備戰(zhàn)深圳數(shù)學中考一一3年真題及模擬分類匯編

專題16解答壓軸函數(shù)綜合題

一、解答題

1.（2024?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）為了測量拋物線的開口大小，某數(shù)學興趣小組將兩把含有刻度的直尺

垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為X，），軸建立如圖所示平面直角坐標系，該數(shù)學小

①②③@⑤⑥

X023456

y012.2546.259

（II）描點：請將表格中的（X,y）描在圖2中；

（W）連線：請用平滑的曲線在圖2將上述點連接，并求出y與x的關系式；

（2）如圖3所示，在平面直角坐標系中，拋物線＞=。"-〃丫+左的頂點為C,該數(shù)學興趣小組用水平

和豎直直尺測量其水平跨度為豎直跨度為CO,且4?=〃?，CD=n,為了求出該拋物線的開口大

小，該數(shù)學興趣小組有如下兩種方案，請選擇其中一種方案，并完善過程：

方案一：將二次函數(shù)y=a（x—左平移，使得頂點C與原點O重合，此時拋物線解析式為y=

①比時點B1的坐標為:

②將點8'坐標代入中，解得。二；（用含〃?，〃的式子表示）

方案二：設C點坐標為（〃,攵）

①比時點B的坐標為

第1頁共56頁

②將點8坐標代入>=。（工一6）'+〃中解得。=：（用含〃，，〃的式子表示）

（3）【應用】如圖4,已知平面直角坐標系xQr中有4B兩點,48=4,且軸，二次函數(shù)

。1：%=2（%+力）2+%和。2：%=4（1+〃）2+〃都經(jīng)過力，8兩點，且G和。2的頂點尸，2距線段48的

距離之和為10,若44〃x軸且43=4,求"的值.

【答案】（1）圖見解析，y=—，；

4

（14〃（1A4〃

（2）方案一：①不"?,〃；②一r；方案二：①h+二m,k+n；②一-；

<2）m2I2）nr

（3）〃的值為;或

【解析】

【分析】（1）描點,連線,再利用待定系數(shù)法求解即可：

（2）根據(jù)圖形寫出點8,或點4的坐標，再代入求解即可；

（3）先求得力（一〃一2,8+〃），8（—〃+2,8+〃），G的頂點坐標為P（-九女）,再求得G頂點距線段48

的距離為|（8+A）-〃卜8,得到G的頂點距線段彳8的距離為10-8=2,得到C2的頂點坐標為

0（-始0+4）或,6+左）,再分類求解即可.

【小問1詳解】

解：描點，連線，函數(shù)圖象如圖所示，

9

8

7

6

5

4

3

2

—

設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,

c=0

由題意得（4a+26+c=l,

16tz+4Z?+c=4

第2頁共56頁

1

a=—

4

解得b=0,

c=0

:?、?與x的關系式為y=-x2\

4

【小問2詳解】

解：方案一：①,；m,CD=n,

??.DE=Lm,

2

此時點B,的坐標為；

故答案為：g〃?，〃）；

②由題意得（〃=〃，

（2）

故答案為：一7；

ni

方案二：①?.?。點坐標為（九女），AB=m,CD=n,

DB=-m,

此時點B的坐標為|

(1

故答案為：h+-m,k+n

[2

②由題意得％+〃=+g〃?一8)+k>

解得a=—,

4〃

故答案為：-r：

【小問3詳解】

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FL=NR=0.75m,求兩個正方形裝置的間距G"的長;

（3）如圖，在某一時刻，太陽光線透過力點恰好照射到。點，此時大棚截面的陰影為AK,求AK的長.

(2)0.5m

【解析】

【分析】（1）根據(jù)頂點坐標，設的數(shù)解析式為歹=o?+4,求出A點坐標，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式

即可；

（2）求出y=3.75時對應的自變量的值，得到網(wǎng)的長，再減去兩個正方形的邊長即可得解；

（3）求出直線4C的解析式，進而設出過點K的光線解析式為y=-1x+〃?，利用光線與拋物線相切，求

4

出〃?的值，進而求出K點坐標，即可得出4K的長.

