§7.3直線、平面平行的判定與性質

【考試要求】從定義和公理出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線

與平面、平面與平面的平行關系，并加以證明.

主干梳理基礎落實^

知識梳理

1.線面平行的判定定理和性質定理

文字語言圖形語言符號語言

判如果平面外一條直線與此坐面

l//a

定內的一條直線平行，則該直線

,=/〃a

定與此平面平行(簡記為“線線平

Ida,

理行=線面平行”)

性一條直線與一個平面平行，則

///a'

質過這條直線的任一平面與此平

松>/IUB[=>l//b

定面的交線與該直線平行(簡記為

理“線面平行=線線平行”)

2.面面平行的判定定理和性質定理

文字語言圖形語言符號語言

一個平面內的兩條相交直a//B、

b//0

判定線與另一個平面平行，則這

1X7>=>a///i

定理兩個平面平行(簡記為“線口

面平行=面面平行”)

bUaJ

如果兩個平行平面同時和a"B'

性質3

第三個平面相交,那么它們aQy=a-=^a//b

定理3

的交線平行AZ76n尸〃

3.平行關系中的三個重要結論

(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若。_La,aLfi,則a〃民

(2)平行于同一個平面的兩個平面平行,即若a〃夕，彼〃『則a〃7.

(3)若a〃/，“Ua,貝lj“〃尸.

【微思考】

1.設加，/表示兩條不同的直線，。表示平面，若〃?Ua,l//a,則/與〃，的位置關系如何？

提示平行或異面.

2.一個平面內的兩條相交直線與另一個平面內的兩條相交直線分別對應平行，那么這兩個平

面平行嗎？

提示平行.可以轉化為“一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行”，這就是面面平

行的判定定理.

基礎自測

題組一思考辨析

I.判斷下列結論是否正碓（請在括號中打“J”或“X”）

（1）若一條直線平行于一個平面內的一條直線，則這條直線平行于這個平面.（X）

（2）若直線。〃平面a,P8則過點P且平行于直線。的直線有無數(shù)條.（X）

（3）若直線aU平面a,直線〃U平面a//h,則a〃￡.（X）

（4）如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面.（V）

題組二教材改編

2.如圖，在正方體ABCO-A/IGDI中，E為。。?的中點，則8。與平面ACE的位置關系

為.

答案平行

解析連接BZZ則ACnBD=O,連接。七（圖略），則OE〃BG,OEu平面ACE,平面

ACE,???B?！ㄆ矫鍭CE

3.已知不重合的直線a,b和平面a,

①若a"a、bUa,則a〃力；②若a〃a,/?〃a,則a〃/;；③%Ua,則a〃a；④若“〃/人

aUa,則＞〃a或/?Ua.

上面命題中正確的是（填序號）.

答案④

解析①若。〃a,bUa、則。〃）或異面，①錯；

②若a〃a,b//a,則a〃方，或異面或相交，②錯；

③若bC.a,則a〃a或aUa,③錯；

④若〃Ua,則b〃a或〃Ua,④對.

4.在長方體中，過直線AG的平面交直線B囪于點E,交直線DD】于點F,

則四邊形AECiF的形狀為.

答案平行四邊形

解析由面面平行的性質定理可得AE〃GF,AF//C,E.

故四邊形AEC1為平行四邊形.

題組三易錯自糾

5.已知直線m。和平面a,B，若〃Ua,/?Ca,a〃￡,b//[i,WOa,0的位置關系是.

答案平行或相交

6.考查下列兩個命題，在“”處都缺少同一個條件，補上這個條件使其構成真

命題（其中。，人為不同的直線，a,“為不重合的平面），則此條件為.

bUaa//b

①a//b\=>a//a；②b//a\=>a//a.

答案Ma

解析根據(jù)線面平行的判定定理可知，判斷線面平行需要三個條件：面內一線，面外一線，

線線平行，分析已知中的條件，可知①缺少的條件是為平面a外的直線”，

②同樣缺少平面外直線.故答案為：ada.

題型突破核心探究

J題型一直線與平面平行的判定與性質多維探究

命題點I直線與平面平行的判定

例1如圖，以_1矩形48CO所在的平面，E,產(chǎn)分別為48,的中點.

求證：AF〃平面PC￡

證明方法一如圖，設“為PC的中點，連接EM,MF,

P

E,

B

???E是Ab的中點,

又M是PC的中點，：.PA//OM,

又OMU平面8MD,出1平面8MQ,，出/^平面陰〃)，

又平面以〃GH平面BMD=GH,

：,PA//GH.

