微重點(diǎn)5不等式的綜合問(wèn)題

不等式是高考的必考內(nèi)容，作為解題的工具，常與函數(shù)、數(shù)列、平面向量、解析匚何等

相結(jié)合，涉及最值、范圍、函數(shù)的性質(zhì)等等，旨在考查學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)及應(yīng)用

例1(多選)(2022,江蘇七市調(diào)研)若。>匕>0>0,則()

.cccb-ch

A.->TB.------->一

aba-ca

C.(f>bcD.a-c>2yj—bc

答案ABD

缸±二cc(b—a)c

解析廠廠匚L，

*/a>b>0>c,/.ab>0,b—a<0,c<0,

.(b-a)c

,*ab>0,

?,?宗故A正確；

b-cba(b—c)—b(a—c)(b—a)c

a~ca(a—c)a(a-c)a

?；a>b>0>c,

c>0,?>0,b-a<0,c<0,

?色二嗎

A—故B正確；

a-ca

設(shè))，=/,當(dāng)eV)時(shí)，y=/在(0,+8)上單調(diào)遞減，

：.(f<b(,故C錯(cuò)誤：

a>b>()>ctA—c>0,

/.a-c>b—c=b~\~(—c)22y-be,

當(dāng)且僅當(dāng)人=一。時(shí)取等號(hào)，

:.a-c>2\j-hct故D正確.

規(guī)律方法判斷關(guān)于不等發(fā)命題真假的常用方法

(1)作差法、作商法.

(2)利用不等式的性質(zhì)推理判斷.

(3)利用函數(shù)的單調(diào)性.

(4)特殊值臉證法，特殊值去只能排除錯(cuò)誤的命題，不能判斷正確的命題.

跟蹤演練1(2022?臨川模擬)若實(shí)數(shù)小。滿足不〈/乩則下列選項(xiàng)中一定成立的為()

A.a<bB.43V護(hù)

C.ea~b>\D.In*0

答案D

解析因?yàn)椤?V

所以—a'b=a5(a~b)<0,

顯然aXO,所以a(a—b)<0,

a>0,[?<0,

所以…或，八

a-b<0[a—b>0,

即0<a<b或b<a<0；

若0<a3,則a幼,蘇〈護(hù)，/廠々1>=1,

In^<ln1=0；

若8<a<0,則〃>瓦<?>護(hù),e<,/,>e°=1,

In1<ln1=0；

即一定成立的是選項(xiàng)D.

考點(diǎn)二利用基本不等式求最值

例2(1)(2022?滁州質(zhì)檢)若實(shí)數(shù)小滿足2〃+〃=3(。斗板1)，則自?+昌的最小值為

()

A.6B.4C.3D.2

答案A

解析令2。-1=m，b—1=〃,則/心0,〃>(),

/.mn=2a~\~b—2=I,

??2f/^-w+11^±1.111

*2a-\b-\=m丁n=?乙加丁〃

=2+(/加+〃)

+一26.

=4+一mn

33

--

當(dāng)且僅當(dāng)m=n,2

4,

(2)(多選)(2022?新高考全國(guó)II)若x,y滿足『+9一沖=1，則()

A.x+)WlB.x+y^-2

C.,r2+y2^2D./+爐21

答案BC

因?yàn)榘推r-Q,

解析力WR),

由x2+)2-孫=1可變形為

(x+y)2_]=3孫號(hào)3代丹2

解得-2Wx+yW2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=—1時(shí)，x+y=—2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)，x+y=2,

所以A錯(cuò)誤，B正確;

由『+>2—孫=1可變形為

r+v2

(f+)2)-122-,

解得f+VW2,當(dāng)且僅當(dāng)x=)，=±l時(shí)取等號(hào)，所以C正確;

因?yàn)?+尸一孫=1可變形為

所以x=cos〃+理sin0,y=^^sin0,

因此x2+>,2=cos2/?4-|sin2f?+^^sin6cos0—1+坐sin26-；cos20+；

4.2.3詞弟，2_,

-3+3s,n

所以當(dāng)-，1y=一時(shí)滿足等式，

但是不成立，所以D錯(cuò)誤.

易錯(cuò)提醒利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的條件

(1)一正二定三相等，三者塊一不可；

(2)若連續(xù)兩次使用基本不等式求最值，必須使兩次等號(hào)成立的條件一致，否則最值取不到.

故。+2人的最大值為2也

考點(diǎn)三不等式恒（能）成立問(wèn)題

例3已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+），+3=xy,若對(duì)任意滿足條件的x,y,都有（工+療-a（x+y）

+120恒成立，則實(shí)數(shù)“的取值范圍為.

