第2講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

［考情分析］高考對(duì)此部分的考查，?是空間線面關(guān)系的命題的真假判斷，以選擇題、填空

題的形式考查，屬于基礎(chǔ)題；二是空間線線、線面、面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，一

般以選擇題、填空題或解答題的第（1）問(wèn)的形式考杳，屬中檔題.

考點(diǎn)一空間直線、平面位置關(guān)系的判定

【核心提煉】

判斷空間直線,、平面位置關(guān)系的常用方法

（1）根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷，解決問(wèn)題.

（2）必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體、四面體等模型中觀察線、面的位置關(guān)系，并

結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行判斷.

例1（1）（多選）已知所，〃是兩條不同的直線，Q，尸是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的

是（）

A.若mUa,nU.,則加〃〃

B.若機(jī)_La,“?〃〃，〃_!_￡,則a〃夕

C.若al。，mUa,nC.fi,則

D.若機(jī)_La,/7,〃〃￡,貝Ia_L//

答案BD

解析A選項(xiàng)，兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線，可能平行，或者異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，若m±a,nA-py則直線加，n對(duì)應(yīng)的方向向量m,〃可看作a/的法向量，由于m//nt

又a,夕是兩個(gè)不同的平面，則a〃夕，故B選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)，若兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩人平面交線的直線才垂直于另一個(gè)平

面，從選項(xiàng)中無(wú)法判斷小，〃和交線的位置關(guān)系，因此機(jī)，〃可能相交但不垂直，平行，異面

但不垂直，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，若〃仁0,又mA.a,根據(jù)面面垂直的判定定理，即有a邛,若相邛,由于m//n,"〃夕,

則機(jī)〃小過(guò)加任作一個(gè)平面，使其和￡相交于直線c,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，m//cf

又〃?_La,則c_La,結(jié)合cU夕，即1_1_夕，故D選項(xiàng)正確.

（2）（多選）（2022?金麗衢十二校聯(lián)考）每個(gè)面均為正三角形的八面體稱為正八面體，如圖.若點(diǎn)

G,H,M,N分別是正八面體ABC。石廠的楂OE,BC,AD,/冰的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的

是（）

A.四邊形AECr是平行四邊形

B.G〃與MN是異面直線

C.G”〃平面E4B

D.GHLBC

答案AC

解析連接AC,EF,BD.MH,EH,EM.則AC與￡尸相交且相互平分，故四邊形AEC”

為平行四邊形，故A正確；

所以A￡〃。尸.又G,H,M,N分別是正八面體A8CQEP的棱?！?BC,AD,8廠的中點(diǎn)，

所以GM〃AE,NH//CF,

且GM=1E,NH=；CF,

所以GM〃N”，且GM=NH,

所以四邊形MNHG是平行四邊形，故B錯(cuò)誤；

易證平面MM/G〃平面EAB,

又G”u平面MNGH,

所以G”〃平面￡48,故C正確；

因?yàn)镋〃_L4C,MHBC,EHCMH=H,

所以平而EMH,

而G爾平面EM”，GHC\EH=H,

所以G”與BC不垂直，故D錯(cuò)誤.

規(guī)律方法對(duì)于線面關(guān)系的存在性問(wèn)題，一般先假設(shè)存在，然后再在該假設(shè)條件下，利用線

面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足，則假設(shè)成立；

若得出矛盾，則假設(shè)不成立.

跟蹤演練1（1）（多選）（2022?湖南師大附中模擬）在長(zhǎng)方體ABC。-AiBiG。中，直線41c與

平面的交點(diǎn)為M,。為線段囪。的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.A,M,。三點(diǎn)共線

B.M,O,Ai，A四點(diǎn)共面

C.B,Bi，O,M四點(diǎn)共面

D.A,O,C,M四點(diǎn)共面

答案ABD

解析如圖，因?yàn)锳4i〃CG,貝lA,A”Ci,C四點(diǎn)共面.

因?yàn)镸W4C,所以ME平面4CG4,又MW平面A⑶?！?，則點(diǎn)M在平面ACG4與平面

ABiDi的交線上，

同理，O,A也在平面ACGA與平面AS。的交線上,

所以A,M,O三點(diǎn)共線，從而M,O,4,A四點(diǎn)共面，A,O,C,M四點(diǎn)共面.

