第第頁第27講解直角三角形【2大考點12大題型】考點一考點一銳角的三角函數(shù)【題型1求角的三角函數(shù)值】1．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知CD=2，AC=3，則sinB的值是（

A．23 B．32 C．34【答案】C【分析】本題考查了直角三角形的性質、銳角三角函數(shù)定義的應用，解此題的關鍵是求出AB的長．根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質求出AB，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出sinB=【詳解】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，CD=2∴AB=2CD=4，∵AC=3，∴sinB=故選：C．2．（2024·四川瀘州·中考真題）寬與長的比是5?12的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調、勻稱的美感．如圖，把黃金矩形ABCD沿對角線AC翻折，點B落在點B′處，AB′交CD于點EA．55 B．12 C．35【答案】A【分析】本題考查了折疊的性質，矩形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，三角函數(shù)等知識點，利用黃金比例表示各線段的長是解題的關鍵．設寬，根據(jù)比例表示長，證明△ADE≌△CB′E【詳解】解：設寬為x，∵寬與長的比是5?1∴長為：x5由折疊的性質可知，AD=BC=B在△ADE和△CB∠AED=∠AEB∴△ADE≌△CB∴AE=CE，∴AE+DE=DC=5設DE=y，在Rt△ADE中，x變形得：yxAD=2y，AE=y∴sin∠DAE=故選A．3．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E在DC上，把△ADE沿AE折疊，點D恰好落在BC邊上的點F處，則cos∠CEF的值為（

A．74 B．73 C．34【答案】A【分析】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，求角的三角函數(shù)等知識點，正確利用折疊的性質是解題的關鍵．根據(jù)折疊的性質，可求得AF=AD=8，EF=DE，從而求得BF，CF，在Rt△EFC中，由勾股定理，得E【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，DC=AB=6，∵把△ADE沿AE折疊，點D恰好落在BC邊上的點F處，∴AF=AD=8，EF=DE，∴BF=A∴CF=BC?BF=8?27在Rt△EFCCE=DC?DE=6?EF，由勾股定理，得EF∴EF∴EF=32?8∴CE=6?32?8∴cos故選：A．4．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，點M，N分別在邊BC，AD上．連接MN，將四邊形CMND沿MN翻折，點C，D分別落在點A，E處．則tan∠AMN的值是（

A．2 B．2 C．3 D．5【答案】A【分析】連接AC交MN于點F，設AB=2m，則BC=2AB=4m，利用勾股定理求得AC=AB2+BC2=25m，由折疊得到AM=CM，MN垂直平分AC，則AF=CF=【詳解】解：連接AC交MN于點F，設AB=2m，則BC=2AB=4m，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴AC=∵將四邊形CMND沿MN翻折，點C，D分別落在點A，E處，∴點C與點A關于直線MN對稱，∴AM=CM，MN垂直平分AC，∴BM=BC?CM=4m?AM，∠AFM=90°，AF=CF=1∵AB∴2m∴AM=5∴MF=∴tan∠AMN=故選：A．【點睛】此題考查矩形的性質、翻折變換的性質、勾股定理、解直角三角形等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵．【題型2由角的三角函數(shù)值求邊長】1．（2023·四川宜賓·中考真題）《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓術”．如圖，AB是以點O為圓心、OA為半徑的圓弧，N是AB的中點，MN⊥AB．“會圓術”給出AB的弧長l的近似值計算公式：l=AB+MN2OA．當OA=4，

A．11?23 B．11?43 C．8?23【答案】B【分析】連接ON,根據(jù)等邊三角形的性質，垂徑定理，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)，后代入公式計算即可．【詳解】連接ON，根據(jù)題意，AB是以點O為圓心、OA為半徑的圓弧，N是AB的中點，MN⊥AB，

得ON⊥AB，∴點M，N，O三點共線，∵OA=4，∠AOB=60°，∴△OAB是等邊三角形，∴OA=AB=4,∠OAN=60°，∴l(xiāng)=AB+M故選B．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，垂徑定理，勾股定理，特殊角的函數(shù)值，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．2．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=5，tan∠C=2，則AC+55

【答案】5【分析】過點B作BD⊥AC，垂足為D，如圖所示，利用三角函數(shù)定義得到AC+55BC=AC+DC，延長DC到E，使EC=CD=x，連接BE，如圖所示，從而確定AC+55BC=AC+DC=AC+CE=AE，∠E=45°，再由輔助圓-定弦定角模型得到點E在⊙O上運動，AE是⊙O的弦，求【詳解】解：過點B作BD⊥AC，垂足為D，如圖所示：

∵tan∠C=2∴在Rt△BCD中，設DC=x，則BD=2x，由勾股定理可得BC=∴DCBC=∴AC+5延長DC到E，使EC=CD=x，連接BE，如圖所示：

∴AC+5∵BD⊥DE，DE=2x=BD，∴△BDE是等腰直角三角形，則∠E=45°，在△ABE中，AB=5，∠E=45°，由輔助圓-定弦定角模型，作△ABE的外接圓，如圖所示：

