專題6.3復(fù)數(shù)

三（題型目錄

題型一復(fù)數(shù)的分類

題型二復(fù)數(shù)的幾何意義

題型三復(fù)數(shù)模的計(jì)算

題型四復(fù)數(shù)模的幾何意義

題型五復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

題型六i的幕運(yùn)算

題型七待定系數(shù)法求復(fù)數(shù)

題型八復(fù)數(shù)的二角表示（選學(xué)）

才典例集練

題型一復(fù)數(shù)的分類

例1.（2023春?江蘇鹽城?高三江蘇省響水中學(xué)?？计谥校┘褐獜?fù):數(shù)z="?（〃7-l）+疝為純虛

數(shù)，則實(shí)數(shù)陽的值為（）

A.-1B.1C.1或-1D.T或0

【答案】B

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義求解.

【詳解】因?yàn)閦是純虛數(shù)，所以［碩，解得小=1.

tnH0?

故選：B.

例2.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足

z（3+i）=|（2+i）2|,則復(fù)數(shù)z的共規(guī)復(fù)數(shù)虛部為（）

A.-B.：C.--D.--

2222

【答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算直接求解得到z=g-；i,再由共加復(fù)數(shù)的概念求解即可.

【詳解」由題知，2（3+。=|（2+叫=5/=言=彘巳=富）號(hào)—1

???復(fù)數(shù)Z的共瓢復(fù)數(shù)為*+*復(fù)數(shù)Z的共規(guī)復(fù)數(shù)虛部為g,

故選：B.

舉一反三

練習(xí)1.（2023?全國?合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)mwR,則"=2”是

，，孚1+〃?&+n（3+句為純虛數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】先利用復(fù)數(shù)運(yùn)算對(duì)復(fù)數(shù)化簡，再利用實(shí)部為零，虛部不為零解出巾，最后確認(rèn)是

充要條件.

3+m2i（3+/￡）（2+i）6-〃/3+2小.

【詳解】依題意,

2-i（2-i）（2+i）55

i（34i）^4i4i417.

++—+—i

5p7555555

,3+"門6-m-nr3+2m1+lm.

f+（3+4i）=

故八.十m--------+----------1

2-1j?J55

6-in-m2=0--

若該式為純虛數(shù)，則3+2/+72'解得吁2.

故選：C.

練習(xí)2.（2022?高三單元測試）（多選）設(shè)z是復(fù)數(shù)，則下列命題中是真命題的是（）

A.若z220,則z不一定是實(shí)數(shù)B.若TvO,則z是虛數(shù)

C.若z是虛數(shù)，則尸20D.若z是純虛數(shù)，則z2Vo

【答案】BD

【分析】因?yàn)閦是復(fù)數(shù)，可設(shè)z=a+〃i,先表示出z2,再根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)的條件逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.

【詳解】設(shè)z=〃+加（〃aR"uR）,貝心2=（〃+6[=卜2-〃）+2〃片，

對(duì)于A,因?yàn)闋t20,所以，心=0,因?yàn)閆2=/—〃20,可得〃=0,即z=a,所以z一定是

實(shí)數(shù)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)閦?<0,所以（心=0,因?yàn)閦?<0,所以。=0且。工0,即z=/?i（〃w。），

所以z是虛數(shù)，所以選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,若z是虛數(shù)，則2=〃+6。聲0）,即z2=（a+bif=（片一從）+24%，若々工（），則z?

為虛數(shù),不能和。比較大小，若30,則z2=_〃<0.均不滿足z220,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤:

對(duì)于D,若Z是純虛數(shù)，則4=0且〃a0,即2=歷(丘0),所以z2=-〃<0,所以選項(xiàng)D

正確.

故選：BD.

練習(xí)3.(2023春?陜西寶雞?高三統(tǒng)考期中)當(dāng)實(shí)數(shù)胴取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)

(m2+2/??-8)+(w2-2m)i是下列數(shù)?

⑴實(shí)數(shù)；

(2)虛數(shù)；

(3)純虛數(shù).

