2026屆高考一輪復(fù)習(xí)專題1：集合

一、單選題

1.已知集合M={可匚6N*,且QWZ},則M等于()

A.{2,3}B.[1,2,3,4}C.{1,2,3,6}D.{-1,2,3,4}

2.設(shè)全集U={x|0<x<10,xEZ}",B是U的兩個真子集，(Cy/4)n(QB)={1,9},AdB=2,(QA)CB=

{4,6,8),則()

A.5W力，且5W8B.5WA,且5W8

C.5WA,且5W5D.5任A,且5W8

3.集合M={x\x=2k,k€Z},N={x\x=2k+l,kGZ),0=[x\x=4k+l,k€Z},則對任意的mGM,nE

N,oe0,有下列四種說法：①m?ne。；@m+ne0；③o-?nwN；④。?nw。，其中一定正確的個

數(shù)為()

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.已知集合A=[xI10x<2025,xWN},B=[y\y=2X],則4n8=()

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{1,2}D.{2}

5.已知U=R,A={x\x2-4x+3<0},B={x\\x-3|>1],則力U(QB)=()

A.[x|l<x<4}B.{x|2<x<3}C.{x|l<x<2}D.{x\2<x<3}

6.已知集合力={x|3x2-14x+15<0},B={x\y=Jlogo,5(軌-7)}則{nF=

A.亭2]B.[2,3]C.[|,3]D4,2]

7.設(shè)所有被3除余2的自然數(shù)從小到大組成數(shù)列{an},所有被4除余1的自然數(shù)從小到大組成數(shù)列他“},設(shè)這兩

個數(shù)列的公共項構(gòu)成集合4則集合AA{n\n<2025,nGN*}中元素的個數(shù)為()

A.167B.168C.169D.170

8.集合A={x|xV-1或%豈3},B={x|ax4-1<0},若8GA,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.昌,I)B?卜洌

C.(-oo,-l)U[0,+8)D.[-i,0)U(0,l)

9.已知集合M={x\x2-2mx-3m2<0},N={x|x2+mx-2m2<0},定義b-a叫做集合{x|a<x<b]

的長度若集合MnN的長度為2,則MUN的長度為()

A.3B.4C.5D.6

10.設(shè)集合力={x\x2+2x-3>0},集合B={x\x2-2ax-l<0,a>0},若力nB中恰含有一個整數(shù)，則實(shí)

數(shù)G的取值范圍是（）

A.捐）B.（0,5）C.g,+co）D.（1,+co）

11.記RQ4）為非空集合力中的元素個數(shù)，定義4*B=您那一。條曾[亍。朋若入={L2}，B={x|（x2+

?）。2+。％+5）=0},且4*B=1,設(shè)實(shí)數(shù)Q的所有可能取值組成的集合是S,則R（S）等于（）

A.1B.2C.3D.4

12.已知集合P,Q中都至少有兩個元素，并且滿足下列條件：①集合P,Q中的元素都為正數(shù)；②對于任意

a,beQ（a工匕），都有稱eP；③對于任意a,beP（a^b）,都有abeQ,則下列說法正確的是（）

A.若產(chǎn)有2個元素，則Q有3個元素B.若P有2個元素，則PUQ有4個元素

C.若P有2個元素，則戶nQ有1個元素D.存在滿足條件且有3個元素的集合產(chǎn)

13.設(shè)集合S,T,SEN*,TEN*,S,T中至少有兩個元素，HS,7滿足：

①對于任意％,yES,若x。y,都有xy￡7；

②對于任意x,yET,若％<y,則1eS；

下列命題正確的是（）

A.若S有4個元素，貝IJSUT有7個元素B.若S有4個元素，則SU7有6個元素

C.若S有3個元素，則SUT有5個元素D.若S有3個元素，則SUT有4個元素

14.已知集合A={x|好■《：!},集合B={x|x2—（a+2）x+2aV0},若“x￡A”是“xeB”的充分不必

要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（）

A.B.（-8,一1C.[-1,2）D.（-^,2）

二、多選題

15.已知集合A={x6R\x2-3x-18<0}?B={x6R\x2+ax+a2-27<0},則下列命題中正確的是（）

A.若/!=B,則以=-3

13.若418,則Q=-3

C.若B=。，則Q<一6或a>6

D.若B莖4時，則一6<a<一3或a>6

16.設(shè)集合時={%|。<x<3+a],N=<2或x>4},則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若。<一1,則MGN8.若。>4,則MGN

