半，小號“龍辰辰”售價為60元，大號“龍辰辰”的售價比小號“龍辰辰”的售價多30%．若兩種型號的“龍辰辰”全部售出，則該網(wǎng)店所獲最大利潤為元．【答案】551260【分析】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式組的應用、一次函數(shù)的應用，熟練掌握一次函數(shù)的性質是解題關鍵．設大號“龍辰辰”的單價為x元，則小號“龍辰辰”的單價為x?15元，根據(jù)題意建立分式方程，解方程即可得；設購進小號“龍辰辰”的數(shù)量為a個，則購進大號“龍辰辰”的數(shù)量為60?a個，先求出a的取值范圍，再設該網(wǎng)店所獲利潤為w元，建立w關于a的函數(shù)關系式，利用一次函數(shù)的性質求解即可得．【詳解】解：設大號“龍辰辰”的單價為x元，則小號“龍辰辰”的單價為x?15元，由題意得：2400x?15解得x=55，經(jīng)檢驗，x=55是所列分式方程的解，所以大號“龍辰辰”的單價為55元，小號“龍辰辰”的單價為40元．設購進小號“龍辰辰”的數(shù)量為a個，則購進大號“龍辰辰”的數(shù)量為60?a個，由題意得：0<60?a≤1解得40≤a<60，設該網(wǎng)店所獲利潤為w元，則w=60?40由一次函數(shù)的性質可知，在40≤a<60內，w隨a的增大而減小，則當a=40時，w取得最大值，最大值為?3×40+1380=1260，即該網(wǎng)店所獲最大利潤為1260元，故答案為：55；1260．【變式8-3】（2024·山東青島·中考真題）為培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，提高學生的動手能力，某校計劃購買一批航空、航海模型．已知商場某品牌航空模型的單價比航海模型的單價多35元，用2000元購買航空模型的數(shù)量是用1800元購買航海模型數(shù)量的45(1)求航空和航海模型的單價；(2)學校采購時恰逢該商場“六一兒童節(jié)”促銷：航空模型八折優(yōu)惠．若購買航空、航海模型共120個，且航空模型數(shù)量不少于航海模型數(shù)量的12【答案】(1)航空模型的單價為125元，則航海模型的單價為90元；(2)當購買航空模型40個，購買航海模型80個時，學?；ㄙM最少【分析】本題主要考查了分式方程的實際應用，一次函數(shù)的實際應用，一元一次不等式的實際應用：（1）設航空模型的單價為x元，則航海模型的單價為x?35元，根據(jù)用2000元購買航空模型的數(shù)量是用1800元購買航海模型數(shù)量的45（2）設購買航空模型m個，花費為y元，則購買航海模型120?m個，先根據(jù)航空模型數(shù)量不少于航海模型數(shù)量的12列出不等式求出m的取值范圍，再列出y關于m【詳解】（1）解：設航空模型的單價為x元，則航海模型的單價為x?35元，由題意得，2000x解得x=125，檢驗，當x=125時，xx?35∴x=125是原方程的解，且符合題意，∴x?35=90，答：航空模型的單價為125元，則航海模型的單價為90元；（2）解：設購買航空模型m個，花費為y元，則購買航海模型120?m個，由題意得，m≥1解得m≥40，y=125×0.8m+90120?m∵10>0，∴y隨m增大而增大，∴當m=40時，y有最小值，最小值為10×40+10800=11200，此時有120?m=80，答：當購買航空模型40個，購買航海模型80個時，學?；ㄙM最少．【題型9分式方程的和差倍分問題】【例9】（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）某公司為節(jié)能環(huán)保，安裝了一批A型節(jié)能燈，一年用電16000千瓦·時．后購進一批相同數(shù)量的B型節(jié)能燈，一年用電9600千瓦·時．一盞A型節(jié)能燈每年的用電量比一盞B型節(jié)能燈每年用電量的2倍少32千瓦·時．求一盞A型節(jié)能燈每年的用電量．【答案】160千瓦·時【分析】本題考查分式方程的應用，根據(jù)題意列方程是關鍵，并注意檢驗．根據(jù)兩種節(jié)能燈數(shù)量相等列式分式方程求解即可．【詳解】解：設一盞B型節(jié)能燈每年的用電量為x千瓦·時，則一盞A型節(jié)能燈每年的用電量為2x?32千瓦·時16000整理得5x=3(2x?32)解得x=96經(jīng)檢驗：x=96是原分式方程的解．