【答案】(1)帆=0或，〃=2

(2)加土0且小工2

(3)m--4

【分析】(1)令復(fù)數(shù)虛部等于0,即可求得答案；

(2)令復(fù)數(shù)的虛部不等于0,即可求得答案；

(3)根據(jù)純虛數(shù)的概念，令實(shí)部等于()，虛部不為0,即可求得答案.

【詳解】(1)由題意復(fù)數(shù)(“+2m-8)+(標(biāo)-2〃3,

當(dāng)〃，-2m=(),即〃?=0或6=2時(shí)，所給復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù).

(2)當(dāng)〃?2一2切/()，即加工0且〃?工2時(shí)，所給復(fù)數(shù)是虛數(shù).

(3)當(dāng)IT"，。，即〃?=-4時(shí)，所給復(fù)數(shù)是純虛數(shù).

練習(xí)4.(江蘇省無錫市等4地2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足

|z-2i|=|z|,則z的虛部為()

A.-2B.-iC.1D.2

【答案】C

【分析】設(shè)z=〃+加，。力wR,根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式得到方程，解得即可.

【詳解】設(shè)z=a+〃i,a.beR,則z-2i=a+(/?-2)i,

因?yàn)樯弦?"=因，所以｛/+(〃-2)2=>//+從，則/+0-2)2=/+6，解得》=i,

所以夏數(shù)z的虛部為1.

故選：C

練習(xí)5.(2023春?重慶沙坪壩?高三重慶南開中學(xué)校考期中)(多選)已知非零復(fù)數(shù)則

下列運(yùn)算結(jié)果一定為實(shí)數(shù)的是()

A.Z)+ZjB.z2—z2C.z；+z；D.z(z2+Z|Z2

【答案】AD

【分析】由復(fù)數(shù)的乘法和加、減運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)一一化簡，即可得出答案.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)4=4+〃i(a,/?eR,〃/0),z}=a-bi,z?=c+小(c.deR,daO),

z2=c一小,

對(duì)于A,z(+z,=a+b\+a-bi=2a,虛部為0,則Z]+Z[一定為實(shí)數(shù)，故A正確：

對(duì)于B,z?-馬=2z/i，虛部不為0,故z2-z2一定不為實(shí)數(shù)，故B不正確：

對(duì)于C,

z：+z；=(a+bi『+(c4-t/i)2=a2-b2+2abi+c2-d2+2ccli=a2-b2+c2-d2+(加力+2cd)i,

若2而+2?/H0,則z：+z；不一定為實(shí)數(shù)，故C不正確；

對(duì)于D,Zjz,+Z]Z2=(a+bi)(c—d)+(a-〃i)(c+M),

ac—ad\+bci+bd+ac+ad\—bci+bd=2bd+2ac.故D正確.

故選：AD.

題型二復(fù)數(shù)的幾何意義

例3.(2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z=(l+i)-(〃?-2i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在

第一象限，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.m>2B.0<m<2

C.-2<ni<2D.m<-2

【答案】A

【分析】化簡z,根據(jù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限列不等式，從而求得用的取值范圍.

【詳解】z=(l+i)(/n-2i)=m+2+(AM-2)i,

對(duì)應(yīng)點(diǎn)("?+2,"?-2),

由于點(diǎn)(〃?+2,6-2)在第一象限，

一m+2>0

所以°八，解得〃42.

故選：A

例4.(2023春?全國?高三專題練習(xí))己知。為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z=〃-3〃-4+(〃+l)i為純虛數(shù)，

則復(fù)數(shù)插在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】利用純虛數(shù)的定義求出。，即可判斷作答.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z=/-34+(a+l)i為純虛數(shù)，則"="解得〃=4,

a+l工0

所以復(fù)數(shù)4-4i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（4,-4）位于第四象限.

故選：D

舉一反三

練習(xí)6.（2023?河北唐山?開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）己知復(fù)數(shù)4與z=4-2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)

應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則言=（）

A.-l-3iB.-l+3iC.l-3iD.l+3i

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系得4=4+2i,應(yīng)用復(fù)數(shù)除法化簡目標(biāo)式即得結(jié)果.