答案（-8,￥]

解析???正實(shí)數(shù)X,y滿足x+y+3=xy,

而盯?傳￥）2，

…+3]甘今，

???（x+y）2-4（工+），）—1220,

，x+y26或x+yW—2（舍去），

...x+y26.

又正實(shí)數(shù)占y有（x+y）2—a（x+y）+120恒成立，??.aW/+y+-4-恒成立，

x十y

丫+jmin?

令x+）=/（/26）,g0）=f+；,

由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得g⑺在[6,+8）上單調(diào)遞增，

規(guī)律方法（1）解決恒成立問(wèn)題一定要搞清誰(shuí)是自變量，誰(shuí)是參數(shù)，一般地，知道誰(shuí)的范圍，

誰(shuí)就是變量,求誰(shuí)的范圍,誰(shuí)就是參數(shù).

（2）恒（能）成立問(wèn)題，常見(jiàn)方法是分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

跟蹤演練3（2022?泉州質(zhì)檢）關(guān)于x的不等式av2一3+2”20的解集是（一8,4-oo）,川實(shí)數(shù)

。的取值范圍為（）

A惇+8）

B（-8,9]

［邛用

D.（-8,一乎［U凈+8）

答案A

解析不等式aF-kl+ZaNO的解集是（-8,4-oo）,

即對(duì)于av2—|x|+2a20恒成立，

即心是

當(dāng).1=0時(shí)，。20,

當(dāng)xW0時(shí)’67>P+2=~7*

國(guó)+而

當(dāng)且僅當(dāng)工=地時(shí)，等號(hào)成立,

所以心坐,

綜上所述，［乎，+°°）.

考點(diǎn)四不等式與其他知識(shí)交匯的最值問(wèn)題

例4（2022?全國(guó)甲卷）已知AABC中，點(diǎn)。在邊8c上，NAO8=120。，AD=2,CD=2BD.

當(dāng)能取得最小值時(shí)，BD=

答案V3-1

解析設(shè)BD=k(k>U),

則CD=2k.

根據(jù)題意作出大致圖形,如圖.

在△ABO中，由余弦定理得AB2=AD2-\-BD2-2ADBDcosZADB=22+Ar-2X2Z:.

+2Z+4.

在△AC。中，由余弦定理得AC2=4D2+cD2-2Ao.cz)cos/AOC=22+(262-2X2X2kE=

4斤一軟+4,

口“243一軟+4

則祈上+2A+4

4(5+24+4)—12及一12

S+2A+4

_.12(4+1),12/+I)

—4F+2Z+4―4儀+?+3

12

二4------------

33

??“+1+4225（當(dāng)且僅當(dāng)女+1=小，即仁小一1時(shí)等號(hào)成立）,

KI1KI1

喘2-旨I小=（小一",

ACL

???當(dāng)器取得最小值小一1時(shí)，

BD=k=^-\.

規(guī)律方法當(dāng)基本不等式與其他知識(shí)相結(jié)合時(shí)，往往是提供一個(gè)應(yīng)用基本不等式的條件，然

后利用常數(shù)代換法求最值.

跟蹤演練4如圖所示，一套組合玩具需在一半徑為3的球外罩上一個(gè)倒置圓錐，則圓錐體

積的最小值為（）

A.64幾B.407t

C.84兀D.72兀

答案D

解析設(shè)母線與底面的夾角為2a,底面半徑為R,內(nèi)切球半徑r=3,圓錐的高為兒

則R=-^—=-^-

tanatana

36

h=Rtan2?=.t?a^na,-tan2a—~1~—i;~an~-?

圓錐的體積高)2xW忑=18兀義訴士高而,

而0。<2。<90。，00<a<45°,

所以0<(ana<I,I—tan2a>0,

又因?yàn)閠an2a+(l—tan2a)=1為定值，

所以tan-a(l-tan2a)W(----------------------J=4,

當(dāng)且僅當(dāng)(an?a=1—tan'”,

即tana=當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

此時(shí)Vmin=187rx1=72n.

4

專題強(qiáng)化練

1.(2022?宜賓質(zhì)檢)已知?！辏垡?,1］,不等式r+m-Gx+d—ZaX)恒成立，則x的取值范圍

為()

A.(—8,2)U(3,+8)

B.(一8,i)u(2,+8)

C.(一8,1)U(3,+8)

D.(1,3)

答案C

解析令2)4+./—4x+4,

則不等式.~+(〃-4)工+4—24>0恒成立轉(zhuǎn)化為/(〃)>()在1,1］上恒成立.

