第三節(jié)等比數(shù)列

f/課程標(biāo)準(zhǔn)/

1.理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.

2.探索并掌握等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式,理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式的關(guān)系.

3.體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

體系構(gòu)建]:必爸知識(shí)系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)課前自修

如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)(不為零).那么

這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比石彘常用字母</(g#0)

表示，符號(hào)表示為筌=q(n￡N')

「r?(<(),r?)>(),

望J⑴若｛4或｛一「，則等比數(shù)列⑴遞增；⑵若｛。<小或

提醒｛:；則等比數(shù)列口遞減

」?

等

比

通項(xiàng)公式。尸為尸^,qf(〃.GN*)(關(guān)于公比q的指數(shù)型函數(shù))

數(shù)---------?---=------------------------------------------

列

的如果一G.〃成等比數(shù)列OG2/&.G叫做“與4的等比中項(xiàng)

概

念等比中項(xiàng)g⑴只有當(dāng)兩個(gè)數(shù)同號(hào)時(shí),這兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng),且等比中項(xiàng)有兩個(gè),它們互

及

性提醒。為相反數(shù);(為等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同.偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同

質(zhì)

若m+n=]+](m,n,p.</￡N)，則冊(cè)?！?q%.特別地：①^m+n=2r.WlJamoB=n；(rEN,);②0必“=

,*

項(xiàng)的性質(zhì)a2o(,_i=*=a1an+i^(nGN,,n^2,e=l,2,,?,.?)

等

比比數(shù)列)相隔等地離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列,即右小，?！堑缺葦?shù)列.公比為小

數(shù)

若m.n.p(m,n.pEN)成等差數(shù)列,則?,?.4成等比數(shù)列

列Bn

■na,（7=l）,

等ME="32（小）

比公式

數(shù)-----------0

列

的

<前〃項(xiàng)和等比數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為S°,則邑,5/5”,$「5%仍成等比數(shù)列.其公比為產(chǎn)〃為

前

〃的性質(zhì)偶數(shù)且?=-)除外)

項(xiàng)、e'--------------------------------------------------------

和

.對(duì)點(diǎn)自測(cè)

I.已知｛為｝是等比數(shù)列，“2=2,〃4=條則公比4=()

A.一[B.-2

C.2D.±|

解析：D設(shè)等比數(shù)列的公比為4，1(〃“｝是等比數(shù)列，"2=2,"4=：.，01=〃2/，，/=%=：,，〃=土:.

2.在等比數(shù)列｛小｝中，4M6=24,則/=()

A.3V2B.±3V2

C.2V6D.+2V6

解析：D由或=。4俏=24,???。5=±2遙.故選口.

3.（2022?全國(guó)乙卷8題）已知等比數(shù)列｛。〃｝的前3項(xiàng)和為168,。2—即=42,則以>=（）

A.14B.12

C.6D.3

解析：D設(shè)等比數(shù)列｛小｝的首項(xiàng)為⑶，公比為夕，由題意可得『1+02+。3=168,即Qi(1+q+q")=168?

-Qs=42,a,a(1—a3)=42,

（a=96,「

解得-1所以〃6=〃4=3.故先D.

4已知數(shù)歹！J｛aj滿足:1>Sn=dn+[（〃￡N"）,則$2025=（）

A.22O23B.22024

C22025D.22026

解析：B由題意，s尸S“+1-S”，即S”+]=2S〃，又S|=1,故｛S“｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故S,產(chǎn)

lX2n-，=2n-，,故S2025=22°24,故選B.

.常用結(jié)論

L若｛〃〃｝,｛bn｝（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則｛腦/（掙0）,｛J,｛喇，伍而）,餞｝仍是等比數(shù)列.

2.當(dāng)q=l時(shí),*；當(dāng)叱±1時(shí),滬印.

3.S"j+〃=S〃+cflSm=Sm

4.若ais?…?a”=T“，則北，等，箸，…成等比數(shù)列.