【詳解】由z=4-2i對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（4,-2）,則Z對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（4,2）,故z1=4+2i,

所以普當(dāng)也當(dāng)皿%+3i.

2

故選：D

練習(xí)7.（2023?北京?高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，。是原點(diǎn)，向量OZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-1+i，

將OZ繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)?，則所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）

4

A.—\/2B.—yfliC.—1D.—/

【答案】A

【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合圖象可得.

如圖，由題意可知oz=（-11），與x軸夾角為1兀，

繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)彳后Z到達(dá)X軸上4點(diǎn)，乂卜|oz|=V2,

所以Z1的坐標(biāo)為（-尤.0）,所以O(shè)Z；對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.

故選：A.

練習(xí)8.（江蘇省南通市2023屆高三高考前練習(xí)數(shù)學(xué)試題）若0=i,復(fù)數(shù)z與之在復(fù)平面

Z+1

內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為44,則卜（）

A.2B.2VIC.3D.4

【答案】A

【分析】利用已知條件先求出z,根據(jù)復(fù)數(shù)的意義，分別寫出A3坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距

禽公式計(jì)算即可.

【詳解】由二二inz—3=i(z+i),

Z+1

?

所以z=--；=1+i,

所以z=1—i，

故z與[在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為人(1,1)1(1,-1),

所以|A4="1一11+]—(-1)了=2,

故選：A.

練習(xí)9.(2023?湖北?統(tǒng)考模擬預(yù)測)若復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,且滿足Z?-2z+2=0,

則z2=()

A.1+iB,1—iC?—2iD.2i

【答案】c

【分析】根據(jù)題意求出Z,再根據(jù)復(fù)數(shù)Z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限，即可求解.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足:Z2-2Z+2=0,BP(Z-1)2=-1,

故z=I+i或z=1-i，

因?yàn)楦鼣?shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，

故復(fù)數(shù)z=l—i,所以z2=-2i.

故選:C.

練習(xí)10.(2023春?云南?高三云南師大附中?？茧A段練習(xí))在更平面中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

記。4，。。，/:表示的復(fù)數(shù)分別為2+i,-l+2i,l-2i,記z為8c所表示的復(fù)數(shù)，則z-5=()

A.25B.8C.5D.2+3/

【答案】A

【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得。4=(2,1),。。=(-1,2),.48=(1,-2),求出z=T+3i,再由

共規(guī)復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡即可得出答案.

【詳解】因?yàn)椤?，OC，AB表示的復(fù)數(shù)分別為2+i,-2i

所以O(shè)A=(2,1),OC=(-1,2),AB=(1,-2),

AC=OC-OA=(-i2)-(2,l)=(-3,l),

則BC=AC-AB=(-3,1)-(1,-2)=(-4,3),

那么z=T+3i,所以z?5=25.

故選：A.

題型三復(fù)數(shù)模的計(jì)算

例5.(2023春?內(nèi)蒙古赤峰?高三?？茧A段練習(xí))若復(fù)數(shù)z滿足z=l+i,|Z2-4Z|=.

【答案】2亞

【分析】化簡Z2-4Z，然后用復(fù)數(shù)模的公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)閦=I+i,所以z2-4z=(l+i『-4(l+i)=2i-4-4i=-4-2i,

所以|z2-4z|=716+4=2石.

故答案為：26

例6.(2023春?福建原門?高三厘門一中?？计谥?i是虛數(shù)單位，已知同=2i|,寫出

一個(gè)滿足條件的復(fù)數(shù)”..

【答案】3=l+i(答案不唯一，滿足co=a+ai(atR)均可)

【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算公式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)=〃+/?,(a,beR),

則13—21=|(a—2)+bi|=yl(a-2)2+b2,\co-2i\=\a+(b-2)i|=^a2+(b-2)2,

因?yàn)閨。一2|=|。一2”,

所以加々一2尸+從=如+3-2)。，解得：a=b,

所以o=a+ai,(〃eR)

所以可以取0=l+i.

故答案為：6>=l+i(答案不唯一，滿足=a+(aeR)均可).

