專題四《不等式》講義

知識(shí)梳理.不等式

1.不等式的性質(zhì)

⑴對(duì)稱性：a>b妗

(2)傳遞性:a>b,b>c=>d>c；

⑶可加性：?>/?<=>?+(:>/?4-c：a>b>c>，/今。+。>匕+"：

(4)可乘性：?a>b,c>0=^ac>bc;②a>b>0,c>d>O^ac>bd；

(5)可乘方性：公>〃>0N,〃2I)；

(6)可開方性：a>b>0=>y[a>跖(〃￡N,〃22).

2.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表

判別式

/>0J=0J<0

d=b1-4ac

21/立義

二次函數(shù)1y=ar+kr+

以4>0)的圖象鄧)六*

有兩相等實(shí)

有兩相異

一元二次方程af+Zzr+c沒有

根Xi=X2

實(shí)根XI，

=0(a>0)的根b實(shí)數(shù)根

X2(X\<X2)=F

加+法+c>0(a>0)的解集{j|x<X|或X>X2}{Mv^Xi}{meR}

以2+/狀+,、<0(4>0)的解集{j|Xl<V<X2)00

3.均值定理

【均值不等式的常見變形】

口題型一.不等式的性質(zhì)

1.下列命題中，正確的是()

A.若acVbc,貝ijaVbB.若a>b,c>d,則。

C.若a>%>0,則戶口.若a<b,c<d,貝ija-eV力-d

【解答】解：對(duì)于A,由acV〃c,。>0時(shí)，a<b；。<()時(shí)，a>b,所以A錯(cuò)誤;

對(duì)于4，當(dāng)。>方>0,c>d>0時(shí)，有ac>bd,所以8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)。>6>0時(shí)，有/>62,所以。正確；

對(duì)于。，由c<",得出-"V-c,所以Z)錯(cuò)誤.

故選：c.

2.設(shè)小〃印，則“〃<力”是“（a-b）dvo”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答］解：若a=0,b=\,滿足但（a-Z?）42Vo不成立，

若“（a?b）JvO,則“VZ?且“WO,則成立，

故“a〈b”是“（a-/2/〈o,，的必要不充分條件，

故選：B.

3.若一<—<0,有下面四個(gè)不等式：?\a\>\b\；②aV〃；③a+/>V〃Z?,@a^>b^,不正確

ab

的不等式的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

1i

【解答】解：由一V:V0,可得0>。>從??.|a|V例，故①②不成立；

ab

???a+〃<0V時(shí),從都成立，故③?一定正確，

故選：C.

4.b+3與述+國(guó)的大小關(guān)系是（）

A.V7+3<V6+V10B.V7+3>V6+V10C.V7+3=V6+VlOD.不確定

【解答】解：（6+3）2=16+6e=16+（V6+/10）2=16+2V60=16+

V240,

???（夕+3）2>（后+g）2,

AV7+3>V6+710.

故選：B.

5.已知力>1,0<c<l,下列不等式成立的是（）

A.（f>cf>B.ac<bc

C.log（/7>logbcD.bac<abc

【解答】解：對(duì)于A,因?yàn)镺VcVl,所以指數(shù)函數(shù)/（x）是減函數(shù)，

又a>b,所以/（a）</（/?）,即小V/,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,因?yàn)閍>b,c>0,所以ac>Ac,故8錯(cuò)誤：

對(duì)于C,取。=4,b=2,c=

則k)gM=logi4=-2,log/x-log^=-l?log?<log/；c,故C錯(cuò)誤;

z，2(

對(duì)于￡),由方>1,可得0<2<】，

a

又OVcVl,所以令<■(/，即/".<那故。正確.

故選：D.

6.若實(shí)數(shù)戈，y滿足心>)>(),則()

11

A.—>-B.In(.x-y)>lny

yx

C.x+y<V2(x2+y2)D.x-y<rv-

11

【解答】解：因?yàn)閤>p>0,所以一>一，A正確；

yx

由于x-y與y的大小天確定，B不正確；

因?yàn)?(7+)2)-(x+y)2=.r2+y2-2xy=(x->,)2>0,

所以2(/+/)>(x+y)2,C正確；

令/(x)l,則/Cr)="-l>(),

故/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

由x>y>0,得/(%)>/(>'),

所以eJ%>2丫-y,

所以x-y<^-ey\。正確.