2x?32=160答：一盞A型節(jié)能燈每年的用電量為160千瓦·時.【變式9-1】（2024·山東泰安·中考真題）隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國各地的農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間，某農(nóng)產(chǎn)品加工企業(yè)有甲、乙兩個組共35名工人．甲組每天加工3000件農(nóng)產(chǎn)品，乙組每天加工2700件農(nóng)產(chǎn)品，已知乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的1.2倍，求甲、乙兩組各有多少名工人？【答案】甲組有20名工人，乙組有15名工人【分析】本題考查了分式方程的實際應用，設甲組有x名工人，則乙組有35?x名工人．根據(jù)題意得270035?x【詳解】解：設甲組有x名工人，則乙組有35?x名工人．根據(jù)題意得：270035?x解答：x=20，經(jīng)檢驗，x=20是所列方程的解，且符合題意，∴35?x=35?20=15．答：甲組有20名工人，乙組有15名工人．【變式9-2】（2024·北京房山·二模）研究表明：植物具有固碳能力，所謂固碳能力，就是植物在生長過程中，通過光合作用，體內吸收多少二氧化碳的能力．生物興趣小組的同學們通過查閱資料發(fā)現(xiàn)，洋槐一天固碳2700克所需的種植面積是垂柳一天固碳2150克所需種植面積的2倍，而垂柳一天單位面積固碳量比洋槐一天單位面積固碳量每平方米多3.2克，求洋槐一天單位面積固碳量是多少克？【答案】洋槐一天單位面積固碳量是5.4克【分析】題目主要考查分式方程的應用，設洋槐一天單位面積固碳量是x克，則垂柳一天單位面積固碳量為(x+3.2)克，根據(jù)題意列出方程求解、檢驗即可．【詳解】解：設洋槐一天單位面積固碳量是x克，則垂柳一天單位面積固碳量為(x+3.2)克，根據(jù)題意得：2700x解得：x=5.4，檢驗：經(jīng)檢驗：x=5.4是原分式方程的解，∴洋槐一天單位面積固碳量是5.4克．【變式9-3】（2024·吉林·一模）從體育強國到健康中國，“帶動3億人參加冰雪運動”這一愿景已經(jīng)成功實現(xiàn)，也直接推動了群眾體育發(fā)展．我市某中學組織八年級360名學生到北大湖滑雪場開展冬令營活動．學校到某旅游公司租車，該公司現(xiàn)有A，B兩種車型，A型車與B型車的座位數(shù)的比為3:4；如果分別租用這兩種車型，所需A型車的數(shù)量比B型車多2輛．求該公司A，B兩種車型各有多少個座位．【答案】1輛A型車的座位數(shù)為45個，則1輛B型車的座位數(shù)為60個．【分析】本題考查了分式方程的應用．設1輛A型車的座位數(shù)為3x個，則1輛B型車的座位數(shù)為4x個，根據(jù)“所需A型車的數(shù)量比B型車多2輛”，即可得出關于x的分式方程，解之即可得解．【詳解】解：設1輛A型車的載客量為3x人，則1輛B型車的載客量為4x人，依題意得：3603x解得：x=15．經(jīng)檢驗，x=15是原方程的解，且符合題意，∴3x=45，4x=60，答：1輛A型車的座位數(shù)為45個，則1輛B型車的座位數(shù)為60個．【題型10分式方程的幾何圖形問題】【例10】（2024·江蘇常州·中考真題）書畫裝裱，是指為書畫配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏，是我國具有民族傳統(tǒng)的一門特殊藝術．如圖，一幅書畫在裝裱前的大小是1.2m×0.8m，裝裱后，上、下、左、右邊襯的寬度分別是am、bm、cm、dm．若裝裱后AB與AD的比是16:10，且a=b，c=d【答案】上、下、左、右邊襯的寬度分別是0.1【分析】本題考查分式方程的應用，分別表示出AB,AD的長，列出分式方程，進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：AB=1.2+c+d=1.2+2c=1.2+4a，AD=0.8+a+b=0.8+2a，∵AB與AD的比是16:10，∴1.2+4a0.8+2a解得：a=0.1，經(jīng)檢驗a=0.1是原方程的解．∴上、下、左、右邊襯的寬度分別是0.1m【變式10-1】（2024·北京海淀·二模）列分式方程解應用題．當矩形（即長方形）的短邊為長邊的5?12倍時，裝裱前是一個長為150厘米，寬為82厘米的矩形．現(xiàn)要在作品四周加上等寬的白色邊襯裝裱．為了使裝裱后的作品接近黃金矩形（注：