TnT2n

5.若數(shù)列｛斯｝的項(xiàng)數(shù)為2〃，則等=%若項(xiàng)數(shù)為2〃+1,則與2=%

$奇5偶

、應(yīng)用

1.已知等比數(shù)列（〃”｝中，若a”=2-3"L則a：+a；+Q/H----（）

A.（3M-I）2B.-（9"-1）

2

C.歹一1D.-（3n-l）

4

解析：B由結(jié)論1可知，數(shù)列｛嫌｝是首項(xiàng)為4,公比為9的等比數(shù)列.因此憂+諼+…+成="三（9〃一

1）.

2.等差數(shù)列｛詼｝的前〃項(xiàng)和為S，則S,，S8f&2f&6-22成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有:設(shè)等比數(shù)列｛仇｝

的前〃項(xiàng)積為方，則—，—，著成等比數(shù)列.

712

林案.wIll

解析：由結(jié)論4可知，.，9署善成等比數(shù)列.

UT8712

分類突破七精選考點(diǎn)典例研析技法中悟通課堂演練

等比數(shù)列基本量的計(jì)算

（基礎(chǔ)H學(xué)過關(guān)）

1.（2023?全國(guó)甲卷5題）設(shè)等比數(shù)列5｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前〃項(xiàng)和為S”，若0=1,Ss=5Sa—4,則S=

（）

.15D65

A-B.—

88

C.15D.40

解析：C法一若該數(shù)列的公比夕=1,代入Ss=5S3-4中，有5=5義3—4,不成立，所以gWL由富=

5X言一4,化簡(jiǎn)得d—5/+4=0,所以q2=i（舍）或爐=%由于此數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以q=2,所以S4

=匕貯=15.故選C.

1-47

法二由已知得1+4+才+13+/=5（］+4+爐）—4,整理得（1+令）（43_的）=0,由于此數(shù)列各項(xiàng)均為正

數(shù)，所以夕=2,所以*=1+夕+/+/=1+2+4+8=15.故選C.

2.（2023?全國(guó)乙卷15題）已知｛m｝為等比數(shù)列，424445=4346，的00=-8,則R=.

答案：一2

解析：法一設(shè)數(shù)列｛〃”｝的首項(xiàng)為公比為d由42田。5=4346，。必0=—8,得";Q1'即

la河”=一8,儲(chǔ)15=-8,

。2=1，/=-2.?'?47=。24'=1X（-2）=-2.

法二設(shè)數(shù)列｛〃〃｝的公比為2aMi6H，a2=1.又。900=。24。248=4”=-8,于是g$=—2,.\m=a2q5

=-2.

3.（2023?全國(guó)甲卷13題）記S〃為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若8s6=7&，則UJ的公比為.

答案：一］

解析：設(shè)等比數(shù)列｛〃”｝的公比為q（qWl）.由8s6=7S3,得8X”子~=7X巴■甘.整理，得的。一7寸一1=

0,解得q=—

練后悟通

等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題策略

（1）方程思想：等比數(shù)列的基本量為首項(xiàng)m和公比/通常利用已知條件及通項(xiàng)公式或前〃項(xiàng)和公式列方程

（組）求解，等比數(shù)列中包含m,小〃，a”,5“五個(gè)量，可“知三求二”；

（2）整體思想：當(dāng)所給條件只有一個(gè)時(shí)，可將已知和所求都用0,q表示，尋求兩者間的聯(lián)系，整體代換即可求

解；

（3）分類討論思想：若題目中公比q未知，則運(yùn)用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式時(shí)要分q=l和qHl兩種情況進(jìn)行討論.

等比數(shù)列的判定與證明

（師生共研過關(guān)）

［例1］（教材題改編）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列｛為｝滿足5詼+2+4如+1—%=（）.證明數(shù)列｛%+&+』為等比數(shù)列.

證明：各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列｛〃"｝滿足5斯+2+4?！?1一m=0,

得研什如+2=；（研|+如），即安現(xiàn)y,

5Qn+Qn+i5

所以數(shù)列｛為+斯+1｝是公比為:的等比數(shù)列.

