專題L5帶電粒子在有界勻強磁場中的運動

【人教版】

【題型1圓形勻強磁場區(qū)域問題】.................................................................

【題型2矩形磁場區(qū)域問題】......................................................................

【題型3三角形磁場區(qū)域問題】...................................................................

【題型4平行邊界磁場區(qū)域問題】.................................................................

【題型5半圓形磁場區(qū)域問題】...................................................................

【題型6其他形狀的磁場區(qū)域問題】...............................................................

”%苧：一笈三

【題型1圓形勻強磁場區(qū)域問題】

【例1】如圖所示，水平虛線和CC間距為L,中間存在著方向向右且與虛線平行的勻強

電場，CC的下側(cè)存在一半徑為R的圓形磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向外(圖中未畫出)，

圓形磁場與邊界CC相切于點一質(zhì)量為〃?、帶電量為q(q>0)的粒子由電場上邊界44,上

的S點以初速度如垂直射入電場，一段時間后從M點離開電場進入磁場，粒子進入磁場的

速度大小為6的，且其運動軌跡恰好過圓形磁場的圓心。。粒子所受重力忽略不計，求：

ASA'

(I)電場強度石的大??；

(2)圓形磁場區(qū)域磁感應(yīng)強度B的大小。

【變式11］如圖，半徑為K的圓是一圓柱形勻強磁場區(qū)域的橫截面(紙面)磁感應(yīng)強度大小為

B，方向垂直于紙面向外。一電荷量為質(zhì)量為加的粒子沿平行于直徑時的方向從

。點射入磁場區(qū)域，射入點c與ab的距離為加;娘R已知粒子射出磁場與射入磁場時運

動方向間的夾角為60。，則粒子的速率為(不計粒子重力，已知sin15。="與但)()

b

X-f-'x

「?「門

A.eqB.eq

C.eqD.eq

【變式12】在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，存在一-個半徑R=0.2m的圓形勻強磁場區(qū)域，

磁感應(yīng)強度4=1.0T,方向垂直紙面向外，該磁場區(qū)域的右邊緣與y坐標(biāo)軸相切于原點O

點。y軸右側(cè)存在一個勻強電場，方向沿），軸正方向，電場區(qū)域?qū)挾?=0.1m?，F(xiàn)從坐標(biāo)為（一

0.2m,-0.2m）的〃點發(fā)射出質(zhì)量〃=2.0X10-9kg、帶電荷量夕=5.0義10一5c的帶正電粒

子，沿），軸正方向射入勻強磁場，速度大小如=5.0Xl"m/s（粒子重力不計）。

Fm

（1）帶電粒子從坐標(biāo)為（0.1n（）.05m）的點射出電場，求該電場強度的大??；

⑵為了使該帶電粒子能從坐標(biāo)為（0.1m,-0.05m）的點回到電場，可在緊鄰電場的右側(cè)區(qū)域

內(nèi)加勻強磁場，試求所加勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小和方向。

【變式13】真空中有一勻強磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為。和3a的同軸圓柱面，磁場

的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為。的電子從圓心沿半徑方向進入磁場。

已知電子質(zhì)量為加，電荷量為e，忽略重力。為使該電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的

區(qū)域內(nèi)，磁場的磁感應(yīng)強度最小為（）

ZxX

/XXXx\

（xx/fl7'*,Xx\

\xx：、、*7

\一％/

mv

A.eqB.eqB—

3mv3niv

【題型2矩形磁場區(qū)域問題】

【例2】（多選）空間存在方向垂直于紙面向里的勻強磁場，圖中的正方形為其邊界。一細(xì)束

由兩種粒子組成的粒子流沿垂直于磁場的方向從O點入射。這兩種粒子帶同種電荷，它們

的電荷量、質(zhì)量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子。不計重力。下列說法正

確的是（）

XXXX

XXXX

XXXX

A.入射速度不同的粒子在滋場中的運動時間一定不問

B.入射速度相同的粒子在磁場中的運動軌跡一定相同

C.在磁場中運動時間相同的粒子，其運動軌跡一定相同

D.在磁場中運動時間越長的粒子，其軌跡所對的圓心角一定越大

【變式21］如圖，邊長為/的正方形而〃內(nèi)存在勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為8、方向垂

直于紙面（"4所在平面）向外。外邊中點有一電子發(fā)射源0,可向磁場內(nèi)沿垂直于他邊的

方向發(fā)射電子。已知電子的比荷為鼠則從〃、d兩點射出的電子的速度大小分別為（）

【變式22］如圖所示，ABCD為一正方形區(qū)域，一帶電粒子以速度如從AB邊的中點0,

沿紙面垂直于A8邊的方向射入。若該區(qū)域充滿平行于A4邊的勻強電場，該粒子經(jīng)時間。

以速度5從C點射出；若該區(qū)域充滿垂直紙面的勻強磁場，該粒子經(jīng)時間介以速度3從。

點射出，不計粒子重力，則（）

A.V\>V2rt\<t2B.V]>V2^t\>t2

C.UI<t?2?/l</2D.Vi<V2^tl>l2

【變式23］如圖所示，垂直于紙面向里的勻強磁場分布在正方形abed區(qū)域內(nèi)，0點是cd

邊的中點.一個帶正電的粒子僅在洛倫茲力的作用下，從。點沿紙面以垂直于“邊的速度

射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時間fo后剛好從。點射出磁場.現(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從。點沿紙面以

