專(zhuān)題4.5恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題

SI題型目錄

題型一最值法

題型二分離參數(shù)法

題型三分類(lèi)討論法

題型四指對(duì)數(shù)同構(gòu)

題型五雙變量問(wèn)題

才典例集練

題型一最值法

例1.(2023春?四川成都?盲三樹(shù)德中學(xué)?？茧A段練習(xí))若對(duì)于任意的aeR及任意的

xe(l,+8),不等式/+%之為+如]"-1)恒成立，則實(shí)數(shù)人的取值范圍是()

A.[0,e]B.[OJ]C.-,+8)D.-0°,-)

【答案】A

【分析】由題意可得左出(匯一1)4文-1對(duì)任意的xe(l,十4恒成立，分類(lèi)討論k=0,k<0和

k>0,當(dāng)攵>0時(shí)，，之蛇二令g(x)」n(三D,對(duì)g")求導(dǎo)，求出g(x)的最大值,

即可得出答案.

【詳解】因?yàn)閷?duì)于任意的及任意的xe(L”)，不等式/+xN2a+4n(x—1)恒成立，

則萬(wàn)一加+工一對(duì)11(工一1)20對(duì)任意的6￡1^恒成立，

所以A=(_2)2_4[x_&ln(x_l)]?0,

則A:In(x-l)<A-l對(duì)任意的xG(1,-H?)恒成立，

當(dāng)攵=0時(shí)，成立；

當(dāng)攵<0時(shí)，x>2時(shí)，不等式左邊kln(x-l)<0,x-l>0,所以kln(.E-l)Wx-l不成立；

當(dāng)&>0時(shí)，八皿3

kx-\

令&(力.，小卜年早，

令g'(x)>0,解得：l<x<e+l：令g'(x)<0,解得：jc>e+l,

所以g（x）在（l,e+l）上單調(diào)遞增，在（e+l,4<Q）上單調(diào)遞戒，

所以當(dāng)x=e+l時(shí)，g（x）有最大值，

所以g（Ha=g（e+l）=粵=9

目f以5

ke

綜上，ke[O,e].

故選：A.

例2.（2023春?四川成都?高三樹(shù)德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（》）=加+MawR）.

⑴若直線(xiàn)y=2x-1是函數(shù)），=〃x）圖像的一條切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)〃的值；

⑵若。>0,當(dāng)x>0時(shí)，不等式2x—8siarv/（工）恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

4

【答案】⑴句:

⑵*8

□

【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程求。的值:

（2）原不等式可化為sinx-fx+L/之0,設(shè)，=/_,由已知卜iiu-x+Jd

之0,討論”,

66。I6min

利用導(dǎo)數(shù)研究Mx）=sinxTY+，V的單調(diào)性，由此確定〃的取值范圍.

【詳解】（1）函數(shù)/（x）=o?+x的定義域?yàn)镽,導(dǎo)函數(shù)尸（力=%^+1,

設(shè)切點(diǎn)尸（公,八），

y0=cix^+x0

則』=2%-1,

3遍+1=2

3

x0=2

解得，:

4

a=——

27

所以。=/；

(2)不等式2x-6t7sinx</(x)可化為：2x-6asiiiivo?+x,

因?yàn)椤?gt;0,所以sinx-Jx+Jl>0,

6。6

<]

設(shè)/=—>由已知^nx-ix+-xy>0

6min

令〃（x）=sill￥一a+'丁，則/（X）=COSX+gx2_/,

令/n（x）=cosx+-x2-t,則加（x）=-sirir+x,

2

再令s（/）=-sinx+R,則/（A：）=-co&r+l＞0,

所以s（x）在（0,+8）單調(diào)遞增,又s（0）=0,則s（x）＞0,即加（力＞0,

所以）〃（r）在（。,+8）單調(diào)遞增，y=COST+g.r2（x＞0）的值域?yàn)椋↙-+＜c）.

①當(dāng)時(shí)，即“之，時(shí)，/?J（X）=COSX+—x2-I＞0＜=＞/f（x）＞0,

62

則〃（X）在（O.+e）單調(diào)遞增，又〃（0）=0,所以力（力＞。恒成立,符合.

②當(dāng)，＞1時(shí)，即0＜a＜1時(shí)

6

/7?（0）=l-r＜0,當(dāng)時(shí)，〃?（1）＞0,

所以存在事＞0,使〃2（%）=0,

則當(dāng)xe（0,x0）時(shí)，/n（x）＜0,函數(shù)〃（x）在（0,?。┥蠁握{(diào)遞減，而〃（0）=0,

所以力（“＜0對(duì)XW（0，A））成立，不符合.

綜上，實(shí)數(shù)〃的取值范圍是+8）.

舉一反三

練習(xí)1.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)/（力=以-11-1,若存在毛￡（0同使得/（?。?。，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】（一8,1）

【分析】將條件存在不40同使得/1）＜（）轉(zhuǎn)化為在區(qū)間（0目上/（“神＜0,求r（r）,

再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可求得在區(qū)間（0,e］上的/（燈.，進(jìn)而解不等式即可.