由長(zhǎng)方體性質(zhì)知，0M,是異面直線，即B,Bi,。，M四點(diǎn)不共面.

(2)設(shè)點(diǎn)E為正方形ABC。的中心，M為平面ABCD外一點(diǎn)，△MA6為等腰直角三角形，且

NMA8=90。，若產(chǎn)是線段M8的中點(diǎn)，則()

A.ME^DF,且直線。尸是相交直線

B.ME=DF,且直線ME。產(chǎn)是相交直線

C.ME于DF,且直線用￡。尸是異面直線

D.ME=DF,且直線ME,。尸是異面直線

答案B

解析連接EE

如圖所示,

由題意知48_LA￡>,

ABA.AM,AM=AD,

AB=AB,

則口△8AM也RtZ\B4。,

所以BM=BD,

???8G_L平面AB}C.

(2)如圖，取AA的中點(diǎn)居連接DF,EF,

???四邊形AAGC為矩形，E,尸分別為CC,A4的中點(diǎn),

：.EF//ACf又￡72平面A6C,AO-平面A5C,

???EF〃平面A8C,

同理可得。尸〃平面48C,

?:EFCDF=F,EFU平面OE/，。尸u平面OER.?.平面。后/〃平面A8IC,

???DEU平面DEF,???。石〃平面AB\C.

規(guī)律方法(1)證明線線平行的常用方法

①三角形的中位線定理；②平行公理；③線面平行的性質(zhì)定理；④面面平行的性質(zhì)定理.

(2)證明線線垂直的常用方法

①等腰三角形三線合一；②勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質(zhì)證線線垂直.

跟蹤演練2(2022?西安模擬)如圖，在直三棱柱ABC-AiB\C\中，M,N分別是線段A\B,

AG的中點(diǎn).

⑴求證：MNLAAi；

(2)在線段BG上是否存在一點(diǎn)尸，使得平面MNP//平面ABC?若存在，指出點(diǎn)P的具體位

置：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑴證明連接AC,如圖，因?yàn)樵谥比庵鵄BC-A由Ci中，A4GC為平行四邊形，

故AC和4G相交，且交點(diǎn)為它們的中點(diǎn)N,

又因?yàn)镸為A用的中點(diǎn)，

所以A/N為△人出。的中位線，

所以MN//BC.

因?yàn)?A|_L平面ABC,8CU平面ABC,

所以4A_LBC,所以

即MNLAAi.

⑵解存在，當(dāng)P為8G的中點(diǎn)時(shí)，

平面MNP〃平面ABC.

連接尸N,尸M,如圖，

因?yàn)镹為AG的中點(diǎn)，尸為BG的中點(diǎn),

所以PN//AB,

又PNQ平面ABC,

4BU平面ABC,

所以PN〃平面ABC,

又由（1）知MN〃3C,3CU平面A3C,

MMI平面ABC,故A/N〃平面ABC,

又MNCPN=N,MN,PNU平面PMN,

所以平面MNP//平面ABC.

考點(diǎn)三翻折問(wèn)題

【核心提煉】

翻折問(wèn)題，關(guān)鍵是分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變，一般地，位于“折痕”

同側(cè)的點(diǎn)、線、而之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位

置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化；對(duì)于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖

形中解決.

例3（1）（2022?南寧模擬）已知正方形A8CO中E為48中點(diǎn)，H為AD中點(diǎn),F,G分別為

BC,C。上的點(diǎn)，CF=2FB,CG=2GD,將△ABD沿著8。翻折得到空間四邊形A18CD,則

在翻折過(guò)程中，以下說(shuō)法正確的是（）

A.EF//GHB.E尸與G"相交

C.E尸與G”異面D.EH與FG異面

答案B

解析如圖，由C尸=2/況CG=2GD,

2

得FG//BD且FG=^BD,

由E為AB中點(diǎn)，H為AD中點(diǎn)，

得EH//BD且EH=；BD,

所以EH〃FG,且EHRFG,

所以四邊形EFG”為梯形.