與Od成30。角的方向，以大小不同的速率射入正方形內(nèi)，那么下列說法中正確的是（）

A.若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是a0,則它一定從〃邊射出磁場

B.若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是1。，則它一定從〃/邊射出磁場

C.若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是三（），則它一定從次邊射出磁場

D.若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是/o,則它一定從油邊射出磁場

【題型3三角形磁場區(qū)域問題】

【例3】如圖所示，邊長為L的等邊三角形4BC內(nèi)、外分布著兩方向相反的勻強磁場，三

角形內(nèi)磁場方向垂直紙面向外，兩磁場的磁感應(yīng)強度大小均為瓦頂點A處有一粒子源，粒

子源能沿N84C的角平分線發(fā)射不同速率的粒子，粒子質(zhì)量均為〃?、電荷量均為+4，不計

粒子重力及粒子間的相互作用力，則發(fā)射速度如為哪一值時粒子能通過B點（）

A筆

c嗤口端

【變式31］如圖所示，也斗月。為與勻強磁場垂直的邊長為。的等邊三角形，比荷為《的電

子以速度加從A點沿AB邊入射，欲使電子經(jīng)過邊，磁感應(yīng)強度B的取值為（）

B.8V也

ae

yl3mv（）D.8/

C

【變式32］如圖所示，邊長為乙的等邊三角形區(qū)域ACZ）內(nèi)、外的勻強磁場的磁感應(yīng)強度大

小均為8、方向分別垂直紙面向里、向外。三角形頂點A處有一質(zhì)子源，能沿NA的角平分

線發(fā)射速度大小不等、方向相同的質(zhì)子（質(zhì)子重力不計、質(zhì)子間的相互作用可忽略），所有質(zhì)

子均能通過。點，已知質(zhì)子的比荷*=A,則質(zhì)子的速度不可能為（）

A

??/|\<?8.

/x\

f4

?■X。、、??

/XXX\

?..?'??

A.B.BkL

邈BkL

?2?8

【變式33］如圖所示，在一等腰直角三角形ACO區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強磁場，磁場

的磁感應(yīng)強度大小為8。一質(zhì)量為電荷量為的帶正電粒子（重力不計）以速度。從AC

邊的中點。垂百AC邊射入磁場區(qū)域。若三角形的兩直角邊長均為2L,要使粒子從CD邊

射出，則。的取值范圍為1）

A

,qBL“，正qBL

A.-~~B幽WoW皿

mmmm

「qBL：（啦+1）qBLqBL5qBL

c"啟〃/

D.2m2rn

【題型4平行邊界磁場區(qū)域問題】

［例4］CT掃描是計算機X射線斷層掃描技術(shù)的簡稱,CT掃描機可用于對多種病情的探測。

圖（a）是某種CT機主要部分的剖面圖，其中X射線產(chǎn)生部分的示意圖如圖（b）所示。圖（b）中

M、N之間有一電子束的加速電場，虛線框內(nèi)有勻強偏轉(zhuǎn)磁場；經(jīng)調(diào)節(jié)后電子束從靜止開始

沿帶箭頭的實線所示的方向前進，打到靶上，產(chǎn)生X射線（如圖中帶筋頭的虛線所示）；將電

子束打到靶上的點記為。點。則（）

A.M處的電勢高于N處的電勢

B.增大M、N之間的加速電壓可使P點左移

C.偏轉(zhuǎn)磁場的方向垂直于玳面向外

D.增大偏轉(zhuǎn)磁場磁感應(yīng)強費的大小可使P點左移

【變式41】矩形區(qū)域〃兒d（包括邊界）充滿磁感應(yīng)強度為8、方向垂直紙面向里的勻強磁場。

現(xiàn)從4d邊中點。處，以垂直磁場且跟向邊成30。角的速度射入一帶電粒子。已知粒子質(zhì)量

為〃人電荷量為心ad邊長為L,不計粒子重力。

⑴若要粒子從"邊上射出，則入射速度如的大小范圍是多少？（必邊足夠長）

⑵粒子在磁場中運動的最長時間是多少？

【變式42］如圖所示，名強磁場的磁感應(yīng)強度為B,寬度為d,邊界為。。和E凡一電子

從C。邊界外側(cè)以速率如垂直射入勻皿磁場，入時方向與CO邊界間央角為以已知電于的

質(zhì)量為〃?，電荷量為e,為使電子能從磁場的另一側(cè)后廠射出，求：

I）F

（1）電了的速率%至少多大？

⑵若。角可取任意值，%的最小值是多少？

【變式43］如圖所示，一個理想邊界為PQ、MN的勻強磁場區(qū)域，磁場寬度為土方向垂

直紙面向里。一電子從0點沿紙面垂直PQ以速度如注入磁場。若電子在磁場中運動的軌

道半徑為2"。0'在MN上，且0。與MN垂直。下列判斷正確的是（）

A.電了?將向右偏轉(zhuǎn)