【小問1詳解】

解：???拋物線4ED的頂點石（0,4）,

設拋物線的解析式為y-ox?+4,

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???西邊形4?。。為矩形，0E為4C的中垂線，

AD=BC=4m,OB=2m,

VAB=3m,

，點力(-2,3),代入y=ox?+4,得：

3=4。+4,

1

a----,

4

???拋物線的解析式為y=+4；

4

【小問2詳解】

,:四邊形LFGT,四邊形SA/M?均為正方形，F(xiàn)L=NR=G.75m,

???MG=FN=FL=NR=0.75m,

延長LF交BC于點、H,延長RN交BC于點、J,則四邊形尸“加，四邊形力3切均為矩形,

:?FH=AB=，n,FN=HJ,

:,HL=HF+FL=3.75m,

**y——x2+4,當y=3.75時，3.75=-x~+4,解得：x—il?

44

:?FN=HJ=2m,

???GM=FN-FG-MN=0.5m；

【小問3詳解】

VBC=4m,OE垂直平分BC,

OB=OC=2m,

???B（-2,0）,C（2,0）,

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設直線4C的解析式為y=kx+b,

k」

2k+b=04

則：-_.._?解得：＜

-2k+b=3b=」

2

“3+3,

’42

.?.太陽光為平行光,

設過點K平行于4C的光線的解析式為j，=-=x+〃?’

由遨意'得：歹=-%+，〃與拋物線相切,

1、,

y=——x~+4

4

聯(lián)立3，整理得：V-3X+4〃7-16=0,

y=—x+m

4

73

則：△二（—3『一4（4〃7-16）=0,解得:m=一

16

37373

**?y=-xH---,當y=0時,x=一

41612

(73

???K后，0)

'/5(-2,0),

'.=2+**.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應用.讀懂題意，正確的求出二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結合的思想,

進行求解，是解題的關鍵.

3.（2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）一個玻璃球體近似半圓為直徑，半圓。上點。處有個吊燈

EF,EF//AB,。。_148,斯的中點為。,。4=4.

圖①圖②圖③“

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(【)如圖①，CM為一條拉線，"在08上，。0=1.6,。尸=0.8,求co的長度.

(2)如圖②，一個玻璃鏡與圓。相切，〃為切點，”為上一點，AW為入射光線，N”為反射光線，

3

A0HM=4OHN=45°,tanZCOH=一，求ON的長度.

4

(3)如圖③，M是線段0B上的動點，M4為入射光線，NHOM=50°,HN為反射光線交圓0于點N,

在歷從。運動到B的過程中，求N點的運動路徑長.

90

【答案】(1)2(2)0N=—

7

)16

(3)4+—冗

9

【解析】

【分析】(1)由。R=0.8,OA/=1.6,QP〃OB,可得出。/為VCOM的中位線，可得出。為CO中點，

即可得出CO的尺度：

3

(2)過N點作NO_LO〃，交0H于點。，可得出△NHD為等腰直角三角形，根據(jù)lanNCO"二:，

4

ND34

可得出tan/NOO=——=一，設NO=3x=Q"，則O。=4工，根據(jù)OO+Q"=?！ǎ纯汕蟮萌?一，

OD47

再根據(jù)勾股定理即可得出答案；

(3)依題意得出點N路徑長為：OB+/方，推導得出NBO7=80。，即可計算給出/而，即可得出答案.

【小問1詳解】

???DF=0.8,(9M=\.6,DF//OB

???DF為YCOM的中位線

???D為CO的中點

\'CO=AO=4

：.CD=2

【小問2詳解】

過N點、作NDLOH,交。〃于點。，

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,ZNOHN=45°,

???△M/Q為等腰直角三角形，即ND=DH,

3

又???tanNCOH=一,

4

tanZ.NOD=—,

4

tanZNOD=-=-,

OD4

???NO:O。=3:4,

設ND=3x=DH,則。D=4x,

,：OD+DH=OH,

??3x+4x=4,

4

解得x=,,

：.ND=—,OD=—,

???在Q/XNOD中，ON=JND?+OD?=+與=y；

【小問3詳解】

如弱，當點必與點。重合時，點N也與點O重合.當點M運動至點力時，點N運動至點兀故點N路

徑長為：OB+I面.