1詳解】存在飛?O,e］使得〃（）＜0等價(jià)于在區(qū)間（0，e］上〃0Mli＜。，

ax-\

由/(x)=av-lnx-l,則外力=4一7xe(O,e],

若aWO,則/。）＜0,此時(shí)/（“單調(diào)遞減，所以/（x）1nhi=/（e）=ae-2＜0成立；

若a＞0,當(dāng)x＞一時(shí)，.盟x）＞0,此時(shí)〃x）單調(diào)遞增；當(dāng)0＜工＜1時(shí)，r（A）＜0,此時(shí)/'（力

單調(diào)遞減,

（2）若/（-V）的最小值為1,求4.

【答案】（1）匕詈v，〃W帶生

（2）1

【分析】（I）利用導(dǎo)數(shù)研究/*）的單調(diào)性，進(jìn)而可得/（X）min=/（1）=O,并求出/（2）J（3）,

即可確定機(jī)的范圍；

（2）根據(jù)/（幻的值域及/（幻的最小值為1排除。<0、4=0,構(gòu)造y=eX-x-l并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)

研究函數(shù)符號(hào)，放縮法求/（幻最值，即可得參數(shù)值.

【詳解】（I）當(dāng)。=0時(shí)=處，則（（幻=4-12^=學(xué)，令/。）=0=工=1,

XXXx~X

當(dāng)Ovxvl時(shí)r（x）<0,/（X）遞減,當(dāng)x>l時(shí)r*）>0,/（x）遞增，，

所以『⑴加『61）=°，"2）=1-罟吧=上強(qiáng)/（3）=1-野=沼》

（2）若〃<0.當(dāng)匯趨向+00時(shí)趨向于0,此時(shí)最小值不為1.余去.

由（1）知：。=0時(shí)/（X）最小值為0,此時(shí)/（X）最小值不為1,舍去.

所以。>0,則=------

X

令尸/一x-l,則y'=e'-l,故xvo時(shí)y'v（）,x>0時(shí)y'>。恒成立,

所以3在（3,0）上遞減,在以+oo）上遞增,且）后>ko=O,即e，x+l恒成立,

<u+,l>x

UUI、I■/、e—1—Inxax+Inx+1—Inx—1,,八xnInx?.

所以〃%）=------------>-----------------=a,僅/ri當(dāng)lzar+lnx=O,即。=----->0時(shí)取r

等號(hào)，

令）,=一叱，則故0<x<e時(shí)y'<。，）'遞減，x>e時(shí)y'>0,y遞增，

XX

所以），之）［工二一一，且0cx<1時(shí)y>0,x>l時(shí)一一<>,<0,

ee

綜上，?=-->0,即0<x<l時(shí)，成立.

x

此時(shí)要使/（幻的最小值為1,即4=1.

練習(xí)4.（2023春?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)正實(shí)數(shù)a有

/（x）=eHjlnxTn420在定義域內(nèi)恒成立，則〃的取值范圍為（）

A.(0,1]C.(o,e2]D.(0,+a)

【答案】C

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究了⑶單調(diào)性，得極小值/（%）=。（-*-+.％-21114+2）,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

,+%221n4-2在（（）,收）上恒成、孔再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究左側(cè)的最小值，即可求解.

【詳解】由題設(shè)廣（幻二小—@且。>0?>0,令g（x）=/'（x）,則/（x）=e'"+=>0,

XX-

所以g（x）=/'W在（0,+OO）上遞增，顯然X趨向0時(shí)f（A）趨向TO,f\a）=eu+,-l>0,

故太。€（0,+8）使f'（x0）=O,即/川二色,則lnXo=ln〃-（Xo+l）,

.%

所以，在（0,與）上r（x）<。，八幻遞減；在（%,+<?）上r（x）>。，/（X）遞增；

故/（幻之/*0）=/+1-。1!1/一1115=4（,+與一21114+2）,

e

令)，=■!■+X目.工€(0,笆)，則y'=l--故xe(OJ)時(shí)y'＜。，xe(l,+＜?)時(shí)y'＞。,

所以xw（o,i）上y遞減,%w（l,+x）上），遞增，則”yL=2,

且當(dāng)題=1時(shí)，0=lna-2=>a=e2,

綜上，21na-24ymin=2,可得0<°02.

故選：C

練習(xí)5.（2023春?四川德陽(yáng)?高二德陽(yáng)五中?？茧A段練習(xí)）若不等式

合111。一金人+%一111〃2”-2在工曰—1,2］有解，則實(shí)數(shù)。的取侑范圍是（）

r，e

【答案】D

【分析】先得到〃>0,不等式變形得至1」（9-1）［'二］2與-2,換元后令

e/e

“。=卜2-1加-2，+2,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在止胃,優(yōu)，使得/(/)之0,求導(dǎo)后得到了(，)的

e

單調(diào)性，結(jié)合/⑴=/(0=0,得到當(dāng)14/久2時(shí)，“go,比較端點(diǎn)值得到答案

【詳解】由Ina有意義可知，。>0,

e21n.一e2jr+x-lnaN與一2變形為(c?-l)(lna-x)N——2

即(e—)(l哈)《-2,

令/=￡,即有仔一1)1球一21+220,

因?yàn)閤e［—1,2］,所以，=-7er，ae,

e|_e~_

令〃，)=卜2—1)政一力+2,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在飛［=“，使得/(/)20,

e

因?yàn)?'(/):一—2=e、：I,

令r(/)<o,即金一2.-1<。，解得"寧，

令即e2—2/—1>0,解得0</<F，

所以/⑺在卜,一］上百■調(diào)遞增，在(一,”］上單調(diào)遞減，

又/⑴=0j(e2)=(e2-l}lne2-2e2+2=0,

而l<—ve2,所以當(dāng)區(qū)/32時(shí)，/(。之0,

若存在/€E，〃e,使得/.⑺20成立，只需/we?且配之1,

解得ae-,e4.

