新高考數學一輪復習

第講平面向量

＜典，般有大小又有方向的忸叫做向斌

如癡?亞人仁林雨〃5：反之.

平面向量的概念及線性運算

!0l!Ua//illA?6,則一定44M的坎數3

如果，卡匕足“?個￥回內個不從HU4H.

屏么對rWtftfii內的什?TM；.標“G”?的

使制：■:.篙?￡,；.我城口H＜；.,則做

H本定建

&不國面內所有向*的fltttt.id為（*1,

入，4,則他矢JMH?，J的分網式?

平面向應基本定理和性質

企&usl.?匕助票也eriJi點.iuz＞=）j）c（xxi）?

線ta定比分點

的向總表達五

Y而內X14.B.CJ1線的€要條件是：

〃住攻佳儀1入。4，|1。瓦）VPU|lsl.。為平面內咱.）

化Zvibc中，若總〃是山”（的中點,則中線向皮歷?；（.正?.!?）

平面向量的坐標表示及坐標運算

-J/.如圖)?2二3)，&IWlftBi僦d—〈c?叫做?"6ma以&?、

、------------------------------z\W<I?M19?1，*“仙加0?RKty

品，3叫做“*iA5〃必L的相影數?，

平同同日的做BQ

飛力也他N?它是上?h

Y向122的以電?

,⑸，批他N?它是魚鼓：

?平南向■毆■枳的幾句意義廣~i0為自用H?它般。?

-＜］：$的兒“食義戶tN4BG?5等I2的K■焦|i&5A￡4向I:射比即se晌*&!.；

a?B=B?a

跤量積的運口it

(o+8)?c=a?c+6?c

r-a=a-r=|a|cos9

alb^a*b-0

平面向量的數量積及其應用同時,1J?Ms

敢守積的性質*1〉亦反向時.U麗.

3'=瑞耐

5國，麗

已如豐零向后:???.)?》-(/?%)?。為白敬，；、/?津)央角.

結論幾X&示生林&示

校11-出?s而上?一

ttmmab^alfi|c??"if?牛/，八八

大危cm-二…-"吐心—

跤HI積的強標運13

Si6iwfc?*ni'b-0Vj+ri/i-0

方〃X的充要條件Ab(b<0)

|3-6|1|方］?的|3，國力|，|(當II僅

l-Vi杈積5?4?只

XA芻時寸號戒也》

方法與技巧

技巧一.三角形四心與推論：

(1)O是A/18C的重心：s.:S.co.:S^0B=\:\:\^OA+OB+OC=().

(2)O是△ABC的內心：S.-.BOC:S.co.:S^.OB=a:b:coaOA+bOB+cOC=0.

(3)O是ZXABC的外心：

S,MOC：SCOA：S/SOB~sin2A:sin2B:sin2C=sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=6.

(4)。是AABC的垂心：

S6BOC-Szg：S盤OB~tanA:tanB:tanC=tanAOA+tanBOB+tanCOC=6.

技巧二.常見結論

(1)內心：三角形的內心在向量至所在的直線上.

網國

(2)網?元+|網.M+同.方=。=~為&8。的內心.

(2)外心：。$='@='@=?為2\48。的外心.

(3)垂心：PApB=PBpe=PCPAQP為"BC的歪心.

(4)重心：川+/力+〃C；=(jo戶為/MBC的重心.

題型一：平面向量的基本概念

【典例1?1】下列命題不正確的是（）

A.零向量是唯一-沒有方向的向量

B.零向量的長度等于0

ab

c.若人心都為非零向量，則使同+付=成立的條件是2與否反向共線

D.若2=1,務=3?a=c

【答案】A

【解析】A選項，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；

B選項，由零向量的定義知，零向量的長度為0，故B正確；

ab

C選項，因為己與鬲都是單位向量，所以只有當丁與國是相反向量，即2與否是反向共線時曰+后

才成立，故C正確；

D選項，由向量相等的定義知D正確.