∴由圓周角定理可知，點E在⊙O上運動，AE是⊙O的弦，求AC+55BC的最大值就是求弦AE的最大值，根據(jù)圓的性質可知，當弦AE過圓心O

∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE=90°，∵∠E=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB=5，∴BE=AB=5，則由勾股定理可得AE=AB2+BE故答案為：52【點睛】本題考查動點最值問題，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質、圓的性質、圓周角定理、動點最值問題-定弦定角模型等知識，熟練掌握動點最值問題-定弦定角模型的解法是解決問題的關鍵．3．（2024·山東青島·中考真題）如圖，△ABC中，BA=BC，以BC為直徑的半圓O分別交AB，AC于點D，E，過點E作半圓O的切線，交AB于點M，交BC的延長線于點N．若ON=10，cos∠ABC=35【答案】6【分析】本題主要考查了切線的性質，解直角三角形，等邊對等角，平行線的性質與判定等等，解題的關鍵在于證明∠EON=∠ABC，根據(jù)等邊對等角推出∠A=∠OEC，則可證明AB∥OE得到∠EON=∠ABC，再由切線的性質得到∠OEN=90°，則解Rt△EON求出OE【詳解】解：如圖所示，連接OE，∵OE=OC，∴∠A=∠BCA，∴∠A=∠OEC，∴AB∥OE，∴∠EON=∠ABC，∵MN是⊙O的切線，∴∠OEN=90°，∴在Rt△EON中，cos∴OE=3∴半徑OC的長為6，故答案為：6．4．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，點E在矩形ABCD的邊CD上，將△ADE沿AE折疊，點D恰好落在邊BC上的點F處，若BC=10．sin∠AFB=45，則

【答案】5【分析】利用矩形的性質及折疊的性質可得AD=AF=10，EF=ED，可得AB=AF?sin∠AFB=10×45=8，BF=AF【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC=10，根據(jù)折疊可知，可知AD=AF=10，EF=ED，則，在Rt△ABF中，AB=AF?sin∠AFB=10×∴BF=AF2設DE=x，則CE=CD?DE=8?x，在Rt△CEF中，EF2解得：x=5，即：DE=5，故答案為：5．【點睛】本題考查矩形的性質、折疊的性質、解直角三角形，靈活運用折疊的性質得到相等線段是解決問題的關鍵．【題型3求特殊角的三角函數(shù)值】1．（2022·天津·中考真題）tan45°的值等于（

）A．2 B．1 C．22 D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義：正切=對邊與鄰邊之比，進行求解．【詳解】作一個直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如圖：∴∠B=90°-45°=45°，∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，∴根據(jù)正切定義，tan∠A=∵∠A=45°，∴tan45°=1故選B．【點睛】本題考查了三角函數(shù)，熟練理解三角函數(shù)的定義是解題關鍵．2．（2020·湖南湘潭·中考真題）計算：sin45°【答案】2【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接書寫即可．【詳解】sin45°故答案為：22【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，牢固記憶是解題的關鍵．3．tan30°＝．【答案】3【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接填空．【詳解】解：tan30°=故答案為：3【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．【題型4含特殊角的三角函數(shù)值的混合運算】1．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）計算：??【答案】11【分析】本題考查實數(shù)的混合運算．根據(jù)零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值計算即可得出答案．【詳解】解：?=8+=11．2．（2024·四川瀘州·中考真題）計算：?3【答案】3【分析】本題考查了實數(shù)的運算，絕對值，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的加減運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．先化簡各式，然后再進行加減計算即可解答．【詳解】解：原式=3=3=33．（2024·四川廣安·中考真題）計算：π2【答案】1【分析】先計算零次冪，代入特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值，計算負整數(shù)指數(shù)冪，再合并即可.【詳解】解：π=1+2×=1+=1【點睛】本題考查的是含特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，零次冪，負整數(shù)指數(shù)冪的含義，化簡絕對值，掌握相應的運算法則是解本題的關鍵.【題型5由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀】1．在△ABC中，∠A，∠B都是銳角，且sinA＝12，cosB＝32，則A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．不能確定【答案】B【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A、∠B的度數(shù)，再根據(jù)三角形內角和定理求出∠C即可作出判斷．【詳解】∵△ABC中，∠A、∠B都是銳角，sinA=12，cosB=3∴∠A=∠B=30°．∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣30°﹣30°=120°．故選B2．在△ABC中，∠A，∠B都是銳角，tanA＝1，sinB＝22A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．直角三角形 D．銳角三角形【答案】B【詳解】試題分析：∵△ABC中，tanA=1，sinB=22故選B．3．在△ABC中，∠A、∠B均為銳角，且tanB?3+2cosA．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質求出tanB與cosA的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A、【詳解】解：∵tan∴tanB?3∴tanB=3∴∠B=60°，cosA=32在△ABC中，∠C=180°?60°?30°=90°，且∠A≠∠B，∴△ABC是直角三角形．故選：C．【點睛】本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解題的關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，并充分利用非負數(shù)的性質．4．（2024·江蘇淮安·一模）在△ABC中，若cosA?22+1?tanB2=0，【答案】等腰直角【分析】此題考查了已知三角函數(shù)值求角，涉及了絕對值和平方的非負性，解題的關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．根據(jù)絕對值和平方的非負性可得，cosA?22【詳解】解：由cosA?cosA?即cosA=解得：∠A=45°，∠B=45°，則∴△ABC為等腰直角三角形，故答案為：等腰直角．【題型6利用三角函數(shù)間的關系求解】1．已知Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=223【答案】1【分析】本題考查同角三角函數(shù)的關系的應用，解題的關鍵是掌握：sin2【詳解】解：∵sin2B+cos∴sin2∵∠B為銳角，∴sinB>0∴sinB=故答案為：132．比較tan52°，cos21°，sin49°A．tan52°<cos21°<C．sin49°<tan52°<【答案】D【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，熟記銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關鍵，根據(jù)三角函數(shù)的增減性，以及互余的兩個角之間的關系即可作出判斷．【詳解】∵cos21°=∴cos21°>∵tan52°>tan45°，∴tan52°>1，sin∴sin49°<故選：D．3．如果cosA=35，則【答案】2425/【分析】此題考查了三角函數(shù)的知識，求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，擴展到鈍角，通過設參數(shù)的方法求三角函數(shù)值．根據(jù)cosA=35，設出關于兩邊的代數(shù)表達式，再利用對稱構造全等三角形，得∠BAD=2∠BAC【詳解】解：如圖，在Rt△ABC中，cos作△ABC關于AC對稱△ADC，過點D作DH⊥AB，∴AB=AD，∠BAD=2∠BAC，設AC=3a，則AD=AB=5a，∴BC=∴BD=2BC=8a，∵S△ABD∴2×1∴DH=∴故答案為：24254．α為銳角，若sinα+cosα=2，則【答案】0【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的計算，設a=sinα,b=cos【詳解】解：設a=sinα,b=∵sinα+cos∴a+b∴2ab=1∴a?b∴a?b=0，即sinα?cos故答案為：0．5．在直角三角形ABC中，∠C=90°，且cosA=13，則sin【答案】1【分析】本題考查了互余兩角三角函數(shù)的關系，熟練掌握互余兩角三角函數(shù)的關系是解題的關鍵．根據(jù)三角函數(shù)的性質，一個銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，由此即可解答．【詳解】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵cos∴sin故答案為：13考點二考點二解直角三角形及其應用【題型7網(wǎng)格中解直角三角形】1．如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，點A，B，C為網(wǎng)格格點，AD⊥BC，垂足為D，則sinA．12 B．34 C．35【答案】C【分析】此題考查了勾股定理、求角的正弦值，先由勾股定理求出BC=5，得到sin∠ACB=ABBC=3【詳解】解：∵AB=3,AC=4,∠BAC=90°，∴BC=AB2∴sin∠ACB=∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠ABC=90°∴∠BAD=∠ACB，∴sin故選：C2．如圖，正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖所示放置（點O，A，C均在網(wǎng)格的格點上，且點C在OB上），則cos∠AOB的值為（