思維升華(1)判斷或證明線面平行的常用方法

①利用線面平行的定義(無公共點).

②利用線面平行的判定定理(Ha,bUa,a//b=>a//a).

③利用面面平行的性質(a〃S，aUa=?！ǚ?

④利用面面平行的性質(a",卻，a//a=^a//p).

(2)應用線面平行的性質定理的關鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確

定交線.

跟蹤訓練1如圖，四邊形A8CO是矩形，閃平面A8CO,過8C作平面8CFE交AP于點E,

交DP于點、F,求證：四邊形慶才是梯形.

證明???四邊形A5c。為矩形，

J.BC//AD.

TAOU平面以。，8at平面附D,

〃平面PAD.

???平面尸EA平面外。=七凡8CU平面EC尸E,

J.BC//EF.

?:AD=BC,ADKEF,

:.BC/EF,

???四邊形8cFE是梯形.

e題型二平面與平面平行的判定與性質師生共研

例3如圖，在三棱柱48C—A山中，E,F,G分別為SG，4B的中點.

(1)求證：平面4GG〃平面8ER

(2)若平面4GGC4C=H,求證：〃為AC的中點

證明(1)VE,尸分別為「Ci,43的中點，

:?EF〃A\C\,

???AiGu平面AIGG,￡7也平面AIGG,

???E/〃平面4GG,

又尸,G分別為A1B1,A8的中點,

：.A\F=BG,

又4尸〃BG,

，四邊形4G8尸為平行四邊形，

則BF〃A\G,

OAiGu平面4GG,引過平面AiGG,

???BF〃平面4GG,

又EFCBF=F,EF,BFu平面BEF,

???平面4GG〃平面BEF.

(2)二?平面A8C〃平面A歸Ci,平面4GGC平面AI5ICI=AIG,

平面AGG與平面ABC有公共點G,則有經(jīng)過G的直線，設交BC于點、H,

則AiG〃G〃，#GH//AC,

???G為AB的中點，J”為BC的中點.

思維升華證明面面平行的方法

(1)面面平行的定義.

(2)面面平行的判定定理.

⑶垂直于同一條直線的兩個平面平行.

(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行.

⑸利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉化.

跟蹤訓練2如圖，四棱柱ABCO-ASG"的底面ABCD是正方形.

(1)證明：平面43?！ㄆ矫鍯Q田|；

(2)若平面/WCOn平面8]DC=直線/,證明

證明(1)由題設知88%夾。。],所以四邊形是二行四邊形,

所以BD〃B\D\.

又BZX平面CDS,

8|Q|U平面CDiBi,

所以BO〃平面CD\B\.

因為4。修夾86^8。，

所以四邊形ABCS是平行四邊形，

所以4B〃dC

又4陰平面CDS,GCU平面COS,

所以43〃平面CDiBi.

又因為BOGA歷=B,BD,人田U平面ABO,

所以平面480〃平面CDB.

(2)由(1)知平面AiB?！ㄆ矫鍯D山I,

又平面A8CQP平面3|OC=直線/,

平面A8COG平面48￡>=直線BD,

所以直線/〃直線8。，

在四棱柱44co—AliGQ中，四邊形3。。山?為平行匹邊形,

所以RD"/B。，所以

,題型三平行關系的綜合應用師生共研

例4如圖，四邊形ABC。是邊長為3的正方形，。月J_平面ABC。，AFl￥ffiABCD,DE=3,

A尸=1.

(1)證明：平面人8F〃平面QCE；

(2)在DE上是否存在一點G,使平面FBG將幾何體ABCDEF分成上、下兩部分的體積比為

3：5?若存在，求出點G的位置；若不存在，請說明理由.

(1)證明?..?！阓1平面44。。，AF_L平面ABCO,

：.DE//AF,

又DEU平面DCE,ARZ平面。CE,

〃平面DCE,

???四邊形A8c。是正方形，AB//CD,

又COL平面DCE,48。平面。CE,

???A8〃平面DCE,

*：ABC\AF=A,43U平面48”,4F*U平面

，平面48斤〃平面DCE.

(2)解存在點G,滿足題意，理由如下：假設存在一點G,過G作MG〃B/交EC于M,連

接3G,13M,如圖，

由VABCDEF=VH-ADEF-\-VH-CDE=^X3X-----^^+?乂3X^^=y,

設EG=t,

2]363

則VGFBME=V"EFG+VB-￡GW=~X行=正，

設M到EQ的距離為山

則”罌二M即〃4，

133

則SAEGM=3X/X寧=甲2,

VGFBME=VB-EFG+Vfi-EG.w=^X3X：義3X/+；X3X；產(chǎn)=導，

即4尸+81-21=0,

37

解得/=；,或/=一￡(舍)，

則存在點G,滿足EG=/

即G為E。的中點時滿足條件.