梯形EFG”的兩腰EF,HG延長(zhǎng)必交于一點(diǎn)，

所以EF與GH相交，EH與尸G平行,

故選項(xiàng)A,C,D不正確，選項(xiàng)B正確.

（2）（多選）（2022?山東名校大聯(lián)考）如圖，在矩形/1BCD中,AB=2AD,E為邊人8的中點(diǎn),將&WE

沿直線DE翻折成若M為線段4c的中點(diǎn)，則在石翻折的過(guò)程中，下面四個(gè)命

題中正確的是（）

A.的長(zhǎng)是定值

B.點(diǎn)W的運(yùn)動(dòng)軌跡在某個(gè)圓周上

C.存在某個(gè)位置，使。E_L4C

D.A不在底面OC。上時(shí)，A/4〃平面八QE

答案ABD

解析如圖所示，取CQ的中點(diǎn)凡

連接MF,BF,AC,

A

M

AEB

易得M尸〃4。，BF//DE,

?.?“網(wǎng)平面AQE,AQU平面AIOE,

.??M”〃平面4OE,

同理可得BF〃平面AiDE,

又M廣A8F=F,MF,BFU平面BMF,

???平面〃平面AiDE,

「BMU平面BMF,

???8M〃平面4OE,D選項(xiàng)正確；

又NBFM=NAiDE,

M〃=）|O=定值，BF=DE=定值,

由余弦定理知，

MB2=MF?+BF2-2MF?BFcosZMFB,

???BM為定值，A選項(xiàng)正確；

???點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡在以點(diǎn)B為圓心，8W為半徑的圓周上，B選項(xiàng)正確；

???AC在平面4BCD中的射影在直線4C上，且AC與。E不垂直，

???不存在某個(gè)位置，使OEJ_AiC,C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

易錯(cuò)提醒注意圖形翻折前后變與不變的量以及位置關(guān)系.對(duì)照前后圖形，弄清楚變與不變

的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系云探求變化后的元素在空間中的位置

與數(shù)量關(guān)系.

跟蹤演練3（多選妝口圖，在矩形A4c。中，BC=1,AB=x,8。和AC交于點(diǎn)。，將ABAO

沿直線BO翻折，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.存在上,在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得A8_L0C

B.存在x,在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得ACJ_B。

C.存在x,在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得A8_L平面ACO

D.存在x,在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得4C_L平面A4Q

答案ABC

解析當(dāng)AB=%=1時(shí)，此時(shí)矩形A8CO為正方形，則力C_L8Q,

將△840沿直線3。翻折，當(dāng)平面43。_L平面4c。時(shí)，

因?yàn)镺CLBD,0CU平面BCD,平面人8DA平面BCD=BD,

所以O(shè)C_L平面八以），又仁平面A8Z）,

所以A8_L0C,故A正確；

又0C1BD,OAA.BD,J.OAQOC=O,OA,OCU平面OA。，

所以B/）_L平面OAC,又八CU平面OAC,所以人C_LBO,故B正確；

在矩形A8CO中，AB1AD,ACRl+V

所以將△84。沿直線BO翻折時(shí)，總有AB_LAO,

取x=g,當(dāng)將△氏W沿直線即翻折到小。=坐時(shí)，有AB2+AC2=8C2,

即48J_AC,且ACO4O=A,AC,AOU平面AC。，則此時(shí)滿足48，平面AC。，故C正確；

若4CL平面AB。，

又AOU平面A8O,則AC_LAO,

所以在△AOC中，OC為斜邊，這與OC=O人相矛盾，故D不正確.

專題強(qiáng)化練

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2022?龍巖質(zhì)檢）已知三條直線mh,c,若。和b是異面直線，6和。是異面直線，那么

直線。和c,的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.異面D.平行、相交或異面

答案D

解析畫圖分析可知空間直線的三種位置關(guān)系均有可能，故D正確.