舉一反三

練習(xí)11.(2023?安徽合肥哈肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知復(fù)數(shù)4=2+5=1-叫〃￡玲,

且為純虛數(shù)，則五=()

z2

A.GB.75C.1D.76

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡由純虛數(shù)的概念求出〃，由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算

以及復(fù)數(shù)的模長公式可得結(jié)果.

【詳解】復(fù)數(shù)4=2+5=1-出,則馬2=(2+1*+ai)=(2i)+(〃+l)i,

(67-2=0

依題意得，',八，解得。=2,即馬=l-2i,

2a+1h0

4_2+i_(2+i)(l+2i)_d_.

Z-1^-(1-2i)(l+2i)=y=H

所以五=1.

Z2

故選：C.

練習(xí)12.(2023?上海普陀嘈楊二中?？既?已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=i(l+3i),則同=

【答案】M

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求得z=-3+i,可得之，根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算即得答案.

【詳解】由z=i(l+3i)可得z=-3+i,

故5=_3-i,.?.區(qū)|=J(_3)2+『二屈，

故答案為：M

練習(xí)13.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知復(fù)數(shù)二滿足|z+2i卜目，寫出一個(gè)滿足條件的復(fù)數(shù)

【答案】1-i(答案不唯一，虛部為-1即可)

【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z,代入復(fù)數(shù)的模的公式求解即可.

【詳解】設(shè)z=a+/?i,(。，/?eR),

則|z+2i|=|a+/?i+2i|=k+(/?+2)i|=Ja2+(〃+2)，

|z|=\a+bi\=\Ja2+b2,

v|z+2i|=|z|,/.J/+(4+2,=\la2+b2,

Aa2+(b+2)2=a2+b2,化簡得4〃+4=0,解得人=-l.

???滿足條件的一個(gè)復(fù)數(shù)z=l-i(答案不唯一，虛部為-1即可).

故答案為：1-i(答案不唯一,虛部為-1即可).

練習(xí)14.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z=(a+2i)-(l+i),|z|=JIU,貝I」。=()

A.1B.0C.2D.±1

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)模的計(jì)算即可

【詳解】z=(a+2i)?(l+i),

化簡得z=〃-2+(a+2)i,

則|z|=J(a-2)2+(々+2)2=瓜

解得。=±1,

故選：D.

練習(xí)15.(2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考三模)已知aeR,i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=i(a-i),|z|=2,

則".

【答案】±6

【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式列式求得。.

【詳解】因?yàn)閦=i(a-i)=l+ai

由IW=2,得\la2+]=2*得。=±5/3.

故答案為：±6.

題型四復(fù)數(shù)模的幾何意義

例7.(2023?湖北黃岡?黃岡中學(xué)校考二模)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=l,則|z+3-4i|(i為虛數(shù)單

位)的最大值為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】設(shè)z=cosO+isinO,根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式和三角恒等變換的知識(shí)可得到

|z+3-4i|=j26+10cos(e+0),由此確定最大值.

【詳解】由忖=1可設(shè):z=cos6+isin8,

/.z+3-4i=(cos^+3)+(sin^-4)i,

/.|z+3-4i|=J(cos3+3『+(sin6-4)2=^cos2^+sin2^+(6cos^-8sin^)+25

.---------------------34

=j26+lOcos(9+0)(其中cos0=一,sin0=-),

55

34

.,.當(dāng)cos(8+0)=]時(shí)，即時(shí)，

|z+3-4i|nwx=426+10=6.

故選：C.

例8.(2023?山東煙臺(tái)?統(tǒng)考二模)若復(fù)數(shù)z滿足|z+31Tz-3|=4,貝”z+l|的最小值為().

A.3B.6C.2D.72

【答案】A

【分析】根據(jù)|z+3|-|z-3|=4和|z+l|的幾何意義，結(jié)合雙曲線的圖象即可得到|z+l|的最小

值.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為Z(x,y),則|z+3|-|z-3|=4表示點(diǎn)(x,y)到

(一3,0)的距離與至1」(3,0)的距離的差為4,

所以點(diǎn)Z的軌跡為雙曲線E-F=1的右支，圖象如下所示：

45

y

-1012x

|z+l|表示點(diǎn)z到(TO)他距離，所以|z+l|的最小值為3.