故選：A

【方法技巧】

準確理解平面向量的基本概念是解決向量題目的關鍵.共線向量即為平行向量，非零向量平行具有傳

遞性，兩個向量方向相同或相反就是共線向量，與向量長度無關，兩個向量方向相同且長度相等，就是相

等向量.共線向量或相等向量均與向量起點無關.

【變式1?1】給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；②兩個向量不能比較大小，

但它們的模能比較大?。孩廴簟睘閷崝担瑒t入必為零；④已知九"為實數，若41=疝,則￡與

A共線.其中錯誤命題的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】①錯誤.兩向量共線要看其方向而不是起點與終點.

②正確.因為向量既有大小，.乂有方向.故它們不能比較大小，們它們的模均為實數，故可以比較大小.

③錯誤.因為41=0,所以幺=0或3=0.

④甯誤.當/="=（）時，=f.ib,此時，Z與B可以是任意向最

所以錯誤命題有3個.

故選:C.

題型二：平面向量的線性運算及求參數問題

【典例2?1】如圖所示，平行四邊形A8CD的對角線相交于點。，石為A。的中點，若

DE=2AB+//4/)(2,//eR)>則4+〃等于().

A.1B.-1C.!D.—

22

【答案】D

TTT-?1->T]TT1T3T

【解析】由題意知。￡=力4+4七=-人。+24。=-4。+上(4a+人/))=24^-二4。，

4444

TTT13|

因為oZ=/l4%+〃Ab(/l,〃eR),所以a=工，〃=-彳,2+〃=-],

故選：D.

【典例2?2】古希臘數學家特埃特圖斯(Theaetelus)利用如圖所示的直角三角形來構造無理數.已知

AB=BC=CD=1,AB1.BC,AC上CD,AC與BD交于點、O,若加=九4月+卜(/，則丸+〃=()

A.^2-1B.1—^2C.^2+1D.—yfo,—1

【答案】A

【解析】以。為坐標原點，CDC4所在直線分別為x,y軸建立如圖所示的坐標系,

由胭意得AC=0，

則A（0,血）,8與日,C（O,O）J?=與一當,AC=（0,-x^2）.

\//

因為CB=C7）=1,NOCB=90+45=135°,故N4DC=225,

因為tan45'=2tan22.5=%所以tan22.5=應-1（負值舍去），

l-tan~225

所以。C=OCtan22.5=a-1，

故又0（-1,0）,則而=（1,&-1）,

1=——X

因為Z）0=Q^+NAC,所以，2,

夜一1=一當4一圓

、2

人=07-

解得,所以2+〃=&-1,

〃=一］

故選:A.

【方法技巧】

（I）兩向量共線問題用向量的加法和減法運算轉化為需要選擇的目標向量即可，而此類問題又以“爪

子型''為幾何背景命題居多，故熟練掌握“爪子型''公式更有利于快速解題.

（2）進行向量運算時，要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或

首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數乘運算來求解.

（3）除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關系外，有時還需要利用三角形中位線、相似

三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為與己知向量有直接關系的向量來求解.

【變式2?1］如圖，在平行四邊形A8CQ中，AB=a,AD=h,點E滿足石，=’48,則詼=（）.

3

【答案】A

I__2__

【解析】由題意知，點E滿足=^^AE=-AC,

33

________2_____2________21

貝1」詼=而-而=一蔗-而=一（而+而）-而=與--b.

3333

故選:A.

【變式2-2】已知矩形A8C。的對角線交于點O,E為A。的中點，若灰=4而+〃而（2,〃為實數）,

則筋一〃2=（）

3-272八I+V2

Lz?

22

在矩形ABC。中，

W=^（DA+DC）,

在公。!。中，

DE=^（DA+DO）,

，礙臚+通覺小乒國眄

13

*〃=一屋

「22191

..4-L1----------=-----

16162

故選:A.

