第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)

［考情分析］1.函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，主要考查函數(shù)的定義域、分段函

數(shù)、函數(shù)圖象的識(shí)別與應(yīng)用以及函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)的綜合應(yīng)用，

難度屬于中等及以上.2.此部分內(nèi)容多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)在壓軸題的位置，

多與導(dǎo)數(shù)、不等式、創(chuàng)新性問題相結(jié)合命題.

考點(diǎn)一函數(shù)的概念與表示

【核心提煉】

1.復(fù)合函數(shù)的定義域

(1)若凡6的定義域?yàn)椋?，〃，n］,則在凡式工))中，由〃解得x的范圍即為貝g(x))的定義域.

(2)若/(g(x))的定義域?yàn)椋邸ǎ荩?，則由mWxWn得到g(x)的范圍，即為J(x)的定義域.

2.分段函數(shù)

分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集.值域等于各段函數(shù)值域的并集.

例1(1)(2022?南陽檢測)已知函數(shù)_/U)=lgfU，則函數(shù)式￥)=4一1)+72%—1的定義域是

()

A.{小<0或x>2}B.eq

C.{/僅>2}D.cq

答案B

解析要使yu)=ig品有意義，則曷>o，

即(1一x)(l+x)X),解得一181,

所以函數(shù)_/u)的定義域?yàn)?一11).

要使g(x)=/U-1)+苗力一1有意義，

—l<x—KI,I

則c，、八解得:Wx<2,

所以函數(shù)g(x)的定義域?yàn)椴?號(hào)歡2.

』+2。，x<l?

(2)已知實(shí)數(shù)a￡R,函數(shù)/x)=,

—x,x>\,

若41一砂次1+。)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

答案(-2,-1)U(O,4-co)

解析由題意知，a#0.

①當(dāng)〃<0時(shí)，1-G>11+K1,

:,—(1—?)>(1+a)2+2?,

化簡得/+3a+2<0,

解得一2<a<—1,

又。<0,2,—1)；

②當(dāng)G>0時(shí)，1一。<1[+〃>1,

.,.(1—￡/)24-2^>—(1+a),

化簡得。2+〃+2>0,解得〃￡R,

又。>0,/.a(0,+°°),

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(一2,-1)U(O,+8).

規(guī)律方法(1)形如/Q。))的函數(shù)求值時(shí)，應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原則.

(2)對于分段函數(shù)的求值(解不等式)問題，必須依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求解.

跟蹤演練1(1)(2022?濰坊模擬)設(shè)函數(shù)府)=L；八[*則48)等于()

地1+町)，x<10,

A.10B.9C.7D.6

答案C

x—3,x210,

解析因?yàn)槲?=[〃」.、⑺則心)=9⑵)=貫9)=歡13))=川0)=7.

l/VU+4)),xv10,

(2)設(shè)函數(shù)./U)的定義域?yàn)镈,如果對任意的xw。，存在)七。，使得yU)=-/(.y)成立，則稱

函數(shù)八丫)為“M函數(shù)”.則下列為“M函數(shù)”的是.(填序號(hào))

①尸sinxcosx；

②jUnx+e，；

③y=2\

?y=xL—lx.

答案①②

解析由題意，得“M函數(shù)”的值域關(guān)于原點(diǎn)對稱.①中，y=sinxcosx=Jsin2x￡一；,

其值域關(guān)于原點(diǎn)對稱，故①是“M函數(shù)”；②中，函數(shù)y=lnx+F的值域?yàn)镽,故②是“M

函數(shù)”；③中，因?yàn)閥=2DO,故③不是“M函數(shù)”；④中，尸爐一2x=(x—I)?—1R—1,

其值域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故④不是函數(shù)”.

考點(diǎn)二函數(shù)的圖象

【核心提煉】

1.作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點(diǎn)法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、

伸縮變換、對稱變換.

2.利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，作圖時(shí)要準(zhǔn)確畫出圖象的特點(diǎn).

考向1函數(shù)圖象的識(shí)別

例2（1）（2022?全國甲卷）函數(shù)），=（3、-3與3X在區(qū)間［甘，句上的圖象大致為（）

答案A

解析方法一（特值法）

取x=—1,則y=Q—3jcos(—I)

Q

=—jcosl〈0.結(jié)合選項(xiàng)知選A.