_c

故選；D

題型二分離參數(shù)法

例3.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(外=1-§-2卜、，若對(duì)于)，均有

/(x)>l,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

1

【答案】3,一1一一

Ie」

【分析】分離參數(shù)可得〃4/-2》-之在(。,+8)上恒成立，設(shè)儀幻=/-24-=>*>0),利

ee

用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可.

【詳解】由題得力?=在(0,+8)上恒成立，

e

設(shè)g(x)=f-2x-^(x>0),貝IJg(i)=,

當(dāng)Ovx<l時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，則

g(X)min=^(1)=-1--?

ce

故實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(—,-1.

故答案為:'.

例4.(2023春?甘肅張掖?高三高臺(tái)縣第一中學(xué)校考期中)已知〃x)=xlnx,

^(X)=A？4-Or2-X4-2.

⑴討論函數(shù)y=在(0,〃7)(〃〉0)上的單調(diào)性；

⑵對(duì)一切實(shí)數(shù)xe(0,+8)，不等式2/(x)Wg'(x)+2恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)[-2,+oo)

【分析】(1)根據(jù)加分類(lèi)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間即可；

(2)參變分離，構(gòu)造函數(shù)Mx)=21nx-3x--,然后利用導(dǎo)數(shù)求其最大值可得.

【詳解】(1)因?yàn)椤▁)=Enx,則7(x)=lnx+l,令尸⑴=0可得》」,

e

①當(dāng)。時(shí)，對(duì)任意的xe(0.〃，)，/'("<(),此時(shí)函數(shù)/(力的減區(qū)間為(0,〃。；

e.

②當(dāng)小〉，時(shí)，由/'(x)<0可得0<X<1,由/4x)>0可得

eee

此時(shí)函數(shù)/(X)的減區(qū)間為(o，￡|,增區(qū)間為(，,〃?、.

綜上所述，當(dāng)0V〃區(qū)，時(shí)，函數(shù)“X)的減區(qū)間為(0,〃7)；

e

當(dāng)〃?>：時(shí)，函數(shù)/(X)的減區(qū)間為(0,m，增區(qū)間為(；〃?).

(2)因?yàn)?'(6=3工2+2?-1

所以，對(duì)一切實(shí)數(shù)X?QYO),不等式2/a)?g'(x)+2恒成立,

即2x\nx<3x2+2ax+1恒成立，

可得2or22xlnx-3/-1,即2aN21nx-3x-L

x

令/z(x)=2]nx-3x——，其中x>0,

X

則//(X)=--3+-!T=-MTL=_(3%+l)(x7),

Xfx-x-

當(dāng)o時(shí)，//(A-)>O,此時(shí)函數(shù)〃(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>l時(shí)，"(x)<0,此時(shí)函數(shù)力(X)單調(diào)遞減，

所以，/?(xLx=//(1)=-4>則力^〃(力皿=-4,解得。之一2?

所以4的取值范圍為[-2,9)

舉一反三

練習(xí)6.(2023?山東青島?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(力二j"-1門(mén).

⑴當(dāng)〃=0時(shí)，求曲線(xiàn)y=/(x)在(1J⑴)處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積:

⑵若存在不￡卜,”)，使〃與)<0成立，求〃的取值范圍.

【答案】⑴,二占

⑵a>e

【分析】(1)先求導(dǎo)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)方程得切線(xiàn)的斜率，再求切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求

出切線(xiàn)方程，由方程求出切線(xiàn)與x，〉'軸的交點(diǎn)即可求出三角形的面積.

(2)令〃(幻=二，則只要函數(shù)/?“)=￡在區(qū)間上內(nèi))的最小值小于丁即可.通過(guò)求導(dǎo)討論

InxInx

函數(shù)萬(wàn)(x)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最小值，最后求出〃的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)〃=0時(shí)./(A)=e*-lnx.

ff(x)=e--,所以曲線(xiàn)y=/(x)在(IJ⑴)處的切線(xiàn)的斜率％=e-l,又〃l)=e,

X

..?切線(xiàn)方程為y=(e-l)x+l.

與x，y軸的交點(diǎn)分別是(「,0),(04)，

1-e

切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積5=七二?

2(e-l)

(2)存在$e［e,+<o),使/(見(jiàn))<0即e"-"-lnXo<0,B3<Inx0.

即存在A)?e,+oo),使e">f一成立.

in/

令加幻二￡］，因此，只要函數(shù)力(%)=二在區(qū)間卜,轉(zhuǎn))的最小值小于e"即可?

InxInx

下面求函數(shù)h(x)=二在區(qū)間［e,+CQ)的最小值.