C.若MUN=R,則1<a<2D.若Mn/V工0,則1<a<2

17.已知非空數(shù)集M具有如下性質(zhì)：①若%,yEM,②若x,yEM,則x+”機(jī)下列說法中

正確的有()

A.-1eMB.2025eM

C.若x,yEM,則€MD.若x,yEM,則x-yWM

18.設(shè)集合A={x|%2—x—6<0},B={x\x2+bx+c<0],若24nB=(-2,2],則()

A.i7>0B.Z?<0C.c<-4D.2b+c=-4

x

19.已知有限集A=…,>2,nGN),如果力中元素a4=1,2,…,n)滿足的+a2+…+%=?i

a2x-xan,就稱力為“完美集”.下列結(jié)論中正確的有()

A.集合{-1,，-1+/1}是“完美集”；

B.若％、。2是兩個不同的正數(shù)，且{%,。2}是“完美集”，則由、。2至少有一個大于2;

C.二元“完美集”有無窮多個；

D.若見WN?,則“完美集”力有且只有一個，且n=3；

三、填空題

2().已知集合力={0,2Q-1,Q2},B={a-5,1—a,9},且9€(4nB),則。=.

21.Q,beR,集合{l,a+b,a}={0,，,b},貝IJQ2024+^2025=

22.己知集合4={xWN4<：3x+i<27},B={x\x2-3x+m=0],若l￡4n8,則力U8的子集的個數(shù)

為.

23.設(shè)U=R,4={無|血/+4無+2=0}.若(：1/4=〃，則m的取值范圍為:集合力中有兩個元素的充要

條件是.

四、解答題

24.設(shè)全集為R,A={x\2<x<4},={x|3x-7>8-2x}.

⑴求AU8；

(2)^C={A|U-1<X<U+3},(CR/4)GC=C,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

25.已知函數(shù)/(%)="二5一德的定義域為集合4B=[x\2<x<10},C=[x\a<x<2a+l}.

(1)求4UB,(C?i4)nB

(2)若BUC=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

26.已知集合。={%|%2-g+a2-i9=o},集合B={1,2,3},集合C={0,1,2},且集合。滿足。=8H0,

DC\C=0.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】因為集合時={3三￡曠，且a￡Z},

所以5—Q可能為1,2,3,6?

對應(yīng)a的值為4,3,2,-1,

所以M={4,3,2,—1}.

故選Q.

2.【答案】4

【解析】由題意，U={x\0<x<10,xGZ}={1,2,3,456,7,8,9},

可借助Perm圖解決：

.??56/4,5cB.

故選A.

3.【答案】3

【解析】因為

7n=2/q,n=2k24-1?o=4/c3+1?kltk2,k3GZ,

所以自&+且自七+

m?n=2kx?(2k24-1)=2(2kJ,2EZf

所以m'neM,m-n0；

又又自+七不一定是的倍數(shù)，

m+n=2(/q+k2)+1EN,2

所以m+幾不一定屬于集合。：

因為。—Tn=2(2心—kJ+1?且2k3—gEZ?所以。-mEN；

因為

o-n=(4k3+1)(2ZC2+1)=2(4k2k3+k2+2k3)+1,4k2k3+k2+2k36Z,

所以。?n6N,又4k2k3+B+2七不一定是2的倍數(shù)，所以o?ri不一定屬于集合。.

所以只有③一定正確，

則一定正確的個數(shù)為1.

故選：A.

4.【答案】B

【解析】因為函數(shù)y=10”在R上單調(diào)遞增，10°=1V2025,101=10<2025,102=100<2025,103=

1000<2025,104=10000>2025,且xWN,所以集合力二{0,1,2,3}.

集合B={y|y=2'},由丁?指數(shù)函數(shù)y=2邛勺值域是(0,+8),所以集合8={y|y>0}.

那么ACB={1,2,3).

故選:B.

5.【答案】A

【解析】因為A={%|14％43),B={x\x>4或％<2},

所以Q8={%|2<x<4},AU(Cyfi)={x|l<x<4},

故選:A.

6.【答案】D

【解析】4={x\3x2-14x+15<0]=<%<3}

B={x\y=Jlogo.s(4x-7)}={x|^<%<2}

力n8={x|(<x<2}.

7.【答案】C

【解析】由題意可知，數(shù)列{每}：2、5、8、11、14、17、20、23、26、29..........