方法二令y=/U),

則fi—x)=(3~r—3')cos(—x)

=—(3r-3')cosx=一凡0,

所以函數(shù)y=(3、一3一%osx是奇函數(shù)，

排除B,D；

取x=l,貝i]y=(3—§cos1Jcos1>0,排除C,故選A

⑵（2022.全國乙卷）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)I'叫一3,3］的大致圖象，則該函數(shù)是

()

X3—X

A-尸7+1B.產(chǎn)？TT

-2xcosx2sinx

C-產(chǎn)下不丁D.>=P+T

答案A

解析對于選項(xiàng)B,當(dāng)工=1時(shí)，y=0,與圖象不符，故排除B；對于選項(xiàng)D,當(dāng)x=3時(shí)，y

=|sin3>0,與圖象不符，故排除D；對于選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí)，0<COSA<1,故尸羋舁

<法〈1，與圖象不符，所以排除C.故選A.

人I1

考向2函數(shù)圖象的變換及應(yīng)用

f—2x（—1?0）,

例3（1）已知函數(shù)火外=〈廠則下列圖象錯(cuò)誤的是（）

I也（0<xWl）,

答案D

解析當(dāng)一IWXWO時(shí)，1A燈=一公，表示一條線段，且該線段經(jīng)過（一1,2）和（0,0）兩點(diǎn).

當(dāng)o<xWi時(shí)，yu）=G，表示一段曲線，函數(shù)./U）的圖象如圖所示.

A.a>0,b=0,c<0

B.a>0,b=0,c>0

C.a<0,/?<(),c=0

D.a<0,b=0,c<0

答案A

解析因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于），軸對稱,

所以/U）為偶函數(shù)，

cos(—x)+2

所以人一幻=

a(—x)2+b(—x)+c

cosx+2cosx十2

~ax1-hx-\-c~ax2+bx+左)

解得〃=0,

3

由圖象可得40）=二V＜0,得。＜0,

由圖象可得分母/2+（?=0有解,

所以/=一^有解,

所以一力＞0,解得eo.

考點(diǎn)三函數(shù)的性質(zhì)

【核心提煉】

1.函數(shù)的奇偶性

（1）定義：若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則有

，心）是偶函數(shù)o4一%）=%）國）：

（v）是嗡函數(shù)甘/（一用=-/（幻.

（2）判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數(shù)性質(zhì)法（如奇函數(shù)X奇函數(shù)是偶函數(shù)）.

2.函數(shù)單調(diào)性判斷方法：定義法、圖象法、導(dǎo)數(shù)法.

3.函數(shù)的周期性

若函數(shù)於）滿足/（戈+〃）=於-4）或危+2〃）=段），則函數(shù)y=/（x）的周期為21al.

4.函數(shù)圖象的對稱中心和對稱軸

（1）若函數(shù)人幻滿足關(guān)系式＜。+.0+＜〃一刈=2"則函數(shù)）：=兒6的圖象關(guān)于點(diǎn)（小〃）對稱.

(2)若函數(shù)人大)滿足關(guān)系式J[a+x)=J(b-x),則函數(shù))，=?!)的圖象關(guān)于直線x=丁對稱.

考向I單調(diào)性與奇偶性

例4(2022?廣東大聯(lián)考)已知函數(shù)啟)=eH-cosx,則/g),火0),/(一§的大小關(guān)系為()

A.

B.人。)寸(一￡)寸②

D./(一界曲寸自

答案B

解析??工幻=eul—cosx,

:米—x)=d—cos(—x)=eul—cosx=Jtx),

??.,/U)為偶函數(shù)，

當(dāng)x>0時(shí),/(x)=eA-cosx.

則/'(x)=e*+sinx,

，當(dāng)x￡(0,+8)時(shí)，f(x)=e'+sinx>0,

???函數(shù)次x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

?,?的月停)月(1)，

即購<《一9</住)

考向2奇偶性、周期性與對稱性

例5(2022?全國乙卷)已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,且/U)+g(2—x)=5,g(x)—fix—

4)=7.若產(chǎn)g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，g(2)=4,則總出等于()

A.-21B.-22C.-23D.-24

答案D

解析由)，=8。)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，

可得g(2+x)=g(2一%).