【答案】邊襯的寬度應設置為10厘米【分析】根據(jù)裝裱后的矩形寬與長之比等于0.6列出方程，解方程得到答案．【詳解】解：設邊襯的寬度設置為x厘米，由題意得：82+2x150+2x解得：x=10，經(jīng)檢驗：x=10是原方程的解，答：邊襯的寬度應設置為10厘米．【點睛】本題考查的是分式方程的應用，列分式方程解應用題一定要審清題意，找相等關系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能力．【變式10-2】（2024·河南鄭州·一模）如圖，甲和乙均是容積為90立方分米無蓋的長方體盒子．

(1)甲盒子底面是邊長為a分米的正方形，這個盒子的高是___________分米；這個盒子的表面積是_____________平方分米．（用含有a的式子表示）(2)乙盒子底面是長方形，甲盒子比乙盒子高5分米.選用2元/平方分米的材料，制作甲乙兩個盒子的底面，乙盒子底面材料費用是甲盒子底面材料費用的2倍，求乙盒子的高．【答案】(1)h=90a(2)5【分析】（1）長方體體積為長寬高的乘積，已知甲的地面是邊長為a的正方形，就可以求出高，長寬高已知即可表示表面積．（2）根據(jù)甲乙盒子的高的關系可以表示乙的高，根據(jù)地面材料費求出乙的底面積（長寬積），利用體積建立關于高的關系方程，求出乙的高．【詳解】（1）解：a2?h=90，則h=90（2）解：設乙的高為x分米，甲的高為(x+5)分米．依題意得：90解得：x=5經(jīng)檢驗x=5是此分式方程的解．答：乙盒子的高為5分米．【點睛】本題主要考了長方體的體積及表面積的知識，利用公式建立分式方程模型是解題關鍵．【變式10-3】（2024·廣西南寧·一模）如圖，“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為ama>1的正方形去掉一個邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為a?1(1)“豐收1號”小麥試驗田的單位面積產(chǎn)量是kg/m2，“豐收2號”小麥試驗田的單位面積產(chǎn)量是kg/m2．單位面積產(chǎn)量高的是：（填“豐收1號”或“豐收(2)若高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的1.05倍，求“豐收2號”小麥的試驗田的邊長．【答案】(1)1500a2?1，1500(2)40【分析】（1）根據(jù)題意可以求得兩塊試驗田的面積，從而可以求得哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高；（2）根據(jù)“高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的1.05倍”列出分式方程，解方程即可求解；本題考查了分式的混合運算，分式方程的應用，掌握分式的運算及分式方程的解法是解題的關鍵．【詳解】（1）解：“豐收1號”小麥試驗田的單位面積產(chǎn)量為1500a2?1kg/m2∵a>1，∴a2?1>0，∵(a∴a2∴1500a∴單位面積產(chǎn)量高的是“豐收2號”，故答案為：1500a2?1，1500（2）解：由題意可得，1500a?1方程兩邊同乘a?12a+1得，解得a=41，經(jīng)檢驗，a=41是原方程的解，∴a?1=40，答：“豐收2號”小麥試驗田的邊長為40m【新考向：新考法】1．（2024·廣西·中考真題）綜合與實踐在綜合與實踐課上，數(shù)學興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節(jié)約用水策略．【洗衣過程】步驟一：將校服放進清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；步驟二：將擰干后的校服放進清水中，充分漂洗后擰干．重復操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達到洗衣目標．假設第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為0.2%，每次擰干后校服上都殘留0.5濃度關系式：d后=0.5d前0.5+w．