B.電子打在MN上的點與0'點的距離為d

C.電子打在MN上的點與。’點的距離為小〃

D.電子在磁場中運動的時間為黑

【題型5半圓形磁場區(qū)域問題】

【例5】如圖所示，長方形abed長ad=0.6m,寬必=0.3m,。、e分別是ad、be的中點,

以ad為直徑的半圓內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場（邊界二無磁場），磁感應(yīng)強度B=0.25T。

一群不計重力、質(zhì)量，"=3X10-7kg、電荷量q=+2Xl（）-3c的帶電粒子以速度。=5X102

m/s沿垂直ad方向且垂直于磁場射入磁場區(qū)域，則（）

A.從Od邊射入的粒子，出射點全部分布在0a邊

B.從。。邊射入的粒子，出射點全部分布在岫邊

C.從O"邊射入的粒子，出射點分布在Oa邊和。。邊

D.從〃。邊射入的粒子，出射點分布在"邊和從邊

【變式51］如圖所示，在xQy平面內(nèi)，有一以。為圓心、R為半徑的半圓形勻強磁場區(qū)域,

磁場方向垂直坐標(biāo)平面向里，磁感應(yīng)強度大小為瓦位于O點的粒子源向第二象限內(nèi)的各

個方向連續(xù)發(fā)射大最同種帶電粒子，粒子均不會從磁場的圓弧邊界射出。粒子的速率相等，

質(zhì)量為〃?、電荷量大小為小粒子重力及粒子間的相互化用均不計。

⑴若粒子帶負(fù)電，求粒子的速率。應(yīng)滿足的條件及粒子在磁場中運動的最短時間/；

（2）若粒子帶正電，求粒子在磁場中能夠經(jīng)過區(qū)域的最大面積。

【變式52］如圖所示，在一個圓形區(qū)域內(nèi)，兩個方向相反且都垂直于紙面的勻強磁場分布

在以直徑AM,為邊界的兩個半圓形區(qū)域I、II中，A2/U與的夾角為60。.一質(zhì)量為〃?、

電荷量為+q的粒子以某一速度從【區(qū)的邊緣點Ai處沿與A1A3成30。角的方向射入磁場，

隨后該粒子沿垂直于44的方向經(jīng)過圓心。進入I【區(qū)，最后再從4處射出磁場.已知該粒

子從射入到射出磁場所用的時間為，，求:

（1）畫出粒子在磁場I和n中的運動軌跡：

（2）粒子在磁場I和II中的軌跡半徑R和R2的比值；

（3）I區(qū)和II區(qū)中磁感應(yīng)強度的大?。ê雎粤Ｗ又亓Γ?

【變式53】勻強磁場區(qū)域由一個半徑為R的半圓和一個長為2R、寬為亨的矩形組成，磁場

的方向如圖所示.一束質(zhì)量為加、電荷量為+4的粒了?（粒子間的相互作用和重力均不計）以

速度。從邊界AN的中點P垂直于AN和磁場方向射入磁場中.問：

（1）當(dāng)磁感應(yīng)強度為多大時，粒了恰好從A點射出？

（2）對應(yīng)于粒子可能射出的各段磁場邊界，磁感應(yīng)強度應(yīng)滿足什么條件？

【題型6其他形狀的磁場區(qū)域問題】

【例6】（多選）如圖所示，在。町平面的第一象限內(nèi)存在方向垂直紙面向里.，磁感應(yīng)強度大

小為B的勻強磁場。一帶電粒子從y軸上的M點射入磁場，速度方向與.y軸正方向的夾角

。=45?！懔Ｗ咏?jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后在汽點（圖中未畫出）垂直穿過x軸。已知OM=a,粒子電荷量

為q,質(zhì)量為機，重力不計。則（）

A.粒子帶負(fù)電荷

B.粒子速度大小為警

C.粒子在磁場中運動的軌道半徑為4

D.N與。點相距（6+1）。

【變式61］如圖所示，正六邊形。區(qū)區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面的勻強磁場。一帶正電的粒子

從7點沿JV方向射入磁場區(qū)域，當(dāng)速度大小為辦時，從沙點離開磁場，在磁場中運動的時

間為自當(dāng)速度大小為S時，從c點離開磁場，在磁場中運動的時間為小不計粒子重力。

則（）

【變式62］如圖所示，勻強磁場的邊界為平行四邊形ABC/九其中AC邊與對角線BC垂直,

一束電子以大小不同的速度沿8c從8點射入磁場，不計電子的重力和電子之間的相互作用,

關(guān)于電子在磁場中運動的情況，下列說法中正確的是（）

A.入射速度越大的電子，其運動時間越長

B.入射速度越大的電子，其運動軌跡越長

C.從48邊出射的電子的運動時間都相等

D.從4c邊出射的電子的運動時間都相等

【變式63］如圖所示，太極圖由“陰魚”和“陽魚”構(gòu)成，其邊界是以0為圓心R為半徑

的圓，內(nèi)部由以。1和02為圓心等半徑的兩個半圓分割成上下兩部分，其中上部分為“陽

魚”，卜部分為“陰魚”，“陽魚”中有垂直紙面向外的勻強磁場。。為太極圖邊緣上一點，

且Q、02、0、Q四點共線。一電量為+，/，質(zhì)量為機的帶電粒子，在。點以大小。的速度

指向圓心。射入“陽魚”區(qū)域，若帶電粒子在“太極圖”運動過程中沒有進入“陰魚”區(qū)