題型三：共線定理及其應用

【典例3?1】己知平面向量入辦不共線，AG=4a+而,BC=-a+3b，6=3+3心則（）

A.A,8,。三點共線B.A,B,。三點共線

C.8,C,。三點共線D.A,C,。三點共線

【答案】D

【解析】因為平面向量3，石不共線，所以Z，辦可以作為平面內的一組基底，

乂A月=43+缶，8。=一）+m，CD=a+3bI

目7以8/j=6C+O5=￡+3/；-￡+%=6/；，AC=AB+BC=-a+3b+4d-^=3a+9b^

對于A：因為4月=4￡+6/；，“=砧，、B然不存在實數，使得，月=制3，

所以A,B,力三點不共線，故A錯誤；

對于B：因為A?=4a+6/；，AW=&；+95,不存在實數"使得=，

所以A,B,C三點不共線，故B錯誤；

對「C：因為炭=-)+笳，CD=a+3bf不存在實數“使得配=/宛D，

所以6,C,D三點不共線，故C錯誤；

對于D：因為*=3￡+94,CD=(i+3b^所以衣=3S，

所以XC//C萬，故A,C,力三點共線，故D正確.

故選：D

__2一

【典例3?2】如圖，“IBC中，點M是8。的中點，點N滿足AN=?A8,AM與OV交于點。,

而二4而7,則2=()

【答案】C

【解析】在448C中，點M是8c的中點，AM=^-AB+^-AC,則4萬=/UA/=4A方+，

2222

uuUUD

又—AN=.2A—B,于是得AuuOu=^34/V?+gAAC,因點C,D,N共線，則有一32+梳2=1,解得九二］4，

所以4=14.

故選：c

【方法技巧】

要證明4,B,C三點共線，只需證明4與比共線，即證=(2e/?).若已知A,B,。三

點共線，則必有AQ與共線，從而存在實數4,使得通=

【變式3-1］已知［，］是兩個不共線的單位向量，a=&—=-2e；+k最,若值與B共線，則仁=.

【答案】2

【解析】因為。=Gj與B=2etIAre2共線，所以

_2一義

即-21+砥=/怎一可，又?不共線，所以［二y所以攵=2.

故答案為：2

【變式3?2】如圖，在&43C中，*=3麗,P是BN上的一點,若入戶=?！?；）+"AC；則實數加的值

CD

【答案】D

【解析】由題意可知，AN=^NC,所以尼=3蘇"

一（I、一1——（1A—1—

乂入P=，〃+—AB+-AC,即AP=，〃+—A8+-AN.

<3）9\3J3

因為從P、N三點共線，所以（m+］+；=1,解得/〃=:.

IJ/JJ

故選：D.

【變式3-3］如圖，點G為aABC的重心，過點G的直線分別交直線A8,AC點。，E兩點,

AB=3mAD(ni>0),AC=3nAE(n>0),則/〃+〃=；若〃>/〃>0,則,+—!—的最小值為.

mn-m

【答案】13+2&

【解析】因為點G為A/WC的重心,

mi1umr1uiir

所以4G=-A8+-AC,

因為彳8=3mAD(m>0),AC=3nAE[n>0),

所以AG=mAD+nAE，

因為2G,E三點共線，

所以〃2+，2=1,

則〃=1—Hl>〃2,則0<HI<一,代入一H-----得一4------,0<"?<一

2mn-mm1-2m2

令"加持匕‘°<〃匕

/，("?)=—7H-------

7w(1-2/W)

_-2m2+477?-1

m2(I-2〃?)~

B或生"（舍）

令「（帆）=0,則〃?=

22

且當mw0.三版

時，r（，〃）〈ojw）遞減

（y_JyiA

當陽￡一，一，彳時，/'（〃?）>（）,/（〃。遞增

乙乙

所以當〃一三巨時，/（,〃）有極小值，即最小值,

,，（〃?）_=----l4---7---=r=3+25/2

且“小n2—a1-（2->/2）

F

故答案為：1;3+2JL

題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應用

【典例4-1】給定平面上的一組向量［、則以下四組向量中不能構成平面向量的基底的是（）

A.20+6和q-/B.q+3e2和e2+3q

C.3e（-e2和2e2-64D.e］和e,+e2

【答案】C

【解析】對A：不存在實數％,使得24+E=4何-可，

故24+可和1-可不共線，可作基底；

對B：不存在實數4,使得0+3a=/1伍+3可，

故1+34和1+3冢不共線，可作基底；

對C：對宓-晟和2^-61，因為4方是不共線的兩個非零向量，

且存在實數一2,使得2e?-6q=-2（3q-ej,

故和區(qū)-6e；共線，不可作基底;

對D：不存在實數4,使得1=2怎+可,故4和4+最不共線，可作基底.