其中d前【洗衣目標】經(jīng)過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于0.01【動手操作】請按要求完成下列任務：(1)如果只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%(2)如果把4kg(3)比較（1）和（2）的漂洗結果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法．【答案】(1)只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%，需要9.5(2)進行兩次漂洗，能達到洗衣目標；(3)兩次漂洗的方法值得推廣學習【分析】本題考查的是分式方程的實際應用，求解代數(shù)式的值，理解題意是關鍵；（1）把d后=0.01%，d（2）分別計算兩次漂洗后的殘留洗衣液濃度，即可得到答案；（3）根據(jù)（1）（2）的結果得出結論即可．【詳解】（1）解：把d后=0.01%，得0.01%解得w=9.5．經(jīng)檢驗符合題意；∴只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%，需要9.5（2）解：第一次漂洗：把w=2kg，d前=0.2∴d后第二次漂洗：把w=2kg，d前=0.04∴d后而0.008%∴進行兩次漂洗，能達到洗衣目標；（3）解：由（1）（2）的計算結果發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過兩次漂洗既能達到洗衣目標，還能大幅度節(jié)約用水，∴從洗衣用水策略方面來講，采用兩次漂洗的方法值得推廣學習．2.（2024·湖南長沙·中考真題）隨著5G網(wǎng)絡技術的發(fā)展，市場對5G產(chǎn)品的需求越來越大，為滿足市場需求，某大型5G產(chǎn)品生產(chǎn)廠家更新技術后，加快了生產(chǎn)速度，現(xiàn)在平均每天比更新技術前多生產(chǎn)30萬件產(chǎn)品，現(xiàn)在生產(chǎn)500萬件產(chǎn)品所需的時間與更新技術前生產(chǎn)400萬件產(chǎn)品所需時間相同，設更新技術前每天生產(chǎn)x萬件，依據(jù)題意得（

）A．400x?30=500x B．400x=【答案】B【分析】設更新技術前每天生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品，則更新技術后每天生產(chǎn)（x+30）萬件產(chǎn)品，根據(jù)工作時間=工作總量÷工作效率，再結合現(xiàn)在生產(chǎn)500萬件產(chǎn)品所需時間與更新技術前生產(chǎn)400萬件產(chǎn)品所需時間相同，即可得出關于x的分式方程．【詳解】解：設更新技術前每天生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品，則更新技術后每天生產(chǎn)（x+30）萬件產(chǎn)品，依題意，得：400x故選：B．【點睛】本題考查了由實際問題列分式方程，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出分式方程．3．（2024·山東日照·中考真題）【問題背景】2024年4月23日是第18個“世界讀書日”，為給師生提供更加良好的閱讀環(huán)境，學校決定擴大圖書館面積，增加藏書數(shù)量，現(xiàn)需購進20個書架用于擺放書籍．【素材呈現(xiàn)】素材一：有A,B兩種書架可供選擇，A種書架的單價比B種書架單價高20%素材二：用18000元購買A種書架的數(shù)量比用9000元購買B種書架的數(shù)量多6個；素材三：A種書架數(shù)量不少于B種書架數(shù)量的23【問題解決】(1)問題一：求出A,B兩種書架的單價；(2)問題二：設購買a個A種書架，購買總費用為w元，求w與a的函數(shù)關系式，并求出費用最少時的購買方案；(3)問題三：實際購買時，商家調整了書架價格，A種書架每個降價m元，B種書架每個漲價13m元，按問題二的購買方案需花費21120元，求【答案】(1)1200元；1000元(2)w=200a+20000a≥8；購買A種書架8個，B(3)120【分析】本題考查運用分式方程，一次函數(shù)，一元一次方程解決實際問題．