???ZNHO=4MHO/THO=2MH0/H0M=50°.

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???ZOHA=/OAH=65°.

???NTHO=65。，4T0H=50°.

???/BOT=80°,

80°16

?，?/方=2〃x4x=—71,

360°9

?；V點的運動路徑長為：OB+/行=4+/不，

故答案為：4+或).

9

【點睛】本題考查了圓的性質，瓠長公式、勾股定理、中位線，利用銳角三角函數(shù)值解三角函數(shù)，掌握以

上知以，并能靈活運用是解題的關鍵.

4.(2024?廣東深圳?鹽田區(qū)一模)【項目式學習】

項目主題：車輪的形狀

項目背景：在學習完圓的相關知識后，九年級某班同學通過小組合作方式開展項目式學習，深入探究車輪

制作成圓形的相關原理.

【合作探究】

(I)探究A組：車輪做成圓形的優(yōu)點是：車輪滾動過程中軸心到地面的距離始終保持不變.另外圓形車

輪在滾動過程中，最高點到地面的距離也是不變的.如圖1,圓形車輪半徑為4cm,其車輪最高點到地面

的距離始終為cm；

(2)探究8組：正方形車輪在滾動過程中軸心到地面的距離不斷變化.如圖2,正方形車輪的軸心為O,

若正方形的邊長為6cm,車輪軸心。距離地面的最高點與最低點的高度差為cm；

(3)探究。組：如圖3,有一個正三角形車輪，邊長為6cm,車輪軸心為O(三邊垂直平分線的交點),

車掄在地面上無滑動地滾動一周，求點。經(jīng)過的路徑長.

探究發(fā)現(xiàn)：車輛的平穩(wěn)關鍵看車輪軸心是否穩(wěn)定，即車輪的軸心是否在一條水平線上運動.

【拓展延伸】

如組4,分別以正三角形的三個頂點A,B,。為圓心，以正三角形的邊長為半徑作60。圓弧，這樣形成

的曲線圖形叫做“萊洛三角形”.“萊洛三角形”在滾動時始終位于一組平行線之間，因此放在其上的物

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體也能夠保持平衡，但其車軸中心O并不穩(wěn)定.

（4）探究。組：使“萊洛三角形”以圖4為初始位置沿水平方向向右滾動.在滾動過程中，其“最高點”

和“車輪軸心0”均在不斷移動位置，那么在“萊洛三角形”滾動一周的過程中，其“最高點”和“車輪

軸心?！彼纬傻膱D形按上、下放置，應大致為.

ABCD

【答案】8；3>/2—3；4百乃；A

【解析】

【分析】本題主要考查圓的綜合應用，主要考查了弧長公式，E方形的性質，等邊三角形的性質，理解題

意并畫出圖形是解題的關鍵.

（I）利用正方形的性質解答即可；

C2）畫出圖形,找到最高點和最低點即可得到答案:

（3）分別求出三部分一定的距離，然后相加即可；

（4）由題意知：最高點與水平面距離不變，即可得到結論.

【詳解】解：（I）???圓形車輪與地面始終相切，

「?車輪軸心。到地面的距離始終等于圓的直徑，

;圓形車輪半徑為4cm,

故車輪最高點到地面的距離始終為8cm,

故答案為：8；

（2）如圖所示，云為正方形車輪的軸心。移動的部分軌跡，

點。為車輪軸心。的最高點，點。為車輪軸心O的最低點，

由題意得車輪軸心。距離地面的最低高度為AD=OA=3及cm

.?車輪軸心。距離地面的最高點與最低點的高度差為（30-3）cm,

故答案為：（3及一3）：

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（3）點。的運動軌跡為圓，以點C為圓心，一x,62—32=2后為半徑,

3

運動品叵離為2〃x26=46.

故答案為：4百乃；

（4）由題意知，當“萊洛三角形”在滾動時始終位于一組平行線之間，因此放在其上的物體也能夠保持

平衡,

故“最高點”和“最低點所形成的圖案大致是“A,

故答案為：A.