?.七=&一1,-Cj）

等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

?:

（定向精析突破）

考向/等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)

【例2】（1）（2024?陜西模擬）等比數(shù)列｛“〃｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且〃4的=8,則logg+log4a2H-----HogM8=

（）

A.8B.6

C.4D.3

（2）（2024?景■德鎮(zhèn)?！鰯M）已知等比數(shù)列｛“〃｝滿足：0+02+43+04-45=6,的=3,則工+工+工+工+三=___.

Q102。3°405

答案：（1）B（2）-

3

4

解析：（1）因?yàn)?4as=8,所以IOg4〃l+lOgM2H-----Hog4〃s=log4（342…。8）=log4（。4〃5）4=log48=lOgM6=6.

故選B.

（2）因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列,所以內(nèi)的=。2〃4=譴=9,所以三=等，上=詈，￡=?,上=詈,所以上+三+―+三+

,陽9aq9a79a490a7由aA

十=3（3+出+的+念+⑶）=~1.

解題技法

1.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若，〃+〃=〃+小則%⑼尸

劭?的”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度.

2.在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想

的運(yùn)用.

考向2等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)

【例3】（1）（2023?新廟考II卷8題）記S〃為等比數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和，若S4=-5,S6=2\S2,則S$=

（）

A.120B.85

C.-85D.-120

（2）（2024.紹興模擬）已知等比數(shù)列｛3｝共有2〃項(xiàng)，其和為一240,且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80,則公比q

答案：（1）C（2）2

解析：（1））4—設(shè)等比數(shù)列｛m｝的公比為".若夕=1,則S尸〃出，不滿足S6=21S2,???4二1?由$6=2152,得

%=23（1+g）.整理，得1一46=21（1一42）,即（1—/）（T+g2_2o）=0.顯然qW±］,.?.T+g2

Qi41i-［：i+q4）2

—20=0,解得爐=—5（舍去）或q2=4.；?S8=；二二==（［+夕4）54=（1+4）X（—5）=

一85.故選C.

法二易知S2,S4-S2,S6-S4,5‘8一義，…為等比數(shù)列，.?.（SLSG2=S?,（SG-SA），解得S2=—1或S2=：.當(dāng)

4

$2=—1時(shí)，由（S6—S4）2=（54-52）-（58—S6）,解得§8=—85；當(dāng)§2=：時(shí)，結(jié)合§4=一5得

4

a】（l-q4）=_5,

a」：]:〉5'化簡(jiǎn)可得/=-5,不成立，舍去.???S8=-85,故選C.

（1-74'

⑵由題意，設(shè)奇數(shù)項(xiàng)的和為S,偶數(shù)項(xiàng)的和為S2,得伊―$2=80,=[*=—80,故公比。=華=二嘿=2.

1品+$2=一240（S2=-16O,SI-80

解題技法

恰當(dāng)?shù)厥褂玫缺葦?shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)，如當(dāng)夕W—1,或g=一1且〃為奇數(shù)時(shí)，S?,S2n—S“，S3〃一S2〃，…仍成

等比數(shù)列等，可以避繁就簡(jiǎn)，運(yùn)算簡(jiǎn)便的同時(shí)避免了對(duì)公比q的討論.但須注意性質(zhì)的使用條件，并結(jié)合題設(shè)尋找

使用性質(zhì)的切入點(diǎn).

、訓(xùn)練

I.等比數(shù)列｛aj中，。5，S是函數(shù)/a）=f-4.r+3的兩個(gè)零點(diǎn)，則〃3?〃9=（）

A.-3B.3

C.-4D.4

解析：B〃7是函數(shù)/（x）=f—44+3的兩個(gè)零點(diǎn)，，。5,S是方程X2—4,f+3=0的兩個(gè)根，.,?的辿7=3,

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得43幻9=的幻7=3.故選B.

2.設(shè)等比數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S”，若圣=3,則1=—.

蝕:空..