A．12 B．22 C．32【答案】B【分析】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理和三角函數(shù)，連接AC，根據(jù)圖形求得OA、AC、OC的長，根據(jù)AC2+OC2【詳解】解：如圖，連接AC，由圖可知：OA=22+∵AC∴∠ACO=90°，∴cos故選：B．3．∠BAC放在正方形網(wǎng)格紙的位置如圖，則tan∠BAC的值為（

A．22 B．12 C．102【答案】B【分析】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，銳角三角函數(shù)定義；連接CD，利用勾股定理分別計算出AD、AC、CD的長，然后根據(jù)勾股定理逆定理得出∠ADC=90°，再利用三角函數(shù)定義可得答案．【詳解】解：如圖，連接CD，AD=22+22=2∵22∴∠ADC=90°，∴tan∠BAC=故選：B．4．如圖，在由邊長是1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在格點（網(wǎng)格線的交點）上．(1)以點B為位似中心，在B點的左側畫出△A1B1C1使得(2)S△ABC(3)用無刻度直尺在邊BC上作出一點D，使得tan∠CAD=【答案】(1)見解析(2)14(3)見解析【分析】本題主要考查位似圖形及旋轉的性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形；（1）根據(jù)網(wǎng)格的特點位似可進行作圖；（2）利用割補法求解即可；（3）取格點F、E和G，連接AG交邊BC于點D，點D即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，△A；（2）解：S=36?4?6?12=14，故答案為：14；（3）解：如圖所示，點D即為所求；由作圖知，F(xiàn)GFC=36=12∴∠GFC∽∠CEA，∴∠GCF=∠CAE，∴∠ACG=∠GCF+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°，∴△ACG是直角三角形，且∠ACG=90°，∵AC=22+∴tan∠CAD=【題型8構造直角三角形解直角三角形】1．（2022·四川綿陽·三模）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，則這個四邊形的面積是（