故選：A.

舉一反三

練習(xí)16.(2023春?湖北襄陽?富三宜城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中汨知復(fù)數(shù)z滿足2W|Z|W2V5,

則在復(fù)平面中z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形的面積為.

【答案】4兀

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義結(jié)合圓的面積計(jì)算，即可求得答案.

【詳解】根據(jù)題意可知復(fù)數(shù)z滿足2<|z|<2^,

則由復(fù)數(shù)模的幾何意義知z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形為半徑為2和2啦的兩個(gè)同心圓所圍成

的圓環(huán)，

則其面積為河(2梃)2-22]=4兀，

故答案為：4兀

練習(xí)17.(2023春?四川成都?高二統(tǒng)考期中)己知忖=1,WJ|z-2-2i|(i為虛數(shù)單位)的最

大值為()

A.25/2-1B.72-1

C.272+1D.V2+1

【答案】C

【分析】設(shè)2=1+”得到/+)，=],由卜-2-2i|=J(x-2)2+()，-2尸,得至”z—2—2i|表示

單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)。(2,2)的距離，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】設(shè)z=x+yi,其中x,yeR,由臼=1,可得/+)，2=1,

根據(jù)復(fù)數(shù)z的幾何意義可得復(fù)數(shù)z表示原點(diǎn)。為圓心，半徑為r=1的單位圓，

則|z—2—2i|=|(a2)+(y-2)i|=y](x-2)2+(y-2)2,

可得|z-2-2i|表示單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)P(2.2)的距離，

因?yàn)閨PO|=2V5,所以|z-2—2i|的最大值為|PO|+r=2行+1.

故選：C.

練習(xí)18.(2023.河南?洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z滿足|z+i|=|z-i|,z在復(fù)

平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(KN),則()

A.x+y=0B.x-y=0C.x=0D.y=0

【答案】D

【分析】轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)Z(x,y)到兩定點(diǎn)A(0,-l),8(0,1)距離相等的幾何意義即可得到答案.

[詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z,-i,i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z(x,y),40,-1),90,1)、

則Iz+iRz-i|的幾何意義是z到A的距離和Z到B的距離相等,

則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(乂歷滿足y=0.

故選：D.

練習(xí)19.(2023春?福建莆田?高三莆田第二十五中學(xué)?？计谥?在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)z滿

足|z-IHz+i|(i為虛數(shù)單位)，記z0=2+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)Z°,z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)Z,則點(diǎn)乙與

點(diǎn)Z之間距離的最小值_________________

【答案】辿

2

【分析】根據(jù)已知條件，集合復(fù)數(shù)模公式，求出點(diǎn)Z的軌跡方程，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公

式，即可求解.

【詳解】設(shè)z=x+yi(x,yeR),

v|z-lHz+i|,

.1x-]+yi|=|x+(y+l)i|,即^-1)2+/=yjx2+(y+\)2,

化簡整理可得x+y=0,

???復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z的軌跡x+y=0,

z0=2+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)Z°(2,l),

|2+1|372

???點(diǎn)/與點(diǎn)Z之間距離的最小值為T

7177二亍

故答案為：當(dāng)

練習(xí)2().(2023?山西太原太原五中?？家荒?復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z滿足|z-2|=1，則|z—i|的最

小值為()

A.1B.75-1C.加+1D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)卜-2|=1分析出z對(duì)應(yīng)點(diǎn)軌跡方程，再根據(jù)|z-i|的幾何意義以及圓外一點(diǎn)到圓

上點(diǎn)的距離最小值求法求解出結(jié)果.

【》羊葩/】i^2=x+>'i(x,yeR),

因?yàn)镮z_2|=k_2+刈=J(x_2)2+)，2=1,所以(X-2)2+)，2=1,即Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌

又|z-i|=k+(y-l)i|="2+(),一］)2,

所以|z-i|表示圓C上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)40,1)的距離，

所以為|CA|-r=石-1,

故選：B.

題型五復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

例9.(2023?山東濟(jì)寧?嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模)若復(fù)數(shù)2二學(xué)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。=()

2+1

33

A.—B.-C.6D.—6

22

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出2,再結(jié)合復(fù)數(shù)的概念求解作答.