故選:C.

【典例4-2］如圖，在A44C中，點Q,D,K分別為"C和"4的三等分點，點?？拷c段月。交CE于

點P，設碇=3，麗=萬，則8戶=（)

C./+夕

A,-，+力B.-a+-bD.

777777

【答案】B

【解析】設Q=2而，￡戶="￡。,

所以麗=/_麗=丸和一麗=亢（而—或）_而,

?2

又2力=5初，所以而=§配+（1-4）雨,

—2—

因為8E=§84,

所以8戶=8啟+￡戶=日函+〃50=日函+〃（86;-3左）=弓（1一4）8.+〃86；,

A

A=-

3=〃7

所以；2，解得'

1

------u=1—A.

33戶

所以麗=醇+押*+/,

故選：B.

【方法技巧】

應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加法、減法或

數乘運算，基本方法有兩種：

（1）運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行化簡，直至用基底表示為止.

(2)將向量用含參數的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解.

(3)三點共線定理：A,B,。三點共線的充要條件是：存在實數44，使加=%)+〃而，其中

尤+〃=1,。為AB外一點.

【變式4-1］在中，點。在邊A8上且滿足罟=2,E為BC的中點，直線。E交AC的延長線于點

凡則際=()

A.麗+2而B.一麗+2陽C.WA-RCD.-2R4+BC

【答案】B

【解析】

由題，A,C,尸三點共線，則/麗+(1-2)雨,

D,E,產三點共線，則8戶=〃B/5+(l—〃)8^=3函+彳8。,

2=A

1,得，2=-I

1一〃〃二一3

2

-BF=-BA+2BC.

故選:B.

【變式4?2】如圖，平面內有三個向量憫，麗，0C，其中8,08=120：0Aoe=30,且

|研=|函=1，］國=20,若灰=m赤+nU§，則加+〃=

6k)20°

OA

連接AB，交0C戶點。.

則CDOA=NOAO=4)BD=30,N8OO=90\|OZ)|=|西tan30=與,

叫網邛網=半

____I_9_1一

法一：由平面向量基本定J[P.WOD=OA+AD=OA+-AB=-OA+-OB.

|0C|=2x/3=6|0D|,

/.OC=6(：O.+；0g)=4OA+20反m+〃=6.

\0C\_°C_2叢—

法二：根據等高線定理可得畫一2-"+"'&一而一方一6…〃什〃-6.

T

故答案為：6

【變式4?3】已知△A8C為等邊三角形，分別以C4,C8為邊作正六邊形，如圖所示，則（

—7——

B.EF=-AD+3GH

2

-9——

C.EF=5AD+4GHD.EF=-AD+3GH

2

【答案】A

【解析】選取池，而為基底，

TF=EH+HF=3AB+AC

AD=BG=2BC=-2AB+2AC，

GH=GB+BH=2CB+AB=2AB-2AC+AB=3AB-2AC，

^EF=xAD+yGH=-2xAB+2xAC+3yAB-2yAC

=(-2x+3yYAB+(2x-2y)AC,

9

-2x+3y=3x=—

.X"2)，'=1，.二〈[…2,

即M=]AO+4G”.

故選：A

題型五：平面向量的直角坐標運算

【典例5-1］已知。為AABC的外心，若A(0,0),4(2,0),AC=l,N/MC=120,且2A月+〃/,則

%+〃=()

A2

A-3B.2C.1D-T

【答案】D

【解析】若A(0,0),B(2,0),AC=l,N84C=120。,則有C,如圖所示,

設的外心。(乂丁),由|。4|二|。臼，得產了=后手，，解得x=l,

,解得),=竽

由|3|二|0C|,得出行=

得小平,則"=(邛

由=+〃/,即(1,半)r_i勾

2(2,0)+//

5'2'

22-1//=1

得解得

石254

一N=---//=—

233

故兒+〃=片.