）A．34 B．32 C．3 【答案】C【分析】過B、D兩點分別作AC的垂線，利用∠AOD=60°，可推出DG=32DO，BH=32BO，再利用四邊形ABCD的面積等于△ACD的面積加上△【詳解】如圖，過點D作DG⊥AC于點G，過點B作BH⊥AC于點H，∵∠AOD=60°，∴∠AOD=∠BOC=60°，∴DG=32DO同理可得：BH=32BOS四邊形ABCD=12×AC×DG+12×AC=12×AC×32×（DO+=3，故選：C．【點睛】本題考查含30°的直角三角形的性質和四邊形面積的計算，熟練掌握含30°直角三角形的性質和不規(guī)則四邊形面積的計算是解決本題的關鍵．2．如圖，∠ACB=45°，∠PRQ=125°，△ABC底邊BC上的高為h1，△PQR底邊QR上的高為h2，則有（A．h1=h2 B．h1【答案】B【分析】由已知可知高所對的斜邊都為5，由正弦的定義可得到高關于正弦的表達式，比較正弦值即可得到答案．【詳解】解：如圖，分別作出兩三角形的高h∵∠ACB=45°,AC=5∴h1∵∠PRQ=125°,PR=5∴h2∵sin55°∴h2故選：B．【點睛】本題考查解直角三角形，依題意作高構造直角三角形是解題的關鍵．3．（2024·上海靜安·二模）如圖，矩形ABCD中，AB=8,BC=17，將該矩形繞著點A旋轉，得到四邊形AB1C1D1，使點D在直線【答案】161717【分析】本題主要考查了旋轉的性質和解三角形，注意分類討論，正確畫出圖形是解題關鍵．根據(jù)旋轉的性質可得B′D=AD2?B′A2=15【詳解】解：由旋轉性質可知：AB′=AB=8，∠AB′∴B′∴sin∠ADB′∵∠BAB′+∠DA∴∠BAB∴AH=ABB∴BH=AB?AH=8?∴B′當點D在線段C1同理可得：AH=ABBBH=AB+AH=8+∴B′故答案為：161717或4．如圖，一塊含有45°角的直角三角板，外框的一條直角邊長為10cm，三角板的外框線和與其平行的內框線之間的距離均為2cm，則圖中陰影部分的面積為c【答案】14+16【分析】過頂點A作AB⊥大直角三角形底邊，先求出CD，然后得到小等腰直角三角形的底和高，再利用大直角三角形的面積減去小直角三角形面積即可【詳解】如圖：過頂點A作AB⊥大直角三角形底邊由題意：EC=2∴CD=5

=42∴小等腰直角三角形的直角邊為2CD∴大等腰直角三角形面積為10×10÷2=50cm2小等腰直角三角形面積為（8?22）22∴S

【點睛】本題主要考查陰影部分面積的計算，涉及到直角三角形的基本性質，本題關鍵在于做出正確的輔助線進行計算5．如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，點N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則線段A′C長度的最小值是．【答案】27【詳解】解：如圖所示：∵MA′是定值，A′C長度取最小值時，即A′在MC上時，過點M作MF⊥DC于點F，∵在邊長為4的菱形ABCD中，∠A=60°，M為AD中點，∴2MD=AD=CD=4，∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=12MD∴FM=DM×cos30°=3，∴MC=F∴A′C=MC﹣MA′=27故答案為27【點睛】此題主要考查了菱形的性質以及銳角三角函數(shù)關系等知識，得出A′點位置是解題關鍵．6．如圖，將一副直角三角形拼放在一起得到四邊形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，點E為CD邊上的中點，連接AE，將△ADE沿AE所在直線翻折得到△AD′E，D′E交AC于F點．若AB=62cm．（1）AE的長為cm；（2）試在線段AC上確定一點P，使得DP+EP的值最小，并求出這個最小值；（3）求點D′到BC的距離．【答案】（1）43；（2）12cm；（3）3【詳解】試題分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的長，進而求出CD的長，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進而得出答案：∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=62cm，∴AC=12cm．∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴CD=AC∵點E為CD邊上的中點，∴AE=DC=43（2）首先得出△ADE為等邊三角形，進而求出點E，D′關于直線AC對稱，連接DD′交AC于點P，根據(jù)軸對稱的性質，此時DP+EP值為最小，進而得出答案．（3）連接CD′，BD′，過點D′作D′G⊥BC于點G，進而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），則∠D′BG=45°，D′G=GB，進而利用勾股定理求出點D′到BC邊的距離．試題解析：解：（1）43（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，∵E為CD邊上的中點，∴DE=AE．∴△ADE為等邊三角形．∵將△ADE沿AE所在直線翻折得△AD′E，∴△AD′E為等邊三角形，∠AED′=60°．∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直線垂直平分線段ED′．∴點E，D′關于直線AC對稱．如答圖1，連接DD′交AC于點P，∴此時DP+EP值為最小，且DP+EP=DD′．∵△ADE是等邊三角形，AD=AE=43∴DD′=2?AD?3（3）如答圖2，連接CD′，BD′，過點D′作D′G⊥BC于點G，∵AC垂直平分線ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，∵AE=EC，∴AD′=CD′=43在△ABD′和△CBD′中，∵{AB=BC∴△ABD′≌△CBD′（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．設D′G長為xcm，則CG長為62在Rt△GD′C中，由勾股定理得x2解得：x1∴點D′到BC邊的距離為32【題型9仰角、俯角問題】1．（2023·四川甘孜·中考真題）“科技改變生活”，小王是一名攝影愛好者，新入手一臺無人機用于航拍．在一次航拍時，數(shù)據(jù)顯示，從無人機A看建筑物頂部B的仰角為45°，看底部C的俯角為60°，無人機A到該建筑物BC的水平距離AD為10米，求該建筑物BC的高度．（結果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3