思維升華解決這種數(shù)值或存在性問題的題目時，注意先洽出具體的值或先假設存在，然后再

證明.

跟蹤訓練3如圖,在正方體4ACD—4BGA中，P,Q分別為對角線ED.CR上的點，且

CQ_BP_2

QD\=~PD=y

(1)求證:PQ〃平面4AD4；

40

(2)若R是48上的點，標的值為多少時，能使平面PQR〃平面4GD4?請給出證明.

/1O

(1)證明連接CP并延長與D4的延長線交于M點，如圖，連接MG,

因為四邊形A3c。為正方形，

所以RC//AD,

故△尸8cs△〃￡)”,

*|、叵_竺，

助-PM~PD~y

又因為空="=2

乂U^QD~PD~y

rCQCP2

所以PQ//MDi.

又MDU平面ARDA,PQQ平面AIOIDA,

故PQ〃平面AiOiDA.

4

(2)解當A兼R的值為與時，能使平面PQR〃平面Ai。/%.如圖,

/IOD

證明：因為第=3

所以PR//DA.

又D4U平面4Q]D4,平面AiOQA,

所以PR〃平面A^D^DA.

又尸Q〃平面4O|D4,PQC\PR=P,PQ,PRU平面PQR,

所以平面PQR〃平面A^iDA.

課時精練

D基礎保分練

1.（2021?哈爾濱市第九中學模擬）平面a〃平面少的一個充分條件是（）

A.存在一條直線a,a//a,a//p

B.存在一條直線a,aCa,a//p

C.存在兩條平行直線a,b,aUa,bU0,a////,b//a

D.存在兩條異面直線a,b,aUa,bU0,a//p,b//a

答案D

解析對于A,一條直線與兩個平面都平行，兩個平面不一定平行.故A不對；

對于B,一個平面中的一條直線平行于另一個平面，兩個平面不一定平行，故B不對；

對于C,兩個平面中的兩條直線分別平行于另一個平面，不能保證兩個平面平行，故C不對;

對于D,兩個平面中的兩條互相異面的直線分別平行于另一個平面，可以保證兩個平面平行,

故D正確.

2.（2021.瀘州診斷）己知&人是互不重合的直線，a,是互不重合的平面，下列四個命題中

正確的是（）

A.若a//b,bUa,貝！J

B.若〃〃a,a//p,aCp=b,則

C.若〃〃a,a〃尸，則a//?

D.若a〃a,a//p,貝!Ja〃夕

答案B

解析A選項，若a〃〃，bUa,則a〃a或aUa,所以A選項錯誤；

B選項，若a〃a,a//p,“00=3,則a〃力，所以B選項正確；

C選項，若。〃a,a〃夕，則a〃夕或aU.,所以C選項錯誤；

D選項，若a〃a,〃〃夕，則a〃尸或aG￡=〃，所以D選項錯誤.

3.（2020?金華十校聯(lián)考）已知在三棱柱ABC-AiAC中,M,3分別為AC,3a的中點,E,

產(chǎn)分別為BC，BiB的中點，則直線與直線E”、平面ABBiA的位置關系分別為（）

A.平行、平行B.異面、平行C.平行、相交D.異面、相交

答案B

解析???在三棱柱ABC-AIiQ中，

”,N分別為AC,%G的中點，E,尸分別為8C,8出的中點,

???EFU平面8CGS,MNG平面8CGBi=N,N&EF,

???由異面直線判定定理得直線"N與直線EF是異面直線;

取4G的中點P,連接PW,PN,如圖，

則PN〃S4,PM//A}A,

*：AA\C\A\B\=A\yPMCPN=P,

???平面PMN〃平面ABB*”

???MNU平面PMN,

:.直線MN與平面ABBA平行.

4.如圖，在長方體ABC。一ABiGU中，若E,F,G,〃分別是棱4小，BBi,CCi,GDi

的中點，則必有（）

A.BD//GH

B.BD//EF

C.平面EPGH〃平面A3CO

D.平面EFG"〃平面A\BCD\

答案D

解析選項A,由中位線定理可知GH〃QC,因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直

線平行，所以8",G”不可能互相平行，故A選項是錯誤的；

選項B,由中位線定理可知七/〃AI,因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，

所以80,E尸不可能互相平行，故B選項是錯誤的；

選項C,由中位線定理可知E47A山,而直線44與平面/IBCO相交，故直線E”與平面R4C。

也相交，故平面EFG”與平面ABC。相交，故C選項是錯誤的；

選項D,由三角形中位線定理可知EF〃A1,EHHN\O\,所以有七戶〃平面EH//

平面AACQi,而EFCEH=E,因此平面“G"〃平面A出CO”故本題選D.