一(x—2)+/一4x+4>0,

即《、

x—2~\~x*—4x+4>0,

f-5x+6>0,

整理得解得x<l或心>3.

x2—3x+2>0,

???x的取值范圍為(一8,1)U(3,+8).

1.

(iY-

已知?dú)饬?，則下列結(jié)論不正確的是(

2.1>2)

A.ab>crB.b2>a2

C.]n（-%]n（一￡）D.護(hù)>/

答案D

解析原不等式可化為2〃<2"<2。，

因?yàn)閥=2'在R上單調(diào)遞增，所以Xa<0,

所以cib>（r,-b>—a>0,故A正確；

（~b）2>（—a）2,即從>島故B正確;

不等式一〃>-a>0兩邊同時(shí)除以ah得

因?yàn)閥=lnx在（0,+8）上單調(diào)遞增，

所以ln（—3，故C正確；

因?yàn)椋?2為增函數(shù)，所以〃<〃，故D錯(cuò)誤.

3.（2022?常州質(zhì)檢）已知函數(shù)段）=）一口一1,當(dāng)[0,3]時(shí)，|/3區(qū)5恒成立，則實(shí)數(shù)G的取

值范圍是（）

A.[1,+°°）B.（—8,4]

C.[1,4]D.（1,4]

答案C

解析???|/U）|W50—5We—ar—lW5,

①當(dāng)x=0時(shí)，a￡R；

64

②當(dāng)時(shí)，（）一依一

xWO[/x|W50-5Wf1人人

KW4.

4.（2022?石家莊模擬）已知雙曲線C：a一方=1（。>0,。>。）的左焦點(diǎn)為R，離心率為e，直線

）=依（女工0）分別與雙曲線C的左、右兩支交于點(diǎn)M,N.若△MFW的面積為小，NMRN=60。,

則/+3々2的最小值為（）

A.2B.3C.6D.7

答案D

解析如圖，連接NB,M6,由對(duì)稱性可知，四邊形MBNB為平行四邊形，

故|N戶2l=|MQ|,\NFi\=\MF^

令|N&|=|ME|=/,

???|N尸i|=2+r,

,*S&MF、N=3（2。+/>2=小，

:.2a/+?=4.①

又在△NQB中，由余弦定理得

即4C2=4?2+66Z/+3/2.②

由①②得/=/+3,

/.^+3?2=^+3a2=1+京+3〃221+6=7,

當(dāng)且僅當(dāng)層=1,即。=1時(shí)等號(hào)成立.

5.（多選）（2022?淄博模擬）已知2。=3b=6,則°,〃滿足（）

A.a>b

ab

C.ab>4D.。十。>4

答案ACD

解析由2“=3〃=6,

則。=log26,/?=logs6,則a>0,/?>(),

-

所以a—b=log26—log36=i14]^3

1g6(lg3-lg2)

=---怛2小，3----->(),故選項(xiàng)A正確；

^+1=log62+log63=1,故選項(xiàng)B不正確；

由(因?yàn)樵L勺人所以等號(hào)不成立)，則">4,故選項(xiàng)C1E確；

a+6=(a+/?)(｝+§=2+g+|>2+2\^1=4(因?yàn)椤?尻故等號(hào)不成立)，故選項(xiàng)D正確.

6.(多選)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛如｝中，已知｛〃〃｝的公比為g,且的+。7=16,則()

A.。5>8

B.log2a2+log2,8W6

C.若Ovqvl,則?4+?6<16

D.若q>l,則〃4+。6>16

答案BC

解析因?yàn)?>0,

所以m=田7《的：”）=64,

當(dāng)且僅當(dāng)。3=。7=8時(shí)，取等號(hào)，

所以diW8,故A不正確；

10g2?2+10g2?8=10g2（t/2?8）

=log233a7）wlog2（“':"｝

=log264=6,

當(dāng)且僅當(dāng)G=m=8時(shí)，取等號(hào)，故B正確；

內(nèi)+的一。4一。6=。3（1一夕）一。6（1一夕）

=（的-6）（1—辦

當(dāng)0<gvl時(shí)，｛〃〃｝單調(diào)遞減，

則ay—俏>0,（1—<?）（。3—?5）>0,

則。4+。6<16；

當(dāng)q>\時(shí)，｛斯｝單調(diào)遞增，

。3一。6<0，（1一夕）（。3—。6）>0，

則出+恁<16,故C正確，D不正確.

7.已知實(shí)數(shù)x,y滿足心少0,且工+/2,則一七的最小