數(shù)列{%}：1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、...?

將集合力中的元素由小到大進(jìn)行排序，構(gòu)成數(shù)列{金}：5、17、29、…，

易知數(shù)列{c〃}是首項為5,公差為12的等差數(shù)列，則金=5+12何-1)=12幾一7,

由d=12n-7<2025,可得幾<浮=169+

因此，集合力n{n\n<2025,nGN1中元素的個數(shù)為169.

故選：C.

8.【答案】A

【解析】4=[x\x<-1>3},={x\ax4-1<0},

當(dāng)a=。時，1<0不成立，

所以8=。，所以滿足；

當(dāng)時，因為所以工工--,

G>0QX+1W0,a

又因為BG4

所以—!<—1，所以0VQV1；

a

當(dāng)G<0時，因為QX+1<0,所以X>—

a

又因為"U4,

綜上可知:a€[-1,1).

故選：4

9.【答案】C

【解析】/一2mx-3而=o的兩根為一抽，3m,

/+mx-2m2=o的兩根為帆，-2m：

當(dāng)m=0時，易知MCN={0}；

當(dāng)ri>0時，M={x|-mWxW3m}?N={x\-2m<x<m}.

Mr\N={x\—m<x<m}：

當(dāng)n<。時，M=[x\3m<x<-m},N={x\m<x<—2m},

MClN={x\m<x<-m].

由MnN長度為2得，2ni=2或-2m=2,

：?m=1或m=-1,

當(dāng)m=1時，M={x|-1WxW3},N={x\-2<x<1},

MU/V={x|-2<x<3}：

當(dāng)m=-1時，M={x|-3<%<1},N={x\-1<x<2},

M\JN={x\-3<x<2].

??.MUN的長度為5.

故選：C.

10.【答案】A

【解析】由4中不等式變形得：(x-l)(x+3)>0,

解得：x<一3或x>1,即4={x\x<-3或x>1},

函數(shù)y=/(x)=x2-2ax-1的充稱軸為％=a>0,

/(-3)=6a+8>0,

/(-I)=2a>0,

/(€')<0,f(l)<0,

故其中較小的根為(-1,0)之間，另一個極大于1，

要使力n8恰有一個整數(shù)，即這個整數(shù)解為2,

???f(2)W0且/(3)>0,

uijf4_4a_1<0

%-6a-1>0;

r、3

a>7

解得：:，

(a<3

即1<n<

43

則a的取值范圍為居).

故選A.

11.【答案】C

【脩析】由定義得R(4)=2,結(jié)合4*8=1,可知R(B)=1或R(B)=3,

由方程Q2+ax)(x2+QX+5)=。，得/+ax=0或/+ax+5=0,

當(dāng)R(B)=1時,方程(/+ax)(x2+ax+5)=0只有一個實(shí)數(shù)根，

而方程/+a%=0有一根為0,則另一根必為0,-a=0,此時產(chǎn)+QX+5=0無實(shí)根，因此a=0.

當(dāng)A(8)=3時，必有aH0,方程產(chǎn)+ax=。內(nèi)兩個不相等的實(shí)數(shù)根%1=0,x2=-a,

并且=0,x2=一。都不是方程/+QX+5=0的根，

顯然方程/+QX+5=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，且異于=0,x2=-a,

于是A=a2-20=0,解得Q=2〃或一2后.

當(dāng)G=2G時，方程(/+QX)(%2+。％+5)=o的根為仇一2，耳.-/5,滿足題意，

當(dāng)G=-2\/~5時，方程(7++。*+5)=o的根為0,24，，石，滿足題意，

因此Q=2，^或a=—2V~5,

綜上5={0,-26,2，§},故R(S)=3.

故選：C.

12.【答案】C

【解析】若P有2個元素，設(shè)P={atb],(a>0,b>0,a*b)則ab6Q.

???Q至少有2個元素，???集合Q中除油外至少還有一個元素，

不妨設(shè)xEQ,x■/-ab,則冗>0,且京七WP,

%=3則/=四)2,

v%>0,ab>0,x=ab,與假設(shè)矛盾，

故茄力工，?..靛=a，"=b或m=b，T=a.

若T=a&=b,則％=a,ab=1,???b=-,

abxa

若G=1,則b=a=l,與aH匕矛盾，aH1,同理bH1.