在兀0+g(2—x)=5中,用一x替換x,

可得人-x)+g(2+x)=5,

可得人一X)=?Y).

在g(x)—/U—4)=7中，用2一X替換x,得飄2一%)=<一工-2)+7,

代入人x)+g(2—x)=5中，

得次此+4一工_2)=_2,

可得yu)+yu+2)=—2,

所以應(yīng)K+2)+7U+4)=—2,

所以4r+4)=/(x),

所以函數(shù)兀6是以4為周期的周期函數(shù).

由yu)+g(2—幻=5可得貝0)+g(2)=5,

又gQ)=4,所以人0)=1,

又y(x)+y(x+2)=—2,

所以40)+92)=—2,

1)+川)=-2,

則購=一3,41)=/(-1)=-1,

又｛3)=大-1)=—1,

X4)=/(0)=1,

22

所以善,左)=81)+42)+5火3)+5/(4)=6X(—l)+6X(—3)+5X(—l)+5Xl=-24.

二級(jí)結(jié)論(1)若.上+/=一八0(%/(x+a)=篇)，其中,幻wo,則人。的周期為21al.

(2)若人。的圖象關(guān)于直線,和對稱，則凡丫)的周期為2|a—夙

(3)若風(fēng)￥)的圖象關(guān)于點(diǎn)3,())和直線x=〃對稱，則府)的周期為4萬一夙

跟蹤演練3(1)(2022?開封模擬)已知定義在R上的函數(shù)凡6在［-I,+8)上單調(diào)遞增，若j(2)

=0,且函數(shù)人丫-1)為偶函數(shù)，則不等式班x)X)的解集為()

A.(2,+8)

B.(-4,-l)U(0,+8］

C.(-4,+8)

D.(-4,0)U(2,+8)

答案D

解析因?yàn)楹瘮?shù)1)為偶函數(shù)，則次一x—i)=/u—1),故函數(shù)人外的圖象關(guān)于直線x=-i

對稱，

因?yàn)楹瘮?shù)貝x)在［-1,+8)上單調(diào)遞增，故函數(shù)人外在(-8,—1］上單調(diào)遞減，

因?yàn)?lt;2)=0,則<—4)=0,

由fix)<0可得—4<v<2,由fix)>0可得工<—4或x>2,

lx<0,f.r>0,

故由不等式狀x)>0,可得r或L,解得一4<x<0或x>2,

血)<0to>o,

故不等式玳x)>0的解集為(-4,0)U(2,+8).

(2)(2021.全國甲卷)設(shè)函數(shù)，心)的定義域?yàn)镽,凡「H)為奇函數(shù)，兀r+2)為偶函數(shù),當(dāng)工￡[1,2]

時(shí)，>/U)=aF+b.若人0)+貝3)=6,則/(|)等于()

93

A.一工B.—2C.eqD.eq

答案D

解析因?yàn)?U+1)為奇函數(shù)，所以函數(shù)犬X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，即有風(fēng)r)+y(2—x)=0,

所以。1)+K2—1)=0,得70)=0,即a+b=0.①

因?yàn)槿斯?2)為偶函數(shù)，所以函數(shù)7U)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，即有兒0-/(4—幻=0,所以

H0)+H3)=-/(2)+_/(l)=—4a—0+a+>=-3a=6Xg)

根據(jù)①②可得a=-2,b=2,所以當(dāng)x￡[l,2]時(shí)，?幻=-2?+2.根據(jù)函數(shù)負(fù)x)的圖象關(guān)于直

線x=2對稱，且關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，可得函數(shù)兒0的周期為4,所以/《)=/0)=一/0=2乂

(X

專題強(qiáng)化練

一、選擇題

1.(2022?哈爾濱檢測)下列既是奇函數(shù)，乂在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.y=sinxB.y=lnx

C.j=tanxD.y=-J

答案D

解析對于A,y=sinx是奇函數(shù)，且在(0,+8)上有增有減，故不滿足；

對于B,y=lnx的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，是非奇非偶函數(shù)，故不滿足：

對于C,)，=tanx是奇函數(shù)，且在(0,+8)上只有單調(diào)遞增區(qū)間，但不是一直單調(diào)遞增，故

不滿足；

對于D,〉，=一：是奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增，故滿足.