域，帶電粒子重力不計。則磁感應(yīng)強度的最小值為（）

參考答案

【題型1圓形勻強磁場區(qū)域問題】

【例1】如圖所示，水平虛線A/V和CC間距為L中間存在著方向向右且與虛線平行的勻強

電場，CC的下側(cè)存在一半徑為R的圓形磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向外（圖中未畫出），

圓形磁場與邊界CC相切于點Mo一質(zhì)量為〃?、帶電量為q（夕＞0）的粒子由電場上邊界44上

的S點以初速度如垂直射入電場，一段時間后從M點離開電場進入磁場，粒子進入磁場的

速度大小為啦如，且其運動軌跡恰好過圓形磁場的圓心0。粒子所受重力忽略不計，求：

ASA'

（I）電場強度E的大??；

（2）圓形磁場區(qū)域磁感應(yīng)強度B的大小。

答案（嫖Q例

解析（1）粒子在整個過程的運動軌跡，如圖所示。

粒子在電場從S到M做類平拋運動，在垂直于電場方向

L

粒子在M點沿著電場方向速度Vx=N（小V0）2一魂=。（1

所以粒子沿著電場方向的位移J=^X/|=y

粒子從S點到"點，由動能定理

c/Ed=^m（y12v（））2-多欣

解得“臂

(2)設(shè)粒子在/處的速度與電場方向夾角為。，則

解得。=45。

所以三角形。0力;為等腰直角三角形，設(shè)帶電粒子做勻速圓周運動的半徑為7-0

由幾何關(guān)系得「=乎農(nóng)

由牛頓第二定律qBNivo)=5?2

【變式11］如圖，半徑為R的圓是一圓柱形勻強磁場區(qū)域的橫截面(紙面)磁感應(yīng)強度大小為

3,方向垂直于紙面向外。一電荷量為40>0)、質(zhì)量為根的粒子沿平行于直徑"的方向從

c點射入磁場區(qū)域，射入點c與ab的距離為逅子R,已知粒子射出磁場與射入磁場時運

動方向間的夾角為6()。，則粒子的速率為(不計粒子重力，已知sin15。=#；')()

國R加R

2m

（冊f）qBR

［解析I粒子帶正電，根據(jù)左手定則，判斷出粒子受到的洛倫茲力向右，就跡如圖所示,

/7_5

由射入點c與ab的距離為“4、一旦可知NcOi4=15°,由速度的偏轉(zhuǎn)角為60°,可知NcQ。

=30°,在△CO2O1,由正弦定理得，軌?跡半徑由反7。=十，解得。=義潸，B

正確，A、C、D錯誤。

I答案］B

【變式12］在如圖所不的平面直角坐標(biāo)系中，存在一個半徑R=0.2m的圓形勻強磁場區(qū)域,

磁感應(yīng)強度B=1.0T,方向垂直紙面向外，該磁場區(qū)域的右邊緣與y坐標(biāo)軸相切于原點0

點。y軸右側(cè)存在一個勻強電場，方向沿)，軸正方向，電場區(qū)域?qū)挾?=0/m?，F(xiàn)從坐標(biāo)為(一

0.2m,-0.2m)的P點發(fā)射出質(zhì)量〃?=2.0X10-9kg、帶電荷量q=5.()X1。Pc的帶正電粒

子，沿)，軸正方向射入勻強磁場，速度大小如nS.OXl^m/s(粒子重力不計)。

(I)帶電粒子從坐標(biāo)為(0.1m,0.05m)的點射出電場，求該電場強度的大??；

⑵為了使該帶電粒子能從坐標(biāo)為(0.1m,-0.05m)的點回到電場，可在緊鄰電場的右側(cè)區(qū)域

內(nèi)加勻強磁場，試求所加勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小和方向。

p2

［解析I(1)帶正電粒子在磁場中做勻速圓周運動，根據(jù)洛倫茲力提供向心力有：qvoB=)葉

可得：r=——=0.20m=R

根據(jù)幾何關(guān)系可以知道，帶電粒子恰從。點沿x軸正方向進入電場，帶電粒子做類平拋運

動，設(shè)粒子到達電場邊緣時，豎直方向的位移為)，

根據(jù)類平拋規(guī)律可得：/=叩，y^al2

根據(jù)牛頓第二定律可得：Eq=ma

聯(lián)立可得：E=2/^?V=I.OXIO4N/CO

QEI

3

(2)粒子飛離也場時，沿電場方向速度：vy=at==5.0XI()m/s=Vo

粒子射出電場時速度大小v=yj2v0,方向與x軸正方向夾角為45。偏向右上方

根據(jù)左手定則可知所加磁場方向垂直紙面向外，根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子在次區(qū)域磁場中

做圓周運動半徑/=也了

根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qvB'=%二

聯(lián)立可得所加勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小B'=粵=41\

qr

|答案］(DI.OXI^N/C(2)4T,方向垂直紙面向外

【變式13】真空中有一勻強磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為。和3〃的同軸圓柱面，磁場