故選：ACD.

田題型二.一元二次不等式

1.集合4={刈(%-1)(2%-3)工1},B={x|-l<x<1},則AAB為()

1331313

A.{x|2<2)B.{x11<^x<2]C.{x|<x~2-^D，{^12-^2^

【解答】解:由A中的不等式變形得：2i2-5x+2W0,即(2A-I)(x-2)WO,

解得：-<x^2,即4=dwxW2}；

22

V/?={x|-l<x<1},

7

設(shè)/(x)=--x,xG[\,4],

則函數(shù)/(.i)在xRI,4]單調(diào)遞減，

且當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)JO取得最大值/(I)=1；

所以實(shí)數(shù)。的取值范隹是(-8,1).

故選：A.

5.如果關(guān)于x的不等式(a-2)X2+2(〃-2)x-4V0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取

值范圍是()

A.(…，2]B.(…，-2)C.(-2,2]D.(-2,2)

【解答】解：關(guān)于x的不等式(a-2)/+2(a?2)工?4Vo對(duì)一切實(shí)數(shù)卡恒成立，

當(dāng)。=2時(shí)，對(duì)于一切實(shí)數(shù)x,不等式(a-2)/+2(4-2)X-4V0恒成立；

當(dāng)aW2時(shí)，要使對(duì)于一切實(shí)數(shù)x,不等式(a-2)/+2(a-2)x-4V()恒成立，

則卜2Vo，解得：-2V〃V2.

l[2(a-2)]2-4(a-2)(-4)<0

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,2].

故選：C.

6.已知不等式(f-ax+\)(/△-a)W0在xE1\,2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為|，2,

2]_?

【解答】解：若(/-ax+l)(lux-ayWO,

則①，-ar+120且hv;~aWO,

由x1~ar+120,得：“Wx+

由尸x+[在[1,2]遞增,得：aW2,

由。2/心得：a—由2,

故/〃2W“W2：

②/-ax+\W0且bix-a20,

由式2?ar+1W0,得：

由產(chǎn)在[1,2]遞增，得：心￡

A-4

由aW,得：aW/〃1=0,無(wú)解

故a的取值范圍是[加2,2],

故答案為：［歷2,2］.

口題型三.基本不等式

R考點(diǎn)1.和定積最大、積定和最小

ab

1.已知aAO,b>0,且滿足§+i=l,則a〃的最大值是（）

A.2B.3C.4D.6

【解答】解：???，>（）,b>0,且滿足|+：=1,

???丘2電彳，化為：砧〈,當(dāng)且僅當(dāng)a=|,b=2時(shí)取等號(hào).

則時(shí)的最大值是3.

故選:B.

2.已知x>0,則y=x+：+l的最小值是（）

A

A.2B.3C.4D.6

【解答】解：??">（）,

Ay=x+i+l>2「［+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào).

Ay=r+i+l的最小值是3.

故選：B.

3.己知0<xV2,則y=知4一戶的最大值為（）

A.2B.4C.5D.6

【解答】解：OVxV2,可得4-/>（）,

則產(chǎn)中<=2,

當(dāng)且僅當(dāng)?=4-『，即x=&時(shí)，上式取得等號(hào),

即有函數(shù)y的最大值為2.

故選:A.

jpr考點(diǎn)2,湊定值

1

I.已知OVrV/,則函數(shù)產(chǎn)x（I-2r）的最大值是（）

1111

A.-B.-D.

249

【解答】解：〈OVxG，

2.v)=ieZv(1-2v)<i*[2%+(1-2為]2_1

當(dāng)且僅當(dāng)2x=\-2x時(shí)，即x=飄等號(hào)成立,

因此，函數(shù)產(chǎn)x（1-2r）的最大值為/（7）=1

40

故選：C.

2.已知XV。求函數(shù)）=4x-1+"飛的最大值.

44X—□

11

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)y=4x-5+而無(wú)+4=-[（5-4x）+成石1+4,

又由入V，貝IJ5-4Q0,

則（53）+占卻5一包、露=2,

貝ljy=-[（5-4x）+^-]+4W-2+4=2,

故函數(shù)y=4「1+的最大值為2.