2.（2022.湖北八市聯(lián)考）設(shè)a,6為兩個(gè)不同的平面，則a〃6的-一個(gè)充要條件可以是（）

A.a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與用平行

B.4垂直于同一個(gè)平面

C.?,“平行于同一條直線

D.a,/?垂直于同一條直線

答案D

解析對(duì)于A,a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與Q平行不能得出a〃外。內(nèi)的所有直線與〃平行才能得

出，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,C,a,￡垂直于同一平面或a,4平行于同一條直線，不能確定a,￡的位置關(guān)系，

故B,C錯(cuò)誤：

對(duì)于D,明〃垂直于同一條直線可以得出a〃夕，反之，當(dāng)?！ㄊ瑫r(shí)，若a垂直于某條直線，

則尸也垂直于該條直線.

3.正方體上的點(diǎn)M,N,P,Q是其所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中直線MN與直線PQ是異

面直線的圖形是（）

答案B

解析對(duì)于A,易證MQ4NP,所以A不符合題意;

對(duì)于B,如圖，因?yàn)槠矫鍭BC?！ㄆ矫?/p>

WNU平面AAiGOi,PQU平面4BC。，

所以MN與PQ無(wú)公共點(diǎn)，

因?yàn)镸N與PQ不平行.

所以MN與PQ是異面直線，所以B符合題意；

對(duì)于C,易證PM//NQ,所以C不符合題意；

對(duì)于D,易證MN〃0Q,所以D不符合題意.

4.（2022?華中師大附中模擬）如圖，在正方體A4CO—4由CQ中，P是4。的中點(diǎn)，則下列

說(shuō)法正確的是（）

A.直線PB與直線小C平行，直線PB_L平面4G。

B.直線PB與直線4c異面，直線PB_L平面AQGS

C.直線03與直線相交，直線P3U平面A3G

D.直線尸B與直線4。匪直，直線P8〃平面BIQIC

答案D

解析如圖，連接08,AB,OS,DiC,BCPB,AC,DCi,AS,

由正方體的性質(zhì)知，

A}B//DsC,

又44與P8相交，

所以P8與小。不平行，故A錯(cuò)誤；

顯然，直線PB與直線AC異面，直線48_L平面AOGBi,

而直線。8與A出不平行，

所以直線夕4不與平面AQC囚垂直，故B錯(cuò)誤；

直線尸8與直線Bi。異面，不相交，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?4=8。，P是4。的中點(diǎn)，

所以直線04與直線4。更直，

又DB//DB,A\B〃D\C,

O的平面BMC,D網(wǎng)平面囪DC,

AiBCDB=B,AiB,Q8U平面3DAi,

DCDC<=平面>DC,

所以平面8D4〃平面&DC

又P8U平面BOA,

所以直線P/3〃平面BIOIC,故D正確.

5.如圖，在四邊形48CO口，AD//BC,AD=AB,NBCD=45。，NR4O=90。，將△AB。沿

8。折起，使平面A3。_L平面BCD,構(gòu)成三棱錐A—8CD,則在三棱錐A—8C。中，下列結(jié)

論正確的是（）

A.平面ABOJ_平面ABC

B.平面AOC_L平面8OC

C.平面A8C_L平面8OC

D.平面ADC_L平面ABC

答案D

解析如圖所示，因?yàn)?D〃BC,N84O=90。，AD=AB,

所以四邊形A4C。為直角梯形.

且NABD=NADB=ZD5C=45°.

又因?yàn)镹8CD=45。，

所以NC￡>8=90。，即CO_LBO.

又因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD,

平面A8QCI平面BCD=BD,

CDU平面BCD,CD1BD,

所以CQ_L平面ABD,

若平面A8C_L平面48。，那么CQU平面4BC,顯然不成立，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)镃D_L平面ABD,A8U平面A8O,

所以CDLAB.

又A8_LAO,ADQCD=D,AD,CQU平面A。。，

所以AB_L平面AOC.

又因?yàn)锳BU平面ABC,

所以平面ABCJ_平面AOC,故D正確；

因?yàn)槠矫?BO_L平面8CQ,過(guò)點(diǎn)A作平面3co的垂線4E,垂足￡落在8。上，顯然垂線不

在平面48c內(nèi)，所以平面44c與平面3QC不垂直，故C錯(cuò)誤，同理B也錯(cuò)誤.