的方向與圓柱軸線平行:，其橫截面如圖所示。一速率為。的電子從圓心沿半徑方向進入磁場。

已知電子質(zhì)量為加，電荷量為e,忽略重力。為使該電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的

區(qū)域內(nèi)，磁場的磁感應(yīng)強度最小為()

答案c

解析為使電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，電子進入勻強磁場中做勻速圓周

運動的半徑最大時軌跡如圖所示，設(shè)其軌跡半徑為「，圓心為磁場的磁感應(yīng)強度最小為

B,由幾何關(guān)系有S^T7+r=3a,解得/?=，/,電子在勻強磁場中做勻速圓周運動有⑷8=

"”，解得8=養(yǎng)，選項C正確。

【題型2矩形磁場區(qū)域問題】

【例2】（多選）空間存在方向垂直于紙面向里的勻強磁場，圖中的正方形為其邊界。一細(xì)束

由兩種粒子組成的粒子流沿垂直丁磁場的方向從O點入射。這兩種粒子帶同種電荷，它們

的電荷量、質(zhì)量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子。不計重力。下列說法正

確的是（）

XXX

XXXX

A.入射速度不同的粒子在遜場中的運動時間一定不同

B.入射速度相同的粒子在磁場中的運動軌跡一定相同

C在磁場中運動時間相同的粒子，其運動軌跡一定相同

D.在磁場中運動時間越長的粒子，其軌跡所對的圓心角一定越大

解析由T=黑可知，粒子的運動周期與粒子的速度無關(guān)，若入射速度不同的粒子從左邊

C/r5

界飛出，則粒子的偏轉(zhuǎn)角相同，運動時間相同，A、C錯誤；由/*=狷可知，入射速度相同

z.

的粒子運動軌跡相同，B正確；由粒子的運動時間，=不2元力可知，D正確。

答案BD

【變式21］如圖，邊長為/的正方形"cd內(nèi)存在勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂

直于紙面（"4所在平面）向外。R?邊中點有一電子發(fā)射源0,可向磁場內(nèi)沿垂直于"邊的

方向發(fā)射電子。已知電子的比荷為鼠則從。、d兩點射出的電子的速度大小分別為（）

答案B

解析若電子從。點射出，運動軌跡如圖線①,

山o臉曰（出入qBlkBl

由8點=〃三付％=w=4〃?=丁

若電子從"點射出，運動軌跡如圖線②，

由幾何關(guān)系得后=（&-g+戶，

整理得必今

-D0口（防5qBl5kBl洋不口工四

由qv<iB="r］可加,選項B正確。

【變式22］如圖所示，ABC。為一正方形區(qū)域，一帶電粒子以速度。。從A8邊的中點O,

沿紙面垂直于AB邊的方向射入。若該區(qū)域充滿平行于AB邊的勻強甩場，該粒子經(jīng)時間力

以速度必從C點射出；若該區(qū)域充滿垂直紙面的勻強磁場，該粒子經(jīng)時間ti以速度S從D

點射出，不計粒子重力，則（）

A.V\>V2,t\<t2B.5>6，/1>；2

C.V\<V2yt\<tlD.v\<vi，t\>tz

I解析I設(shè)正方形的邊長為L,當(dāng)區(qū)域內(nèi)為電場時，則粒子做類平拋運動，平行于AC方向

為勻速直線運動，運動時間為垂直AC方向為勺加速直線運動，有4M1=]z，解得

VoLJz.

Vy=Vof所以5=7+馬？=巾00,當(dāng)區(qū)域內(nèi)為磁場時，洛倫茲力不做功，則02=00,設(shè)軌

（廠一工「2

道半徑為r,則有r=L2+2解得根據(jù)/04=白土，解得8=義等，所以

軌道圓心角sin0=*=O&則0=53。，則，2=襦乂鬻=富/,綜上力＞力，/i＜/2,A

I答案]A

【變式23）如圖所示，垂直于紙面向里的勻強磁場分布在正方形abed區(qū)域內(nèi)，（）點是cd

邊的中點.一個帶正電的粒子僅在洛倫茲力的作用下，從。點沿紙面以垂直于cd邊的速度

射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時間為后剛好從c?點射出磁場.現(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從。點沿紙面以

與Od成30。角的方向，以大小不同的速率射入正方形內(nèi)，那么下列說法中正確的是（）

A.若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是爭（），則它,定從cd邊射出磁場

B.若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是孤則它一定從4邊射出磁場

C.若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是也°,則它一定從反邊射出磁場

D.若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是如則它一定從時邊射出磁場

答案AC

解析如圖所示，作出剛好從加邊射出的軌跡①、剛好從從邊射出的枕跡②、從cd邊射

出的軌跡③和剛好從＜0邊射出的枕跡④.由從。點沿紙面以垂直于〃邊的速度射入正方形

內(nèi)，經(jīng)過時間而后剛好從C點射出磁場可知，帶電粒子在磁場中做圓周運動的周期是2m.可

知，從ad邊射出磁場經(jīng)歷的時間一定小于/o；從而邊射出磁場經(jīng)歷的時間一定大于等于3

554

也小于9。；從反邊射出磁場經(jīng)歷的時間一定大于等于去。，小于要0；從cd邊射出磁場經(jīng)歷

的時間一定是全）.