0木.3

解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)知，S3,S6—S3,S9—S6仍成等比數(shù)列，由已知得S6=3S3,所以紜&=舛，即$9-56

§356-S3

=4S3,SQ=7S3,所以第=；.

等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題

（師生共研過關(guān)）

【例4】（2022?新廟考H卷17題）已知｛?。堑炔顢?shù)列，彷〃｝是公比為2的等比數(shù)列，且公一歷=的一加=九一

C14.

（1）記明：a\=b\\

（2）求集合｛川氏=%+m,1W/?W5OO）中元素的個(gè)數(shù).

解：（1）證明：設(shè)等差數(shù)列｛?。墓顬閐,

由生一卜2=43—83得4i+d-2"="1+24—4"，即d=2b\y

由公一岳=力4—44得〃i+d—2"=86一（m+3d）,即。1=5加一2d.

將代入，得2X24=/力，即0=".

（2）由（1）知。"=〃1+（//—1）d=a\+（/?—1）X2/?i=（2/z—1）m,E=加211

由々=而+。1得4?2尸1=（2m—1）

由。1="工0得2k~'=2m,

由題知14用〈500,所以242〃W1000,所以4=2,3,4,…，10,共9個(gè)數(shù)，即集合｛&I瓦=a“+m,

1W〃S5OO｝=｛2,3,4,…，10｝中元素的個(gè)數(shù)為9.

解題技法

解決等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題的一般思路

(1)解決等差、等比數(shù)列綜合問題的關(guān)鍵在于運(yùn)用它們的有關(guān)知識(shí)，理順兩類數(shù)列的關(guān)系，注意運(yùn)用等差、等比

數(shù)列的相關(guān)量表示數(shù)列中的有關(guān)項(xiàng)，從而建立基本量之間的關(guān)系進(jìn)行求解；

(2)注意等差數(shù)列與等比數(shù)列之間可以相互轉(zhuǎn)化，對(duì)正項(xiàng)等比數(shù)列取對(duì)數(shù)可得到等差數(shù)列，以等差數(shù)列的項(xiàng)為寐

指數(shù)的同底數(shù)的寐值則構(gòu)成等比數(shù)列.

E訓(xùn)練

已知公差不為0的等差數(shù)列｛廝｝的前〃項(xiàng)和為為,S1+1,S3,S4成等差數(shù)列，且。2,的成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若S4,S6,1成等比數(shù)列，求〃及此等比數(shù)列的公比.

解：(1)設(shè)數(shù)列｛小｝的公差為乩

253=S、+I+S4，僅1=1，(

今=耍5，整理得]d=2a「即卜j

d不0,(dHO,d-2,

a?=2n—1!.

(2)由(1)知斯=2〃-1,:?S〃=庶,.*.54=16,§6=36,

乂5況=S3???〃2=嬰=81,."=9,公比

16544

眼琮檢測(cè)I:關(guān)譙能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)

A級(jí)?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.在正項(xiàng)等比數(shù)列仿〃｝中，若卬=1,Q3=2G+3,則其前3項(xiàng)的和$=()

A.3B.9

C.13D.24

解析：C設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛m｝的公比為9S>0).因?yàn)?=1,s=2s+3,所以q2=2q+3,解潺q=3(負(fù)值舍

去).則其前3項(xiàng)的和5=1+3+32=13.故選C.

2.等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和為a=3加+r,則r=()

D?W

2al2n32n322n32,12

解析：B當(dāng)〃=1時(shí)，《=Si=3+r：當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn-Sn-\=3~-3~=3~(3-1)=8-3-=8-3--3~

.汐門，所以3+『、即「=一：，故選B.

3.(2024.長(zhǎng)沙一模)數(shù)列中,6/1=2,am+n=atlla?t則由=()

A.8B.16

C.12D.24

解析：B法一因?yàn)榧?〃=4二“恒成立，所以當(dāng)加=1時(shí)也成立,即小+1=〃1⑶，又0=2,所以斯”=2%，所

以數(shù)列｛的)是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以斯=2”,則內(nèi)=24=16,故選B.

