第02講等式性質(zhì)與不等式

國練基礎(chǔ)

1.已知a=&,b=布-瓜c=瓜-6，則a,b,C的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【解析】

由a-b=6+6-幣,且（拒+75尸=5+26>7,故

由“一°=20-石且（2夜尸=8>6,故〃>c；

力-。=（5+&）-（6+6）且（m+百）2=9+2炳>9+2>/[?=（"+應(yīng)）2,故c>b.

所以a>c>〃，

故選：B.

2.已知4>力，且必=18,則￡^--1的最小值是（）

a-b

A.11B.9C.8D.6

【答案】A

【解析】

正Q_]=上二更攔絲T因?yàn)閍”,所以。一6>0,故

a-ba-ba-b

+—I22」（a-%）.f*-1=11,當(dāng)且僅當(dāng)a-力=—^~=a=3+3G,〃=3>/5-3時(shí)，等號成立.

a-bV\a-bJa-b

故選：A

3.已知實(shí)數(shù)x>0,）>。滿足x+y=-9,則x+4），的母小值為（）

A.8B.9C.7D.10

【答案】B

【解析】

由題設(shè)，-+-=1,

xy

所以x+4y=（x+4y）（'+L）=5+"+2之5+2竺二=9,

xyxyVxy

當(dāng)且僅當(dāng)x=3,），=13時(shí)等號成立，

所以工+4），的最小值為9.

故選：B

4.已知正實(shí)數(shù)X、y滿足x+2），=2,則一+二的取值可能為（）

%y

A.1B.口C.3

235

【答案】D

【解析】

解：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x、V滿足x+2y=2,

,121(12\6\>(2y2x\

所以一+—=——+—(x+2y)=-5e+—+—

xyy)xy)

2v2x?

當(dāng)且僅當(dāng)一=工，即K=y=：時(shí)，等號成立，

xy3

故選：D

（多選）5.己知。，力eR,則下列命題正確的是（）

A.若標(biāo)b,則/B.若a2工b?,則小b

C.若a>b,則D.若〃>|81,則/>〃2

【答案】BD

【解析】

當(dāng)〃=一方時(shí)，如。=2,%=-2時(shí)"=從成立，A錯(cuò)：

若〃=〃則-定有/=/,所以42Hb2時(shí)，■定有疝），B正確；

2>-3,但22<（-3）2,C錯(cuò);

a>\b\,則a2>\b[=b2,D正確.

故選：BD.

（多選）6.己知a,b,ceR+,則下列不等式正確的是（）

114

A.—+->----B.a+b<yla2+b1

aba+b

b2a2D.號

C.—+—>a+b

ab

【答案】ACD

【解析】

ii（〃+〃可+卜2>2嘉『2"當(dāng)且僅當(dāng)"那等號成立?所以卜拉5故

對A,因?yàn)橐?7r

b)

A正確;

對B,(a+b)=a2+b2+2ab>a24-/?'?所以〃+/?>y/a2+b2，.故B錯(cuò)誤；

對C,心力《十22」匕a+2Hb=2a+2b，當(dāng)且僅當(dāng)。=。等號成立，所以貴+〈*+/?,故C止

abva\bab

確;

因?yàn)椋?。?）2+（。-1）&0,圻以2a—2〃+2之0,所以式盧之。+八1，當(dāng)且僅當(dāng)。=〃=1等

對D,

號戊立，故D正確.

故選：ACD.

7.已知實(shí)數(shù)心2），>0'z>0,則彳磬+

的最小值為.

2y+3z

【答案】1+0

【解析】

解.：因?yàn)閤N2y>0,z>0,

…，x+4y+3zx

所以---x-+二2-y--+o2-y-+--3丁z

_A+2y+2y+3zx

x+2y2y+3z

“2+x

x+2y2y+3z

x

+2>'+3z訃2卷事事生行

2x

馬普==Ei=2)，+3z,x=2y取等號”

當(dāng)"x=2y,

2x2y+3z

審產(chǎn)+金的最小值為1+后

綜上所述:

x+2y2y+3z

故答案為:1+V2

2.己知。力,ceR且。>〃，則下列不等式中一定成立的是(?

A.—<—B.ac>he

ab

C.a2>b2D.(?-b)c2>0

【答案】D

【解析】

由題意可知，。、b、ceR,且

A：若。=1,b=-2,滿足則,>?，故A錯(cuò)誤；

ah

B：若。=一1,b=-2,滿足〃>/%c=-\,則acy/?。，故B錯(cuò)誤；

C：若。=0,。=一1,則a?〈人2,故C錯(cuò)誤；

D：a>h,c2>0,r.(a-h)c'>0,故D正確.

故選：D

3.設(shè)工>0,則.f(x)=6—3x—卡的最大值為()

35

A.0B.不存在C.—D.—

22

【答案】C

【解析】

囚為x>0,貝ij/(x)=6-3x——^-=6-f—+—+-^-l<6-3j—x—x—=6--=—,

''2x~V222x~JV222廠22

3

當(dāng)且僅當(dāng)一=六即X=1時(shí)等號成立，

22x~

a

貝的最大值為則3.