5.（2024?廣東深圳?福田區(qū)三模）背景：雙目視覺測距是一種通過測鼠出左、右兩個相機視野中，同一物

體的成像差異，來計算距離的方法.它在“4”領域有著廣泛的應用.

材料一：基本介紹

如到1，是雙忖視覺測距的平面圖.兩個相機的投影中心。/,。,?的連線叫做基線，距離為Z，基線與左、

右投影面均平行，到投影面的距離為相機焦距/,兩投影面的長均為/是同型號雙目相機中，內(nèi)置

的不變參數(shù)），兩投影中心。/,。,分別在左、右投影面的中心垂直線上.根據(jù)光的直線傳播原理，可以確

定目標點。在左、右相機的成像點，分別用點，，2表示.4，4分別是左、右成像點到各投影面左端

的距離.

長度為/長度為〃

圖1圖2

材料二：重要定義

①視差----點P在左、右相機的視差定義為d=|4一?

②盲區(qū)一相機固定位置后，在基線上方的某平面區(qū)域中，當目標點尸位于該區(qū)域時，若在左、右投影面

上均不能形成成像點，則該區(qū)域稱為盲區(qū)（如圖2,陰影區(qū)域是盲區(qū)之一）.

③感應區(qū)——承上，若在左、右投影血均可形成成像點，則該區(qū)域稱為感應區(qū).

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材料三：公式推導片段

以下是小明學習筆記的一部分：

如圖3,顯然，AORE~4P0[H,△ORF~4P0,H,可得'=4^二^^,

zUrH

（1）請在圖2中（力，B,C,。是兩投影面端點），畫出感應區(qū)邊界，并用陰影標示出感應區(qū).

（2）填空：材料三中的依據(jù)是指；已知某雙目相機的基線長為200mm,焦距/為4mm，則

位于感應區(qū)的目標點尸到基線的距離z（mm）與視差d（mm）之間的函數(shù)關系式為.

（3）如圖4,小明用（2）中那款雙目相機（投影面8K為10mm）正對天空連續(xù)拍攝時，一物體“正

好從相機觀測平面的上方從左往右飛過，已知〃的飛行軌跡是拋物線的一部分，且知，當時剛好進入感

應區(qū)時，dx=0.05mm,當M剛好經(jīng)過點Q.的正上方時，視差d=0.02mm,在整個成像過程中，d呈

現(xiàn)出大一小一大的變化規(guī)律，當d恰好減小到上述4的！時，開始變大.

3

①小明以水平基線為x軸，右投影面的中心垂直線為y軸，建立了如圖4所示的平面直角坐標系，則該拋

物線的表達式為（友情提示：注意橫、縱軸上的單位：Im=1000mm）；

②求物體M剛好落入“盲區(qū)”時，距離基線的高度.

【答案】（1）見解析（2）等比性質；2=絲

a

（3）①尸q/+[x+40②16后m

口片斤】

【分析】本題考查函數(shù)的實際問題，讀懂題意找準數(shù)量關系是解題的關犍.

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(I)利用盲區(qū)的定義作圖即可；

(2)根據(jù)待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式；

(3)①先根據(jù)題意確定拋物線上點的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可;

②由盲區(qū)的定義可知當M在直線O。的右側時，進入盲區(qū)，利用方程組解題即可.

【小問1詳解】

如到3所示：

【小問2詳解】

材料三中的依據(jù)是指等比性質；

設z=]由雙目相機的基線長為200mm,焦距/為4mm,可得:

攵=200x4=80(),

.800

【小問3詳解】

①解：如圖4，〃剛好進入感應區(qū)時，4=0.05,4=0,此時d=4-4=095,

此時，z==16000(mm)=16(m).

因CD-10mm,f=4mm,

4

可得，OP所在直線解析式為：y=-yx,

令y=16,得x=-20,即尸(-20,16),

當M經(jīng)過點O,的正上方時，視差4=0.02,此時,z==40000(mm)=40(m),

即，拋物線與V軸交點的坐標為(0,40),

當d減小到上述4的[時，z=3xl6=48(m),之后d開始變大，z開始變小,

即，拋物線頂點的縱坐標為48.