■3八皿?(3+5)(2—i)6+a+(2〃-3)i6+a2a-3.

【詳解】依題意，2=,"'=-------------------=一〕+—

(2+i)(2-i)555

因?yàn)閺?fù)數(shù)z是純虛數(shù)，且〃wR,則號(hào)=0且生二工0,解得。=-6,

JJ

所以a=-6.

故選：D

例10.(2023?湖北咸寧??？寄M預(yù)測)復(fù)數(shù)z滿足1+力+02=|3+倒，則乞=()

A.-2-2iB.-2+2iC.2-2iD.2+2i

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求出z,再根據(jù)共規(guī)復(fù)數(shù)的定義得到5.

441+1)

［詳解］因?yàn)椋?zi+zj2=3+4i|=5,z=「=；J=-2i-2,

11i-l(i-l)(i+l)

所以，=-2+2i.

故選:B.

舉一反三

2

練習(xí)21.（2023?河南鄭州?洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足z=三+i,

1-1

則14=（）

A.1B.72C.GD.V5

【答案】D

【分析】直接根據(jù)復(fù):數(shù)的除法運(yùn)算以及兔數(shù)模的定義即可得到答案.

22(l+i)

【詳解】z=——+i=,I、，＞、+i=l+i+i=l+2i,

1-i(l-i)(l+i)

所以|Z|=V12+22=75.

故選：D.

練習(xí)22.（2。23?云南保山?統(tǒng)考二模）如果復(fù)數(shù)鬻（其中i為虛數(shù)單位，b為實(shí)數(shù)）為純

虛數(shù)，那么1）加的模長等于（）

A.72B.2C.1D.6

【答案】A

2—hi2一筋一〃一4

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得=+根據(jù)題意求得〃=1,結(jié)合復(fù)

l+2i5*/

數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.

2-bi_(2-Z?i)(l-2i)_(2-2/7)+(-/?-4)i2-2b-Z?-4.

【詳解】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則得=-----+------1

l+2i-(I+2i)(l-2i)-5-55

因?yàn)閺?fù)數(shù)言為純虛數(shù)，所以平=0且^^工0,解得6=1，

所以1+歷=l+i,所以|l+i|=0.

故選:A.

4—i2

練習(xí)23.（2023?江西統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=tL,則==（）

2-1

八63.63.

A.2+iB.2—iC.—+—iD.--------1

5555

【答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z,再求共擾復(fù)數(shù)即可.

2

【詳解】因?yàn)?三4-i？=有5=昌5（2+湍i）r5—（2+i）=-2+.|,所以

故選：B.

練習(xí)24.(2023.寧夏銀川根聯(lián)考二模)規(guī)定運(yùn)算:；=，以--若復(fù)數(shù)2滿足匕；

則z的值為()

A.1-iB.1+iC.2-iD.2+i

【答案】D

【分析】根據(jù)所給運(yùn)算及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡即可.

【詳解】因?yàn)?+i：T=i，所以zxl(1li)(li)=i,

lipz-(l2-i2)=i,所以z=2+i.

故選：D

練習(xí)25.(2023?江蘇?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知3+4i=z(l-2i),則忖=()

A.&B.x/5C.V10D.5

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求z,從而可求其模.

■、4□石,幾―r，口3+4i.,(3+4i)(1+2i)—5+10i

【詳解】由?題設(shè)可得z二丁=r，故z=^----j-----=---=-l+2i,

1-2155

故閆=石，

故選：B.

題型六i的幕運(yùn)算

例11.(2023?山東?模擬預(yù)測)若2=,，貝++1=<>

A.1B.iC.-1D.-i

【答案】B

【分析】先由z?=(寧)J+q+-=i,再代入zm+z^+l求解.

【詳解】解：因?yàn)閦二號(hào)，

所以T*j二號(hào)

所以zIM+zW+lMhzr+bzf+l,

=T°+i25+1=-1+i+1=i，

故選：B

例12.(2023?江西?江西省豐城中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知i為虛數(shù)單位,

l-i

則復(fù)數(shù)[在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方求出i+i?++/23,再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可得解.