【答案】該建筑物BC的高度約為27.3米【分析】由題意可知，∠BAD=45°，∠CAD=60°，AD⊥BC，根據(jù)三角形內角和定理和等角對等邊的性質，得到BD=AD=10米，再利用銳角三角函數(shù)，求出CD=103米，即可得到該建筑物BC【詳解】解：由題意可知，∠BAD=45°，∠CAD=60°，AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=180°?∠ADB?∠BAD=45°=∠BAD，∴BD=AD=10米，在Rt△ACD中，CD=AD?∴BC=BD+CD=10+103答：該建筑物BC的高度約為27.3米．

【點睛】本題考查的是解直角三角形——仰俯角問題，三角形內角和定理，等腰三角形的性質，銳角三角函數(shù)，熟練掌握直角三角形的特征關鍵．2．（2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，小穎家所在居民樓高AB為46m，從樓頂A處測得另一座大廈頂部C的仰角α是45°，而大廈底部D的俯角β是37°

(1)求兩樓之間的距離BD．(2)求大廈的高度CD．（結果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8【答案】(1)兩樓之間的距離約為61.3(2)大廈的高度CD為107.3【分析】（1）過點A作AE⊥CD于點E，易得∠ADB=∠β=37°，根據(jù)tanADB=（2）易證四邊形ABDE為矩形，則AE=BD=61.3m,AB=DE=46m，根據(jù)等腰直角三角形的性質得出AE=CE=61.3【詳解】（1）解：過點A作AE⊥CD于點E，根據(jù)題意可得：BD⊥CD，∴AE∥∴∠ADB=∠β=37°，∵AB=46m，tan∴tanADB=tan37°=解得：BD≈61.3，答：兩樓之間的距離約為61.3m

（2）解：根據(jù)題意可得：AB⊥BD,CD⊥BD,AE⊥CD，∴四邊形ABDE為矩形，∴AE=BD=61.3m,∵∠α=45°，AE⊥CD，∴∠ACE=45°，∴AE=CE=61.3m∴CD=CE+DE=61.3+46=107.3m答：大廈的高度CD為107.3m【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，解題的關鍵是正確畫出輔助線，構造直角三角形，掌握解直角三角形的方法和步驟．3．（2023·山東煙臺·中考真題）風電項目對于調整能源結構和轉變經(jīng)濟發(fā)展方式具有重要意義．某電力部門在一處坡角為30°的坡地新安裝了一架風力發(fā)電機，如圖1．某校實踐活動小組對該坡地上的這架風力發(fā)電機的塔桿高度進行了測量，圖2為測量示意圖．已知斜坡CD長16米，在地面點A處測得風力發(fā)電機塔桿頂端P點的仰角為45°，利用無人機在點A的正上方53米的點B處測得P點的俯角為18°，求該風力發(fā)電機塔桿PD的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，

【答案】該風力發(fā)電機塔桿PD的高度為32米【分析】過點P作PF⊥AB于點F，延長PD交AC延長線于點E，先根據(jù)含30°角直角三角形的性質得出DE=8，設PD=x米，則PE=PD+DE=8+x米，進而得出AE=8+x米，證明四邊形FAEP為矩形，則PF=AE=8+x米，AF=PE=8+x米，根據(jù)線段之間的和差關系得出【詳解】解：過點P作PF⊥AB于點F，延長PD交AC延長線于點E，根據(jù)題意可得：AB、PD垂直于水平面，∠DCE=30°，∠PAC=45°，∠GBP=18°，∴PE⊥AE，∵CD=16米，

∴DE=1設PD=x米，則PE=PD+DE=8+x∵∠PAC=45°，PE⊥AE，∴AE=PE∵AB⊥AE，PE⊥AE，PF⊥AB，∴四邊形FAEP為矩形，∴PF=AE=8+x米，AF=PE=∵AB=53米，∴BF=AB?AF=53?8+x∵∠GBP=18°，∴∠BPF=18°，∴BFPF=tan解得：x≈32，答：該風力發(fā)電機塔桿PD的高度為32米．

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，解題的關鍵是正確畫出輔助線，構造直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟．4．（2023·浙江嘉興·中考真題）圖1是某住宅單元樓的人臉識別系統(tǒng)（整個頭部需在攝像頭視角圍內才能被識別），其示意圖如圖2，攝像頭A的仰角、俯角均為15°，攝像頭高度OA=160cm，識別的最遠水平距離OB=150

(1)身高208cm的小杜，頭部高度為26cm，他站在離攝像頭水平距離130cm的點(2)身高120cm的小若，頭部高度為15cm，踮起腳尖可以增高3cm，但仍無法被識別．社區(qū)及時將攝像頭的仰角、俯角都調整為20°（如圖3），此時小若能被識別嗎？請計算說明．（精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)sin15°≈0.26,【答案】(1)12.9(2)能，見解析【分析】（1）根據(jù)正切值求出EF長度，再利用三角形全等可求出EF=DF=35.1(cm)，最后利用矩形的性質求出（2）根據(jù)正切值求出MP長度，再利用三角形全等可求出MP=PN=54.0(cm)，最后利用矩形的性質求出BP的長度，即可求出【詳解】（1）解：過點C作OB的垂線分別交仰角、俯角線于點E，D，交水平線于點F，如圖所示，