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設拋物線解析式為>=+反+，0）

將（-20,16）,（0,40）等代入得,

圖4

412

解得，b、=飛,b?=一~—?

JJ

因為，a<0,對稱軸在，軸右側，

所以，b>0.

故b=:

此時。=---,

50

所以，拋物線解析式為了=—&/+[1+40,

4

②由CD=10mm,f=4mm可得直線OD的解析式為歹二一x,

5

4

y=-x,

得—-

y=-----x+-x+40

I,505

解得，玉=20底/=-20后（舍）

此時，y=16\/5m.

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【初步探究】

6.（2024?廣東深圳33校聯(lián)考二模）【項目式學習】

項目主題：設計落地窗的遮陽篷

項目背景：小明家的窗戶朝南，窗戶的高度44=2m,為了遮擋太陽光，小明做了以下遮陽蓬

的設計方案，請根據(jù)不同設計方案完成以下任務.

方案1：直角形遮陽篷

如到1,小明設計的第一個方案為直角形遮陽篷8CO,點C在48的延長線上CO_L4C

(1)若BC=0.5m,CD-Im,則支撐桿m.

（2）小明發(fā)現(xiàn)上述方案不能很好發(fā)揮遮陽作用，如圖2,他觀察到此地一年中的正午時刻，太陽光與地平

14

面的最小夾角為。，最大夾角為夕.小明杏閱資料，計算出tana=§,tan/?=y,為了讓遮陽篷既能最大

限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi)（太陽光與平行），又能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光（太陽光與

4。平行）.請求出圖2中的長度.

N-

方案2：拋物線形遮陽篷

（3）如圖3,為了美觀及實用性，小明在（2）的基礎上將CQ邊改為拋物線形可伸縮的遮陽篷，點F為拋

物線的頂點，Db段可伸縮），且NCFQ=90。，BC,C。的長保持不變.若以C為原點，CQ方向為

x釉，BC方向為y軸.

①求該二次函數(shù)的表達式.

2

②若某時刻太陽光與水平地面夾角。的正切值tan6>=-使陽光最大限度地射入室內(nèi)，求遮陽蓬點D上升

3

的苛度最小值（即點QC至iJCD的距離）

第16頁共56頁

圖3

【答案】(1)Y5

2

2

(2)BC=—m,CD=2m

3

’2a2、

m

(3)~9—一9

【解析】

【分析】(I)利用勾股定理求8。即可;

(2)由題意得到NCNU=ADAM=pRt/XCBQ

由題意得：CD〃AM,BD//AE,NC=NC4M=90。,NCDB=NEAM=a/CDB=ZEAM=a,

1

BC=x,CD=3x,在RtZ\C80中，利用正切定義求出==；,在Rt△彳CO中，利用正切定義求出

CD3

Ar4Ya.242

—=一，得到方程:—二一，則有x=一則8C,CO的長度可求.

CD33r33

(3)①由題意，△“1￡)為等腰直角三角形，從而有歹(1,1),設二次函數(shù)為：y=ox(x-2),代入/(1,1),

求出函數(shù)關系式即可；

②8。'光線與水平方向的夾角為。，過。作x軸的垂線交x軸于點巴過4作y軸的垂線，兩條垂線交于

or\fIT(?、

點〃.即tan8=—=----,設D'H=2〃i,BH=3m,則點D'3m,2rn--,代入yn-Y+Zx求出

3BH\3)

x即可.

【小問1詳解】

在RtZ\C8O中，ZC=90°,

BD=^BC2+CD2=VO.52+1:=—m，

2

故答案為：正；

2

第17頁共56頁

【小問2詳解】

由題意得：CD〃AM、BDHAEyZC=ZCAM=90°,

???CD//AM

???NCDA=ADAM=p,

???BD"AE，

，ZBDA=ZEAD.

???NCDA-NBDA=ADAM-LEAD,

???/CDB=/EAM=a,

在RtZ^CBQ中，ZC=90°,

Be?

tanZ.CDB=tana==-,

CD3

?,?設8C=x,C。=3x

在RlZXZCQ中，ZC=90°,

Ar4

/.tanZ.CDA=tanB=-----=—,

CD3

x+24

:.-----=-，

3x3

解得x=2.