6

【典例5?2】已知梯形A8C。中，AB//CD,AB=2CD,三個頂點A(4,2),8(2,4)((1,2).則頂點。的坐

標.

【答案】(2,1)

【解析】???在梯形A8CD中，AB=2DC,AB//CD,442),6(2,4),C(l,2).

^AB=2DC.設點。的坐標為“，y).

貝IJ比二(1一天2-)，)，而=(-2,2).

.?.(-2,2)=2(1-x,2-y),即(-2,2)=(2-2xA-2y)f

9-2r=-2fr=2

???,r°,解得:故點。的坐標為(2/)?

4-2.v=2,(y=l.

故答案為：(2,1).

【方法技巧】

(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數乘運算法則進行，若己知有向線段兩端點的坐標,

則應先求向量的坐標.

(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解.

【變式5?1】已知點0(0,0),向量8=(1,3),礪=(-3,5),點P滿足存=2萬，則點尸的坐標為.

【—答案】b(5T13]

【解析】因為點0(0,0),向量9=(1,3),麗=(-3,5),

所以A(l,3),8(—3,5),

設P(x,y),則AP=(x,y)-(l,3)=(x-l,y-3),

麗=(-3,5)-(x,y)=(-3-x,5-)，),

_5

[X-1=2(-3-A)X=-3(513、

因為*2兩所以仁=2(5.J解得_j所以NF力

7"3

故答案為：[

題型六：向量共線的坐標表示

【典例6?1】已知d=(4,—2),5=(6,)，)，且d/區(qū)，則)'=—.

【答案】-3

【解析】由可得4)，=-2X6,解得，產-3.

故答案為：-3.

【典例6?2】已知向量福二(2,3),配=(2科5),①=(3,-1),若A,B,7)三點共線，則〃?=

【答案】-7

6

【解析】由麗=而+右方=(2〃?+3,4),又從田。三點共線，

所以A*=(2,3)與麗=(2〃?+3,4)共線，得2x4-3X(2〃7+3)=O,解得〃?=—1

6

故答案為：

0

【方法技巧】

(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若&=a，x)，b=(x2>y2),則的充要條件是

x}y2-x2y\=0：②若(l//b(b00),則a=Ab.

(2)向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數.當兩向量的坐標均非零時,

也可以利用坐標對應成比例來求解.

【變式6?1】已知向量。二(3,4),〃二(一1,5)忑二(2,3),若乙一乙與化+5共線，則實數，=.

【答案】-6

【解析】因方Y=(3,4)—(2,3)=(1,1),tc+b=r(2,3)+(-1,5)=(2r-1,3r+5),

則由G-守與笈+B共線可得，3r+5=2/-l,解得，=-6.

故答案為：-6.

［變式6?2】在平面直角坐標系方丹中,已知點4T2),B(l,l),C(-3J).則AB的中點坐標為；當

實數陽=時，5OC+O*MAB.

【答案】(0,|1/(0,1.5)3

【解析】因為4T2),僅1,1),C(-3,l),所以"的中點坐標為:二手，手}即

又初=(1,1)一(一1,2)=(2-1),麗=(1,1),OC=(-3,1),

則mOC+9=5(-3,1)+(1,1)=(-35+1,+1),

因為(〃?OC+O8)〃A8,則2(〃?+l)=-1(—3〃?+1),解得〃?=3.

故答案為：(0卷)；3

題型七：平面向量的數量積運算

【典例7-1】設平面向量々=(1,3),1^1=2,且5|=癡，則(20+5)(萬一5)=()

A.1B.14C.714D.V10

【答案】B

【解析】因為Z=(l,3),所以同=亞，又歷|=2,

貝IJm-6|2=。2-2辦6+戶=14—2〃萬=10,

所以4?〃=2,

則伽+B)(g_5)=d~-ab-b2

=20-2-4=14,

故選：B.