5.（多選）（2020.青島市58中模擬）如圖，正方體的棱長為2,E,F,G分別

為BC,CG，BBi的中點，貝ij（）

A.直線。i。與直線4廠建直

B.直線EF與直線A2平行

9

C.平面AEb截正方體所得的截面面積為孑

D.點。與點G到平面AE/的距離相等

答案BC

解析A項，若。|O_LAE

又因為且

所以平面AER

所以QQi_LEE

所以CG_LEF,顯然不成立，故結論錯誤；

B項，直線〃直線8G,

又直線8G〃直線A￡）i,

所以Er〃AG,故結論正確；

C項，如圖所示，連接GF,DiA,延長GF,AE交于點S,

G

AB

因為E,尸分別為BC,GC的中點，

所以EF〃BC\,

又BG〃AQ”

所以E尸〃AG,

所以A,E,F,。四點共面，

所以截面即為梯形AEFG,

又因為OIS=AS="T?=2小，ADi=2?

所以S梯形AF/TJ=6X^=5，故結論正確；

D項，設點。與點G到平面AEF的距離分別為小，h2,

1|1x1|

'：Vc-AEF=^S^AEph\=匕-CEF='X-X2=與，

111X22

==

VG-AEF"jS^AEF-h2VA-GEF=Z"^'^'-^-X2=g,

???川#〃2,故結論錯誤.

6.（多選）如圖，透明塑料制成的長方體容器ABC。-4SGA內灌進一些水，固定容器一邊

A8于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，有下面幾個結論，其中正確的是（）

A.沒有水的部分始終呈棱柱形

B.水面EFGH所在四邊形的面枳為定值

C.隨著容器傾斜程度的不同，4G始終與水面所在平面平行

D.當容器傾斜如圖(3)所示時，46A”為定值

答案AD

解析根據(jù)棱柱的特征(有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的

公共邊都互相平行)，結合題中圖形易知A正確；由題圖可知水面EFG”的邊上產(chǎn)的長保持不

變，但鄰邊的長卻隨傾斜程度而改變，可知B錯誤；因為4G〃AC,ACU平面4BCQ,AiG

Q平面A8C。，所以4G〃平面43CQ,當平面EPG”不平行于平面A3CO時，4G不平行

于水面所在平面，故C錯誤；當容器傾斜如題圖(3)所示時，因為水的體積是不變的，所以棱

柱/G的體積V為定值，又曠=5加硒/8,高AB不變，所以SZMEA/也不變，即

為定值，故D正確.

7.在四面體ABC。中，Al,N分別是△AC。，△8CO的重心，則四面體的四個面中與MN

平行的是.

答案平面48C,平面48。

解析如圖，連接A歷并延長交CO于點E,連接4N并延長交C。于點人

由重心性質可知，E,尸重合，且E為C。的中點，

..EMEN1

*而=麗=亍

:.MN//AB,又A8U平面A8。，MM2平面A8。，

.??MN〃平面又A3U平面A4C,MNQ平面44C,〃平面A4C.

8.設a,夕，y是三個不同的平面，/〃，〃是兩條不同的直線，在命題“aQ/?=〃?，〃Uy,且

,則小〃〃”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題.

?a//y,nUp；?m//y,“〃/?；?n//p,mC.y.

可以填入的條件有(填序號).

答案①或③

解析由面面邛行的性質定理可知，①正確；當,〃〃人“〃夕時，〃和〃1可能平行或異面，

②錯誤；當〃〃"，mUy射，〃和/"在同一平面內，且沒有公共點，所以機〃〃，③正確.

9.在正四棱柱ABCO-ABiGDi中，。為底面A8CD的中心，P是。。的中點，設Q是CG

上的點，則點Q滿足條件時，有平面。出Q〃平面雨。.

答案。為CG的中點

解析如圖所示，設。為CG的中點，

因為夕為。。?的中點，所以Q8〃F.

連接。8,因為尸，。分別是。。1,。〃的中點，

所以D\B〃PO,

又Qi困平面PAO,Q3Q平面PAO,POU平面PAO,B4U平面PAOt

所以。加〃平面小O,Q8〃平面小0,

XD\BQQB=B,D1B,QBU平面。1BQ,

所以平面。出Q〃平面PA0.