3

2

BC=—m,CD=2m.

3

【小問3詳解】

①由尸為拋物線頂點，可知FC=FD,

??,ZCFD=90°,

???△戶CO為等腰直角三角形

由二次函數(shù)對稱性可如，F(xiàn)（l,l）

第18頁共56頁

設二次函數(shù)為：y=4x(x—2),代入F(1,1)得

1=6/(—1),解得4=_|,

工？關于x的關系式為：y——x(x—2)=—x"+2x,

②BD光線與水平方向的夾角為9,過。作x軸的垂線交x軸于點E,

2D'II

過8作y軸的垂線，兩條垂線交于點〃.即tan。=,

3BH

(2

設D'H=2m,BH=3m,則點D'3m,2m——

<3

2

代入y=-2)得2加一§二一3〃z(3〃L2),

化筒得27m2-12加一2=0,

解得，叫=2+麗,孫=2一而(答案不合理,舍去)

9-9

???。'￡=地屋2,

99

//—\

，遮陽蓬點。上升的高度最小值為2/-一=-m.

I9”

【點睛】本題主要考查解直角三角形的應用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式，勾股定理，解直角三角形的

實際應用，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵.

7.(2024?廣東深圳,33校聯(lián)考一模)如圖1,一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口，離地豎直高度為〃=1.2

米.建立如圖2所示的平面直角坐標系，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象,

把綠化帶橫截面抽象為矩形QEFG,其水平寬度。E=2米，豎直高度即=0.7米，下邊緣拋物線是由

上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.4米，灌

溉車到綠化帶的距離為d米.

第19頁共56頁

y

（i）求上邊緣拋物線噴出水的最大射程oc；

（2）求下邊緣拋物線與人軸交點4的坐標;

（3）若d=3.2米，灌溉車行駛時噴出的水（填“能”或“不能”）澆灌到整個綠化帶.

【答案】（1）卜.邊緣拋物線噴出水的最大射程。。為6m；

（2）8（2,0）；

（3）不能.

【解析】

【分析】（1）求得上邊緣的拋物線解析式，即可求解；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質，確定平移的單位，求得下邊緣拋物線解析式，即可求解;

（3）根據(jù)題意，求得點尸的坐標，判斷上邊緣拋物線能否經(jīng)過點“即可；

【小問1詳解】

解：由題意可得：77（0,1.2）,^（2,1.6）

且上邊緣拋物線的頂點為A,故設拋物線解析式為：y=a（x-2）7+1.6

1

將“（0,1.2）代入可得：a

10

即上邊緣的拋物線為：y=~（x-2]2+\.6

■107

將y=0代入可得：一得（工一2）2+1.6=0

解得：x=-2（舍去）或々=6

即OC=6m

上邊緣拋物線噴出水的最大射程OC為6m；

【小問2詳解】

由（1）可得，H（0,L2）

第20頁共56頁

上邊緣拋物線為：j^=-—(x-2)2+1.6,可得對稱軸為：x=2

-10v7

點〃關于對稱軸對稱的點為：(4,1.2)

下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，可得上邊緣拋物線向左平移4個單位，得到下位緣拋物線,

印下邊緣的拋物線解析式為：y=—、(％+2『+1.6

將y=0代入可得：一」_(1+2)2+1.6=0

10v7

解得：X]=-6(舍去)或馬二2

即點8(2,0)；

【小問3詳解】

???2<3.2<6,

???綠化帶的左邊部分可以灌溉到，

由題意可得：F(5.2,0.7)

1A1A

將x=5.2代入到y(tǒng)=——(x-2)+1.6可得:y=-—(5.2-2)+1.6=0.576<0.7

因比灌溉車行駛時噴山的水不能澆灌到整個綠化帶.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的應用，涉及了待定系數(shù)法求解析式，與％軸交點等問題，解題的關鍵是理

解遨意，正確求得解析式.

8.(2024?廣東深圳?南山區(qū)一模)已知一次函數(shù)y=Ax+b(%/0)的圖象與二次函數(shù)歹=1*+2)2-2的

圖象相交于點4(1,〃?)，B(-2,w).

