專題14幾何綜合六種模型

壓軸題密押

通用的解題思路:

題型一：兩垂一圓構(gòu)造直角三角形模型

平面內(nèi)有兩點(diǎn)A,B,再找一點(diǎn)C,使得ABC為直角三角形

分類討論：

若NA=90°,則點(diǎn)C在過點(diǎn)A且垂直于AB的直線上（除點(diǎn)A外）;

若NB=90°,則點(diǎn)C在過點(diǎn)B且垂直于AB的直線上（除點(diǎn)B外）；

若NC=90°,則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上（除點(diǎn)A,B外）.

以上簡稱“兩垂一圓”.

“兩垂一圓”上的點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，但要除去A,B兩點(diǎn).

題型二：兩圓一中垂構(gòu)造等腰三角形模型

分類討論：

若AB=AC,則點(diǎn)C在以點(diǎn)A為圓心，線段AB的長為半徑的圓上；

若BA=BC,則點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心，線段AB的長為半徑的圓上；

若CA=CB,則點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線PQ上以上簡稱“兩圓一中垂”

“兩圓?中垂”上的點(diǎn)能構(gòu)成等腰三角形，但是要除去原有的點(diǎn)A,B,還要除去因共線無法構(gòu)成三角形的點(diǎn)MN

以及線段AB中點(diǎn)E（共除去5個點(diǎn)）需要注意細(xì)節(jié)

題型三：胡不歸模型

【模型解讀】一動點(diǎn)P在直線M/V外的運(yùn)動速度為力,在直線MN上運(yùn)動的速度為也，且也<力，小

確定點(diǎn)的位置使各+隼的值最小.（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）

8為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線上,C

-2匕

CH=kAC

—+—=—[BC+^-AC\,記〃=區(qū)，即求8C+kAC的最小值.

1)匕匕

匕匕^）匕

2)構(gòu)造射線4D使得sin/D4V=k,k=〃，四=必&將問題轉(zhuǎn)化為求8C+CH最小值.

3)過B點(diǎn)作8Hl.AD交MN于點(diǎn)C,交AD于H息,此時BC+CH取到最小值，即8C+kAC最小.

【解題關(guān)鍵】在求形如“%+AP8〃的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與AP8相等的線段，將“以+&P8"型問題轉(zhuǎn)

化為“P>4+PU型.（若Q1,則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。

【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短及垂線段最短。

題型四：阿氏圓模型

【模型解讀】如圖1所示，。。的半徑為「，點(diǎn)4B都在。。外，P為。。上一動點(diǎn)，已知,=/。8,連

接以、P8,則當(dāng)“PA+k-PB”的值最小時，P點(diǎn)的位置如何確定？

如圖2,在線段0B上截取0C使OC=kr,則可說明△8P0與△PCO相似，即kPB=PC。

故本題求“PA+kPB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，

其中與4與C為定點(diǎn)，P為動點(diǎn)，故當(dāng)小P、C三點(diǎn)共線時，“PA+PC”值最小。如圖3所示:

注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：

在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k-%+P8”最值問題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)?/p>

圓時,即通常我們所說的啊氏圓響題.

【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題。

題型五：瓜豆原理模型（點(diǎn)在直線上）

【模型解讀】

瓜豆原理：若兩動點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點(diǎn)的運(yùn)動路徑相同。

動點(diǎn)軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學(xué)進(jìn)程影響，估只對瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。

主動點(diǎn)叫瓜，從動點(diǎn)叫豆，瓜在直線上運(yùn)動，豆也在直線—上運(yùn)動；瓜在圓周上運(yùn)動，豆的軌跡也是圓。

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。

模型1、運(yùn)動軌跡為直線

1）如圖，P是直線8c上一動點(diǎn)，連接4P,取AP中點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在8c上運(yùn)動時，Q點(diǎn)軌跡是？

解析：當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時，。點(diǎn)軌跡也是一條直線.

理由：分別過4、。向BC作垂線，垂足分別為M、N,在運(yùn)動過程中，因?yàn)锳P=24Q,所以QA/始

終為AM的一半，即Q點(diǎn)到8c的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線.

2）如圖，在△APQ中4P=AQ,N%Q為定值，當(dāng)點(diǎn)P在直線8c上運(yùn)動時，求Q點(diǎn)軌跡？

解析：當(dāng)4P與AQ夾角固定且AP:4Q為定值的話，P、Q軌跡是同一?種圖形。

理由：當(dāng)確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始

位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段。

則動點(diǎn)P是以A圓心，48半徑的圓或圓弧。

模型1-4.定邊對定角（或直角）模型

1）一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.