此時P={a,J,Q={a,1},PUQ={a,；,1},PCQ={a}；

若嘉=b，B=a，則x=b,ab=1,a=',

若G=1,則b=a=l,與aHb矛盾，aH1,同理bH1.

此時P={b,3,Q={b,1},PUQ={b^lj.PnQ=；

綜上，若P有2個元素，則Q有2個元素，PUQ有3個元素，「口(2有1個元素，

故A錯誤，8錯誤，C正確；

假若P有3個元素，設(shè)0=世為4},則a,b,c為互不相等的正數(shù).根據(jù)③，有abWQ,beeQ,aceQ.

由于a,b,c都是正數(shù)，且兩兩不相等，所以M,be,ac兩兩不相等.

由條件②可得，然都是集合夕=口”}的元素.

C￡/(4CCZU

???a,6,c為互不相等的正數(shù)，.?.色,？,匕匕￡”都是不等于1的正數(shù).

cbacaD

.a±bacbe

,,尹7172工不

?：b,C為不相等的正實(shí)數(shù)，考慮到"涉戶,

若3,則：上日為互不相等的正數(shù)，由2H2兩邊取到數(shù)得￡H舟

cabaccaab

所以二是與W，2”不相等的正數(shù)，由于￡,齊2”都是集合戶的元素，所以集合P至少有四個元素，與初始

abacabac

假設(shè)矛盾；

同理可得2#，2時矛盾.

Q0ClC

因此考慮2=-=2的情況，所以小=兒，同理可得=四，c2=ab,所以M=b3=c3=abc,

acabac

所以Q=b=c,這與集合中元素的互異性矛盾，所以集合P有3個元素不可能成立，故。錯誤.

故選：C.

13.【答案】A

【解析】?。?={1,2,4},則7={2,4,8},SU7={1,2,4,8},4個元素，排除C；

S={2,4,8},則7={8,16,32},SU7={2,4,8,16,32},5個元素,排除D；

S={2,4,8,16},則T={8,16,32,64,128},SUT={2,4,8,16,32,64,128},7個元素，排除B；

對于S={a,b,c,d}且aVbVc<d,a,b,c,dEN\集合T的元素如下：

砂且％Hyx=ax=bx=cx=d

y=a一abacad

y=bab—bebd

y=cacbe—cd

y=dadbdcd—

由表得：T={ab,ac,be,ad,bd,cd}^.ab<ac<min{bc,ad}<max{bc,ad}<bd<cd,

此時要滿足x<y,有（6S,如下表:

(且％<yx=abx=acx=bex=adx=bdx=cd

y=ab—一—一—一

c

y=ac—————

b

cb

y=be—?—一

aa

dd

y=ad*一——

bc

dbddb

y=bd.一一

aac7a

cdddcc

y=cd—

ababab

當(dāng)兒AQd,上表第一列有且均屬于集合S而S=?瓦Gd},矛盾;

當(dāng)兒Vad,上表第一列有與>&>￡>[,且均屬于集合S,而5={。,4c,d},矛盾;

anaaD

當(dāng)兒=ad時,則蟾[疝碟且均屬于集合S,

而5={見瓦勒?，此時只需滿足當(dāng)

可得S={a,a2,,a3,a4},且T={a3,a4,a5,a6,a7},

注意a=1,

SUT={a,a2a3a4a5a6a7卜故共有7個元素.

故選：A.

14.【答案】A

【解析】4={對若41}={x|-J4無<2),5={x|(x-a)(x-2)<0),

乂?：“X€4”是“X6夕’的充分不必要條件，

???a<-

故選A.

15.【答案】ABC

【解析】由題意得A={xeR\-3<x<6],

若4=8,則a=-3且a?-27=-18,解得a=—3,故A正確；

故當(dāng)a=-3時，A=故。不正確；

若4GB,則(-3)2+。?(-3)+/一27WO且62+6。+。2-27工0,解得a=-3,故8正確；

當(dāng)B=。時，得小一4(02-27)W0,解得a工一6或aN6,故C正確.

故選：ABC.

16.【答案】ABC

【解析】對于?力，若Q<-1,貝I」3+Q<2,則MGN,故A正確；

對于B,若Q>4,顯然對于任意X6M,x>4,則x€N,故MGN,故B正確；

對于C,若MUN=R,則{￡：：'>4解得1<。<2,故C正確；

對于。，若MCiN=0,貝ij{￡4不等式無解，故若MnN于。，則故。錯誤.

故選ABC.