第21頁共56頁

(1)求一次函數(shù)的表達式，并在圖中畫出這個一次函數(shù)的圖象；

(2)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出不等式"+力〈,。+2)2-2的解集；

2

(3)當—30x41時，拋物線n=,。+2)2-2與直線》=〃只有一個交點，求〃的取值范圍；

(4)把二次函數(shù)y=；(x+2)2-2的圖象左右平移得到拋物線G：y=^(x-m)2-2,直接寫出當拋物

線G與線段43只有一個交點時機的取值范圍.

3

【答案】(1)一次函數(shù)的表達式為、=51+1,圖象見解析

(2)xv-2或x>l

(3)一1或〃=-2

22

(4)--</?<-2?-2<7??<4

4

【解析】

【分析】(1)將48點坐標代入二次函數(shù)中求加，〃的值，進而可得44點坐標，然后將43點坐標

代入一次函數(shù)解析式中求〃，力的值，進而可得一次函數(shù)解析式，最后描點連線即可：

(2)根據(jù)不等式的解集是一次函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象下方所對應的x的取值范圍求解即可；

335

(3)求工=一3時的二次函數(shù)的函數(shù)值為y=--，然后結合圖象，可知在頂點以及)，=一一上方，y=-

222

下方時，只有一個交點，確定取值范圍即可；

(4)分①當y=；(工一〃7)2-2過點A時，②當y=；(x--2過點B時，③當y=；(x-〃?了一2與

乙乙乙

直線力B只有一個交點時，三種情況求解機的值，然后結合圖象確定取值范圍即可.

【小問1詳解】

第22頁共56頁

〃?=；(1+2)-2

解：將4（1,〃。，4（一2,〃），代入歹=g（x+2）2—2得，<

〃=g(-2+2了-2

5

m=—

,解得<2,

n=-2

.../(《)5(-2,-2),

???一次函數(shù)y=h+6(%。0)的圖象過A點和B點

k+b=-

,2,

-2k+b=-2

k=>

解得彳2,

b=\

3

二.一次函數(shù)的表達式為y=]X+l,

描點作圖如K：

解：由（1）中的圖象可知，不等式履+6<!。+2）2-2的解集為：xv-2或x>l；

2

【小問3詳解】

1Q

解：把x=—3代入），二5（》+2）2-2得歹二一一，

22

第23頁共56頁

（5\

/h—,8（-2,-2）,

\巳）

由圖象可知，當—時，直線y=；（x+2）2—2與直線歹二〃只有一個交點，則〃的取值范圍是

-3〈〃42或〃=-2；

22

【小問4詳解】

解：由題意知，分三種情況求解：

①當）,=」（工_m）2_2過點人時，即』（1_〃7）2_2=_,

222

解得〃z=4或/〃=-2,

當陽=-2時，拋物線與原二次函數(shù)重合，與線段48有兩個交點A,B,故舍去，

/.m=4；

②當歹=」（X-〃7）2-2過點〃時，即，（-2）2-2=-2,

解得叫=掰2=-2（舍去）；

③當y=；（x—〃?）2—2與直線力3只有一個交點時，

2

.1.、，c3,

令y=5（1―〃?）--2=—x+1,

整理得：x~—（2〃?+3）+〃/一6二0,

則A=[-（2/7?+3一4（加？-6）=4〃?2+12m+9-4m2+24=12ni+33=0,

解得：〃?=一□,

4

綜上，-[■<m<一2或一2<mW4.

4

【點睛】本題考查了一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與不等式，二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)綜合等知識.解

題的關鍵在于數(shù)形結合.

9.（2024?廣東深圳?羅湖區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系中，。為原點，已知4（2,0）、C（1,3N/3）,

將丁必。繞4c的中點旋轉180。，點。落到點8的位置，拋物線y=ad—2百x經(jīng)過點兒點。是拋物

線的頂點.

第24頁共56頁

（3）若點P是線段。力上的點，且乙4尸。=NO/4,求點尸的坐標；

（4）若點P是x軸上的點，以P、A.。為平行四邊形的三個頂點作平行四邊形，使該平行四邊形的另一

個頂點在y軸上，請直接寫出點P的坐標.