如圖，若P為動點(diǎn)，48為定值，/4P8=90°,則動點(diǎn)P是以AB為直徑的圓或圓弧。

2）一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓弧.

如圖，若P為動點(diǎn)，48為定值，/4P8為定值，則動點(diǎn)P的軌跡為圓弧。

【模型原理】動點(diǎn)的軌跡為定圓時，可利用："一定點(diǎn)與圓上的動點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑

之和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。

壓軸題預(yù)測

題型一：兩垂一圓構(gòu)造直角三角形模型

1.（2023?安溪縣二模）如圖，4B是半圓。的直徑，BPLAB.PO與半圓O相切于點(diǎn)。，連接并延

長，交8P的延長線于點(diǎn)C.

（1）求證：PB=PC；

（2）若。。的半徑為5,彳0=8,求8P的長.

2.（2023?平房區(qū)二模）如圖1,A/l8c內(nèi)接于。。中，為直徑，點(diǎn)。在弧4C上，連接川9,CD.

（1）求證：NC48+NQ=90。：

（2）如圖2,連接。。交4）于點(diǎn)尸，若ND48+2NC4O=90°,求證：AC=CDx

（3）在（2）的條件下，如圖3,點(diǎn)E在線段。/上，連接4E,BE交AD于點(diǎn)H,若NEHA=2/EAH,AE=6,

OF=42,求線段的長.

圖1圖2圖3?

3.（2022?蔡甸區(qū)校級模擬）如圖，點(diǎn)E是正方形/出CO邊8c上一點(diǎn)（點(diǎn)、E不與B、。重合），連接。E交

對角線4C于點(diǎn)尸，的外接圓。交邊46于點(diǎn)G,連接GQ、GE.

（1）求NEQG的度數(shù);

RF5

(2)若生=±,求tan/OEG.

4.(2023?懷化)如圖，力8是。。的直徑，點(diǎn)尸是。。外一點(diǎn)，產(chǎn)力與。。相切于點(diǎn)力，點(diǎn)C為。。上的

一點(diǎn).連接尸C、AC.OC,且PC=P4.

(1)求證：PC為。。的切線；

(2)延長PC與48的延長線交于點(diǎn)。，求證：PDOC=PAODx

(3)若NC48=30。，00=8,求陰影部分的面積.

P

5.(2023?廣陵區(qū)二模)如圖，頂點(diǎn)為力(-4,4)的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)(0,0),點(diǎn)P在該圖象上，O尸交其

對稱軸/于點(diǎn)點(diǎn)必、N關(guān)于點(diǎn)力對稱，連接PN,ON.

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-6,3),求AOPN的面積；

(3)當(dāng)點(diǎn)。在對稱粕"左側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動時，請解答人面問題：

①求證：/PNM=ZONM；

6.（2024?寶安區(qū)二模）“海之躍”摩天輪是某地區(qū)的城市名片.濱城學(xué)校九年級（3）班的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)

計劃在摩天輪上測量一座寫字樓的高度.

【素材一】如圖1,“海之躍”摩天輪共有24個轎廂，均勻分布在圓周上.擬測算的寫字樓與摩天輪在同一

平面內(nèi).

【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和鉛錘，制作測角儀器（如圖2）.

即

【素材三】若學(xué)生身高和轎廂大小忽略不計，如圖3,摩天輪的最高高度為128米，半徑為60米，該團(tuán)隊(duì)

分成三組分別乘坐1號、4號和10號轎廂，當(dāng)1號轎廂運(yùn)動到摩天輪最高點(diǎn)時，三組隊(duì)員同時使用測角儀

（1）如圖3,請連接40、BO,WOZ.AOB=°；

（2）求出1號轎廂運(yùn)動到最高點(diǎn)時，4號轎廂所在位置8點(diǎn)的高度.《結(jié)果保留根號）

【任務(wù)二】推理分析，估算實(shí)際高度

（3）根據(jù)觀測數(shù)據(jù)，計算寫字樓的實(shí)際高度。N.（結(jié)果用四舍五入法取整數(shù)，V2?1.41）

7.(2022?江北區(qū)一模)如圖1,四邊形14c。是。。的內(nèi)接四邊形，其中48=/1。，對角線力C、相交

于點(diǎn)E,在4c上取一點(diǎn)尸，使得力尸=48,過點(diǎn)/作G〃_L1。交。。于點(diǎn)G、H.

(1)證明：MED?MDC.

(2)如圖2,若/￡=1,且G"恰好經(jīng)過圓心。，求8cCO的值.

(3)若力E=l,EF=2,設(shè)8E的長為x.

①如圖3,用含有x的代數(shù)式表示A8C。的周長.