【題型3三角形磁場區(qū)域問題】

【例3】如圖所示，邊長為L的等邊三角形48c內(nèi)、外分布著兩方向相反的勻強磁場，三

角形內(nèi)磁場方向垂直紙面向外，兩磁場的磁感應(yīng)強度大小均為瓦頂點A處有一粒子源，粒

子源能沿NB4C的角平分線發(fā)射不同速率的粒子，粒子質(zhì)量均為〃?、電荷量均為+外不計

粒子重力及粒子間的相互作用力，則發(fā)射速度如為哪一值時粒子能通過B點（）

「2qBLuBL

C3m7m

答案D

解析粒子帶正電，且經(jīng)過3點，其可能的軌跡如圖所示。

所有圓弧所對圓心角均為60。，所以粒子運行半徑2,3,…），粒子在磁場中做

圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得,，解得。=嚕=鬻（〃=1,

2,3,…），由此可知，。=喏的粒子能通過B點,故A、B、C不符合題意，D符合題意。

【變式31］如圖所示，AABC為與勻強磁場垂直的邊長為。的等邊三角形，比荷為《的電

子以速度如從A點沿A8邊入射，欲使電子經(jīng)過BC邊，磁感應(yīng)強度8的取值為（

B8誓

小〃?中0

D.

1)<ae

a

2

I解析］由題意，如圖所示，電子正好經(jīng)過。點，此時國周運動的半徑/?=五行=寶，要

a

想電子從BC邊經(jīng)過，電子做圓周運動的半徑要大于忑'由帶電粒子在磁場中運動的公式廣

mv-pajnvort.一^rnvo

=正可得忑〈而，即D正確。

【變式32］如圖所示，邊長為L的等邊三角形區(qū)域AC。內(nèi)、外的勻強磁場的磁感應(yīng)強度大

小均為B、方向分別垂直玳面向里、向外。三角形頂點4處有一質(zhì)子源，能沿N4的角平分

線發(fā)射速度大小不等、方句相同的質(zhì)子（質(zhì)子重力不計、質(zhì)子間的相互作用可忽略），所有質(zhì)

子均能通過。點，已知質(zhì)子的比荷*=億則質(zhì)子的速度不可能為（）

A

?/|\>?8?

/X\

fX

&XS'??

?*

xxx\°

A.警B.BkL

3BkL>BkL

L.2D.—

解析：選C質(zhì)子的運動軌跡如圖所示,

p2

由幾何關(guān)系可得2〃&360。=L（〃=1,2,3,…），由洛倫茲力提供向心力，則有員加=〃親,

聯(lián)立解得。=等=等，A、B、D正確，C錯誤。

【變式33］如圖所示，在一等腰直角三角形AC。區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強磁場，磁場

的磁感應(yīng)強度大小為從一質(zhì)量為〃h電荷量為q的帶正電粒子（重力不計）以速度v仄AC

邊的中點。垂直AC邊射入磁場區(qū)域。若三角形的兩直角邊長均為2L要使粒子從C。邊

射出，則。的取值范圍為［)

A』

mminin

幽(5+1)qBLD陪“BL

'2mm2mWK2m

答案C

解析根據(jù)洛倫茲力提供向心力可知，。=誓，因此半徑越大，速度越大；根據(jù)幾何關(guān)系可

知，使粒子軌跡與A。邊相切時速度最大，如圖，則有40,sin45。=。％,即S+L）sin45°

=ri,解得最大半徑為〃=（6+1乂，故最大速度為。尸9）QB1當(dāng)粒子從。點出

射時，半徑最小，為=7，故最小速度為V2=縹1,則V的取值范圍為

<W，*二）'網(wǎng),故c正確，A、B、D錯誤。

【題型4平行邊界磁場區(qū)域問題】

【例4JCT掃描是計算機X射線斷層掃描技術(shù)的簡稱,CT掃描機可用于對多種病情的探測。

圖⑶是某種CT機主要部分的剖面圖，其中X射線產(chǎn)生部分的示意圖如圖（b）所示。圖（b）中

M、N之間有一電子束的加速電場，虛線框內(nèi)有勻強偏轉(zhuǎn)磁場；經(jīng)調(diào)節(jié)后電子束從靜止開始

沿帶箭頭的實線所示的方向前進，打到靶上，產(chǎn)生X射線（如圖中帶箭頭的虛線所示）；將電

子束打到靶上的點記為尸點。則（）

A.M處的電勢高于N處的電勢

B.增大歷、N之間的加速電壓可使P點左移

C.偏轉(zhuǎn)磁場的方向垂直于紙面向外

D.增大偏轉(zhuǎn)磁場磁感應(yīng)強度的大小可使P點左移

答案D

解析電子帶負(fù)電，故必須滿足N處的電勢高于M處的電勢才能使電子加速，故選項A錯

誤；由左手定則可判定磁感應(yīng)強度的方向垂直紙面向里，故選項C錯誤：對加速過程應(yīng)用

1_/

動能定理有eU=2^v2.設(shè)電子在磁場中運動半徑為r,由洛倫茲力提供向心力有evB=nr^,

則「=瓦>電子運動軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可知，電子從磁場射出的速度方向與水平方