Inx

ev(lnx--)

Mx)=「x，

ln-x

令u(x)=ln工一■!",g|u(x)=—+—>0,

XXX

所以〃")為卜,田)上的增函數(shù)，且〃(e)=1」>0.

e

〃，⑴—巴口,0在卜+⑹恒成立.

hrx

h(x)=￡—在［e,-Hao)遞調(diào)遞增，

inx

c

函數(shù)h(x)=—在區(qū)間［e,-FOO)的最小值為//(e)=e,

\nx

/?(e)=ec<ett,得a>e.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)在于把不等式能成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值閏題,

在這類(lèi)問(wèn)題中，最容易錯(cuò)的地方是分不清恒成立和能成立的區(qū)別，若。>/(“在給定區(qū)間內(nèi)

恒成立，則。要大于/(x)的最大值；若。>/(力在給定區(qū)間內(nèi)能成立，則。只需要大于/(力

的最小值.

練習(xí)7.(2023春?寧夏銀川?高二銀川一中?？计谥?已知/(x)=2xlnx,g(x)=r2+a-3

⑴求函數(shù)/("的最小值；

⑵若存在x?0，"),使f(x)4g("成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(3)證明：對(duì)一切x?0,母)，都有/(6>2(f一|)成立.

2

【答案】(1)最小值為-士

e

(2)?>4

⑶證明見(jiàn)解析

【分析】(I)利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求得/(x)的最小值.

(2)由/(x)Wg(x)分離常數(shù)。，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得〃的取值范圍.

(3)求得〃心)=2仔的最大值，從而證得不等式小)>2仔-成立.

【詳解】(1)/'(%)的定義域是(。,+8),r(x)=2(lnx+ii,

所以/(x)在區(qū)間(。*)，/''(司<0，/(刈遞減；

在區(qū)間已，+8)，/'(人)>。，/(人)遞增.

I(112

所以當(dāng)工=2■時(shí)，/(力取得最小值f-=2—ln-=—.

eeee

(2)存在xe(O,E),使/(x)Kg(x)成立，

即2xlnx<-x2+ar-3能成立，

即a22lnx+x+3能成立，

x

設(shè)/?(x)=21nx+x+2(x>。)，

X

''Xx2X*

所以〃(x)在區(qū)間(o,1),〃(x)<0,〃(x)遞減；

在區(qū)間(L+?),”(x)>0,力㈤遞增,

所以當(dāng)工=1時(shí)，〃(無(wú))取得最小值〃(i)=4,

所以。之4.

(3)設(shè)〃?("=2(?-：(x>0),；77,(A)=2--!-^

所以在區(qū)間(0,1)，H(x)>0,〃?(x)遞增；

在區(qū)間(1,”卜加(x)v0,〃池x)遞減，

所以當(dāng)x=l時(shí)，加(力取得最大值機(jī)(1)=——.

e

由(1)得，當(dāng)X=g時(shí)，/(X)取得最小值-j

所以對(duì)一切文￡(0,也)，都有/(力>2(.-：)成立.

練習(xí)8.(2023秋?吉林長(zhǎng)春?高三長(zhǎng)春市第五中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)/(x)=e2-g(x)=x-l,

對(duì)任意^wR,存在七金?！?，使/(%)=95)，則&-玉的最小值為().

A.1B.④

31

C.2+In2D.—+—In2

22

【答案】D

【分析】令/(xjuga)3，〉。，將內(nèi)，占都用”表示，從而可將赴-內(nèi)構(gòu)造出關(guān)于〃［的函

數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.

【詳解】解：由題意，令f(N)=g(%)=〃7>0,則e2、=〃?，x2-\=m,

所以M=gln〃?，x2=m+\,x2-x,=/?2+1Inm,

令h(m)=〃i+1-;hi/〃(/〃>0),所以〃'(〃?)=1-y—,

令人'(〃。=0,得〃?=；,

所以當(dāng)機(jī)€(0,g)時(shí)，蛇"7)V0,/?(〃?)單調(diào)遞減；

當(dāng)mG(T'4^時(shí)，/叫〃2)>0,力(〃7)單調(diào)遞增,

1?1

所以當(dāng)加=5時(shí)，有最小值耳+5m2,

31

即當(dāng)-王的最小值為耳+耳皿？.

故選：D.

練習(xí)9.(2022春?重慶沙坪壩?高二重慶一中?？计谀?若不等式(x-M(e、-l)+x+I>0對(duì)

Vx?0,y)恒成立，則整數(shù)，〃的最大值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】參變分離后，通過(guò)二次求導(dǎo)，結(jié)合隱零點(diǎn)得到最小值，即可求解.

【詳解】因?yàn)閤?0,T8),所以e'-l>0,

所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為機(jī)<且比對(duì)任意xe(0,y)恒成立.

er-l

澗,+1，?/ev(er-x-2)

令/“)=三?，則/("=…\2,

e-1卜1)

令g(x)=e'-x—2,則g'(x)=e*-1>0對(duì)xe(0,內(nèi))恒成立，

所以8(幻=已；1-2在(0,+00上單調(diào)遞增.

因?yàn)間⑴=eJ3<0,g(2)=e2-4>0,

故譏€(1⑵，使得g(*=e%—%—2=0

因此當(dāng)0vx</時(shí)，R(x)v0J'(x)v0,即/㈤在(0，NJ上單調(diào)遞減,

當(dāng)x>.%時(shí)，g(x)>0J'(x)>0,即/(X)在(>,+8)上單調(diào)遞增.