【典例7?2】在R"ABC中，ZC=90°,AH=4,AC=2t。為△ABC的外心，則行.前=()

A.5B.2C.—4D?-6

【答案】D

【解析】在RSA8C中，A8=4,AC=2,BC=742-22=25/5?ZB=30°

.?.河明二150。

又。為"AC的外心，」.o是48的中點，..皿人？

ULIULUKIIUIIUI|ULM|(IA

.-.ZO-fiC=|/lO|-|5C|-cosi50o=2x2V3xl-1l=-6

故選：D

【典例7?3】如圖，圓M為AABC的外接圓，A8=5,47=7,N為邊8c的中點，則而?磁二

【分析】由三角形中線性質可知AN=；（A月+AC）,再由外接圓圓心為三角形三邊中垂線交點可知

|AA/|COSZBAM=1|AB|,同理可得kMcosNC4M=；A3,再由數量積運算即可得解.

【詳解】N是BC中點，

.?.布=：（而+硝，

為.ABC的外接圓的圓心，即三角形三邊中垂線交點，

俞.麗=|網網cos4M=||A5|2=^x52=y,

同理可得初?而=；|碼2=g,

____________1/___、1______1_______12514937

/.AMAN=AM—{AB+AC]=-AM=——=—.

2、]2222222

37

故答案為：y

【方法技巧】

(1)求平面向量的數量積是較為常規(guī)的題型，最重要的方法是緊扣數量積的定義找到解題思路.

(2)平面向量數量積的幾何意義及坐標表示，分別突出了它的幾何特征和代數特征，因而平面向量

數量積是中學數學較多知識的交匯處，因此它的應用也就十分廣泛.

【變式7?1】已知向量心.滿足|司=2,向=有，且力與方的夾角為2，則僅+孫(21-勾=()

A.6B.8C.10D.14

【答案】B

【解析】'

由|司=2,向二右，且a與萬的夾角為‘

所以+萬）?（2a—方）=2a+ab-b

=陰+耶卜哈印

=2x2?+2xGx*-（可

8.

故選：B.

【變式7?2］已知同=6,*3,向量口在囚方向上投影向量是4工，則小6為()

A.12B.8C.-8D.2

【答案】A

【解析】4在B方向上投影向量為同coseG=4&

.".同cos6=4,cib=|d||^|cos^=4x3=12.

故迄A

【變式7?3】已知邊長為I的正方形4BCQ,點E,尸分別是8C,。。的中點，則赤?喬=()

3131

A.—B.-C.—D.—

4444

【答案】D

【解析】邊長為1的正方形ABC。,/SAD=O?|AB|=|AD|=I,

DC

EF=^BD=^AD-AB),

2

所以4心E戶=(4月+gA￡j)(；A￡j-gA月、=

故選:D.

題型八：平面向量的夾角問題

【典例8?1】已知單位向量”滿足卜-3+3,則cos@N

【答案】2

6

【解析】因為卜”3可=3,且|不|=出|=1,

所以|"3刃產=9,

所以東-6〃出+952=9,

即,力」

又。出=|司卡際(25),同=忖=1,

所以cos0/；)=1.

故答案為：!

o

【典例8?2】已知G=(2,l),5=(k-2)歡eR.萬與5的夾角為夕.若夕為鈍角，則2的取值范圍是—.

【答案】A<1且&WT

ab2k-2

【解析】由c°s?=麗二石.”二4,且。為鈍角，所以2"2<。，解得“<1,

當》/a時，則2X(—2)—A=0,解得&=-4,此時△與坂夾角為兀，不成立,

../<1且&wT.

故答案為：A<1且AwT.

【方法技巧】

求夾角，用數量積，由|R?|B|COS夕得cosq=°"二=/XL+y已進而求得

⑷皿?7^77斤W7

向量。出的夾角.

【變式8?1]已知2,1均為非零向量,若|21一向=|勿=2|吊,則2與石的夾角為.