故選：C.

4I

4.若。>0、Z?>0,且一+丁=1,則質(zhì)的最小值為().

ab

A.16B.4C.—D.一

164

【答案】A

【解析】

因?yàn)椤！?、^>0.所以:+：之2]^^=4任,即124與，所以而N4,即?！ㄖ?6,當(dāng)僅當(dāng)^二3,

即。=8,〃=2時(shí)，，等號成立.

故選:A.

5.若正數(shù)〃滿足4+/）=刈，則。+2b的最小值為（）

B.472C.3+2近D.2+2夜

【答案】C

【解析】

因?yàn)檎龜?shù)〃滿足a十〃二ab，

所以4+!=1,

所以a+2〃=(a+2b)-+-

ab>

=3+—+

>3+2J--—=3+2>/2,

當(dāng)且僅當(dāng)/=絲，即〃=&+14=生變時(shí)取等號,

ba2

故選：C

2

6.已知〃>1,則〃+工的最小值為（）

a-\

B.2x/2-lc.2V2D.2V2+I

【答案】D

【解析】

解：?>1,則“+々=4-1+2r+整2\口1）.二7+1=2員1,當(dāng)且僅當(dāng)即〃=夜+|時(shí)取等號.

a-1a-\Va-\

故選:D.

7.若。>0,b>0,且必=3a+功+27,則岫的最小值為（）

【答案】D

【解析】

由題意得a〃=3a+3b+2726^+27,得。力一6疝-27=（而一9）（瘋+3）N0,解得疝之9,即（出281,

當(dāng)且僅當(dāng)。=。=9時(shí)，等號成立.

故選:D

（多選）8.下列命題為真命題的是（）

A.若a>b,c>d,則a+c>〃+”B.若a>b,c>d,則ac>bd

C.a>b,PPJac2>be2D.若avbv0,c<(),W!)—<7

ab

【答案】AD

【解析】

A.由不等式的性質(zhì)可知同向不等式相加，不等式方向不變，故正確：

B.當(dāng)a=-1,〃=-2.c=2,(7=I時(shí)，ac—bd.故錯(cuò)誤；

C.當(dāng)c=0時(shí)，ac2=be2故錯(cuò)誤：

D.J因?yàn)槿艘弧?gt;0,evO,他>0,所以￡一￡<0,故正確；

ababab

故選：AD

(多選)9.設(shè)正實(shí)數(shù)機(jī)、〃滿足〃葉〃=2,則下列說法正確的是()

A.巳+2的最小值為3B.〃?〃的最大值為1

mn

C.而+6的最小值為2D.陽2+〃2的最小值為2

【答案】ABD

【解析】

因?yàn)檎龑?shí)數(shù)"人〃，

n2nm+nnm,_\nm.,.

所r以r一+—=—+----=—+—+l>2.-----=2+1=3,

mnmnmnvmn

當(dāng)且僅當(dāng)儀="且〃?+〃=2,即/“〃=1時(shí)取等號，此時(shí)取得最小值3,A正確；

mn

由nm<(m^n)2=I,當(dāng)且僅當(dāng)加=〃=l時(shí)，/〃〃取得最大值1,B正確；

因?yàn)?J/+6)？=〃?+〃+2>/^=2+2>/^藐K2+/〃+〃=4,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故/荷+6夕即最

大值為2,C錯(cuò)誤；

/M2+//2=(/n+n)2-2mn=4-2mn>4-2x(^p)2=2,當(dāng)且僅當(dāng)帆=〃=1時(shí)取等號，此處取得最小值2,故

D正確.

故選：ABD

(多選)10.已知正實(shí)數(shù)乂了滿足沖=x+4y,則()

A.J>4

B.的最小值為一1

X

C.工+)巾勺最小值為9

Q1

D.f+)3的最小值為當(dāng)

【答案】AC

【解析】

_x_I

解：因?yàn)闆_=x+4y,則*-4)y=x,即--,一，4,

x

4

又工》為正實(shí)數(shù)，則所以x>4,y>\,故A項(xiàng)正確；

x

因?yàn)椴唬?x+4y,所以^--y=-1)3'-y=y2-2y=(y-1)2-1,

XX

乂？>1，所以()=1)2-1>-1,故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

r+4V14

因?yàn)樨?工+4)，，且為止實(shí)數(shù)，即盯wo,則1=1—-=-+

邛yx

所以x+y=(x+y)x—+-1=—+^-+5>2/—x—+5=9,

I)，X)yx\yx

當(dāng)且僅當(dāng)直=匕，即x=6,y=3時(shí)等號成立，故C項(xiàng)正確；

y%

1Q1

因?yàn)?+329,所以(x+y)2之81,則V+y225(犬+?=3,當(dāng)且僅當(dāng)K=v時(shí)，等號成立，但由盯=x+4.y

Q1

可得，當(dāng)x=y時(shí)，x=y=5,且52+52=50咤，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.若3>一2,則/(x)=x+—的最小值為.