故/(X)而n=/(,")二釐二==X。+1C(2,3),

所以整數(shù)2的最大值為2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛；

不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：

①分離參數(shù)恒成立即可)或恒成立(。工/(吐血即可);

②數(shù)形結(jié)合(y=/(x)圖象在y=g(x)上方即可)；

③分類(lèi)討論參數(shù).

Inv

練習(xí)10.(2023?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(力=二-％+1.

⑴求了(”的單調(diào)區(qū)間;

⑵若對(duì)于任意的xe(0,位)，/(x)+L+x〈ae'恒成立，求實(shí)數(shù)”的最小值.

X

【答案】⑴〃力在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,內(nèi))單調(diào)遞減

(2)1

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性即可；

(2)不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問(wèn)題，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大最小值

問(wèn)題即可求解.

【詳解】⑴由/(x)=*x+l定義域?yàn)楣ぁ?0,同

W-X-1ILV11.2

又"r-—

令a(x)=l-hu-V,顯然網(wǎng)力在(0,+8)單調(diào)遞減，且力(1)=0；

,當(dāng)xu(O,l)時(shí)，/?(x)>0—>/Z(A)>0；

當(dāng)xe(l,+co)時(shí)，/z(x)<0=>/f(x)<0.

則/(“在(。，1)單調(diào)遞增，在(1,*。)單調(diào)遞減

(2)法一：???任意的xw((),*o),+g+恒成立，

**--x2+x+lnx<arev-x2-1恒成立>即aN"+ln：+l恒成立

xc

人/、x+lnx+1，/、-(x+1)(x4-Inv)

令g(x)=-忑一,則g(x)=

令h(x)=x+Inx,則〃(x)在｛0,+a>)上單調(diào)遞增,

=1-l<0,/?(l)=l>0.

'使得力（天）一天+叫）

，存在天仁1=0

當(dāng)x?0,%)時(shí)，h(x)<0,g/(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x?q,*o)時(shí),/?(x)>0,/(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

由/+hi%=0,可得Xo=-ln/,

???g3mrg(廝

i、x+lnx+1

又-----；—

xe

故〃的最小值是1.

法二：

???—JI恒成立，即心皆濘恒成立

x+ln,v+1X+IILV+1x+lnv+1

令g(x)

lav?"ee^ln.v+x

不妨令f=x+huG＞°），顯然，=x+lnx在（0,+s）單調(diào)遞增=fwR.

ci之——在/€R恒成立.

令"。）=~r=〃（"=~7

ee

.,.當(dāng),0）時(shí)，//（r）＞0;

當(dāng)，?0,內(nèi)）時(shí)，"（/）＜0即始）在（-8,。）單調(diào)遞增

右）在（o,y）單調(diào)遞減

，〃（）「〃（（））=等=1

???。21,故。的最小值是1.

題型三分類(lèi)討論法

例5.（2023春?江西景德鎮(zhèn)?高三景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┮阎瘮?shù)/。）=加》，g（x）=/cx-\.

（1）若g（x）之/（x）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

(2)證明：當(dāng)xw(O,l)時(shí)，-卜+2.

【答案】(1)[1,+00)

⑵證明見(jiàn)詳解

【分析】(1)構(gòu)建f(力=雙幻-/(幻，分類(lèi)討論，利用單調(diào)判斷原函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合恒成

立問(wèn)題分析運(yùn)算；

(2)由(1)分析可得：x+1<ev,進(jìn)而可得產(chǎn)+2<W-J.,構(gòu)建

IvJx

//(x)=lnx-^2-lj,xe(O,l),利用導(dǎo)數(shù)證明lnx>V-%.(o/)，進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】(1)構(gòu)建解X)=g(x)-f(x)=6-1-lnx,

原題意等價(jià)于廠(力20恒成立，

可得尸(力的定義域?yàn)?0,+8)，且尸'(""」=竺」，

?VX

當(dāng)AWO時(shí)，且x>0,則去一1<0,可得尸'(x)<0恒成立，

則尸(另在(0,也)上單調(diào)遞減，且不合題意;

當(dāng)2>0時(shí)，且x>0,則有：

令/’(力<0,解得0<x<；；令9(力>0,解得x>)；

KK

可得尸("在(0，；]上單調(diào)遞減，在],+/上單調(diào)遞增：

則尸(上咽=1心0,解得0；

綜上所述：實(shí)數(shù)&的取值范圍口,收).

(2)由(1)取k=1可得：lnx<x—1,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立，

則Ke'-l，即x+lWe',當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

當(dāng)xe(OJ)時(shí)，則可得x-L<0,即1」-2<0,且0<x+l<e"

XXX

所以+2v(x_,_])(x+l)+2vd,

即xe(0,1)時(shí)，｛x———\eA4-2<x2——；

\x)x

構(gòu)建〃(x)=Inx—x2--|=lnx-x2+—,xe(0,1),

mil"/\1c1-2r'+x—1

則〃'(x)=——2x7=----;——，

XXX，

因?yàn)閤w（0,1）,則一2/＜0/—1＜0,可得/?x）＜0恒成立，

則力（力在（0,1）上單調(diào)遞減,可得何x）＞W(wǎng)）=0,

即Inx〉/__L,X￡（0,]）；

X

所以當(dāng)xw（0,l）時(shí)，lnx＞卜一^一】卜+2.