法一“,”“=0”?！?，〃[=2,則44=，2。,2=41。1。141=af=2，=16,故選B.

4.一個(gè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)的積為3,最后三項(xiàng)的積為9,且所有項(xiàng)的積為729,則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是()

A.13B.12

C.llD.10

3

解析：B設(shè)該等比數(shù)列為｛〃“｝,其前〃項(xiàng)積為7；,,則由已知得aiss=3,a?2-a?i-an=9tA（?）.??）=3X9=

33,.??ais=3.又刀尸4「〃2?…a〃-ra”，刀》=4M……如內(nèi),，甲=即7292=3",n=\2.

5.（多選）設(shè)等比數(shù)列｛分｝的公比為g,則下列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列｛0G+J是公比為才的等比數(shù)列

B.數(shù)歹U｛如+。“+|｝是公比為g的等比數(shù)列

C.數(shù)列。一所+1｝是公比為g的等比數(shù)列

D.數(shù)列｛￡｝是公比為;的等比數(shù)列

解析：AD對(duì)于A,由巴3=/（八22）知數(shù)列伉小+J是公比為d的等比數(shù)列：對(duì)于B,若”=一1時(shí),數(shù)列

an-ia?

｛0+劣+i｝的項(xiàng)中有0,不是等比數(shù)列；對(duì)于C,當(dāng)4=1時(shí)，數(shù)列｛““一如+|｝的項(xiàng)中有0,不是等比數(shù)列；對(duì)于

1

D,率=2=二，所以數(shù)列是公比為三的等比數(shù)列.

而?n+iqQnJq

6.（多選）（2024?福州聯(lián)考）己知等比數(shù)列｛%｝的公比為q,且“5=1，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.s+a?》？

Bg+aBZ

C.o?—2為+120

D“3-2出一120

解析：AC根據(jù)題意可得43吟，吟,恁=%S=f，43+。7=/+/22,當(dāng)且僅當(dāng)才=1時(shí)取等號(hào)，故A正

確；出十伙^^+夕，當(dāng)g<0時(shí)，值為負(fù)數(shù)，故B錯(cuò)誤；2恁+1=/—2g+1=（4一1）220,故C正確；內(nèi)一

2?4—1=~2~~~=（；—1）2—2,可知存在q使得2al1V0,故D錯(cuò)誤.故選A、C.

7.（2024?泉州一模）已知數(shù)列一1,m，。2,-4成等差數(shù)列，一1,仇，勿，仇，一4成等比數(shù)列，則氣&的值

是—.

答案：I

解析：??,一1,他，一4成等差數(shù)列，工等差數(shù)列的公差為=-1,bi,bi,ba,-4成等比數(shù)

44一—（一1"

列，，贊=-IX（—4）=4,；?岳=±2,又,..一I,bi,-4同為等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，故同號(hào)，二力2=-2,

.-1-1

b2-22'

8.（2024?徐州模擬）已知等差數(shù)列｛4｝的公差為2,其前〃項(xiàng)和S”=p/+2〃（〃￡N*）.

（1）求實(shí)數(shù)〃的值及數(shù)列｛?！ǎ耐?xiàng)公式；

（2）在等比數(shù)列｛與｝中，仇一切，仇一牝+4,若｛兒｝的前〃項(xiàng)和為〃，求證：數(shù)列｛及+:｝為等比數(shù)列.

nWX>

解：（1）Sn=na｝+2d=na\+n（〃-1）=/+（?|—1）n,

又S“=P〃2+2〃（〃￡N*）,所以〃=1,0—1=2,即0=3,

所以an=3+2（?-1）=2〃+l.

（2）記明：因?yàn)樨?=〃1=3,兒=e+4=9,所以g=3,

所以為=加4廠3=3"-2,所以"三，

所以/一：；=中,所以。+[=?,

又不十冷,所以潟=去=3（心2）,

所以數(shù)列｛%+2｝是以g為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)歹寸.