育考點(diǎn)31的代換

I.已知”>0,b>0,且肝2〃=必，則岫的最小值是（）

A.4B.8C.16D.32

【解答】解：???已知。>0,/>>0,且a+2b=ab,???曲22后

化簡(jiǎn)可得房>2V2,

???"28,當(dāng)且僅當(dāng)。=2力時(shí)等號(hào)成立，

故曲的最小值是8,

故選：B.

ab2\[21

2.若正數(shù)〃，〃滿足2〃+力=1,則+:丁的最小值是——二.

2-2a2-b---3---2-

【解答】解：設(shè)〃=2-〃，u=2-〃，則。=冬，b=2-v,

乙

M+V=3,（“，v>0）,

2V

有

即

2

123

--+---

UV2U

1V313

--2VU->-3-

3U2-3+22

一，24232V21

=1+_3__2=_r_2*

當(dāng)且僅當(dāng)i，=企〃=6?3企時(shí)，取得最小值.

2\[21

故答案為：■一不

32

2x

3.已知實(shí)數(shù)￡>0,y>0,且滿足x+y=l,則,的最小值為2+2".

【解答】解：???實(shí)數(shù)x>0,y>0,且滿足x+y=l，

2(X+y)

貝I，+-_+--2十§十今“+2佟+三2+2企，當(dāng)且僅當(dāng)A-向=2—四時(shí)

xyyyxy，

取等號(hào).

故答案為：2+2或.

G8考點(diǎn)4.x、v、xy型

1.如果工>(),)，>0,x+>孫=2,貝Ux+y的最小值為2百一2.

【解答】解：已知x>0,)>0,且x+y+“=2

即：xy=2-(x+y),

利用基本不等式：孫W(亨)2.

.*.2-(x+y)W(平)2.

解之得：x+yZ2V5-2

則x+.y的最小值為2百一2.

故答案為2H-2.

2.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值為4.

【解答】解：考察基本不等式x+2y=8-x?(2y)28-2(當(dāng)且僅當(dāng)x=2)，時(shí)取

等號(hào))

整理得(x+2v)2+4(x+2y)-3220

即（A+2V-4）（x+2y+8）20,又x+2y>0,

所以x+2），24（當(dāng)且僅當(dāng)x=2），時(shí)即x=2,），=1時(shí)取等號(hào)）

則x+2），的最小值是4.

故答案為：4.

3.設(shè)x,.yER,若4/+『+盯=1,則2x+v的最大值是一把產(chǎn).

【解答】解：???4f+9+孫=1,.??4/+）2+4盯=1+3?,

???（2r+y）2=1+3，D，=1+,?2X?）W1+?（^^）2,

整理可得三（2x+y）2W1,

8

解關(guān)于2x+），的一元二次不等式可得一智<2x+y<智

.??2什），的最大值為：名目

4.若〃，〃，c>0且〃2+2^+2仇'+4力c=I2,則〃+/?+c的最小值是.2遍

【解答】解:（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=12+（〃-c）12,

當(dāng)且僅當(dāng)人=c時(shí)取等號(hào)，

a+b+c>2v5

故答案為：2V3

?考點(diǎn)5.y=；+2型函數(shù)的最值

1.設(shè)〃+力=2,b>0,則當(dāng)〃=-2時(shí)，工+粵取得最小值.

-----------21alh

【解答】解：法一：

Va+/?=2,b>0,

.1|a|11al

.—+-="+------，（。<2）

2\a\b2\a\2-a

設(shè)/（。）=點(diǎn)+縣，（”V2），畫出此函數(shù)的圖象，如圖所示.

乙?a?乙u

利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得,

當(dāng)〃V°時(shí)，八。)=一/+號(hào)，

f⑺=/一言詈券當(dāng)。V?2時(shí)，/(〃)V0,當(dāng)?2V〃V0

乙Q(a-2)2Q/(。-2)

時(shí)，f(a)>0,

故函數(shù)在(-8,-2)上是減函數(shù)，在(-2,0)上是增函數(shù)，

:.當(dāng)。=-2時(shí)，-^―+理取得最小值;.

2\a\b4

同樣地，當(dāng)()V“<2時(shí)，得到當(dāng)a=視t+粵取得最小值

J2\a\b4

綜合，則當(dāng)。=-2時(shí)，上+粵取得最小值.