2.下列函數(shù)中，定義域與值域相同的是()

A.y=jr—\B.y=ln.r

c1_x+1

c-y=y^\D.y=~f

答案D

解析對于A,定義域?yàn)镽,值域?yàn)閇-1,+8),不滿是題意;

對于B,定義域?yàn)椋?,+8）,值域?yàn)镽,不滿足題意；

對于C,定義域?yàn)椋ㄒ?,0）U（0,+8）,

又3”>0,且3*#1,

故3]一1>一1,且3、一1工0,

故y<—1或y>0,

即值域?yàn)椋ㄒ?,—1）U（O,不滿足題意；

/<_x+12

對于D,y=r=1+r?

”x—1x—1

定義域、值域都為（一8,1）U（1,+8）,滿足題意.

智+|—],?W3,

3.（2022?西安模擬）設(shè)人工）=,若?v）=3,則x的值為（）

jog2（;r—1）,x>3,

A.3B.1

C.-3D.1或3

答案B

解析當(dāng)xW3時(shí)，令2巾一1=3,解得x=l,

當(dāng)心>3時(shí)，令log2（f-l）=3,

解得x=±3,這與x>3矛盾，

/?X—1.

4.（2022?常德模擬）函數(shù)?0=饕生的圖象大致是（）

WIW

答案c

解析函數(shù)46=普2的定義域?yàn)镽,

VIV

sin（-TLr）-sing）

j\一幻一e~x-|_e.v—e'+eg――

即人工）是奇函數(shù)，A,B不滿足；

當(dāng)x￡（0J）時(shí)，即0<心<兀，

則sin（7tx）>0,而cv+e-v>0,

因此外）>0,D不滿足，C滿足.

5.（2022.廣州模擬）若函數(shù)y=y*）的大致圖象如圖，則?幻的解析式可能是（）

A.

e2r+l

B._/U)=

C.人幻=當(dāng)

e2r—1

D.7(x)=R*

答案D

解析由圖可知函數(shù)的定義域?yàn)閧m;#0},故排除A；

由圖知該函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則該函數(shù)為奇函數(shù)，需滿足yu）+y（—外=0,

對于B,1Ax）+人一工）云0,故排除B；

c和D均滿足?、?）+/（—.0=0,

對于c,兀v）=]=r,

e?

當(dāng)X-+8時(shí)，9―0,

故ZU)-*%，

增長的速率比y=e*增長的速率慢，

工危）一卜0，

即圖象在X軸上方且無限接近于工軸正半軸，與題意不符，故排除C

e”-1

6.（2022?張家口檢測）已知函數(shù)_/U）=K7，則（）

A.函數(shù)人r）是奇函數(shù)，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增

B.函數(shù)“I）是奇函數(shù)，在區(qū)間（一8,0）上單調(diào)遞減

C.函數(shù),"x）是偶函數(shù)，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減

D.函數(shù)./U）非奇非偶，在區(qū)間（一8,0）上單調(diào)遞增

答案A

1——

Q~X_|eX

解析

er-l

=晟丁府），

故?r）是奇函數(shù).

ev+1-22

又yu)=ev+1

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知?x)在R上單調(diào)遞增.

7.(2022?衡水中學(xué)調(diào)研)已知凡0是偶函數(shù)，且對任意即，也￡(0，+8),的與㈣>0,設(shè)。

-Xl~X2

=/?)，6=川饞7)，。=力-0.8,則()

A.b<a<cB.c<a<b

C.c<b<aD.a<c<b

答案B

解析???對任意由，*￡(0,+8),甚止於2>0,

Xl~X2

???函數(shù)Jx)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

又函數(shù)人幻為偶函數(shù)，

???於)在(一8,0)上單調(diào)遞減.