B級(jí)?綜合應(yīng)用

9.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛小｝,滿足43=%|+。2,若存在兩項(xiàng)而，即，使得何工=40，則A+：的最小值

為（）

A.2B.-

2

C.-D.I

3

解析：B因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列｛?。凉M足s=2m+〃2,設(shè)其公比為小則〃〃>0,</>0,所以〃i/=2ai+ai/得/一

q—2=0,解得夕=2,因?yàn)樗匀缧?16。工則）?（a\-2n*）=16af,即2"/"2=16=

24,故，%+〃=6,所以工+±=；（機(jī)+〃）（-+-）=7（5+-+—）2；（5+2）="當(dāng)且僅當(dāng)凸=如，即

mn6mn6mn6yjmn2mn

〃=2〃?=4時(shí)，等號(hào)成立，故工+士的最小值為：，故選B.

mn2

10.若數(shù)列仿〃｝滿足硒=3%+2,則稱｛小｝為“夢(mèng)想數(shù)列”，已知數(shù)列梳一1｝為“夢(mèng)想數(shù)列"，且6=2,則4=

（）

A《B.-

8127

；

C.8D.-4

解析：B若住一“為“夢(mèng)想數(shù)列”，則有9一一1=3倍—1）+2,即乙一1=*一］,即/=；,且"=2,所以

I%）如+1J%+ibnbn3

數(shù)列也｝是以2為首項(xiàng)，以g為公比的等比數(shù)列.則兒=2XG）3=5,故選B.

11.（多選）（2024?濟(jì)南一模）已知數(shù)列｛?。?，m=l,斯?斯+i=2"，〃￡N“，則下列說法正確的是（）

A.G=4B.｛S〃｝是等比數(shù)列

C.s〃—42"-1=2"rD.ain—1+42〃=2n+l

解析：ABC,?a\=1,cin-a+\=2n,"?ci2=2〃3=2,cu=4由a”“+i=2"可得a〃+「4”+2=2"1,an+2=2,

nftan

???{%},{?I}分別是以2,1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，???4加=2?為r=2〃,。-7=1?2"一|=2"一1,???。2“一如

-i=2n-1,。力一+。2〃=32廠|彳2"+1,綜上可知，A、B、C正確,D錯(cuò)誤.

12.（多選）已知數(shù)列｛?。透黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛瓦｝滿足：Z（?,+/）=2兒-2,加=2,岳+歷是。3與仇

i=l

的等差中項(xiàng)，數(shù)列｛“〃｝的前〃項(xiàng)和為則下列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)歹U｛小一兒｝是等差數(shù)列

BX=2,,+l-2-n（n^

C數(shù)列｛m｝是遞增數(shù)列

D.￡-<2（1一白）

i=lai如

解析：ABC設(shè)彷”｝的公比為小由題知匕3+/?4=2（岳+①）=兒一優(yōu)一2b2=0=q2—g—2=0=4=2或一1

n

（舍），故含=2",%+〃=2瓦,一2/%-i=2""—2"=2",an=2—ntan—bn=-n,故｛4>一，｝為等差數(shù)列,A正

確；*=2+22+…+2〃一（1+2+…+〃）=2（2〃-I）一匕等±,B正確；m+|一以=2"—121,故｛為｝是遞增數(shù)

列，CJE確；當(dāng)n=\時(shí)，-=1,2（1一《）=1,矛盾，故D錯(cuò)誤.故選A、B、C.

?i如

13.如圖所示，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形，……，如此繼續(xù)下去得到一

個(gè)樹狀圖形，稱為“勾股樹”.若某勾股樹含有1023個(gè)正方形，且其最大的正方形的邊長(zhǎng)為乎，則其最小正方形的

邊長(zhǎng)為.

答案小

解析：由題意，得正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以號(hào)為首項(xiàng)，子為公比的等比數(shù)列，現(xiàn)已知共含有1023個(gè)正方形，則有1+2

+…+2,廠』023,所以〃=10,所以最小正方形的邊長(zhǎng)為吟)心專.

14.已知數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和為S〃,防=1,且24rH=Sn+2(〃￡N").

(1)求s