題型二：兩圓一中垂構(gòu)造等腰三角形模型

1.(2022?開州區(qū)模擬)如圖，在等腰RtAABC中，AB=BC,。是8C的中點(diǎn)，七為4C邊上任意一點(diǎn),

連接OE,將線段?！?繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段。尸，連接E尸，交48于點(diǎn)G.

(1)如圖1,若月4=6,AE=6,求2。的長；

(2)如圖2,點(diǎn)G恰好是律的口點(diǎn)，連接8/，求證：CD=&BF；

(3)如圖3,若AB=46,連接b,當(dāng)W+正3戶取得最小值時.請直接寫出叉8尸的值.

5

圖3

2.(2023春?璧山區(qū)校級期中)如圖，直線)，=h+Z?經(jīng)過點(diǎn)力(8,0)和8(0,4)兩點(diǎn)，將A4OB沿直線/對折使

點(diǎn)力和點(diǎn)8重合，直線/與工軸交于點(diǎn)。與48交于點(diǎn)。，點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為2,連接8C.

(1)求直線48的解析式：

(2)若點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上，且防￡。的面積為10,求A8OE的周長；

(3)已知)，軸上有一點(diǎn)產(chǎn)，若以點(diǎn)6,C,2為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)

P的坐標(biāo).

題型三：胡不歸模型

1.(2023?湘潭縣校級三模)如圖，拋物線歹=〃1+瓜+3(。/0)與x軸相交于點(diǎn)力(-1,0),8(3,0),與1軸

交于點(diǎn)C,連接8c.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P為)，軸上一個動點(diǎn)，連接4P,求麗。尸+108P的最小值；

(3)連接/1C,在x軸上是否存在一點(diǎn)尸，使得/尸CO+//CO=45。？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

2.12023?徐州二模)拋物線)，=*+加+3與直線y=x+i相交于力、B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)彳在

x軸的負(fù)半軸上.

(I)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)如圖1,直線48上方的拋物線上有一動點(diǎn)P,過點(diǎn)P作于點(diǎn)H,求垂線段P〃的最大值；

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到拋物線對稱軸右側(cè)時，連接力尸，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)/，當(dāng)

最小時，直接寫出此時4P的長度.

3.(2023?丘北縣一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=加+6+4與x軸交于彳(-4,0)、8(2,0)兩

點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接AC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)尸是線段力。上方拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)E是x軸上的動點(diǎn)，連接總、PC,當(dāng)△產(chǎn)力(7的面積最大時，

求PE+包BE的最小值.

2

4.（2019?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線歹=/一2》-3與x軸交于點(diǎn)4,B（點(diǎn)力在點(diǎn)8的

左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)力為拋物線的頂點(diǎn)，對稱軸與x軸交于點(diǎn)E.

（1）連接8。，點(diǎn)”是線段8。上一動點(diǎn)（點(diǎn)M不與端點(diǎn)8,。重合），過點(diǎn)M作MNJ.8Z）,交拋物線

于點(diǎn)N（點(diǎn)N在對稱軸的右側(cè)），過點(diǎn)N作N//1.X軸，垂足為//,交BD于點(diǎn)F,點(diǎn)P是線段OC上一動

點(diǎn)，當(dāng)MN取得最大值時，求/'+儀+'/＞。的最小值；

3

（2）在（1）中，當(dāng)MN取得最大值,，尸+尸尸+!2。取得最小值時，把點(diǎn)尸向上平移e個單位得到點(diǎn)。，

32

連接力。，把A4O0繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度a（0。＜a＜360。），得到△4O2,其中邊42交坐標(biāo)軸

于點(diǎn)G.在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點(diǎn)G,使得NO'NQOG?若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)。

5.（2023?江城區(qū)三模）如圖，拋物線y=-Vid_6Gx+7拒交x軸于力，4兩點(diǎn)（點(diǎn)力在點(diǎn)4左側(cè)），交

y軸于點(diǎn)C,直線y=/工+7及經(jīng)過點(diǎn)4、C,點(diǎn)M是線段力。上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)力，。重合）.

（1）求力，8兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P,。關(guān)于拋物線的對稱軸對稱時，求PM+乎4W的最小值及此時點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）連接BC,當(dāng)A4OM與A48C相似時，求出點(diǎn)股的坐標(biāo).

6.（2024?宿遷模擬）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=aP-2at+3與x軸交于點(diǎn)彳，B（點(diǎn)彳在

點(diǎn)8的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)/的坐標(biāo)為（-1,0）,點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)，對稱軸與x軸交于點(diǎn)E.