6.（廣東省部分地市2023屆高三下學(xué)期模擬（三〉數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)/（切=匕。，aw

e"

⑴討論“力的單調(diào)性；

⑵若關(guān)于X的不等式“6-1之〃吠（2工+1）恒成立，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

【答案】（1）答案見(jiàn)解析

（2）（-oo,0].

【分析】（I）求出導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論〃的取值，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即得；

（2）先采用內(nèi)點(diǎn)效應(yīng)得出〃=一〃?，再用恒成立問(wèn)題的處埋方法即可.

【詳解】（1）依題意r（x）=—竺二^.

若4=0,則/"(x)=2x,故當(dāng)xw(-oo,0)時(shí)，/(x)<0,當(dāng)xt(0,+8)時(shí)，>0.

若。工0,令)，-2x+4,A=4—4/,令△<(),解得或

①若aW—1,則/'(x)NO.

②若〃之1,則r（x）?0.

③若且令/'（"=。，得苦=2々：;4囁+.

若一1＜〃＜0,則不＞/，當(dāng)9）時(shí)，/4x）＞0,

當(dāng)xw（孫N）時(shí)，/'（x）＜0，當(dāng)不￡（內(nèi)，+8）時(shí)，/^x）＞0：

若Ova＜l,則不|＜“2，當(dāng)5）時(shí)、/'（x）＜0,

當(dāng)KW（M，8）時(shí)，＞0,當(dāng)xw（x2,+cc）時(shí)，/,（x）＜0.

綜上所述：若〃＜-1,則f（x）在R上單調(diào)遞增；

’?+J4-4a2\（2-\?4-'

若-1＜。＜0.則“X）在-8，一-----和一^——，+8上單調(diào)遞增,

2a2a

'2+J4—4/2-"-4/)

在一三-----——上單調(diào)遞減;

2a2a

若a=0,則/（x）在（-oo,0）上單調(diào)遞減,在（0+8）上單調(diào)遞增;

則/（X）在-孫經(jīng)壯2+74347-8

若0vav1,和上單調(diào)遞減,

’2-“-4/2+)

在T——，T——上單調(diào)遞增;

2a2a

\/

若aNL則/(%)在R上單調(diào)遞減;

11，

(2)/(x)-l>7?LV(2X+110———2rrix2-nvc-\>0.

c

設(shè)〃(x)=?：：-(Imx1+“nr+1),則，'(x)=————+"-4"tt-tn.

ee

因?yàn)椤╝”。恒成立,注意到人(。)=0,

故x=0是y=力(工)的極小值點(diǎn)，

故"（0）=0,所以。=一/兄

即對(duì)任意XGR,(l+x2)e/,ir>2〃浸+,nr+l恒成立.

①若加>0,則當(dāng)X--8時(shí)，(1+/2卜*-0,不符合條件，舍去.

②若>n<0,則〃及+1>2nix2+mx+1.

下證：(l+x2)ew>wt￥+l,令“(x)=(l+〃aW-l-f,

則/(x)=，訛-必一〃?(1+e-必一2x=—x(2+"%…)，

故當(dāng)X?YO,0)時(shí)，〃'(x)>0,“(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)X￡(0,+8)時(shí)，/(X)<O,"(X)單調(diào)遞減.

所以〃(x)?0)=0,即1+fN(1+"氏)e_,nv,

故（1+X，e心>/?!￥+1>2fWC2+HIX+1.

綜上所述，實(shí)數(shù)用的取值范圍為（F，0].

舉一反三

練習(xí)11.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)〃力=。（冗+1困超（力=上當(dāng)4>0時(shí),若對(duì)

于區(qū)間[1金上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù).占，都有|/&）-/（七）|<卜（%）—（修）|成立，則

實(shí)數(shù)。的取值范圍__________.

【答案】（0』

【分析】求出〃。的單調(diào)性,將絕對(duì)值去掉后得f（再）-g（.）<〃再）-g（xj,構(gòu)造新函

數(shù)尸（X），這樣就知道了函數(shù)的單調(diào)性，分離參量求導(dǎo)，得實(shí)數(shù)a的取值范圍

【詳解】不妨設(shè)14王<電42.

因?yàn)椤?gt;0,所以尸(戈)=“+￡|>0,所以/(x)在［⑶上單調(diào)遞增，即

又因?yàn)間(x)=f在［⑼上也單調(diào)遞增,所以g(M)vg(xJ.

所以不等式|/(蒼)-/㈤|<|g(xj-g(再)|即為〃W)-”xJ<g(W)-g(N)，

即/仁)-g(w)<f(%)-ga),

設(shè)尸(x)=/(x)-g(x)，即F(x)=O￥+tzlnx-x2,

則尸(七)<FR),因此F(x)在［1,2］上單調(diào)遞減.

于是產(chǎn)'⑺=。+，2xW0在［1,2］上恒成立，即aV缶在［L2］上恒成立.

2T2，/、2x2+4.r_

令〃(%)=——,則〃(x)=TF>0,

v7x+1(x+1)

即〃(x)在［1.2］上單調(diào)遞增，因此〃(“在［1.2］上的最小值為〃⑴=1,所以々41,

故實(shí)數(shù)〃的取值范圍是0<aW1.