【答案】（1）y=百/一2小

（2）點4在拋物線上（3）P+0）

（4）P（T,0）或（1,0）或（3,0）

【解析】

【分析】（1）將力（2,0）代入歹=0?一26x即可得到答案；

（2）先證明四邊形。力6c是平行四邊形，由平移的性質可得：8的坐標為（3,3百），再檢驗即可；

（3）作8E_Lx軸于E,_Lx軸于E如圖，利用頂點式v=—一百，得到。（1,一百），則

可求出/=60。，4D=2,OB=6,再求出力8的長和tan/BOE=8，ZBOE=60°,則可判

斷然后利用相似比求出40，從而可得到尸點坐標：

（4）設尸點坐標為（〃,0）,另一個頂點為Q,坐標為（0,力），分三種情況討論，根據(jù)平行四邊形對角線互

相平分，則兩條對角線的中點相同，利用中點坐標公式建立方程求出。即可得到P點坐標.

【小問1詳解】

解：將力（2,0）代入得

0=4a—4y/3?解得。二百.

???帕物線的表達式為y=一2百人.

第25頁共56頁

【小問2詳解】

???將ACMC繞4c的中點旋轉180°,

：?OA=BC,OC=BA,

，西邊形0/5。是平行四邊形，

???BC//OA.

???42,0）,C（l,3回

???由平移的性質可得：8的坐標為（3,36），

把x=3代入）=石/—2&X，得＞=3百.

???5在拋物線上.

【小問3詳解】

作軸于￡。9_Lx軸于凡如圖1,

,:y=氐2-2后=V3（.r-l）2-V3,

???。（1,一6），

DF=6，OF=AF=1,

???tan/LUR=⑺，AD=ylAF'2+DF2=2-

???ADAF=60°,

???B（3,3G）,

:.BE=3陋,OE=3,QB=y!0E2+BE2=6?AB=卜+（3可=2",

???tan/BOE=石，

???NBOE=60°,

???/BOA=/DAP.

第26頁共56頁

???ZAPD=NOAB,

:,APADS"OB,

.APAD|JnAP2

OAOB26

AP=—，

3

OP=2——=—,

33

（4、

???P點坐標為-,0；

IJ/

【小問4詳解】

設P點坐標為（。,0）,另一個頂點為o,坐標為（0/）,分三種情況討論:

①如圖，當”、。。為對角線時，

由平行四邊形對角線互相平分的性質和中點坐標公式可得,

4+2=1+0,解得。=-1,

，P點坐標為（一1,0），

第27頁共56頁

同理可得2+0=1+〃，解得。=1

?"點坐標為（1,0）

，P點坐標為（3,0）

綜上可得。點坐標為（一1,0）或（1,0）或（3,0）.

【點睛】本題考瓷了利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，旋轉與平移的性質，相似三角形的判定與性質，銳

角三角函數(shù)的應用，坐標系中構成平行四邊形的問題，熟練掌握平行四邊形的性質，分類討論，利用中點

坐標公式建立方程是解題的關鍵.

10.（2024?廣東深圳?寶安區(qū)三模）根據(jù)以下素材，探索完成任務.

如何設計批橋景觀燈的懸拌方案?

圖1中有一座拱橋，圖2是其

拋物線形橋拱的示意圖，某時

素

測得水面寬20m,拱頂離水面

材

5m.據(jù)調查，該河段水位在

1

此基礎上再漲1.8m達到最

而.

第28頁共56頁

為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面

的橋拱上懸掛40cm長的燈

籠，如圖3.為了安全，燈籠底橋橫

素

部距離水面不小于1m；為了

材安全距離；

實效，相鄰兩盞燈籠懸掛點的/：的高

2

水平間距均為1.6m；為了美

圖3

觀，要求在符合條件處都掛上

燈籠，且掛滿后成軸對稱分布.

問題解決

任

務確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標系，求拋物線的函數(shù)表達式.

1

任

在你所建立的坐標系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點的縱坐標

務探究懸掛范圍

的最小值和橫坐標的取值范圍.

2

任

給出?種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所