，八/就？可見增大，/會

向的夾角。滿足sin。=：（其中〃為磁場寬度），聯(lián)才可得3n。=

使e減小，電子在靶上的落點尸右移，增大8可使。增大，電子在靶上的落點P左移，故

選項B錯誤，D正確。

【變式41】矩形區(qū)域出口/（包括邊界）充滿磁感應(yīng)強度為8、方向垂直紙面向里的勻強磁場。

現(xiàn)從ad邊中點。處，以垂直磁場且跟ad邊成30。角的速度射入一帶電粒子。已知粒子質(zhì)量

為〃?、電荷量為%ad邊長為L,不計粒子重力。

（1）若要粒子從時邊上射出，則入射速度如的大小范圍是多少？（?！ㄟ呑銐蜷L）

⑵粒子在磁場中運動的最長時間是多少？

解析⑴若粒子速度為出,由0。8=/年得/?=翳

若軌跡與ab邊相切，如圖所示，設(shè)此時相應(yīng)速度為q）i,則

/?i4-/?isin0=2

將寵尸鬻代入上式可得知=鬻

若軌跡與Cd邊相切，如圖所示，設(shè)此時粒子速度為如2,則

R-Rzsin。=與

，〃如2代入上式可得如2=嚕

模R?=

所以粒子能從ab邊上射出磁場的入射速度%的大小應(yīng)滿足端＜見這嚕。

⑵設(shè)粒子入射速度為0,在磁場中經(jīng)過的瓠所對的圓心角為a,則，=^=蕭，則。越大，

在磁場中運動的時間也越長，由圖可知，粒子在磁場中運動的半徑時，運動時間最長,

瓠所對的圓心角為（2加一28）。

所以粒子在磁場中運動的最長時間為

（2兀-2一）5兀/〃

t=qB=麗°

gq…qBL/BLSum

v73mm'3qB

【變式42］如圖所示，色強磁場的磁感應(yīng)強度為8,寬度為d,邊界為CO和E凡一電子

從CO邊界外側(cè)以速率的垂直射入勻強磁場，入射方向與CO邊界間夾角為〃。已知電子的

質(zhì)量為機，電荷量為e,為使電子能從磁場的另一側(cè)七尸射出，求：

E

［）IXXXIp

（1）電子的速率為至少多大？

⑵若0角可取任意值，%的最小值是多少？

解析本題考查圓周運動的邊界問題的求解方法。（I）當(dāng)入射速率。0很小時，電子會在磁場

中轉(zhuǎn)動一段圓瓠后又從CD一側(cè)射出，速率越大，軌道半徑越大，當(dāng)軌道的邊界與月產(chǎn)相切

時，電子恰好不能從七尸射出，如圖所示，電子恰好射出時，由幾何知識可得：「十巾os〃=

d?

又令

由??得如=m（］黑刀③

故電子要射出磁場，速率至少應(yīng)為,〃（［%；［〃）

（2）由③式可知，。=0。時，。0=等最小，由②式知此時半徑最小，Zmin=5?也可由軌跡分析

得出上述結(jié)論。

答案⑴）晦

【變式43］如圖所示，一個理想邊界為PQ、MN的勻強磁場區(qū)域，磁場寬度為d,方向垂

直紙面向里。一電子從O點沿紙面垂直PQ以速度如送入磁場。若電子在磁場中運動的軌

道半徑為2"。0'在MN上，且00'與MN垂直。下列判斷正確的是（）

A.電了?將向右偏轉(zhuǎn)

B.電子打在MN上的點與O'點的距離為d

C.電子打在MN上的點與O'點的距離為小d

D.電子在磁場中運動的時間為黑

解析：選D曲子帶負(fù)電，進入磁場后，根據(jù)左手定則判斷可知，所受的洛倫茲力方向向左，

電子將向左偏轉(zhuǎn)，如圖所示，

A錯誤：設(shè)電子打在MN上的點與O'點的距離為4,則由幾何知識得：x=/—yjr1—d:=2d

7（24）2一/=（2一小）乩故B、c錯誤；設(shè)軌跡對應(yīng)的圓心角為仇由幾何知識得：sin0

=4=0.5,得此,則電子在磁場中運動的時間為/=4=黑，故D正確。

乙aovouuo

【題型5半圓形磁場區(qū)域問題】

［例5］如圖所示，長方形abed長”d=0.6in,寬而=0.3m,0、e分別是ad、be的中點,

以為直徑的半圓內(nèi)有座直紙面向里的勻強磁場（邊界二無磁場），磁感應(yīng)強度8=0.25T。

一群不計重力、質(zhì)量，〃=3X10'kg、電荷量q=+2X103c的帶電粒子以速度。=5XIO?