（1）設B種書架的單價為x元，則A種書架的單價為(1+20%)x元，用18000元購買A種書架180001+20%x（2）根據(jù)總費用＝A種書架的總費用＋B種書架的總費用即可列出函數(shù)，根據(jù)資料三求出自變量a的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性即可求出總費用的最小值；（3）根據(jù)總費用＝A種書架的總費用＋B種書架的總費用列出一元一次方程，求解即可解答．【詳解】（1）解：設B種書架的單價為x元，則A種書架的單價為(1+20%由題意得18000(1+20解得x=1000，經(jīng)檢驗，x=1000是分式方程的解，且符合題意，∴(1+20%答：A,B兩種書架的單價分別為1200元，1000元．（2）解：購買a個A種書架時，購買總費用w=1200a+1000(20?a)，即w=200a+20000，由題意得，a應滿足：a≥2320?a∵200>0，∴w隨著a的增大而增大，當a=8時，w的值最小，最小值為200×8+20000=21600，∴費用最少時購買A種書架8個，B種書架12個．（3）解：由題意得(1200?m)×8+1000+解得m=120．【新考向：新趨勢】1．（2024·河北·中考真題）某公司為提高員工的專業(yè)能力，定期對員工進行技能測試，考慮多種因素影響，需將測試的原始成績x（分）換算為報告成績y（分）．已知原始成績滿分150分，報告成績滿分100分、換算規(guī)則如下：當0≤x<p時，y=80x當p≤x≤150時，y=20（其中p是小于150的常數(shù)，是原始成績的合格分數(shù)線，80是報告成績的合格分數(shù)線）公司規(guī)定報告成績?yōu)?0分及80分以上（即原始成績?yōu)閜及p以上）為合格．(1)甲、乙的原始成績分別為95分和130分，若p=100，求甲、乙的報告成績；(2)丙、丁的報告成績分別為92分和64分，若丙的原始成績比丁的原始成績高40分，請推算p的值：(3)下表是該公司100名員工某次測試的原始成績統(tǒng)計表：原始成績（分）95100105110115120125130135140145150人數(shù)1225810716201595①直接寫出這100名員工原始成績的中位數(shù)；②若①中的中位數(shù)換算成報告成績?yōu)?0分，直接寫出該公司此次測試的合格率．【答案】(1)甲、乙的報告成績分別為76，92分(2)125(3)①130；②95【分析】（1）當p=100時，甲的報告成績?yōu)椋簓=80×95100=76（2）設丙的原始成績?yōu)閤1分，則丁的原始成績?yōu)閤1?40分，①0≤x1<p時和②p≤x1?40≤150（3）①共計100名員工，且成績已經(jīng)排列好，則中位數(shù)是第50，51名員工成績的平均數(shù)，由表格得第50，51名員工成績都是130分，故中位數(shù)為130；②當p>130時，則90=80×130p，解得p=10409<130，故不成立，舍；當p≤130時，則90=20130?p【詳解】（1）解：當p=100時，甲的報告成績?yōu)椋簓=80×95乙的報告成績?yōu)椋簓=20×（2）解：設丙的原始成績?yōu)閤1分，則丁的原始成績?yōu)閤①0≤x1<p時，y由①?②得3200p∴p=800∴x1②p≤x1?40≤150時，y由③?④得：28=800∴p=850∴92=20∴x1∴x1③0≤x1?40<p,p≤y丁聯(lián)立⑤⑥解得：p=125,x綜上所述p=125；（3）解：①共計100名員工，且成績已經(jīng)排列好，∴中位數(shù)是第50，51名員工成績的平均數(shù)，由表格得第50，51名員工成績都是130分，∴中位數(shù)為130；②當p>130時，則90=80×130p，解得當p≤130時，則90=20130?p150?p∴由表格得到原始成績?yōu)?10及110以上的人數(shù)為100?1+2+2∴合格率為：95100【點睛】本題考查了函數(shù)關系式，自變量與函數(shù)值，中位數(shù)的定義，合格率，解分式方程，熟練知識點，正確理解題意是解決本題的關鍵．2.（2024·四川廣元·中考真題）若點Qx,y滿足1x+1y【答案】2,?1（答案不唯一）【分析】此題考查了解分式方程，先將方程兩邊同時乘以xy后去分母，令x代入一個數(shù)值，得到y(tǒng)的值，以此為點的坐標即可，正確解分式方程是解題的關鍵【詳解】解：等式兩邊都乘以xy，得x+y=1，令x=2，則y=?1，∴“美好點”的坐標為2，?1，故答案為2，?1（答案不唯一）3．