（1）填空：。=，點(diǎn)8的坐標(biāo)是；

（2）連接80,點(diǎn)M是線段8。上一動點(diǎn)（點(diǎn)M不與端點(diǎn)8,。重合），過點(diǎn)時作MNJ.80,交拋物線

于點(diǎn)N（點(diǎn)N在對稱軸的右側(cè)），過點(diǎn)N作N7/J.X軸，垂足為H,交8。于點(diǎn)尸，點(diǎn)P是線段OC上一動

點(diǎn)，當(dāng)&MNE的周長取得最大值時，求燈+，PC的最小值；

2

（3）在（2）中，當(dāng)AHN尸的周長取得最大值時，尸尸+上PC取得最小值時，如圖2,把點(diǎn)尸向下平移拽

23

個單位得到點(diǎn)。，連接力0,把A/IO0繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度成0。＜。＜360。），得到△HO。，，其

中邊40,交坐標(biāo)軸于點(diǎn)G.在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點(diǎn)G,使得G2=OG?若存在，請直接寫出所有

圖1圖2

7.（2023?南山區(qū)三模）如圖，在A/1CE中，CA=CE,ZCAE=30°,。。經(jīng)過點(diǎn)C,且圓的直徑44在線

段,4E上.

（1）試說明CE是。。的切線；

（2）若A4CE中邊上的高為力，試用含。的代數(shù)式表示0O的直徑48；

（3）設(shè)點(diǎn)。是線段4C上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接。。，當(dāng)1。。+。。的最小值為6時，求。。的直徑

2

月H的長.

題型四：阿氏圓模型

1.（2024?長沙模擬）閱讀材料，回答下列小題.

閱讀材料1:

調(diào)和是射影幾何重要不變量交比的一種特殊形式，早在古希臘，數(shù)學(xué)家們便發(fā)現(xiàn)了一組具有特殊比例關(guān)系

的點(diǎn)列：調(diào)和點(diǎn)列.

我們定義：若一直線上依次存在四點(diǎn)/，B,C,D,滿足力從。。=以；4/）,則稱為，B,C,。為調(diào)

和點(diǎn)列.從直線外一點(diǎn)尸引射線PA,PB,PC,PD,則稱以，PB,PC,夕。為調(diào)和線束.

（1）如圖1,過圓0外一點(diǎn)。作圓。的切線4，PB,并引圓。的割線產(chǎn)CO,設(shè)PO與力交于點(diǎn)￡.

①求證：P,C,E,。是調(diào)和點(diǎn)列.

②求證：ACBD=BCAD.

閱讀材料2：阿波羅尼斯圓：對于平面上的兩定點(diǎn)4,8和平面上一動點(diǎn)尸，若P到4和8的距禽之比為

定值，則點(diǎn)P的軌跡是一個圓，我們稱該圓是點(diǎn)P關(guān)于48的“阿氏圓”.

（2）根據(jù)閱讀材料1,2,回答①②小題.（本題圖未給出）

①證明阿波羅尼斯圓，并確定該圓圓心的位置.

②若點(diǎn)P關(guān)于48的“阿氏圓”交力〃于C,D,求證：A,C,B,。為調(diào)和點(diǎn)列.

（3）如圖2,48CQ是平行四邊形，G是三角形48。的重心，點(diǎn)P,。在直線8力上，滿足GP與PC垂

直，G0與0c垂直.求證：4G平分NP/i。.

2.(2024?萊蕪區(qū)校級模擬)在A46。中，ZCAB=90°,AC=AB.若點(diǎn)。為力。上?點(diǎn)，連接4。，將4。

繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90。得到連接C￡,交48于點(diǎn)A

(1)如圖1,若乙48￡=75。，BD=4,求力C的長;

(2)如圖2,點(diǎn)G為6c的中點(diǎn)，連接產(chǎn)G交8。于點(diǎn)若448。=30。，猜想線段QC與線段“G的數(shù)

量關(guān)系，并寫出證明過程;

歷

(3)如圖3,若48=4,。為/C的中點(diǎn)，將A48。繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)得△480,連接4c、40,當(dāng)/。+

2

最小時，求S“3C.

3.（2023?萬州區(qū)模擬）如圖，在等腰直角三角形力8c中，ZC=90°,過點(diǎn)。作CO//48交過點(diǎn)8的直線

于點(diǎn)Q,480=30。，直線8。交4C于〃.

（1）如圖1,若AB=2,求8。的長；

（2）如圖2,過點(diǎn)力作/GJ.8。交8。于點(diǎn)G,交BC的延長線于E,取線段45的中點(diǎn)/，連接G尸，

求江：GF+y/3G/I=1311.