在Rt△AEF中，tan∴EF=AF?tan∵AF=AF,∠EAF=∠DAF,∠AFE=∠AFD=90°，∴△ADF≌△AEF．∴EF=DF=35.1(cm∴CE=CF+EF=160+35.1=195.1(cm)，∴小杜下蹲的最小距離=208?195.1=12.9(cm（2）解：能，理由如下：過點B作OB的垂線分別交仰角、俯角線于點M，N，交水平線于點P，如圖所示，

在Rt△APM中，tan∴MP=AP?tan∵AP=AP,∠MAP=∠NAP,∠APM=∠APN=90°，∴△AMP≌△ANP．∴PN=MP=54.0(cm∴BN=BP?PN=160?54.0=106.0(cm小若墊起腳尖后頭頂?shù)母叨葹?20+3=123(cm∴小若頭頂超出點N的高度123?106.0=17.0(cm∴小若墊起腳尖后能被識別．【點睛】本題考查的是解直角三角形的實際應用，涉及到的知識點有銳角三角函數(shù)中的正切值、矩形的性質、三角形的全等，解題的關鍵在于是否能根據(jù)生活實際題結合數(shù)學相關知識．解題的重點在于熟練掌握相關概念、性質和全等方法．5．（2023·四川宜賓·中考真題）渝昆高速鐵路的建成，將會顯著提升宜賓的交通地位．渝昆高速鐵路宜賓臨港長江公鐵兩用大橋（如圖1），橋面采用國內首創(chuàng)的公鐵平層設計．為測量左橋墩底到橋面的距離CD，如圖2．在橋面上點A處，測得A到左橋墩D的距離AD=200米，左橋墩所在塔頂B的仰角∠BAD=45°，左橋墩底C的俯角∠CAD=15°，求CD的長度．（結果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3

【答案】CD的長度54米【分析】AD上截取AE，使得AE=EC，設CD=x，在Rt△ECD中，ED=3x，EC=2x【詳解】解：如圖所示，AD上截取AE，使得AE=EC，

∴∠EAC=∠ECA，∵∠CAD=15°∴∠CED=2∠EAC=30°，設CD=x，在Rt△ECD中，ED=3∴AD=AE+ED=又AD=200∴200=∴x=即CD=54米【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．【題型10方位角問題】1．（2024·四川資陽·中考真題）如圖，某海域有兩燈塔A，B，其中燈塔B在燈塔A的南偏東30°方向，且A，B相距1633海里．一漁船在C處捕魚，測得C處在燈塔A的北偏東30°方向、燈塔

(1)求B，C兩處的距離；(2)該漁船從C處沿北偏東65°方向航行一段時間后，突發(fā)故障滯留于D處，并發(fā)出求救信號．此時，在燈塔B處的漁政船測得D處在北偏東27°方向，便立即以18海里/小時的速度沿BD方向航行至D處救援，求漁政船的航行時間．（注：點A，B，C，D在同一水平面內；參考數(shù)據(jù)：tan65°≈2.1，tan【答案】(1)B，C兩處的距離為16海里(2)漁政船的航行時間為75【分析】本題考查了解直角三角形的實際應用，解題的關鍵是正確畫出輔助線，構造直角三角形．（1）根據(jù)題意易得AC=AB，則CE=BE，再求出BE=CE=AB（2）過點D作DF⊥BC于點F，設CF=x海里，則DF=CFtan65°=2.1x，DF=BFtan27°=0.516+x，則2.1x=0.516+x，求出x=5，進而得出【詳解】（1）解：過點A作AE⊥BC于點E，∵燈塔B在燈塔A的南偏東30°方向，C處在燈塔A的北偏東30°方向、燈塔B的正北方向．∴∠ACE=∠ABE=30°，∴AC=AB，∵AE⊥BC，∴CE=BE，∵AB=16∴BE=CE=AB∴BC=8×2=16（海里），∴B，C兩處的距離為16海里．

（2）解：過點D作DF⊥BC于點F，設CF=x海里，∵∠DCF=65°，∴DF=CFtan由（1）可知，BC=16海里，∴BF=16+x∵∠DBF=27°，∴DF=BFtan∴2.1x=0.516+x解得：x=5，∴BF=BC+CF=21海里，DF=CFtan根據(jù)勾股定理可得：BD=D∴漁政船的航行時間為215答：漁政船的航行時間為75