（2024·河北石家莊·一模）小華想復習分式方程，由于印刷問題，有一個數(shù)“？”看不清楚?x?2(1)她把這個數(shù)“？”猜成5，請你幫小華解這個分式方程．(2)小華的媽媽說：“我看到標準答案是：原分式方程無解．”請你求出原分式方程中“？”代表的數(shù)是多少．【答案】(1)x=0(2)?1【分析】本題考查了分式方程解法和增根的定義及應用．增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根．增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．（1）“？”當成5，解分式方程即可，（2）方程有增根是去分母時產(chǎn)生的，故先去分母，再將x=2代入即可解答．【詳解】（1）解：原方程為5x?2方程兩邊同時乘以(x?2)得5+3(x?2)=?1，解得x=0經(jīng)檢驗，x=0是原分式方程的解；（2）解：設？為m，方程兩邊同時乘以(x?2)，得m+3(x?2)=?1∵原方程無解∴x=2是原分式方程的增根，所以把x=2代入上面的等式得m+3(2?2)=?1解得m=?1，∴原分式方程中“？”代表的數(shù)是?1．【新考向：新情境】1．（2024·寧夏·中考真題）“人間煙火味，最撫凡人心”，地攤經(jīng)濟、小店經(jīng)濟是就業(yè)崗位的重要來源．某經(jīng)營者購進了A型和B型兩種玩具，已知用520元購進A型玩具的數(shù)量比用175元購進B型玩具的數(shù)量多30個，且A型玩具單價是B型玩具單價的1.6倍．(1)求兩種型號玩具的單價各是多少元？根據(jù)題意，甲、乙兩名同學分別列出如下方程：甲：5201.6x=175x+30乙：520x=1.6×175x?30，解得則甲所列方程中的x表示_______，乙所列方程中的x表示_______；(2)該經(jīng)營者準備用1350元以原單價再次購進這兩種型號的玩具共200個，則最多可購進A型玩具多少個？【答案】(1)B型玩具的單價；購買A型玩具的數(shù)量(2)最多購進A型玩具116個【分析】（1）根據(jù)方程表示的意義，進行作答即可；（2）設最多購進A型玩具a個，根據(jù)題意，列出方程進行求解即可．【詳解】（1）解：對于甲：5201.6x=175x+30∴5201.6x,175x分別表示∴x表示B型玩具的單價；對于乙：520x=1.6×175x?30表示的是：A型玩具單價是∴520x,175x?30，分別表示表示∴x表示購買A型玩具的數(shù)量；故答案為：B型玩具的單價；購買A型玩具的數(shù)量（2）設購進A型玩具a個，則購買B型玩具200?a個，由（1）中甲同學所列方程的解可知：B型玩具的單價為5元，則A型玩具的單價為5×1.6=8元，由題意，得：8a+5200?a解得：a≤350∵a為整數(shù)，∴a=116；答：最多購進A型玩具116個．【點睛】本題考查分式方程和一元一次不等式的應用．讀懂題意，找準等量關系，正確的列出方程和不等式，是解題的關鍵．2．（2024·浙江嘉興·中考真題）小丁和小迪分別解方程xx?2小?。航猓喝シ帜?，得x?(x?3)=x?2去括號，得x?x+3=x?2合并同類項，得3=x?2解得x=5∴原方程的解是x=5小迪：解：去分母，得x+(x?3)=1去括號得x+x?3=1合并同類項得2x?3=1解得x=2經(jīng)檢驗，x=2是方程的增根，原方程無解你認為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請在框內打“√”；若錯誤，請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．【答案】都錯誤，見解析【分析】根據(jù)解分式方程的步驟判斷小丁和小迪的解法是否正確，再正確解方程即可．【詳解】小丁和小迪的解法都錯誤；解：去分母，得x+(x?3)=x?2，去括號，得2x?3=x?2，解得，x=1，經(jīng)檢驗：x=1是方程的解．【點睛】本題考查分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．3．（2024·山東濟南·中考真題）為提高市民的環(huán)保意識，某市發(fā)出“節(jié)能減排，綠色出行”的倡導，某企業(yè)抓住機遇投資20萬元購買并投放一批A型“共享單車”，因為單車需求量增加，計劃繼續(xù)投放B型單車，B型單車的投放數(shù)量與A型單車的投放數(shù)量相同，投資總費用減少20%，購買B型單車的單價比購買A型單車的單價少50元，則A型單車每輛車的價格是多少元？設A型單車每輛車的價格為x元，根據(jù)題意，列方程正確的是（