17.【答案】BC

【解析】對于力，若一1EM,令x=y=-l,則j=leM,x+y=-2e

令x=-1,y=1,則:=—1GM,x+y=0GM,令x=1,y=0,不存在*即yH0,矛盾，所以一1CM,

故A錯誤；

對于B,由于集合M非空，取任意元素％WM,根據(jù)性質(zhì)①，得再根據(jù)性質(zhì)②，

得1+1=2€M,進(jìn)而1+2=36M,…，2024GM,2025GM,故8正確；

對干C,因為1EM,xGM,所以因為y€M,所以q=xy￡M,故C正確；

對于0,若x=Ly=2,則%—？=一1￡M,故。錯誤.

故選：BC.

18.【答案】ACD

【解析】A=[x\x2—x—6<0}={x|—2<x<3},

若AcB=(-2,2],

說明2是方程/+bx+c=0的一個根，

設(shè)方程X2+hx+c=0的另一個根為a,則8=(x\x0<x<2},

由于4HB=(-2,2],所以無o<—2,

則根據(jù)韋達(dá)定理可得：2+x0=-b,2x0=c,

因為%oW—2,b=—(2+%o)>那么b=-2—x()N0,所以A正確，8借誤；

由2%o=c且%oW-2,可得c=24工一4,C正確；

由方程M+bx+c=O有一個實(shí)數(shù)根為2,得4+2b+c=0,即26+c=-4,故。正確，

故選：ACD.

19.【答案】BCD

【解析】已知有限集A=｛a1,a2r-,an｝(n>2,nGN),如果月中元素=1,2,1九)滿足%+a2+…+0n=

xa2x…xan,就稱A為“完美集”.

故對于4集合｛-1,一，亨,-1+>/"W｝是"完美集"，由于-1—V~3—1+V-3=—2H(―1)x(―\*r3)x

(-1+V3),故4錯誤：

對于B.%、02是兩個不同的正數(shù)，且｛外,&｝是“完美集”，

則設(shè)由+a2=ar-a2=t>0,

根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系小和%相當(dāng)于/-比+￡=0的兩根，

所以4=d一及>0,解得t>4或tVO,所以t>4,

所以由、a2至少有一個大于2,故4正確.

C根據(jù)8一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系與和%相當(dāng)于產(chǎn)一出+￡=0的兩根，

所以4=/一牝>o,解得t>4或CVO,所以￡>4,

對任意的￡>4,都有對應(yīng)的方程/-tx+t=0的兩根%和也，

所以二元“完美集”有無窮多個，故C正確.

。.設(shè)藥<a2<a3<???<an,

則滿足%+%+…+an=%xx???xan,

因為%顯然〃=2不滿足，故？1之3,

故Gi(z2a3…Q”<nan,

整理得的。2a3…4i-i<九，

當(dāng)”=3時,。1。2<3,

由于由EN*,所以%=1,a2=2,

由丁%十織+以3=ula2a3,解得：%=3,

當(dāng)兒>4時,2a3…?n-i>(n-l)(n-2)???2?1>(n-1)(九-2),

又(幾—l)(n—2)—n=n2-4n4-2=n(n-4)+2>0,即(〃-l)(n—2)>n,

即Gi。2a3…斯-1>"，矛盾，故，24不滿足條件，

所以若aiEN)則“完美集”4有且只有一個，且n=3,

此時的完美集為｛1,2,3｝,故。正確.

故選BCD.

2().【答案】5或-3

【解析】9wQ4nB)；???9EA；，2。-1=9,或小=%

???a=5,或a=±3：

①a=5時,A={0,9,25},B={0,-4,9),滿足條件;

②a=3時，F(xiàn)={-2,-2,9),不滿足集合元素的互異性；

③。=-3時，={0,-7,9},B={-8,4,9),滿足條件；

故答案為5或-3.

21.【答案】2

【解析】由分母不為0可知aH0,

所以a+b=0,則a=-b,即2=-1,

a

所以集合{l,0,Q}={0,-l,b},

所以a=-1?b=1,

故々2024+b2025=(-1)2024+12025=1+1=2.

故答案為:2.

22.【答案】8

【解析】由題意知4={xG/V||<3X+1<27}={0,1},

又1W4CB,所以168,所以12-3+血=0,解得租=2,

所以8={x\x2-3x+2=0]={1,2}.

所以AU8={O,1,2},

所以AUB的子集的個數(shù)為23=8.

23