故答案為：(0,1］

練習(xí)12.(2023春?江蘇南京?高二南京師大附中?？计谥?若關(guān)于不的不等式

xcv-?(x+2)-6flnx>0恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

【答案】(Oc).

【分析】令/=AC*，不等式轉(zhuǎn)化為f-aln/+2</20在/《(。，燈心)恒成立，令一/—aln，+2a,

求得/(/)=手，當(dāng)〃工0時(shí)，得到/(，)單調(diào)遞增，結(jié)合if0時(shí)，,不符合題

意；當(dāng)。>0時(shí)，求得函數(shù)單調(diào)性和最小值/(〃)="—alna,得到3a—ahwNO,即可求解.

【詳解】令/=xe",由x>0時(shí),可得7>0，則ln￡=lnAe*=x+lnx,

則不等式把'一。(1+2)—alnxNO,即為r-mn/+2a20在，e(0，a)恒成立，

令/(/)=r_aln/+2a,可得/(/)=1_。=字，

當(dāng)a40時(shí)，可得r(/)>。，可得單調(diào)遞增，

因?yàn)?-0時(shí)，/")-YO,不符合題意，舍去；

當(dāng)a>0時(shí)，令/。)=0,可得，=〃，

當(dāng)/G(0M)時(shí)，r(z)<0,/(/)單調(diào)遞減；

當(dāng)，￡(4y)時(shí)，rs>o,/⑺單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(，)取得極小值，即為最小值/(a)=a-alna+2^=3a-aln”,

因?yàn)椴坏仁桨?-a(x+2)-alnxN0恒成立，即為了⑺之0恒成立，

貝|J滿(mǎn)足3。一alnaNO,即3-lnaNO,解得

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0，叫.

故答案為：(0，￥).

練習(xí)13.(2023?寧夏銀川校聯(lián)考二模)已知函數(shù)/(刈-半.

e

⑴討論/(“在［(),可上的單調(diào)性；

⑵若對(duì)于任意若函數(shù)/(“工代恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【答案】⑴在0,^單調(diào)宛增，在：，兀單調(diào)遞減.

4J\_4

(2)Ar>l

【分析】(1)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可.

(2)令g(x)=/(x)-履，分別討論ZWO時(shí)身(力20,0<攵<1時(shí)存在一個(gè)與｛°，胃使得

屋毛)>0,攵之1時(shí)，g(x)〈O恒成立即可.

【詳解】(1)

/'(力=

/^-v)>0,則o<Y；/z(x)<0,則。VXV兀,

所以“X)在()弓單調(diào)遞增，在:，冗單調(diào)遞減.

(2)令g(x)=包f-履,有g(shù)(0)=0

e

當(dāng)欠40時(shí),x>O,ex>0,sinx>0,^(x)>0,不滿(mǎn)足;

cosx-sinx,

當(dāng)我>0時(shí)..(力=---:----k

令Mx)=g()=8S三sinj&.

所以/f(x)=芝學(xué)〈。在［。尚恒成立,

則g'(x)在嗚單調(diào)遞減,

f7T)-1.八

/(())=—,且3=萬(wàn)一&＜。，

c2

①當(dāng)—40,即&21時(shí)，g'(x)?g'(0)?0,

所以g(x)在%|單調(diào)遞減,

所以g(x)?g(O)=O,滿(mǎn)足題意；

②當(dāng)1一〃>0,即Ovkvl時(shí).

-l/兀1-1

因?yàn)間'(x)在吟1r單調(diào)遞減，g'(o)=i>o,k=--

所以存在唯一與《。仁)，使得，(不)=0,

所以g(x)在(。小))單調(diào)遞增，

所以g(W>g⑼=0,不滿(mǎn)足,舍去.

綜上：k>\.

【點(diǎn)睛】恒成立問(wèn)題解題策略

方法1：分離參數(shù)法求最值

(I)分離變量.構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

⑵a”(x)恒成立Q。>/(XL、；

。</(x)恒成v.<=>a</(x)mjn；

方法2：根據(jù)不等式恒成立構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題，一般需討論參數(shù)范圍，借助

函數(shù)單調(diào)性求解.

練習(xí)14.(2023?江西?江西省豐城中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知In卜+￡)-220在

(-2,21上恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍________.

【答案】［…)

【分析】令/(x)=〃eaY-ln(x+[)-

2,再分〃<0和。>0兩種情況討論，當(dāng)〃>0時(shí)，不等式

即為,汨"+1(1(比“')21113+2)+0^+2在12,+8上恒成立，令/?(x)=x+lnx,即

〃(比"'”〃(奴+2),易得函數(shù)萬(wàn)(x)=x+lnx在(0,+e)上遞增，則ae'"Nor+2在一勺,收)上

79

恒成立,即e“「x-4o,構(gòu)造函數(shù)g(x)=*-x-?利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.