【詳解】因?yàn)閕,f+i必+2+iW3+=j_]+]=0,

i+i2++i2023「T=一(1+i)=11

則〃一丁

1-i(l-i)(l+i)22

所以口T+j在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為

位于第二象限.

故選：B.

舉一反三

練習(xí)26.（2021春?高三課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：（也——i產(chǎn)+（10+/）_2。二=___

22v）1+2后

【答案】9+2i

【分析】利用i"的周期性、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算計(jì)算求解.

【詳解】原式*-2’）

[_22）、7（l+2x/3i）（l-25/3i）

=（_｛）14+10+—26—]21+262

13

=-l+10+i+i

=9+2i.

故答案為:9+2i.

/1-X2024

練習(xí)27.（2022秋?江西宜春?高三校聯(lián)考期末）已知z=g（i是虛數(shù)單位），則z=（）

A.-1B.1C.0D.i

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算結(jié)合虛數(shù)單位i的性質(zhì)，即可求得答案.

練習(xí)28.（2023?云南昆明?昆明一中?？寄M預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=占

則

Z+Z2+Z3+,,.+22023=()

A.-1B.IC.D.i

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算可得Z=i,由復(fù)數(shù)的乘方可得Z+z2+z3+z4=0,即可求

解.

【詳解】依題意：2=m=尚七

所以丫=一1，Z5=-i>Z4=1?得Z+Z?++Z4=(),

所以z+z?4-z3+-.+Z2023=505(z+z2+z?+z4)+z+z2+z3=-1.

故選:A.

7-4i

練習(xí)29.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知z=+產(chǎn)"（5—）,則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z

（l-i）

所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)的除法求復(fù)數(shù)z,進(jìn)而判斷復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象

限.

［詳解］???z=儂［5—i）=V+（-i）.（5-i）=Ji+2—5i—l=l一,

（1-1）一，122

（3、

???復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為1,-不，位于第四象限.

故選：D.

練習(xí)30.（2023?云南曲靖?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)2=工二（i是虛數(shù)單位），則［二（）

l+2i\z\

A.直B.立C.y/5D.G

53

【答案】C

【分析】利用i的性質(zhì)求解!，再求模即可.

7

［詳解］］一下呵一下廠一。^.

故選：C.

題型七待定系數(shù)法求復(fù)數(shù)

例13.（2023,浙江?校聯(lián)考二模）已知復(fù)數(shù)2滿足（2+2。卜-方）=23為虛數(shù)單位），則2=（）

A.±x/6iB.±V2iC.2iD.土娓

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算規(guī)則計(jì)算.

【詳解】(z+2i)(z-2i)=z2-4i2=z2+4=2,「.z=±C=±&i；

故選：B.

例14.(2023?甘肅金昌?永昌縣第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測)若復(fù)數(shù)z滿足z+2)=2+i，其

中i為虛數(shù)單位，則z=()

22.

A.3-2iB.2+3iC.—iD.—bi

33

【答案】C

【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi.則W=x-yi,根據(jù)復(fù)數(shù)的加減法與復(fù)數(shù)相等求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi,則三=x-_yi(x,)，wR),

一2

則z+2z=x+yi+2x-2)，i=3x-yi=2+i,則.1=彳，>f=-1,

2

所以z=：-i.

3

故選：C.

舉一反三

練習(xí)31.(2023春?湖南?高二校聯(lián)考期中)已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面第一象限內(nèi)，5是z

的共桅復(fù)數(shù)，那么同時(shí)滿足z+5=2和z?乞=4的復(fù)數(shù)是()

A.>/3+iB.1+75/

C.1-iD.1+i

【答案】B

【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)2="+石(4為6均，由共規(guī)復(fù)數(shù)的定義可得-削，依題意列出方程組

即可求出復(fù)數(shù)Z,再結(jié)合復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面第一象限，即可判斷.

【詳解】設(shè)z=〃+為則彳=々一歷，

由z+N=2,得：26r=2,所以。=1,

由z-5=4,得：a2+b2=4,所以匕=±J5,

又因?yàn)閺?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面第一象限內(nèi)，所以b=行，故z=l+Gi,

故選：B.