，川。g37wG)?—0?83),即c<cKb.

ln(x+1),x20,

8.已知函數(shù)次幻="2八則不等式>/U+2)勺(.~+20的解集是()

—2r,A<0,

A.(-2,1)

B.(0,1)

C.(—8,-2)U(I,+8)

D.(1,+00)

答案C

ln(x+l),x20,

解析由函數(shù)幾6=.八可得當(dāng)x20時(shí)，_/U)單調(diào)遞增；

—2r,x<0,

當(dāng)x<o時(shí)，yu)單調(diào)遞增，而且當(dāng)x=o時(shí)函數(shù)連續(xù)，

所以_/U)在R上單調(diào)遞增，

不等式式x+2)勺(/+2\),

可化為x+2Vf+2x,即F+x—2>0,解得x>l或x<—2,

則原不等式的解集為(一8,—2)U(1,+°°).

9.設(shè)定義在R上的函數(shù)府)滿足貝x)：/U+2)=13,若?1)=2,則199)等于()

A.IB.2

C.0D.eq

答案D

解析依題急兒壯兒*+2)=13,

"+2)=急

13

所以yU+4)=/U+2+2)=布5

=自=於),

而

所以火幻是周期為4的周期函數(shù)，

所以_/(99)=/(25X4—1)=加-1)

13

-X-i+2)-^ij=T

10.已知函數(shù)兀￥)是定義在(-8,0)U(0,+8)上的偶函數(shù)，且當(dāng)A->0時(shí)，凡0=

(X—2)2,04W4,

*1

孤1-4),x>4,

則方程7U)=1的解的個(gè)數(shù)為()

A.4B.6C.8D.10

答案D

解析由題意知，當(dāng)x>0時(shí)，

f(A—2)2,0<A<4,

函數(shù)yu)=(i

［於x—4),x>4,

作出函數(shù)/U)的圖象，如圖所示，

方程yu)=i的解的個(gè)數(shù)，即為函數(shù))，=兒0與),=1的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

當(dāng)Q0時(shí)，結(jié)合圖象，函數(shù)幻與)，=1的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，

又因?yàn)楹瘮?shù)y=/U)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于)，軸對稱，所以當(dāng)大<0時(shí)，函數(shù)y=/(x)與y=l的圖

象也有5個(gè)交點(diǎn)，

綜上可得，函數(shù)y=/U)與y=l的圖象有1()個(gè)交點(diǎn)，即方程的解的個(gè)數(shù)為10.

11.(2021?新高考全國H)已知函數(shù))處的定義域?yàn)镽,危+2)為偶函數(shù),次2x+l)為奇函數(shù)，

則()

A./(-*0B./(-1)=0

C.42)=0D.人4)=0

答案B

解析因?yàn)楹瘮?shù)/U+2)為偶函數(shù)，則<2+#=/(2—幻，可得?x+3)=Hl—x),

因?yàn)楹瘮?shù)*2r+l)為奇函數(shù)，則/U—2r)=-/(2x+l),所以y(l—x)=-/U+l),

所以.以+3)=—/(3+1),即.仆)=公+4),

故函數(shù)兀0是以4為周期的周期函數(shù)，

又直1)=0,故1A—1)=/?)=火1)=0,其他三個(gè)選項(xiàng)未知.

12.(2022?新高考全國H)已知函數(shù)人0的定義域?yàn)镽,且於+乃+0一苛=兀叨(y),川)=1，

則唬/4)等于()

A.-3B.-2C.0D.1

答案A

解析因?yàn)榛?)=1,

所以在yu+y)^-flx—y)=fix)J(y)中，

令y=1,

得yU+i)+/U—i)=yUV(i),

所以7U+l)+?r—l)=Ax),①

所以7U+2)+./(x)=/U+l).②

由①②相加，得人r+2)+4r—1)=0,

故7U+3)+/(x)=O,

所以yu+3)=—fix),

所以凡i+6)=-/U+3)=￡r),

所以函數(shù)火幻的一個(gè)周期為6.

在fix+)nfix-y)=fix)fly^中，

令丁=0,得凡r)+?r)=/U次0),

所以式0)=2.

令x=y=l,得*2)+的尸川加1),

所以42)=-1.

由“r+3)=-/U),

得H3)=一力0)=-2,火4)=一八1)=一1,

/5)=-A2)=l,加6)=f3)=