6.（2022?中山模擬）如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A\BiCiDi中，過(guò)6出且與6G平行的

平面交所G于點(diǎn)P,則尸。等于（）

C.^2

答案D

解析連接ABi,交AiBq點(diǎn)Q,連接以I,PB,PQ,如圖所示.

因?yàn)锳G〃平面A山P,

ACU平面4BiG,

且平面ABiGC平面MBP=PQ,

所以AG〃PQ,又點(diǎn)。是ABi的中點(diǎn)，

所以P是小G的中點(diǎn)，

所以PCi=l.

二、多項(xiàng)選擇題

7.(2022?邵陽(yáng)模擬)如圖，在空間四邊形4BCD中,E,尸分別為AB,AO的中點(diǎn)，G,H分別

在BC,CD上，且8G：GC=DH:HC=1：2,貝ij()

A.8?！ㄆ矫鍱G"/7

B."7〃平面人8C

C.AC〃平面反汨產(chǎn)

D.直線GE,HF,AC交于一點(diǎn)

答案AD

解析因?yàn)锽G：GC=DH:HC,

所以GH//BD.

又E,〃分別為A8,A。的中點(diǎn)，

所以E7"BO,且EF=4BD,所以E產(chǎn)〃G”.

易知〃平面EG/7F,尸”與AC為相交直線，即A正確，B,C錯(cuò)誤;

因?yàn)镋F”G為梯形，所以EG與產(chǎn)〃必相交，設(shè)交點(diǎn)為M,

因?yàn)镋GU平面A3C,平面ACO,

則M是平面ABC與平面ACD的一個(gè)交點(diǎn)，

所以M￡AC,即直線GE,HF,AC交于一點(diǎn)，

所以D正確.

8.如圖1,已知E為正方形A8CO的邊A8的中點(diǎn)，將△以￡沿邊。E翻折到△PDE,連接

A.存在某一翻折位置，使得。七〃平面PBC

B.在翻折的過(guò)程中(點(diǎn)P不在平面8CQE內(nèi))，都有8尸〃平面PDE

C.存在某一翻折位置，使得尸￡_LCD

D.若PD=CD=PC=4,則三棱錐尸一。。后的外接球的表面積為華

答案BCD

解析對(duì)于A選項(xiàng)，取OC的中點(diǎn)G,連接BG,因?yàn)锽E//GD,。石=。。，所以四邊形DEBG

為平行四邊形，所以O(shè)E/'GB,而8G與平面PBC相交，所以DE與平面P8C相交，故A

錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，連接卜G,則NG〃尸。，由D七〃G6,易證平面8NG〃平面￡7〃人而4NU平面

BFG,所以8r〃平面PDE,故B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)镻E_LP。，要使得PE_LCO,貝ij尸石_1_平面PCO,貝iJPE_LPC,而EC=ED,

此時(shí)，只需要PC=尸。即可，故C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，由PO=CD=PC=4可知，

。七_(dá)1_平面PC。，PE=2,

設(shè)的外接圓半徑為r,

設(shè)三棱錐P—CQE的外接球半徑為R,

則R2=，+(^)2=(￥)+I=￥，所以三棱錐P-COE的外接球的表面積為47次2=華,

故D選項(xiàng)正確.

三、填空題

9.己知/是平面"，』外的直線，給出下列三個(gè)論斷；①/〃四②a工花③2_L/7.以其中兩個(gè)

論斷為條件，余下的論斷為結(jié)論，寫出一個(gè)正確命題：.（用序號(hào)表示）

答案若①③，則②或若②③，則①（填寫一個(gè)即可）

解析因?yàn)楫?dāng)/〃a,時(shí)，/與4可能平行或者相交，所以①?作為條件，不能得出③；

因?yàn)閘//at所以a內(nèi)存在一條直線〃?與/平行，又1邛,所以加_L。，所以可得。_1小即①③

作為條件，可以得出②；

因?yàn)閍J_.,所以/〃a或者/Ua,因?yàn)?是平面a外的直線，所以/〃叫即②③作為條

件，可以得出①.