（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)D作口PJ./B交力B于點(diǎn)P,若點(diǎn)M是線段G/7上任一點(diǎn)，連接8M,將A8GM

沿曲折疊，折疊后的三角形記為△8G3當(dāng)年e+QG，取得最小時'直接寫出的值.

4.（2022?從化區(qū)一模）已知，力8是。。的直徑，AB=46,AC=BC.

（1）求弦8c的長；

（2）若點(diǎn)。是48下方。。上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)4,8重合），以CO為邊，作正方形CQE/7,如圖1所示,

若M是。產(chǎn)的中點(diǎn)，N是8c的中點(diǎn)，求證：線段MN的長為定值；

（3）如圖2,點(diǎn)尸是動點(diǎn),RAP=2,連接CP,PB,一動點(diǎn)。從點(diǎn)c出發(fā)，以每秒2個風(fēng)位的速度沿

線段C尸勻速運(yùn)動到點(diǎn)產(chǎn)，再以每秒1個單位的速度沿線段尸8勻速運(yùn)動到點(diǎn)3,到達(dá)點(diǎn)8后停止運(yùn)動，求

點(diǎn)。的運(yùn)動時間/的最小值

3

圖1圖2

5.（2022?市中區(qū)校級模擬）如圖，在A/18C與ADEF中,AACB=ZEDF=90°,BC=AC,ED=FD,

點(diǎn)。在48上.

(1)如圖1，若點(diǎn)尸在4c的延長線上，連接4E,探究線段乂/、AE、4。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你

的結(jié)論;

(2)如圖2,若點(diǎn)〃與點(diǎn)/I重合，且力。=3夜，DE=4,將AD石廠繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，連接4廣，點(diǎn)G為6戶的

中點(diǎn)，連接CG,在旋轉(zhuǎn)的過程中，求#G+8G的最小值;

(3)如圖3,若點(diǎn)。為的中點(diǎn)，連接8”、CE交于點(diǎn)"，CE交AB于點(diǎn)、N,且BC:DE:MEC9.1。,

請直接寫出土的值.

CN

題型五：瓜豆原理模型（點(diǎn)在直線上）

I.（2022?沈陽）【特例感知】

⑴如圖1,AJO8和鴛。。是等腰直角三角形，4O8=NCOZ）=90。，點(diǎn)。在04上，點(diǎn)。在80的延

長線上，連接X。，BC,線段4D與8。的數(shù)量關(guān)系是；

【類比遷移】

（2）如圖2,將圖1中的ACO。繞著點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)。（0。＜。＜90。），那么第（1）問的結(jié)論是否仍然成立？

如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，說明理由.

【方法運(yùn)用】

（3）如圖3,若48=8,點(diǎn)C是線段外一動點(diǎn)，力。=3百，連接8C.

①若將C8繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到C。，連接/1。，則力。的最大值是;

②若以5C為斜邊作RlABCD（B,C,。三點(diǎn)按順時A排列），ZCDB=90°,連接力。，當(dāng)

NC8O=ND48=30。時，直接寫出力。的值.

圖1圖2圖3

2.（2021?武進(jìn)區(qū)模擬）如圖①，二次函數(shù)y=f2+笈+c的圖象與二軸交于點(diǎn)彳（7,0）、8（3,0）,與歹軸交

于點(diǎn)C,連接8C,點(diǎn)。是拋物線上一動點(diǎn).

①②

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式.

（2）當(dāng)點(diǎn)產(chǎn)不與點(diǎn)力、4重合時，作直線力產(chǎn)，交直線8c廣點(diǎn)Q,若A44Q的面積是A4PQ面積的4倍,

求點(diǎn)尸的橫坐標(biāo).

（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時，連接力P,交線段BC于點(diǎn)M,以AM為斜邊向AABM外作等腰直角

三角形4WN,連接AN,A48N的面積是否變化？如果不變，請求出&48N的面積；如果變化，請說明理

由.

題型六：瓜豆原理模型（點(diǎn)在圓上）

1.（2023?崖州區(qū)一模）若力。=4,以點(diǎn)。為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)。為該圓上的動點(diǎn)，連接力P.

（1）如圖1,取點(diǎn)8,使A48C為等腰直角三角形，ABAC=90°,將點(diǎn)P繞點(diǎn)力順時針旋轉(zhuǎn)90。得到片夕.

①點(diǎn)P的軌跡是一（填“線段”或者“圓”）;

②的最小值是一；

（2）如圖2,以力產(chǎn)為邊作等邊A4FQ（點(diǎn)力、P、。按照順時針方向排列），在點(diǎn)產(chǎn)運(yùn)動過程中，求CQ

的謾大值.