2\a\b

法二：

因?yàn)椤?8=2,/;>(),

要取得最小值，則。<0,

1|a|a+b\a\a,b.同

則+—=----+—=++—,

2\a\b4\a\b4\a\4\a\b

*扁+2品飛=扁+1=V+l=|

blai

當(dāng)且僅當(dāng)「=T，aVO時(shí)取等號(hào)，此時(shí)〃=-2小

4|a|b

因?yàn)閍+b=2,

所以a=-2,b=4,

故答案為：-2.

【解答】解：正數(shù)?！笣M足；+￡口,

mil右111b—1

則有一a=1-Tb=~hb~

1

則有■

b-1一b

即有。=',取得最小值,

b=3,且為16.

故答案為：16.

11

3.設(shè)x>0,y>0,x+y-^y2=4,則一+一的最小值為4.

%y

【解答】解：??"+），?矜2=4

/.x+y=x2y2+4則工+-=x2y2+4A

xyxy

當(dāng)且僅當(dāng)孫=2時(shí)取等號(hào)

11

故一+一的最小值為4

xy

故答案為：4

124

4.對(duì)于。。,當(dāng)非零實(shí)數(shù)4滿足4J-2如落5且使叼悔大時(shí)++的最

小值為-1.

【解答】解：V4O2-lab+b1-c=0,

cb23,

??._=（a--）2+—b2

414，16

b邈

由柯西不等式得，[（a-1）2+（學(xué)）2][22+（2通）2]2[2+

4一4

_b遜

故當(dāng)|2a+/?|最大時(shí)，有:4=-7=^

22V3

a=ib,c=!r

乙

124224117

+-+-=-+-4--=4（7+-）-1

abcbbb2”2，

當(dāng)〃=-2時(shí)，取得最小值為-1.

故答案為：-1

匚目題型四不等式恒成立問(wèn)題

1.若關(guān)于x的不等式如2?2帖+1<0的解集為0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.a>\B.介1C.0<<7<1D.0MW1

【解答】解：當(dāng)4=0時(shí)，不等式化為1<0,滿足解集為0;

當(dāng)。中（）時(shí)，應(yīng)滿足,

.△=4a2-4a<0

解得卜，

to<a<1

即0<啟1；

綜上知，實(shí)數(shù)”的取值范圍是OWaWl.

故選：O.

2.已知關(guān)于x的不等式G2-2X+4“<0在（0,2］上有解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（—8,/）B.8,十oo）C.（-00?2）D.（2?十?！悖?/p>

【解答】解：尤（0,2］時(shí)，，不等式可化為。<含=擊，

則/（%）=￡在（0,2］上單調(diào)遞增，當(dāng)x=2時(shí)，/（x）取得最大值/（2）=1,

91

貝bV/Wmax=M=2'

綜上所述，實(shí)數(shù)4的取值范圍是（一8,1）.

故選：A.

3.設(shè)a￡R,若x>0時(shí)均有（7+ar-5）（ax-1）20成立，則。=巳.

2

【解答】解：若aWO,則當(dāng)x>0時(shí)，av-1<0,

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，

不等式-5W0不可能在％>0時(shí)恒成立，

故當(dāng)入,0時(shí)不可能都有（/+辦-5）（ax-1）成立，

故。>0,

故當(dāng)OVxV：時(shí)，ax-1<0,

當(dāng)時(shí)，

,:當(dāng)x>Q時(shí)均有(?+ar-5)(ar-1)20成立,

故當(dāng)OVxV2時(shí)，AT+ax-5<0,

當(dāng)時(shí)，x2+av-5>0,

故A=j是方程r+ax-5=0的實(shí)數(shù)根，

故與+1-5=0,解得：a=-i（舍）或〃=義,

a22/

綜上:a=i,

故答案為:

4.若a,bER,且a>0,b>0,則下列不等式中恒成立的是（）

1122ba

A.cr+lr>2abB.a+b^2Vab+D.—+—>2

Cab~^Ba8b

【解答】解：對(duì)于A,根據(jù)重要不等式/+后22〃。，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；故4

不恒成立:

對(duì)于利用基本不等式.當(dāng)">0.分>0時(shí),a+bN2mi或中,故女正