10.三棱錐A-8C。中，AB=CD=\,過(guò)線段8c的中點(diǎn)E作平面EFG”與直線AB,CD都

平行，且分別交8。，AD,AC于F,G,H,則四邊形EPG”的周長(zhǎng)為.

答案2

解析因?yàn)?8〃平面EFG”,平面A8CA平面E尸G”=E”，A8U平面ABC,

所以又點(diǎn)、E為BC中點(diǎn)、,所以石，為△48C的中位線，故石”=/^=/

同理，EF=FG=GH=3,

所以四邊形EFG”的周長(zhǎng)為2.

11.己知三棱臺(tái)ABC—A/iC的_￡、下底面均為正三角形，AB-\,A1i-2,側(cè)棱氏AA］一

BBi=CG，若則此棱臺(tái)的高為.

答案乎

解析由已知可得該三棱臺(tái)為正三棱臺(tái)，

P

還原成棱錐如圖所示，由于下底邊長(zhǎng)是上底邊長(zhǎng)的兩倍，

???大棱錐的高為棱臺(tái)的高的兩倍，取的中點(diǎn)。，BiG的中點(diǎn)連接尸。，DDi,AD,

Ai。，O,Oi分別是上、下底面的中心，連接尸。，OO］.

易知P,D,A三點(diǎn)共線，P,O,0］三點(diǎn)共線.

OOi即為該棱臺(tái)的高.

由正棱臺(tái)性質(zhì)可得8C"L產(chǎn)"，BC工PO,

POQPD\=P,

PO,PQ|U平面PDA,

：?BC_L平面PGA,RhU平面面D[A],

又???A4I_L8BI,

BB\CBC=B,BBi,8CU平面。81G,

故44_L平面PBiCi,

：.A]P±PDi.

==

又AB19A\B\2,

i92

AD再AB=呼,

。0=%。=乎=001.

12.如圖，把邊長(zhǎng)為"的正方形48CO沿對(duì)角線8。折起，使A,。的距離為小則異面直線

AC與BD的距離為.

答案f

解析如圖，分別取4C,8。的中點(diǎn)S,E,連接4七，CE,SB,SD,SE.

則AE_LBO,CE上BD,

又AEACE=E,AE,CEU平面ACE,

則RDI平面ACE,則SEIRD,

ACJ_S。，ACA.SB,

又SDCSB=S,SD,SBU平面5B。，

則ACL平面SB。，則SE_LAC,

則S￡是異面直線AC與BD的公垂線段,

在△S8D中，SB=SD=g~a,BD=?i,

則

則異面直線AC與3。的距離為與

四、解答題

13.(2022?全國(guó)乙卷)如圖，四面體ABCD中，AD1CD,AD=CD,NADB=NBDC,E為

AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面8EQ_L平面4CZ)；

(2)設(shè)A8=8Q=2,/ACB=60。，點(diǎn)”在8。匕當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求三棱錐/一A8C

的體積.

⑴證明因?yàn)锳O=CD,E為AC的中點(diǎn)，所以ACLOE.

在△AQB和△CQ8中，因?yàn)锳Q=CZ),ZADB=ZBDC,DB=DB,

所以△AQB絲△C。。，所以ZM=8C,

又七為AC的中點(diǎn)，所以AC_L8E

因?yàn)锽ECDE=E,且BE,。&=平面8E。，所以AC_L平面8EO,

又ACU平面ACQ,

所以平面平面ACD.

⑵解由⑴可知84=8C,又因?yàn)镹AC8=60。，A8=2,所以△ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，

則AC=2,BE=事,AE=\.

因?yàn)锳O=CQ,ADLCD,所以△8/)(?為等腰直角三角形，所以。E=l.

又BD=2,所以B?=BE?+DE,

所以DE上EB.

連接E"圖略)，易知當(dāng)△△人?的面積最小時(shí)，E尸取最小值，

在RI△鹿D中，夕"的最小值為E到5。的距離，故當(dāng)XAFC的面積最小時(shí)，石尸="^=里.

DU2

2

由射影定理知EF=DFFBt

又D