【答案】0

【解析】

由》>-2,得x+2>0,—!—>0,

x+2

所以/*)=/+—!—=x+2+—!—―2>2./(x+2)x--2=0,

x+2x+2Vx+1

當(dāng)且僅當(dāng)x+2=」即X=-1時(shí)等號成立.

x+2

故答案為：0

國練真題

1.（2019?浙江?高考真題）若〃>（）,〃>（）,則”.+。44”是“打”4”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

當(dāng)方>0時(shí)，a+bN2箍,則當(dāng)時(shí)，有2瘋解得出?<4,充分性成立；當(dāng)。=1,。=4

時(shí)，滿足HW4,但此時(shí)"匕=5>4,必要性不成立，綜上所述，“。+4”是“HW4”的充分不必要條件.

2.（2011?全國?高考真題（文））下面四個(gè)條件中，使力成立的充分而不必要的條件是

A.d>b+\B.d>b-\C.a2>b2D.a3>b^

【答案】A

【解析】

由磔A場出船河、=磔；>務(wù)，但無法得出a>b+LA滿足；由—J:均無法得出c>b，

不滿足“充分”；由拼斗邑'n■段;十；如不滿足“不必要”.

3.（206天津.高考真題（理））設(shè)xeR,則是“/+X-2>0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

由卜一2|<1,可得1cx<3,即X€（1,3）；

rhX2+x-2=（x-l）U+2）>0,可得x<-2或x>l,即（f,-2）U（l,+°0）：

???（1,3）是（YQ,-2）U（1,y）的真子集，

故小-2k1”是飛+x-2>0”的充分而不必要條件.

故選：A

（多選）4.（2022?全國?高考真題）若x,>滿足父+9一邛=1,則（）

A.x+y<\B.x+y>-2

C.A：24-y2<2D.A2+y2>\

【答案】BC

【解析】

因?yàn)榈壬蠈W(xué)a,b\R）,由f+丁--,=］可變形為，（x+y）2-i=3盯43山，解得

i2,

-2<x+y<2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-1時(shí)，x+），=—2,當(dāng)且僅當(dāng)％=y=l時(shí)，x+y=2,所以A錯(cuò)誤，B正確;

22

由V+y2—個(gè)=］可變形為（/+療_］=盯<三/，解得/+/工2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=±l時(shí)取等號，所以

CE確；

因?yàn)閂+)/一封=]變形可得x-])+(y2=],設(shè)x-]=cos。,當(dāng)y=sin。，所以

I?52|11

22

x=cos8+‘sine,y=‘sin。，因此f+y=cos6+-sin?9+-j=sinecos0=1+—T=sin20--cos20-\--

663V37333

=^+|sinf2^-^e||,21,所以當(dāng)工=立.),=一直時(shí)滿足等式，但是Y+丁之1不成立，所以D錯(cuò)誤.

33I6J13」3'3

故選：BC.

(多選)5.(2020?海南?高考真題)已知。>0,比>0,且。+加1,則()

A.a2+b2>-B.2a-h>-

22

C.log2a+log2/?>-2D.4a+4b<,\[2

【答案】ABD

【解析】

對于A,a2+b2=a2+(l-a)2=2v2-2a+\=2(a-^-\+->—?

'，[2)22

當(dāng)且僅當(dāng)〃=〃=g時(shí)，等號成立，故A正確；

對于B,a-b=2ci-\>-\,所以2"外>2T=3，故B正確；

對于C,log,a+log,b=log2ab<log2=log,—=-2,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故C不正確；

對于D,因?yàn)?=1+2y[cib<1+tz+/?=2,

所以6+〃4加,當(dāng)且僅當(dāng)5時(shí)，等號成立，故D正確;

故選：ABD

11Q

6.（2020?天津?高考真題）已知G>0,〃>（）,且必=1,則不+才+—r的最小值為

2alba+b

【答案】4

【解析】

8abab8

a>0,〃>0,a+〃>0,cib=1,---1-—--++----=—+—+

2a?2,ba+bla2ba+b

審+焉之2號x高=4,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，

結(jié)合"=1,解得a=2-6,〃=2+G，或〃=2+石口=2-6時(shí)，等號成立.

故答案為：4

(x+l)(2y+l)

7.（2019?天津?高考真題（理））設(shè)%>。，y>0,x+2y=5,則的最小值為.

【答案】46

[OrJ

(x+l)(2y+l)_2x)^+x+2y+\

A>0.j>0.x+2y=5.歲>0.「.

當(dāng)且僅當(dāng)封=3,即x=3,y=l時(shí)成立,

故所求的最小值為4G.

8.（2017.山東?高考真題（文））若宜線土+：=1（。>0,>0）過點(diǎn)（L2）,則2a+〃的最小值為

ab

【答案】8

【解析】

解：因?yàn)橹本€色+?=1(。>0,力>())過點(diǎn)(1,2),所以>L+?=],

ab