m/s沿垂直ad方向且垂直于磁場射入磁場區(qū)域，則（）

A.從邊射入的粒子，出射點全部分布在0。邊

B.從aO邊射入的粒子，出射點全部分布在a〃邊

C.從Od邊射入的粒子，出射點分布在0a邊和邊

D.從〃。邊射入的粒子，出射點分布在"邊和從邊

［解析］由「=翳得帶電粒子在勻強磁場中運動的半徑，=0.3m,從。d邊射入的粒子，出

射點分布在出?和。e邊；從“0邊射入的粒子，出射點分布在ab邊和〃e邊；選項D正確。

［答案ID

【變式51］如圖所示，在xQy平面內(nèi)，有一以。為圓心、R為半徑的半圓形勻強磁場區(qū)域,

磁場方向垂直坐標(biāo)平面向里，磁感應(yīng)強度大小為瓦位于0點的粒子源向第二象限內(nèi)的各

個方向連續(xù)發(fā)射大量同種帶電粒子，粒子均不會從磁場的圓弧邊界射出。粒子的速率相等，

質(zhì)量為〃?、電荷量大小為%粒子重力及粒子間的相互信用均不計。

y

(1)若粒子帶負(fù)電，求粒子的速率。應(yīng)滿足的條件及粒子在磁場中運動的最短時間/;

(2)若粒子帶正電，求粒子在磁場中能夠經(jīng)過區(qū)域的最大面枳。

_2

解析：(1)粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，則：qvB=irr^

由幾何關(guān)系有：rW弓

聯(lián)立得：后騫

粒子在磁場中做圓周運動的周期：丁=縹

qB

由粒子在磁場中運動的胱跡可得，沿)，軸正向射入磁場中的粒子在磁場中運動時間最短，則：

T

Z=2

聯(lián)立可得“篝。

(2)分析可得，粒子在磁場中能經(jīng)過的區(qū)域為半圓，如圖中陰影部分,

有幾何關(guān)系可得該半圓的半徑：

r=]R

面積：S=3u'2

聯(lián)立可得：5=%爐。

O

答案：(1)后肝翳(2.

【變式52]如圖所示，在一個圓形區(qū)域內(nèi)，兩個方向相反且都垂直于紙面的勻強磁場分布

在以直徑A2/U為邊界的兩個半圓形區(qū)域I、II中，A2Ad與4小的夾角為60。.一質(zhì)量為根、

電荷量為+q的粒子以某一速度從I區(qū)的邊緣點Ai處沿與AIA3成30。角的方向射入磁場，

隨后該粒子沿垂直于44的方向經(jīng)過圓心。進入II區(qū)，最后再從4處射出磁場.已知該粒

子從射入到射出磁場所用的時間為，，求：

⑴畫出粒子在磁場I和H中的運動軌跡：

⑵粒子在磁場I和II中的軌跡半徑R和R2的比值；

(3)1區(qū)和II區(qū)中磁感應(yīng)強度的大小(忽略粒子重力).

答案見解析

解析(1)畫出粒子在磁場I和II中的運動就跡如圖所示.

(2)設(shè)粒子的入射速度為0,已知粒子帶正電，故它在磁場中先順時針做圓周運動，再逆時針

做圓周運動，最后從4點射出，用S、Bi,R、/?2,。、A分別表示在磁場I、II區(qū)的磁

感應(yīng)強度、軌跡半徑和周期.

設(shè)圓形區(qū)域的半徑為r,已知帶電粒子過圓心且垂直AM，進入1【區(qū)磁場，連接AiAh△4042

為等邊三角形，A2為帶電粒子在1區(qū)磁場中運動枕跡的圓心，其半徑Ri—A1A2—OA2—廣

粒子在II區(qū)磁場中運動的軌跡半徑R尸彳

噴=2：1

V2

⑶08I=〃R

9

qvB2=nr^

2nR\littn

Ti=~=~^

2TC/?2271/77

T2=~=^

圓心角NAIA2O=60。，帶電粒子在I區(qū)磁場中運動的時間為力=/

在II區(qū)磁場中運動的時間為=

帶電粒子從射入到射出磁場所用的總時間t=t\+t2

由以上各式可得

n—迎

R

【變式53】勻強磁場區(qū)域由一個半徑為R的半圓和一個長為2R、寬為微的矩形組成，磁場

的方向如圖所示.一束質(zhì)量為加、電荷量為+，/的粒子(粒子間的相互作用和重力均不計)以

速度。從邊界AN的中點P垂直于AN和磁場方向射入磁場中.問：

(1)當(dāng)磁感應(yīng)強度為多大時，粒子恰好從4點射出？

(2)對應(yīng)于粒子可能射出的各段磁場邊界，磁感應(yīng)強度應(yīng)滿足什么條件？

答案⑴篝（2）見解析

解析（1）由左手定則判定，粒子向左偏轉(zhuǎn)，只能從力、AC和CO三段邊界射出，如圖所示.當(dāng)

粒子從A點射出時，運動半徑n=號

由qB\V=—

p2"2

何辦=謫

R5

（2）當(dāng)粒子從C點射出時，由勾股定理得：訴一，2），十（5）'=，3,解得，2=五尺

Zo

.cmv2八，八8/加

由夕&付&=麗

據(jù)粒子在磁場中運動半徑道磁場減弱而增大，可以判斷

2mv

當(dāng)B>:時，粒子從南段射出；

qR

,2mv8〃w

當(dāng)獷A時，粒子從人C段射出；