2．（2024·四川·中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東37°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處．這時，B處距離A處有多遠？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，【答案】B處距離A處有140海里．【分析】本題考查了解直角三角形的應用?方向角問題．過P作PC⊥AB于C，解直角三角形即可得到結論．【詳解】解：過P作PC⊥AB于C，在Rt△APC中，∠A=37°，AP=100∴PC=AP?sinAC=AP?cos在Rt△PBC中，∵∠B=45°∴BC=PC=60（海里），∴AB=AC+BC=80+60=140（海里），答：B處距離A處有140海里．3．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，海中有一個小島C，某漁船在海中的A點測得小島C位于東北方向上，該漁船由西向東航行一段時間后到達B點，測得小島C位于北偏西30°方向上，再沿北偏東60°方向繼續(xù)航行一段時間后到達D點，這時測得小島C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30nmile．求C，D間的距離（計算過程中的數(shù)據(jù)不取近似值）．【答案】C，D間的距離為202【分析】本題考查了解直角三角形的應用．作CE⊥AB于點E，利用方向角的定義求得∠CAE=45°，∠ECB=30°，∠ECD=60°，證明△CAE是等腰直角三角形，在Rt△BCE中，求得BC的長，再證明∠CBD=90°，∠DCB=30°，在Rt【詳解】解：作CE⊥AB于點E，由題意得∠CAE=90°?45°=45°，∠ECB=30°，∠ECD=60°，∴△CAE是等腰直角三角形，∵AC=30，∴AE=CE=AC?cos在Rt△BCE中，BC=在△BCD中，∠CBD=30°+60°=90°，∠DCB=∠ECD?∠ECB=30°，在Rt△BCD中，CD=答：C，D間的距離為2024．（2024·重慶·中考真題）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從A港出發(fā)，分別向B，D兩港運送物資，最后到達A港正東方向的C港裝運新的物資．甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達B港，再沿北偏東60°方向航行一定距離到達C港．乙貨輪沿A港的北偏東60°方向航行一定距離到達D港，再沿南偏東30°方向航行一定距離到達C港．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，(1)求A，C兩港之間的距離（結果保留小數(shù)點后一位）；(2)若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（停靠B、D兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達C港？請通過計算說明．【答案】(1)A，C兩港之間的距離77.2海里；(2)甲貨輪先到達C港．【分析】（1）過B作BE⊥AC于點E，由題意可知：∠GAB=45°，∠EBC=60°，求出AE=ABcos∠BAE=202（2）通過三角函數(shù)求出甲行駛路程為：AB+BC=40+56.4=96.4，乙行駛路程為：AD+CD=66.8+38.6=105.4，然后比較即可；本題考查了方位角視角下的解直角三角形，構造直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關鍵．【詳解】（1）如圖，過B作BE⊥AC于點E，∴∠AEB=∠CEB=90°，由題意可知：∠GAB=45°，∠EBC=60°，∴∠BAE=45°，∴AE=ABcos∴CE=BEtan∴AC=AE+CE=202∴A，C兩港之間的距離77.2海里；（2）由（1）得：∠BAE=45°，∠EBC=60°，AC=77.2，∴BE=ABsin∴BC=BE由題意得：∠ADF=60°，∠CDF=30°，∴∠ADC=90°，∴CD=12AC=∴甲行駛路程為：AB+BC=40+56.4=96.4（海里），乙行駛路程為：AD+CD=66.8+38.6=105.4（海里），∵96.4<105.4，且甲、乙速度相同，∴甲貨輪先到達C港．【題型11坡度坡比問題】1．（2023·湖北·中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比．已知斜坡CD長度為20米，∠C=18°，求斜坡AB的長．（結果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31,

【答案】斜坡AB的長約為10米【分析】過點D作DE⊥BC于點E，在Rt△DEC中，利用正弦函數(shù)求得DE=6.2，在Rt【詳解】解：過點D作DE⊥BC于點E，則四邊形ADEF是矩形，在Rt△DEC中，CD=20DE=CD?sin∴AF=DE=6.2．∵AFBF∴在Rt△ABF中，AB=答：斜坡AB的長約為10米．【點睛】此題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．2．（2023·江蘇連云港·中考真題）漁灣是國家“AAAA”級風景區(qū)，圖1是景區(qū)游覽的部分示意圖．如圖2，小卓從九孔橋A處出發(fā)，沿著坡角為48°的山坡向上走了92m到達B處的三龍?zhí)镀俨?，再沿坡角?7°的山坡向上走了30m到達C處的二龍?zhí)镀俨迹笮∽繌腁處的九孔橋到C處的二龍?zhí)镀俨忌仙母叨菵C為多少米？（結果精確到（參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74，

【答案】86.1【分析】過點B作BE⊥AD，垂足為E，在Rt△ABE中，根據(jù)sin∠BAE=BEAB求出BE，過點B作BF⊥CD，垂足為F，在Rt△CBF【詳解】過點B作BE⊥AD，垂足為E．在Rt△ABE中，sin∴BE=ABsin過點B作BF⊥CD，垂足為F．

在Rt△CBF中，sin∴CF=BCsin∵FD=BE=68.08m∴DC=FD+CF=68.08+18.00=86.08≈86.1m答：從A處的九孔橋到C處的二龍?zhí)镀俨忌仙母叨菵C約為86.1m【點睛】此題考查了解直角三角形的應用一坡度坡角問題，熟練利用銳角三角函數(shù)關系是解題關鍵．3．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，公園內有一個垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個坡面CQ，坡角∠QCN=30°．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為120cm，在坡面上的影長為180

【答案】(170+603)cm【分析】延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，根據(jù)直角三角形的性質求出DF，根據(jù)余弦的定義求出CF，根據(jù)題意求出EF，再根據(jù)題意列出比例式，計算即可．【詳解】解：延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，