練習(xí)32.(2023?江西九江?統(tǒng)考三模)已知復(fù)數(shù)z滿足z-(2+i)=5-4i,則忖=()

A.1B.V2C.2D.2&

【答案】B

【分析】設(shè)z=a+/4?〃wR）,然后根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出〃=/）=-1,然后代入復(fù)數(shù)模

的計(jì)算公式即可求解..

【詳解】設(shè)Z=4+如wR）,則（。+例）（2+。=。一加一4口

即(2a-b)+(a+2b)i=a-(/?+4)i,

2a-b=a

解得a=/?=_]z=-l-i>|z|=\,2.

a+2b=-b-4

故選：B.

練習(xí)33.（2023?河南?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足z2+z+l=0,則忖=（）

A.1B.gC.V2D.1或加

【答案】A

1

-2._,2_a=—

【分析】根據(jù)更數(shù)相等的充要條件可得::二n,進(jìn)而得:，由模長公式即

[2ab+b=0,2=3

一4

可求解.

【詳解】設(shè)z=〃+加，（a/wR）,

/.（a+人if+a+Z?i+1=0,:.a2+a+\-b2+（2ab+b）i=0,

_1

a2+a+\-b2=（）a==~2

[2"+〃=0/J

4

|z|=\ja2+b2=1.

故選：A

練習(xí)34.（2023?江西南昌統(tǒng)考三模）若虛數(shù)z使得z2+z是實(shí)數(shù)，則z滿足（）

A.實(shí)部是-gB.實(shí)部是:C.虛部是-!D.虛部是:

【答案】A

【分析】設(shè)z=a+加（abeR且。。0）,計(jì)算+曰其為實(shí)數(shù)求得。后可得.

【詳解】設(shè)z=a+加（&beR且/件0）,

z2+z=（a+b\）2+（〃+歷）=/+2ab\-b~+a+b\=a2+a-b2+（2ab+b）i,

z?+z是實(shí)數(shù)，因此2//升〃=0，b=0（舍去），或〃=彳.

故選：A.

2

練習(xí)35.（2023春?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足z+二eR,

則|z+i|的最小值為（）

A.立B.在C.V2-1D.1

32

【答案】C

【分析［首先設(shè)復(fù)數(shù)z=〃+加，（〃,方不同時(shí)為0）,根據(jù)條件化簡求得〃的關(guān)系式，再根據(jù)

復(fù)數(shù)模的幾何意義求最值.

【詳解】設(shè)z=a+加，（。力不同時(shí)為0）,

22..2（"〃）（2a）（.2b1

z+-=a+bi+----=〃+加+—^----a+r+b—；h,

za+bia2+b2Ia2+b2）（a2+b2）

2b

由題意可知b-=0,得〃=0或/+/=2,

a2+b2

當(dāng)方=0時(shí)，z的軌跡是x地（除原點(diǎn)外），此時(shí)|z+i|的幾何意義表示復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)和（0,-1）

的距離，此時(shí)|z+i|>l,

當(dāng)c尸十〃_2時(shí),，復(fù)數(shù)z的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，亞為半徑的圓，如圖,

根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，|z+i|的幾何意義是圓上的點(diǎn)到（0,T）的距離，如圖可知，

|z+i|的最小值是點(diǎn)A與（0,-1）的距離V2-1.

故選：C

題型八復(fù)數(shù)的三角表示（選學(xué)）

2

例15.（2023?全國?高一專題練習(xí)）更數(shù)匚質(zhì)與下列復(fù)數(shù)相等的是（)

B.cosf-^isinf-^

A.+isin——+

I3J3j13

C.立+3D.-i-73i

22

【答案】B

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法化簡，結(jié)合復(fù)數(shù)的三角表示、各項(xiàng)的形式判斷正誤即可.

【詳解】由題設(shè)，2,+病=2+烏=cosl+ising，故A、C、D錯(cuò)誤;

l-V3i（l-V3i）（l+V3i）2233

而cos[-§J+isin[-？-J=cos