A．200000x=200000(1?20%)C．200000x=200000(1?20%)【答案】A【分析】設A型單車每輛車的價格為x元，則B型單車每輛車的價格為(x?50)元，依據(jù)“B型單車的投放數(shù)量與A型單車的投放數(shù)量相同”列出關于【詳解】設A型單車每輛車的價格為x元，則B型單車每輛車的價格為(x?5根據(jù)題意，得200000故選A．【點睛】考查了由實際問題抽象出分式方程，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．【新考向：跨學科】1．（2024·北京豐臺·模擬預測）在物理學中，物質的密度ρ等于由物質組成的物體的質量m與它的體積V之比，即ρ=mV．已知A，B兩個物體的密度之比為2:1，當物體A的質量是100g，物體B的質量是200g時，物體B的體積比物體A的體積大27cm3．如果設物體A．100x=2×200C．100x=2×200【答案】A【分析】本題考查分式方程的實際應用，理解題意，找出等量關系，列出等式是解題關鍵．根據(jù)題意可得出物體B的體積是x+27cm3，分別求出物體A和物體B的密度，再結合A，B兩個物體的密度之比為【詳解】解：設物體A的體積是xcm3，則物體B的體積是∴物體A的密度為100xg/cm3，物體B∵A，B兩個物體的密度之比為2:1，∴100x故選A．2．（2024·山西晉城·模擬預測）化學小組欲將100g濃度為98%的酒精溶液稀釋為75%的酒精溶液．設需要加水x【答案】0.98×100【分析】利用酒精的質量不變列方程即可．【詳解】解：設需要加水xg由題意得0.98×100x+100故答案為：0.98×100x+100【點睛】本題考查了分式方程的實際應用，準確理解題意，找到等量關系是解題的關鍵．3．（2024·安徽蕪湖·一模）研究表明：植物具有固碳能力，所謂固碳能力，就是植物在生長過程中，通過光合作用，體內吸收多少二氧化碳的能力．生物興趣小組的同學們通過查閱資料發(fā)現(xiàn)，洋槐一天固碳2700克所需的種植面積是垂柳一天固碳2150克所需種植面積的2倍，而垂柳一天單位面積固碳量比洋槐一天單位面積固碳量每平方米多3.2克，求洋槐一天單位面積固碳量是多少克？【答案】洋槐一天單位面積固碳量是5.4克【分析】題目主要考查分式方程的應用，設洋槐一天單位面積固碳量是x克，則垂柳一天單位面積固碳量為(x+3.2)克，根據(jù)題意列出方程求解、檢驗即可．【詳解】解：設洋槐一天單位面積固碳量是x克，則垂柳一天單位面積固碳量為(x+3.2)克，根據(jù)題意得：2700x解得：x=5.4，檢驗：經(jīng)檢驗：x=5.4是原分式方程的解，∴洋槐一天單位面積固碳量是5.4克．1．（2024·山東淄博·中考真題）已知x=1是方程m2?x?1x?2=3A．?2 B．2 C．?4 D．4【答案】B【分析】將x=1代入方程，即可求解．【詳解】解：將x=1代入方程，得m解得：m=2故選：B．【點睛】本題考查分式方程的解，解題的關鍵是將x=1代入原方程中得到關于m的方程．2．（2024·海南·中考真題）分式方程1x?2=1的解是（A．x=3 B．x=?3 C．x=2 D．x=?2【答案】A【分析】本題主要考查了解分式方程，先把分式方程去分母化為整式方程，再解方程，最后檢驗即可．【詳解】解：1去分得：1=x?2，解得x=3，檢驗，當x=3時，x?2≠0，∴x=3是原方程的解，故選：A．3．（2024·遼寧大連·中考真題）解方程1x?1+3=3x1?x去分母，兩邊同乘A．1+3=3x(1?x) B．1+3(x?1)=?3xC．x?1+3=?3x D．1+3(x?1)=3x【答案】B【分析】本題考查了解分式方程時去分母，找到分式方程的公分母是解題的關鍵．根據(jù)分式方程的解法，兩側同乘(x?1)化簡分式方程即可．【詳解】解：分式方程的兩側同乘(x?1)得：1+3(x?1)=?3x．故選：B．4．（2024·四川德陽·中考真題）如果關于x的方程2x+mx?1=1的解是正數(shù)，那么m的取值范圍是（A．m>?1 B．m<?1且m≠?2 C．m<?1 D．m>?1且m≠0【答案】B【分析】此題主要考查了分式方程的解，解答此題的關鍵是要明確：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．【詳解】解：∵2x+mx?1∴x?1≠0，則x≠1，2x+mx?1去分母，得，2x+m=x?1，移項合并，得，x=?1?m，∵方程2x+mx?1∴?1?m>0?1?m≠1解得：m<?1且m≠?2，故選：B．5．（2024·山東淄博·中考真題）為貫徹落實習近平總書記關于黃河流域生態(tài)保護和高質量發(fā)展的重要講話精神，某學校組織初一、初二兩個年級學生到黃河岸邊開展植樹造林活動．已知初一植樹900棵與初二植樹1200棵所用的時間相同，兩個年級平均每小時共植樹350棵．求初一年級平均每小時植樹多少棵？設初一年級平均每小時植樹x棵，則下面所列方程中正確的是（