在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，則DF=12CD=90（cm），CF=CD?cos∠DCF=180×32=90由題意得：DFEF=6090，即90EF解得：EF=135，∴BE=BC+CF+EF=120+903+135=(255+903)cm，則AB255+903=解得：AB=170+603，答：立柱AB的高度為(170+603)cm．【點睛】此題考查了解直角三角形的應用-坡度坡角問題、平行投影的應用，解題的關鍵是數(shù)形結合，正確作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計算．4．（2022·寧夏·中考真題）2022北京冬奧會自由式滑雪空中技巧比賽中，某運動員比賽過程的空中剪影近似看作一條拋物線，跳臺高度OA為4米，以起跳點正下方跳臺底端O為原點，水平方向為橫軸，豎直方向為縱軸，建立如圖所示平面直角坐標系．已知拋物線最高點B的坐標為4,12，著陸坡頂端C與落地點D的距離為2.5米，若斜坡CD的坡度i=3:4（即CEDE(1)點A的坐標；(2)該拋物線的函數(shù)表達式；(3)起跳點A與著陸坡頂端C之間的水平距離OC的長．（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73【答案】(1)A(2)y=?(3)OC的長約為7.2米【分析】（1）由拋物線的圖象可直接得出結論；（2）由拋物線的頂點可設出拋物線的頂點式，將點A的坐標代入即可得出結論；（3）根據(jù)勾股定理可得出CE和DE的長，進而得出點D的坐標，由OC的長為點D的橫坐標減去DE的長可得出結論．【詳解】（1）解：∵OA=4，且點A在y軸正半軸，∴A0,4（2）∵拋物線最高點B的坐標為4,12，∴設拋物線的解析式為：y=a(x?4)∵A0,4∴a(0?4)解得a=?1∴拋物線的解析式為：y=?1（3）在Rt△CDE中，CEDE=3設CE＝3x，DE＝4x，∴CE即3x2解得x＝0.5，∴CE=1.5，DE=2．∴點D的縱坐標為?1.5，令?1解得，x=4+33≈9.19或x=4?33∴D(9.19,?1.5)．∴OC=9.19?2=7.19≈7.2(m)．∴OC的長約為7.2米．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線上點的坐標特點、解一元二次方程等相關內容，得出點D的坐標是解題關鍵．5．（2022·山東菏澤·中考真題）菏澤某超市計劃更換安全性更高的手扶電梯，如圖，把電梯坡面的坡角由原來的37°減至30°，已知原電梯坡面AB的長為8米，更換后的電梯坡面為AD，點B延伸至點D，求BD的長．（結果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60,【答案】約為1.9米【分析】根據(jù)正弦的定義求出AC，根據(jù)余弦的定義求出BC，根據(jù)正切的定義求出CD，結合圖形計算，得到答案．【詳解】解：在Rt△ABC中，AB=8米，∠ABC=37°，則AC=AB?sin∠ABC≈8×0.60=4.8（米），BC=AB?cos∠ABC≈8×0.80=6.40（米），在Rt△ADC中，∠ADC=30°，則CD=ACtan∴BD=CD-BC=8.30-6.40≈1.9（米），答：BD的長約為1.9米．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用—坡度坡角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．【題型12坡度坡比與仰角俯角問題綜合】1．（2023·四川瀘州·中考真題）如圖，某數(shù)學興趣小組為了測量古樹DE的高度，采用了如下的方法：先從與古樹底端D在同一水平線上的點A出發(fā)，沿斜面坡度為i=2:3的斜坡AB前進207m到達點B，再沿水平方向繼續(xù)前進一段距離后到達點C．在點C處測得古樹DE的頂端E的俯角為37°，底部D的俯角為60°，求古樹DE的高度（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈3

【答案】古樹DE的高度為40?10【分析】延長BC，DE交于點G，過點B作BF⊥AD于點F，根據(jù)斜面AB的坡度為i=2:3，設BF=2x，則AF=3x，根據(jù)勾股定理得出2x2+3x2=207【詳解】解：延長BC，DE交于點G，過點B作BF⊥AD于點F，如圖所示：

則∠AFB=∠BFD=90°，∵斜面AB的坡度為i=2:3∴設BF=2x，則AF=3在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理得：B即2x2解得：x=20，負值舍去，即BF=2×20=40m∵BC為水平方向，DE為豎直方向，∴∠BGD=90°，∵∠BFD=∠FDG=∠BGD=90°，∴四邊形BFDG為矩形，∴DG=BF=40m∵∠DCG=60°，∴在Rt△DCG中，CG=∵∠ECG=37°，∴在Rt△ECG中，EG=CG×∴DE=DG?EG=40?10答：古樹DE的高度為40?103【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是作出輔助線，數(shù)形結合，熟練掌握三角函數(shù)的定義．2．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，堤壩AB長為10m，坡度i為1:0.75，底端A在地面上，堤壩與對面的山之間有一深溝，山頂D處立有高20m的鐵塔CD．小明欲測量山高DE，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線AB上，又在壩頂B處測得塔底D的仰角α為26°35′．求堤壩高及山高DE．（sin26°35′

【答案】堤壩高為8米，山高DE為20米．【分析】過B作BH⊥AE于H，設BH=4x，AH=3x，根據(jù)勾股定理得到AB=AH2+BH2=5x=10，求得AH=6，BH=8，過B【詳解】解：過B作BH⊥AE于H，

∵坡度i為1:0.75，∴設BH=4x，AH=3x，∴AB=A∴x=2，∴AH=6，過B作BF⊥CE于F，則EF=BH=8，設DF=a，∵α=26°35∴BF=DF∴AE=6+2a，∵坡度i為1:0.75，∴CE：∴a=12，∴DF=12（米），∴DE=DF+EF=12+8=20（米），答：堤壩高為8