【答案】y

【解析】由|2力-力=|/；|,可得|26-5『=|/開，即4|討一4。?萬十|開=萬＞,解得2./；="“，

因為|向=2|3|,所以85@今=言曾=《%=:，

'/\a\\b\2\a\-2

又因為。斗孫4兀，所以@萬〉=三,

故答案為：y.

【變式8-2】已知單位向量4與鼻的夾角為名則向量4與2]3瓦的夾角為一.

【答案】曰/120。

【解析】因為單位向量，與月的夾角為三，

所以]運=同?同8S^=1X|X；=；,

所以（6+2?2＞（24_362）=26+61.4—6?2=2+[-6=—,

伍+2.）=冢~+4e；運+4]=l+4xg+4=7,散e、+2e?=不,

3]-3.）=4e）-12^-^2+9e2~=4-12x—+9=7,故,_34=近,

所以cos（4+2最2心3⑥=（：「羽”2。-3m==」，

㈠2,2/#+2可忸—3qgx/2

又（4+2￡2冢-30?0,兀],

所以向量q+21與2,-3晟的夾角為

故答案為：

題型九：平面向量的模長

【典例9?1】已知向量5滿足同=1，|5卜3,萬一5=(2,")，則樞+坂=.

【答案】3正

【解析】同=1,k卜3,=(2,后)可得,一同一="+獷一2—&2?+(")2=10=>?/>=0,

故忸+b\=>]9a2+b+6ah=y/9+9=3&，

故答案為：3后

【典例9?2】平面向量aG滿足彳=(2,1),aHb,祗6=-質,則M卜一.

【答案】a

【解析】設向量，；=(x,y),由白〃5可得]=:,

【方法技巧】

求模長，用平方，\a\=VF.

【變式/1】若向量比，而滿足惻=1,同=2,且(歷T)_L比，則恒一同=()

A.1B.&C.V7D.2

【答案】B

【解析】因為(而一萬)J_慶，所以(沆-萬)?所=0,

所以|加「-|而||”|cos0=O,所以cose=g,其中。是所，萬的夾角，

所以同一句=y](m-fi)2=J1+4_2x2xlx,=.

故選：B.

【變式9?2】已知平面向量2,4的夾角為:，若同=1,|22-4=而，則慟的值為

【答案】3行

【解析】由2〃-目=\/!75兩邊平方得(2Z-q=10,4?2-4ab-ib~=4-4x1x|5|-cos^+|^|2=10,

懷一26忖一6=0胴-3直咽+旬=0,解得％=3后

故答案為：3&

題型十：平面向量的投影、投影向量

【典例10?1】平面直角坐標系宜內中，點P在直線工+2），+1=0上.若向量：=。,2）,則而在Z上的投

影問量為（）

(_\_二I2

A.「M3B.

<555

(舊2石)

C.D.(-1,-2)

55

【答案】A

【解析】由題可設P（-2/-l,f）,則。戶=（一2/-1,/），

所以OA￡=（-2r-l"ML2）=—l，又同=4+22=逐,

故而在2上的投影向最為

|加|cos伊國百=|麗|OP*aa_OPKI-_I-

麗就1-1)

故選：A.

【典例10?2】在直角梯形ABC。中，4?！?。且8c=24O,A8_L4Q,AC與8。交于點。，則向晟麗

在向量麗上的投影向量為（）

|一1__.2—3一

A.-BAB.-BAC.-BAD.-BA

2334

【答案】C

【解析】在直角梯形A8CO中，AD//8C且8c=2AD,ABJ.AD,過。作OEJLABfE,

則0E/MD//8C,故\B局E\=IB扁OI=\B局C\=2,從而\BE周\二曲\BF\可二而2三2.

因此擊?麗=|前||而|cos/O8E=|詼||麗|二§|麗『，

所以向量而在向量麗上的投影向量為

故選：C

【方法技巧】

設6是兩個非零向量，它們的夾角是與/;是方向相同的單位向量，AB=a,CD=b,過A月的

起點A和終點4,分別作歷所在直線的垂