）A．900350?x=1200x B．900x=【答案】D【分析】根據(jù)初一植樹900棵與初二植樹1200棵所用的時間相同列式求解即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，900x故選：D；【點睛】本題考查分式方程解決應用問題，解題的關鍵是找到等量關系式．6．（2024·四川瀘州·中考真題）在一個不透明的盒子中裝有6個白球，若干個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機摸出一個球是白球的概率是23，則黃球的個數(shù)為【答案】3【分析】此題考查了分式方程的應用，以及概率公式的應用．設黃球的個數(shù)為x個，然后根據(jù)概率公式列方程，解此分式方程即可求得答案．【詳解】解：設黃球的個數(shù)為x個，根據(jù)題意得：6x+6解得：x=3，經(jīng)檢驗，x=3是原分式方程的解，∴黃球的個數(shù)為3個．故答案為：3．7．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）若分式方程xx?1=3?mx1?x的解為正整數(shù)，則整數(shù)【答案】?1【分析】此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．表示出方程的解，由解是正整數(shù)，確定出整數(shù)m的值即可．【詳解】解：xx?1化簡得：xx?1去分母得：x=3x?1移項合并得：2+mx=3解得：x=3由方程的解是正整數(shù)，得到x為正整數(shù)，即2+m=1或2+m=3，解得：m=?1或m=1（舍去，會使得分式無意義）．故答案為：?1．8．（2024·河北·中考真題）根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)，寫出a的值為．b的值為．x結果代數(shù)式2n3x+17b2x+1a1【答案】52【分析】把x=2代入得2x+1x=a，可求得a的值；把x=n分別代入3x+1=b和【詳解】解：當x=n時，3x+1=b，即3n+1=b，當x=2時，2x+1x=a，即當x=n時，2x+1x=1，即解得n=?1，經(jīng)檢驗，n=?1是分式方程的解，∴b=3×?1故答案為：52；【點睛】本題考查了求代數(shù)式的值，解分式方程，準確計算是解題的關鍵．9．（2024·內蒙古呼和浩特·中考真題）甲、乙兩船從相距150km的A，B兩地同時勻速沿江出發(fā)相向而行，甲船從A地順流航行90km時與從B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙兩船在靜水中的航速均為30km/h，則江水的流速為km/h．【答案】6【分析】設江水的流速為x千米每小時，則甲速度為30+x，乙速度為30?x，根據(jù)行駛時間相等列出方程解答即可．【詳解】解：設江水的流速為x千米每小時，根據(jù)題意得：9030+x解得x=6km/h經(jīng)檢驗符合題意，答：江水的流速6km/h故答案為：6．【點睛】本題考查了列分式方程，讀懂題意找出等量關系是解本題的關鍵．10．（2024·重慶·中考真題）若關于x的一元一次不等式組2x+13≤34x?2<3x+a的解集為x≤4，且關于y的分式方程a?8y+2?【答案】12【分析】本題主要考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，根據(jù)不等式組的解集求參數(shù)，先解不等式組中的兩個不等式，再根據(jù)不等式組的解集求出a>2；解分式方程得到y(tǒng)=a?102，再由關于y的分式方程a?8y+2?yy+2=1的解均為負整數(shù)，推出a<10且a≠6且a是偶數(shù)，則2<a<10【詳解】解：2x+1解不等式①得：x