【詳解】令/(x)=ae"—ln(x+2]—2,

\a)

9

當(dāng)〃<0時(shí)，枇"<0，當(dāng)X>-一+1時(shí),

a

2A

此時(shí)/(x)=ae”-lnx+-2<0,顯然題設(shè)不成立,

當(dāng)a〉0時(shí)，/(A)=ae<u-Infx+-|-2>0-Ko|上恒成立,

kci)(〃)

BP?ertV-In(ttr+2)-In4/-2>0,

即aeiU+ln(ae"')Nln(av+2)+av+2在(-2,+co)上恒成憶

令Mx)=x+lnx,即/7(^e*u)>//(av+2),

因?yàn)?1+"!■>0（x>0）,所以函數(shù)〃（x）=x+lnx在（0,+a?）上遞增,

?V

所以a*Aat+2在卜1|，一8）上恒成立，

令g（x）=e”-%-￡,則g[x）=a鏟一1,

當(dāng)xv-巫時(shí)，g'（x）<0,當(dāng)X>-也0寸，g'（x）>0，

aa

所以函數(shù)g"）在（―，-｝）上單調(diào)遞減，在（-罟，+8）上單調(diào)遞增,

當(dāng)-甘4-1,即心1時(shí)，函數(shù)g（x）在（一，收）上單調(diào)遞增,

而g（_：）=e-2>0,

2）上恒成立,

所以時(shí)，ae'"Nar+2在一一,+幻

Ia

當(dāng)-皿<二，即0<”?2時(shí)，

aa

函數(shù)g（X）在（V，-等）上單調(diào)遞減，在卜等,+8）上單調(diào)遞增,

（Ini'lna-1、八“n/c,

所以g（x）min=g[---j=---N。，解得e<ave~,

綜上所述，實(shí)數(shù)”的取值范圍為卜,丘）.

故答案為：[e,+co）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，一般有三個(gè)方法:

一是分離參數(shù)法，使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過(guò)

對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿(mǎn)足的條件；

二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類(lèi)討論；

三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過(guò)兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.

練習(xí)15.(2023?廣東廣州統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(幻=311工-2工(。工0),若不等式

22e27Xx)+e2*cos(/q))對(duì)x>0恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為.

【答案】(0,2e]

【分析】將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)ga)=S-2r-cos/,并探討其性質(zhì)，再利用導(dǎo)數(shù)分

類(lèi)討論，=/(x)的值域即可求解作答.

【詳解】

1-2f(x)>cos"")]oe"2_2/Q)-cos"*)]N0oe/(x)-2/(x)-cos[/(x)]>0,

令/=/(x),則g(r)=e'-2f-cosf,g\t)=e'-2+sinz,設(shè)/z(/)=e'-2+sinf,則

/?r(r)=ef+cosr,

當(dāng)F40時(shí),eYLsindl,且等號(hào)不同時(shí)成立，則g'⑺<0恒成立，

當(dāng)1>0時(shí)，ef>l,cosr>-l,則/?，)>0恒成立，則g'⑺在(0,xo)上單調(diào)遞增，

又因?yàn)間'(0)=-l，g'(l)=e-2+sinl>0,因此存在%e(01)，使得g'&)=0,

當(dāng)時(shí)，g'(f)<0.當(dāng)/乂)時(shí),g'")>。，

所以函數(shù)gQ)在(7Vo)上單調(diào)遞減，在(％,+8)上單調(diào)遞增，

又g(0)=0,作出函數(shù)g⑺的圖像如下:

函數(shù)/(x)=alnx-2x(。"))定義域?yàn)?。,內(nèi))，求導(dǎo)得八x)=@—2=匕二

XX

①當(dāng)火。時(shí)，外幻<。，函數(shù)/*)的單調(diào)遞減區(qū)間為(。,一)，

當(dāng)Ovxvl時(shí)，y=41nx的取值集合為(0,+8),而y=-2工取值集合為(-2,0),

因此函數(shù)/(外在(0,1)I二的值域包含

當(dāng)“21時(shí)，y=alnx的取值集合為(一8,01,而y=-lx取值集合為(-oo,-2),

因此函數(shù)/(1)在口,以)上無(wú)最小值，從而函數(shù)/(<)的值域?yàn)镽,BPz=/U)eR,g&)<0,

不合題意，

②當(dāng)。>0時(shí)，由八用<。得工嗎，由八幻<。得0c4，函數(shù)人幻在%)上單調(diào)遞增，

在弓，+°°)上單調(diào)遞減，

/⑶皿=/(垓)=〃嗚-a,當(dāng)0<x?l時(shí)，y=alnx的取值集合為(-oo,0],

而)，=-2x取值集合為(-2()],因此函數(shù)/*)在((),1]上的值域包含(-=o,0],

此時(shí)函數(shù)/*)的值域?yàn)?t,a嗚一,即f=f(x)e(fa嗚-a],

當(dāng)。嗚—時(shí)，即當(dāng)0vaW2e時(shí)，冢/)之()恒成立，符合題意，

當(dāng)aln]—a>0時(shí)，即當(dāng)。>2e時(shí)，/)=miir?ln^-67,/0>,結(jié)合圖象可知，g&)<。，不合

題意，

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為。2e].

故答案為：(0,2e]

題型四指對(duì)數(shù)同構(gòu)

例7.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知不等式--小<3+1門(mén)在區(qū)間(。工2]上有解，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是()

A.(O,-HX>)B.(l-e，,+8)

C.(l-e2,+oo)D.(1,-KOI

【答案】B

【分析】將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)/。)=比',利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

-出在(od]上有解，構(gòu)造函數(shù)g*)=i-叱，利用導(dǎo)數(shù)法