故。為CG的中點時，有平面。歸Q〃平面辦O.

10.如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形4BCD為正方形，E,F,G,H分別為P.M，

PiD,PC凡8的中點，在此幾何體中，給出下面五個結論：①平面EFG“〃平面ABCO；

②以〃平面/3QG：③〃平面P4C；④五“〃平面/3QG：⑤石/〃平面4QG.

其中正確結論的序號是.

答案①②③④

解析先把平面展開圖還原為一個四棱錐，如圖所示.

P(P“PW

：.EF//AD.GH//BC.

?：AD〃BC,:?EF〃GH,

:.EF,G〃確定平面EFGH,

；EFU平面EFGH,ADQ平面EFGH,

???A。〃平面EFGH,

同理A8〃平面ABQAD=A,

AOU平面"CO,

平面EFG“〃平面ABC。，所以①正確；

②連接AC,BQ交于。點，

則。為4c的中點，連接。G,G為尸。的中點，

：,OG〃PA,OGU平面8OG,

以。平面8OG,???公〃平面BQG,???②正確；

③同②同理可證后小〃平面P8C,???③正確；

④同②同理可證"/〃平面BOG,???④正確；

?EF//GH,與平面3DG相交，

???EF與平面BDG相交，

⑤不正確.

如圖，在四棱錐中，

11.P—4BCDAD//BC,AB=BC=^AD,，F(xiàn),"分別為線段AQ,PC,

CD的中點，4C與8E交于。點，G是線段。尸上一點.

(1)求證：A尸〃平面月石尸；

(2)求證：G”〃平面以D

證明(1)如圖，連接EC,因為AQ〃3C,BC=^AD,

所以3C〃A￡,BC=AE,

所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以。為4c的中點.

又因為尸是尸C的中點,

所以FO//AP,

因為FOu平面BEF,

AR平面BEF,

所以AP〃平面BEF.

(2)連接尸H,OH,因為凡H分別是PC,CQ的中點，

所以FH//PD,

因為PQu平面力。，F(xiàn)”。平面布￡),

所以FH〃平面PAD.

又因為。是8七的中點，，是C。的中點，

所以。“〃4。，

因為AQu平面心。，平面見。，

所以。〃〃平面PAD.

又FHCOH=H,FH,0”u平面0,凡

所以平面?！笔ㄆ矫鍼AD.

又因為G〃u平面0HF.

所以GH〃平面PAD.

12.(2021?銀川市長慶高級中學模擬)如圖，在四棱錐S-ABCD中，/ADC=NBCD=9。。,AD

=OC=SA=g8C=2,點E,G分別在線段SA,A。上，SE=AE,AG=GD,廣為棱8C

上一點，且C/=l.

證明；平面SCO〃平面EFG.

證明因為點￡,G分別在線段SA,A。上，

且SE=A￡,AG=GD,

故EG//SD,

又EG。平面SC。，SOu平面SCD,

故EG〃平面SCQ；

因為ZADC=NBCO=90。，

故4O〃BC,因為GO=FC=1,

故四邊形GOCr為平行四邊形，故GF〃CDl

又GRI平面SCO,COu平面SCD,故G/〃平面SCO,

因為GRz平面EFG,EGu平面EFG,EGCFG=G,

所以平面SCO〃平面ER7

4技能提升練

13.（多選）在正方體A8CZ）-4&G。中，M,N,。分別是棱。G，A。1，BC的中點，點

7

P在BDi上且8尸=鵑口.則以下四個說法中正確的是（）

A.MN〃平面APC

B.GQ〃平面APC

C.A,P,M三點共線

D.平面MNQ〃平面APC

答案BC

解析對于A項，連接MN,AC,

則MN〃AC,連接AM,CN,

易得4%CN交于點P,

DiM

即MNU平面APC,所以WN〃平面APC是錯誤的；

對于B項，由A項知M,N在平面APC上，

由題易知AN〃GQ,ANU平面APC,

所以GQ〃平面APC是正確的；

對于C項，由A項知4,P,M三點共線是正確的；

對于D項，由八項知MNU平面APC,

又MNU平面MNQ,

所以平面MNQ〃平面人PC是錯誤的.

14.在三棱錐P-A8C中，PB=6,AC=3,G為△B4C的重心，過點G作三棱錐的一個截

面，使截面平行于PB和AG則截面的周長為.

答案8

解析如圖，過點G作臼分別交雨，尸C于點E,F,過點、E作EN〃PB交AB于點、

N,過點尸作FM〃P8交8C十點M,連接MM則四邊形EFMN是平行四邊形（平面EFMN

為所求截面），